第2章 第10节 函数模型及其应用(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word

该高中数学高考复习学案系统梳理了函数模型及其应用专题，涵盖一次、二次、指数、对数等函数模型的解析式与性质，通过表格对比三种函数增长速度差异，构建“模型类型-增长特征-实际应用”的知识网络，以诊断自测题和问题链引导学生自主定位薄弱点，形成系统化认知。 亮点在于诊断自测与分层训练设计，开篇4道诊断题覆盖概念辨析与简单应用，考点部分结合高考真题（如北京高考训练时间问题）和生活实例（甲醛浓度、养鱼问题），培养数学思维与模型意识，方法指导总结解题步骤，助力学生自主诊断提升，教师可依学情精准指导，实现因材施教。

第10节　函数模型及其应用 1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异. 2.理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义. 3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用. 知识梳理 1.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f（x）＝ax＋b（a，b为常数，a≠0） 反比例函数模型 f（x）＝＋b（k，b为常数，k≠0） 二次函数模型 f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0） 指数函数模型 f（x）＝bax＋c（a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1） 对数函数模型 f（x）＝blogax＋c（a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1） 幂函数模型 f（x）＝axn＋b（a，b，n为常数，a≠0，n≠0） 对勾函数模型 y＝ax＋（a，b为常数，ab＞0） 2.三种函数性质比较 类别 y＝ax（a＞1） y＝logax（a＞1） y＝xn（n＞0） 在（0，＋∞） 上的单调性 增长速度 相对平稳 图象的变化 随x值增大， 图象与　　　　　　接近平行 随x值增大， 图象与　　　　　　接近平行 随n值的变化而各有不同 提醒：“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢. 诊断自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝2x的函数值恒比y＝x2的函数值大.（　　） （2）幂函数的增长速度比一次函数的增长速度快.（　　） （3）在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.（　　） 2.在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据： x 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 y －2.0 －1.0 0 1.0 2.0 3.0 在下列四个函数模型中，最能反映x，y函数关系的是（　　） A.y＝a＋bx B.y＝a＋bx C.y＝a＋logbx D.y＝a＋ 3.某工厂近6年来生产某种产品的情况：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则可以描述该厂近6年这种产品的总产量c随时间t变化的图象是（　　） 4.某商品在最近30天内的价格f（t）与时间t（单位：天）的函数关系是f（t）＝t＋10（0＜t≤30，t∈N），销售量g（t）与时间t的函数关系是g（t）＝－t＋35（0＜t≤30，t∈N），则这种商品的日销售金额的最大值是　　　　. 用函数图象刻画实际问题的变化过程 （基础自学过关） 1.如图所示，圆柱形水槽内放了一个圆柱形烧杯，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是（　　） 2.已知正方形ABCD的边长为4，动点P从点B开始沿折线BCDA向点A运动.设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f（x）的图象是（　　） 3.〔多选〕血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示： 根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是（　　） A.首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用 B.每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒 C.每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用 D.首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒 用函数图象刻画变化过程的2种方法 （1）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象； （2）验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案. 已知函数模型解决实际问题 （师生共研过关） （1）（2025·北京高考9题）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N（单位：小时），其中k为常数.在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加（单位：小时）（　　） A.2 B.4 C.20 D.40 （2）根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1 mg/m3为安全范围.已知某新建文化娱乐场所竣工时室内甲醛浓度为6.05 mg/m3，使用了甲醛喷剂并处于良好通风环境下时，室内甲醛浓度μ（t）（单位：mg/m3）与竣工后保持良好通风的时间t（t∈N）（单位：天）近似满足函数关系式μ（t）＝λ＋0.05（λ∈R），则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为（参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6）（　　） A.32天 B.33天 C.34天 D.35天 听课记录 根据给定函数模型解决实际问题的技巧 （1）认清函数模型，明确其中的变量，弄清楚哪些为待定系数； （2）根据已知条件，确定模型中的待定系数； （3）分析函数模型，借助函数的性质解决相关问题. 训练1 （1）异速生长规律描述生物的体重与其他生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示.比如，某类动物的新陈代谢率y与其体重x满足y＝kxα，其中k和α为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则α＝（　　） A.　　　B. C.　　　D. （2）某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C（x）＝x2＋4x＋16（单位：万元），每件商品售价为28元，假设每月所生产的产品能全部售完.当月所获得的总利润用w（x）（单位：万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（　　） A.当生产12万件时，当月能获得最大总利润144万元 B.当生产12万件时，当月能获得最大总利润160万元 C.当生产4万件时，当月能获得单件平均利润最大为24元 D.当生产4万件时，当月能获得单件平均利润最大为16元 构建函数模型解决实际问题 （师生共研过关） （1）（2026·重庆调研）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100 mL血液中酒精含量大于或者等于20 mg且小于80 mg认定为饮酒驾车，大于或者等于80 mg认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6 mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时30％的速度减少，那么他至少经过　　　　个小时后才能驾驶？（结果取整数.参考数据：lg 3≈0.48，lg 7≈0.85） （2）在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200 m2的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2 m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2，设矩形的长为x m，当x取何值时，总造价y（单位：元）最低，并求出最低总造价. 构建函数模型解决实际问题的步骤 （1）建模：抽象出实际问题的数学模型； （2）推理与运算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解； （3）评价与解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价与解释，并返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解. 训练2 （2025·江苏苏州期末）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定条件下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）是养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4≤x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年. （1）当0＜x≤20时，求函数v关于x的函数表达式； （2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值. 提示：完成课后作业　第二章　第10节 答案 第10节　函数模型及其应用 【夯实必备知识】 知识梳理 2.单调递增　单调递增　单调递增　越来越快　越来越慢　y轴　x轴　 诊断自测 1.（1）×　（2）×　（3）× 2.C　3.A　4.506 【研透核心考点】 考点1 1.D　2.D　3.ABC　 考点2 【例1】　（1）B　（2）C　解析：（1）由题意得训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时，即k·log2（1.024×109）－k·log2106＝k·log21 024＝10 k＝20，解得k＝2，则T＝2log2N.所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加2 log2（4.096×109）－2log2（1.024×109）＝2log24＝4小时，故选B. （2）依题意可知当t＝0时，μ（t）＝6.05，即6.05＝λ＋0.05，解得λ＝6，所以μ（t）＝6＋0.05，由μ（t）＝6＋0.05≤0.1，得≤，即－≤ln，即≥ln 120＝3ln 2＋ln 3＋ln 5≈3×0.7＋1.1＋1.6＝4.8，所以t≥33.6，又t∈N，所以tmin＝34，故至少需要放置的时间为34天. 训练1　（1）D　（2）D　解析：（1）设初始状态为（x1，y1），则x2＝16x1，y2＝8y1，又y1＝k，y2＝k，所以8y1＝k（16x1）α＝k·16α，故＝，即24α＝23，所以4α＝3，故α＝.故选D. （2）由题意可得w（x）＝28x－C（x）＝－x2＋24x－16＝－（x－12）2＋128，故当x＝12时，w（x）取得最大值128.＝＝24－（ x＋）≤24－2＝16，当且仅当x＝4时，等号成立.因此，当生产12万件时，当月能获得最大总利润128万元，当生产4万件时，当月能获得单件平均利润最大为16元.故选D. 考点3 【例2】　（1）4　解析：设经过x小时后才能驾驶，由题意得60（1－30％）x＜20.化简得0.7x＜，则lg 0.7x＜lg ，即xlg 0.7＜lg ，因为lg 0.7＜0，所以x＞＝≈＝3.2，所以他至少经过4个小时后才能驾驶. （2）解：由矩形的长为x m，得矩形的宽为 m，则中间区域的长为（x－4）m，宽为m，x∈（4，50）. 故y＝100（x－4）＋200×［200－（x－4）（ －4）］＝18 400＋400，x∈（4，50）. 因为x＋≥2＝20，当且仅当x＝，即x＝10∈（4，50）时取等号. 所以当x＝10时，总造价最低为（18 400＋8 000）元. 训练2　解：（1）依题意，当0＜x≤4时，v（x）＝2； 当4＜x≤20时，v（x）是关于x的一次函数，假设v（x）＝ax＋b（a≠0）， 则解得 所以v（x）＝ （2）设鱼的年生长量为f（x），则f（x）＝x·v（x）， 当0＜x≤4时，v（x）＝2⇒f（x）＝x·v（x）＝2x，f（x）单调递增，f（x）max＝f（4）＝8； 当4＜x≤20时，v（x）＝－0.125x＋2.5⇒f（x）＝－0.125x2＋2.5x， 当x＝－＝10时，f（x）max＝f（10）＝12.5. 因为12.5＞8，所以当x＝10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $