第2章 第9节 函数的零点与方程的解(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word

该高中数学高考复习学案系统梳理了函数零点与方程的解专题，将函数零点定义、等价关系、零点存在定理及二分法等核心考点按逻辑关系构建知识网络，通过诊断自测题和问题链设计，引导学生从概念本质出发自主推导联系，形成系统性认知框架。 亮点在于诊断性自测与分层考点训练结合，开篇设置5道诊断题帮助学生定位薄弱环节，每个考点配备方法指导（如零点个数判断三法）和真题演练，培养数学思维与应用意识。模块含错题归因表和思维导图任务，助力学生自主提升，教师可依学情精准指导，实现因材施教。

第9节　函数的零点与方程的解 1.了解函数零点与方程的解的联系. 2.了解函数零点存在定理，并能简单应用. 3.了解用二分法求方程的近似解. 知识梳理 1.函数的零点 （1）定义：对于一般函数y＝f（x），我们把使　　　　　　的实数x叫做函数y＝f（x）的零点； （2）等价关系：方程f（x）＝0有实数解⇔函数y＝f（x）有　　　　⇔函数y＝f（x）的图象与　　　　　　.　 提醒：函数f（x）的零点不是一个点，而是一个实数，是方程f（x）＝0的根，也是函数y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标. 2.函数零点存在定理 （1）条件：①函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②　　　　＜0. （2）结论：函数y＝f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得　　　　，这个c也就是方程f（x）＝0的解. 提醒：函数零点存在定理只能判断变号零点存在，不能确定零点的个数. 3.二分法 （1）定义：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f（a）f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不断地把它的零点所在区间　　　　　　，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法； （2）用二分法求函数y＝f（x）零点x0的近似值的一般步骤 ①确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f（a）f（b）＜0； ②求区间（a，b）的中点c； ③计算f（c），并进一步确定零点所在的区间： （ⅰ）若f（c）＝0（此时x0＝c），则c就是函数的零点； （ⅱ）若f（a）f（c）＜0（此时x0∈（a，c）），则令b＝c； （ⅲ）若f（c）f（b）＜0（此时x0∈（c，b）），则令a＝c； ④判断是否达到精确度ε：若｜a－b｜＜ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤②～④. 1.若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点. 2.连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. 3.周期函数如果存在零点，则必有无穷个零点. 4.由函数y＝f（x）（图象是连续不断的） 在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f（a）·f（b）＜0，如图所示，所以f（a）·f（b）＜0是y＝f（x）在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件. 诊断自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数f（x）＝2x的零点为0.（　　） （2）函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.（　　） （3）函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），则f（a）·f（b）＜0.（　　） （4）只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.（　　） 2.下列函数图象与x轴均有交点，则不能用二分法求图中函数零点近似值的是（　　） 3.函数f（x）＝的零点是（　　） A.（－1，0），（1，0） B.－1，1 C.（－1，0） D.－1 4.函数f（x）＝ln x－的零点所在的区间是（　　） A.（0，1） B.（1，2） C.（2，e） D.（e，3） 5.若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（　　） A.（ ，＋∞） B.（ －1，） C.（－∞，－1） D.（－∞，－1）∪（ ，＋∞） 函数零点所在区间的判定 （师生共研过关） （1）（2025·天津高考7题）函数f（x）＝0.3x－的零点所在区间是（　　） A.（0，0.3） B.（0.3，0.5） C.（0.5，1） D.（1，2） （2）已知函数f（x）＝logax＋x－b（a＞0，且a≠1）.当2＜a＜3＜b＜4时，函数f（x）的零点x0∈（n，n＋1），n∈N*，则n＝　　　　. 听课记录 函数零点所在区间的判断方法 （1）定理法：利用函数零点存在定理进行判断，适用于容易判断区间端点值所对应函数值的正负的情形； （2）图象法：画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，适用于容易画出函数图象的情形. 训练1 （1）（2026·陕西商洛模拟）设a是函数f（x）＝2x－lox的零点.若x0＞a，则f（x0）的值满足（　　） A.f（x0）＝0 B.f（x0）＜0 C.f（x0）＞0 D.f（x0）的符号不确定 （2）若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x－a）（x－b）＋（x－b）（x－c）＋（x－c）（x－a）的两个零点分别位于区间（　　） A.（a，b）和（b，c）内 B.（－∞，a）和（a，b）内 C.（b，c）和（c，＋∞）内 D.（－∞，a）和（c，＋∞）内 函数零点个数的判定 （师生共研过关） （1）函数f（x）＝（x2－x）ln｜2x－3｜在区间[－2，2]上的零点个数是（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 （2）〔一题多解〕函数f（x）＝2x＋x3－2在区间（0，1）内的零点个数是　　　　. 听课记录 判断函数零点个数的3种方法 （1）直接法：令f（x）＝0，方程有多少个解，f（x）就有多少个零点； （2）定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等； （3）图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数. 训练2 （1）函数f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x＜2时，f（x）＝x2－x，则函数y＝f（x）的图象在区间[－3，3]上与x轴的交点个数为（　　） A.6 B.7 C.8 D.9 （2）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（2－x）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝2x－1，则方程f（x）＝｜log9x｜的实根的个数为（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 函数零点的应用 （定向精析突破） 考向1　根据函数零点个数求参数 （1）（2025·湖南长沙二模）若函数f（x）＝（ ）｜x｜＋m－1至少有一个零点，则m的取值范围为（　　） A.m＜1 B.m≥1 C.0≤m＜1 D.0≤m≤1 （2）（2024·新高考Ⅱ卷6题）设函数f（x）＝a（x＋1）2－1，g（x）＝cos x＋2ax.当x∈（－1，1）时，曲线y＝f（x）与y＝g（x）恰有一个交点.则a＝（　　） A.－1 B. C.1 D.2 听课记录 考向2　根据函数零点所在区间求参数 （2026·北京模拟）已知函数f（x）＝3x－.若存在x0∈（－∞，－1），使得f（x0）＝0，则实数a的取值范围是（　　） A.（ －∞，） B.（ 0，） C.（－∞，0） D.（ ，＋∞） 听课记录 利用函数零点求参数的方法 训练3 （1）已知函数f（x）＝log2（x＋1）－＋m在区间（1，3]上有零点，则实数m的取值范围为（　　） A.（ －，0） B.（ －∞，－）∪（0，＋∞） C.（ －∞，－］∪（0，＋∞） D. （2）〔多选〕已知函数f（x）＝令h（x）＝f（x）－k，则下列说法正确的是（　　） A.函数f（x）的单调递增区间为（0，＋∞） B.当h（x）有3个零点时，k∈（－4，－3] C.当k＝－2时，h（x）的所有零点之和为－1 D.当k∈（－∞，－4）时，h（x）有1个零点 提示：完成课后作业　第二章　第9节 答案 第9节　函数的零点与方程的解 【夯实必备知识】 知识梳理 1.（1）f（x）＝0　（2）零点　x轴有公共点 2.（1）②f（a）f（b）　（2）f（c）＝0 3.（1）一分为二　 诊断自测 1.（1）√　（2）×　（3）×　（4）× 2.C　3.B　4.C　5.D　 【研透核心考点】 考点1 【例1】　（1）B　（2）2　解析：（1）易知f（x）单调递减，又f（0）＝1＞0，f（0.3）＝0.30.3－＝0.30.3－0.30.5＞0，f（0.5）＝0.30.5－＝－＜0，所以f（x）的零点所在区间是（0.3，0.5），故选B. （2）对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y＜1，当x＝3时，可得y＞1，如图，在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，可以判断两个函数图象的交点的横坐标在（2，3）内，故n＝2. 