第3章 微专题 三次函数的图象与性质(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word

该高中数学高考复习学案系统梳理了三次函数的图象与性质专题，将定义域、值域、导数、判别式、单调性、极值及对称中心等核心考点按a的符号和判别式分类构建知识网络，通过问题导向的例题分析和任务驱动的强化训练，引导学生自主推导函数性质，形成完整认知框架。 亮点在于真题引领与诊断性学习设计，以2024新高考Ⅱ卷真题为例，一题多解培养数学思维，强化训练题覆盖零点、极值等考点，学生可自主诊断薄弱环节。每个模块配有方法指导（如对称中心结论应用）和反思空间，助力学生用数学语言表达规律，教师能通过学情精准指导，提升备考实效。

微专题　三次函数的图象与性质 　　三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的定义域为R，值域为R，函数在整个定义域上没有最大值、最小值；f'（x）＝3ax2＋2bx＋c，其判别式Δ＝4b2－12ac. a＞0 a＜0 f（x）的 图象 f'（x）的 图象 Δ＞0 Δ≤0 Δ＞0 Δ≤0 f（x）的 对称中心 三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的对称中心为点（ －，f（ －）），其横坐标为二阶导数的零点 〔一题多解〕〔多选〕（2024·新高考Ⅱ卷11题）设函数f（x）＝2x3－3ax2＋1，则（　　） A.当a＞1时，f（x）有三个零点 B.当a＜0时，x＝0是f（x）的极大值点 C.存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f（x）的对称轴 D.存在a，使得点（1，f（1））为曲线y＝f（x）的对称中心 听课记录 1.（2026·湖南长沙模拟）已知f（x）＝x3＋3x2＋6x＋14，且f（m）＝1，f（n）＝19，则m＋n＝（　　） A.－2 B.0 C.1 D.2 2.（2026·广西南宁质检）设ab≠0，若a为函数f（x）＝a（x－a）2（x－b）的极大值点，则（　　） A.a＜b B.a＞b C.ab＜b2 D.ab＞b2 3.〔多选〕（2026·山东临沂模拟）设函数f（x）＝x3－3x－2，则（　　） A.f（x）有3个零点 B.过原点作曲线y＝f（x）的切线，有且仅有一条 C.y＝f（x）与y＝ax－2交点的横坐标之和为0 D.f（x）在区间（－2，2）上的取值范围是[－4，0） 4.若函数f（x）＝－x3＋2x2－3x＋t有且仅有一个零点，则实数t的取值范围为　　　　. 答案 微专题　三次函数的图象与性质 【例】　AD　因为f（x）＝2x3－3ax2＋1，所以f'（x）＝6x2－6ax＝6x（x－a）.对于选项A，令f'（x）＞0，则x＞a或x＜0；令f'（x）＜0，则0＜x＜a.所以f（x）在（－∞，0）和（a，＋∞）上单调递增，在（0，a）上单调递减.又因为f（0）＝1，f（a）＝2a3－3a3＋1＝1－a3＜0，当x→－∞时，f（x）→－∞，当x→＋∞时，f（x）→＋∞，所以f（x）的大致图象如图，所以f（x）有三个零点，故选项A正确；对于选项B，令f'（x）＞0，则x＜a或x＞0；令f'（x）＜0，则a＜x＜0.所以x＝0是f（x）的极小值点，故选项B错误；对于选项C，法一　三次函数为中心对称函数，其图象无对称轴，故选项C错误；法二　当x→＋∞时，f（x）→＋∞，当x→－∞时，f（x）→－∞，故曲线y＝f（x）必不存在对称轴，C错误；对于选项D，法一（排除法）　由于是多项选择题A正确，B、C错误，则D一定正确. 法二（利用对称中心的二级结论）　f（1）＝3－3a，若存在a，使得（1，3－3a）为f（x）的对称中心，则f（x）＋f（2－x）＝6－6a，事实上，f（x）＋f（2－x）＝2x3－3ax2＋1＋2（2－x）3－3a（2－x）2＋1＝（12－6a）x2＋（12a－24）x＋18－12a，于是6－6a＝（12－6a）x2＋（12a－24）x＋18－12a，即解得a＝2，即存在a＝2使得（1，f（1））是f（x）的对称中心，D选项正确.法三（利用拐点）　任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，f（x）＝2x3－3ax2＋1，f'（x）＝6x2－6ax，f″（x）＝12x－6a，由f″（x）＝0⇔x＝，于是该三次函数的对称中心为（ ，f（ ）），由题意（1，f（1））也是对称中心，故＝1⇔a＝2，即存在a＝2使得（1，f（1））是f（x）的对称中心，D选项正确. 法四（三次函数对称中心的二级结论）　任意三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的图象均关于点（ －，f（ －））成中心对称，又f（x）＝2x3－3ax2＋1，对比系数可得－＝，由题意（1，f（1））也是对称中心，故＝1，得a＝2，即存在a＝2使得（1，f（1））是f（x）的对称中心，D正确.故选A、D. 强化训练 1.A　2.C　 3.BC　令f'（x）＝3x2－3＝0，解得x＝±1，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表所示. x （－∞，－1） －1 （－1，1） 1 （1，＋∞） f'（x） ＋ 0 － 0 ＋ f（x） 单调 递增 0 单调 递减 －4 单调 递增 所以f（x）有2个零点，A错误；对于选项B，设切点为（x0，－3x0－2），则切线方程为y－（－3x0－2）＝（3－3）（x－x0），代入原点，整理得x0＝－1，故切线有且仅有一条，B正确；对于选项C，由题意得x3－3x－2＝ax－2，x3＝（a＋3）x，得x＝0或x2＝a＋3，若a＋3≥0，根据对称性知，根之和为0，若a＋3＜0，方程只有一个根为0，C正确；对于选项D，f（－2）＝－8＋6－2＝－4，f（2）＝8－6－2＝0，又f（－1）＝0，f（1）＝－4，故f（x）在区间（－2，2）上的取值范围是[－4，0]，D错误.故选B、C. 4.（－∞，0）∪（ ，＋∞）　解析：由f（x）＝－x3＋2x2－3x＋t，得f'（x）＝－x2＋4x－3，当x＞3或x＜1时，f'（x）＜0，当1＜x＜3时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（－∞，1），（3，＋∞）上单调递减，在（1，3）上单调递增，所以f（x）极大值＝f（3）＝t，f（x）极小值＝f（1）＝t－，又x→＋∞时，f（x）→－∞，x→－∞时，f（x）→＋∞，因此，为使曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点，结合f（x）的单调性，得f（x）极大值＝t＜0或f（x）极小值＝t－＞0，所以t＜0或t＞，即当t＜0或t＞时，使得曲线y＝f（x）与x轴有且仅有一个交点. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $