第2章第7节对数与对数函数(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word

2026-06-23

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第7节　对数与对数函数

1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.

2.通过具体实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，了解对数函数的单调性与特殊点.

3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数（a＞0，且a≠1）.

知识梳理

1.对数式的运算

概念	如果　　　　（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝　　，其中a叫做对数的　　　，N叫做
性质	对数式与指数式的互化：ax＝N⇔
	负数和0没有对数
	1的对数是　　　　：loga1＝
	底数的对数是　　　　：logaa＝
	对数恒等式：＝
运算性质	loga（MN）＝	a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0
	loga＝
	logaMn＝　　　　（n∈R）
换底公式	logab＝（a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1）

2.对数函数及其性质

（1）定义：函数y＝　　　（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是　　　；

提醒：对数函数y＝logax的3个特征：①底数a＞0，且a≠1；②自变量x＞0；③系数为1.（2）图象与性质

底数	a＞1	0＜a＜1
图象

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性质	定义域：
	值域：R
	图象过定点　　　　，即恒有loga1＝0
	当x＞1时，恒有y＞0；当0＜x＜1时，恒有y＜0	当x＞1时，恒有y＜0；当0＜x＜1时，恒有y＞0
	在（0，＋∞）上是	在（0，＋∞）上是

提醒：当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论.

3.反函数

指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.

1.换底公式的变形

（1）logab·logba＝1，即logab＝（a，b均大于0且不等于1）；

（2）lobn＝logab（a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R）.

2.对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，－1），函数图象只在第一、四象限.

3.对数函数的图象与底数大小的比较

如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.

诊断自测

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）log2x2＝2log2x.（　　）

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（2）函数y＝log2（x＋1）是对数函数.（　　）

（3）对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）在（0，＋∞）上是增函数.（　　）

（4）函数y＝loga（x－1）＋2（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，2）.（　　）

（5）函数y＝logax与y＝lox（a＞0，且a≠1）的图象关于x轴对称.（　　）

2.函数f（x）＝＋ln（x－1）的定义域为（　　）

A.（1，＋∞） B.（1，2）∪（2，＋∞）

C.（－∞，1） D.（0，2）∪（2，＋∞）

3.下列运算正确的是（　　）

A.lg 2＋lg 3＝lg 5

B.log34·log43＝0

C.2lg －lg ＝2

D.lg 1－ln e2＋＝4

4.设a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则a，b，c的大小关系为（　　）

A.a＞b＞c B.c＞b＞a

C.b＞c＞a D.a＞c＞b

5.已知log0.7（2m）＜log0.7（m－1），则m的取值范围是　　　　.

	对数的运算
（基础自学过关）

1.若2a＝3，3b＝5，5c＝4，则log4（abc）＝（　　）

A.－2 B.

C. D.1

2.（2025·山东临沂二模）已知实数x，y满足log2（log3x）＝log3（log2y）＝1，则x＋y＝（　　）

A.11 B.12

C.16 D.17

3.（2024·全国甲卷15题）已知a＞1且－＝－，则a＝　　　　.

4.计算下列各式：

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