训练1　（1）C　（2）A　解析：（1）∵函数y＝2x和y＝log2x在（0，＋∞）上均单调递增，∴f（x）＝2x－lox＝2x＋log2x在（0，＋∞）上单调递增.又∵a是函数f（x）＝2x＋log2x的零点，∴f（a）＝0，∴当x0＞a时，f（x0）＞f（a）＝0.故选C. （2）函数y＝f（x）是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a＜b＜c，则a－b＜0，a－c＜0，b－c＜0，因此f（a）＝（a－b）（a－c）＞0，f（b）＝（b－c）（b－a）＜0，f（c）＝（c－a）（c－b）＞0.所以f（a）f（b）＜0，f（b）f（c）＜0，即f（x）在区间（a，b）和区间（b，c）内各有一个零点. 考点2 【例2】　（1）A　（2）1　解析：（1）令f（x）＝（x2－x）ln｜2x－3｜＝0，得x2－x＝0或ln｜2x－3｜＝0，解得x＝0或x＝1或x＝2，所以函数f（x）在区间[－2，2]上的零点个数为3，故选A. （2）法一 ∵f（0）f（1）＝（－1）×1＝－1＜0，且函数在定义域上单调递增且连续，∴函数f（x）在区间（0，1）内有且只有1个零点. 法二 设y1＝2x，y2＝2－x3，在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，在区间（0，1）内，两图象的交点个数即为f（x）的零点个数.故函数f（x）在区间（0，1）内有且只有1个零点. 训练2　（1）B　（2）C　解析：（1）令f（x）＝x2－x＝0，即x＝0或x＝1，所以f（0）＝0，f（1）＝0，因为函数的最小正周期为2，所以f（2）＝0，f（3）＝0，f（－2）＝0，f（－1）＝0，f（－3）＝0，所以函数y＝f（x）的图象在区间[－3，3]上与x轴的交点个数为7. （2）由奇函数可知f（2－x）＝f（x）＝－f（－x），即f（x＋2）＝－f（x），f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），则f（x）是周期为4的周期函数，又由f（2－x）＝f（x），得f（x）的图象关于直线x＝1对称，作出函数y＝｜log9x｜与函数y＝f（x）的大致图象如图所示，结合图象可知，共有5个交点，即方程实根的个数为5. 考点3 【例3】　（1）C　（2）D　解析：（1）函数f（x）＝（ ）｜x｜＋m－1有零点，则方程（ ）｜x｜＋m－1＝0有根，即（ ）｜x｜＝1－m有根，因此函数y＝（ ）｜x｜的图象与直线y＝1－m有交点，而函数y＝（ ）｜x｜是R上的偶函数，在[0，＋∞）上单调递减，函数y＝（ ）｜x｜的值域为（0，1]，在同一坐标系内作出函数y＝（ ）｜x｜的图象与直线y＝1－m，如图，观察图象知，当且仅当0＜1－m≤1，即0≤m＜1时，函数y＝（ ）｜x｜的图象与直线y＝1－m有交点，所以m的取值范围为0≤m＜1.故选C. （2）令h（x）＝f（x）－g（x）＝ax2＋a－1－cos x，x∈（－1，1），原题意等价于h（x）有且仅有一个零点，因为h（－x）＝a（－x）2＋a－1－cos（－x）＝ax2＋a－1－cos x＝h（x），则h（x）为偶函数，根据偶函数的对称性可知h（x）的零点只能为0，即h（0）＝a－2＝0，解得a＝2，故选D. 【例4】　B　由f（x）＝3x－＝0，可得a＝3x－，令g（x）＝3x－，其中x∈（－∞，－1），由于存在x0∈（－∞，－1），使得f（x0）＝0，则实数a的取值范围即为函数g（x）在（－∞，－1）上的值域.由于函数y＝3x，y＝－在区间（－∞，－1）上均单调递增，所以函数g（x）在（－∞，－1）上单调递增.当x∈（－∞，－1）时，g（x）＝3x－＜g（－1）＝3－1＋1＝，又g（x）＝3x－＞0，所以函数g（x）在（－∞，－1）上的值域为（ 0，）.因此，实数a的取值范围是（ 0，）. 训练3　（1）D　（2）BD　解析：（1）由于函数y＝log2（x＋1），y＝m－在区间（1，3]上单调递增，所以函数f（x）在（1，3]上单调递增，由于函数f（x）＝log2（x＋1）－＋m在区间（1，3]上有零点，则即解得－≤m＜0.因此实数m的取值范围是.故选D. （2）函数f（x）＝结合二次函数和对数函数的图象和性质，作函数f（x）的图象如图所示，由图象可知，函数f（x）的单调递增区间为（－1，0）和（0，＋∞），A选项错误；h（x）的零点即函数y＝f（x）的图象和直线y＝k交点的横坐标，由图象可知，当h（x）有3个零点时，k∈（－4，－3]，B选项正确；解方程可知，当k＝－2时，h（x）有两个零点－1－和1，所有零点之和为－，C选项错误；当k∈（－∞，－4）时，函数y＝f（x）的图象和直线y＝k有1个交点，即h（x）有1个零点，D选项正确. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $