3.1.1 函数的概念-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

第三章 a P=20+2w 函数的概念与性质 3.1.1 函数的概念 明学习目标 知结构体系 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应 定义域 课标 关系刻画函数，建立完整的函数概念， 函数的 概念 值域 要求 2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用. 数的 对应关系 3了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域. 函数相等 重点 重点：函数的概念及其三要素 念 区间 难点 难点：抽象出函数概念，理解函数的对应关系 抽象函数与复合函数 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)函数的概念 :(二)区间 般地，设A,B是非空的 ,如果对于集 设a,b∈R,且a<b,规定如下： 合A中的 ,按照某种确定的对应关 定义 名称 符号 数轴表示 概念 系f,在集合B中都有 确定的数y和它对 应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一 ir a<r<b 闭区间 。古 个函数 对应关系 y=f(x),x∈A ixa<x<b 开区间 定义域 的取值范围 三要素 与x的值相对应的y的值的集合 半开半 值域 {xa≤x<b 闭区间 [即学即练] 半开半 ra<r<b 闭区间 1.已知函数f)=,则日)等丁 {xx≥a) [a,+o∞) C.a D.3a 2.函数y=√x-1的定义域是 {xx>a》 (a,+o∞) 3.(1)在函数的概念中，如果函数y=f(x)的定义 域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？ {xx≤a) (-o∞，a] (2)如果函数y=f(x)的定义域、值域确定，那 么对应关系确定吗？ (rlr<a) (-o∞，a) R (-∞，十∞) 39 数学必修第一册 [即学即练] :[即学即练] 1.区间[1,2)表示的集合为 :1.已知四组函数： 2.{x|0<x<1或2≤x≤4}用区间表示为 ①f(x)=x,g(x)=(x)2; (三)同一个函数与常见函数的值域 ②f(x)=xg(x)=π3； 1.同一个函数的概念 ③f(n)=2n-1,g(n)=2n+1(n∈N); (1)前提条件：①定义域 ;②对应关系 ④f(x)=x2-2x-1,g(t)=2-21-1. 其中是同一个函数的是 (2)结论：这两个函数为同一个函数. A.没有 B.仅有② 2.常见函数的值域 C.②④ D.②③④ (1)一次函数f(x)=ax十b(a≠0)的定义域为2.下表表示y是x的函数，则函数的值域是 R,值域是R. (2)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的定义 域是R, x<2 2x3 x>3 当a>0时，值域为4c二 ,十∞ y -1 0 1 当a<0 4a A.{y-1≤y≤1》 B.R 时，值域为 C.{y2≤y≤3} D.{-1,0,1} 关键能力·合作探究 讲练设计探究重，点 题点一 函数关系的判断 [典例1]判断下列对应是否为集合A到集合B 对点训练 的函数 :1.(多选)下列对应关系是集合A到集合B的函 (1)A=R,B={yy>0},f:x→y=|x|; 数的是 ( (2)A=Z,B=Z,f:x-y=x2; A.A=R,B={y|y≥0}，f:x→y=|x (3)A=Z,B=Z,f:x→y=x; B.A=Z,B=Z,f:x→y=x2 (4)A={x|-1≤x≤1}，B={0},f:x→y=0. C.A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的数开方 听课记录 D.A={x|-1≤x≤1}，B={0},f:x→y=0 2.下列可以表示以M={x0≤x≤1}为定义域， 以N={y0≤y≤1}为值域的函数图象是 ……/方法技巧/ 1x0 1.判断一个对应关系是否为函数的方法 两非空实数集A,B 题点二求函数的定义域 函数 的概念 对一或多对一 作出判断 [典例2](1)求下列函数的定义域： A中不能有剩余元素 ①f(x)=√x+2·√x+5; 2.根据图形判断对应关系是否为函数的方法 ②f(.x)= x-4 (1)任取一条垂直于x轴的直线1； x-51 (2)在定义域内平行移动直线1； ③f(x)=√2x+3- 1+1 (3)若1与图形有且只有一个交点，则是函 2-xx 数；若在定义域内没有交点或有两个或两个 (2)已知f(x+1)的定义域为(2,4). 以上的交点，则不是函数， ①求f(x)的定义域；②求f(2x)的定义域. 40 第三章函数的概念与性质 听课记录 题点三求函数值、值域 [典例3](1)设f(x)=2x2+2,g(x)= 1 x+2 ①求f(2),f(a+3),g(a)+g(0)(a≠-2)， g(f(2)): ②求g(f(x). (2)求函数y=2x十√1-3.x的值域. /方法技巧/ 听课记录 求函数定义域时，要注意应用下列原则 (1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实 数集R (2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使 分母不等于零的实数的集合 (3)如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域 是使根号内的式子不小于零的实数的集合. (4)如果f(x)是由几部分构成的，那么函数的 定义域是使各部分都有意义的实数的集合，也 就是使各部分有意义的实数的集合的交集· /方法技巧/ (5)如果f(x)是根据实际问题列出的，那么函 1.求函数值的方法及关注点 数的定义域是使解析式本身有意义且符合实 (1)方法：①已知∫(x)的解析式时，只需用 际意义的实数的集合 a替换解析式中的x即得f(a)的值；②求 (6)复合函数的定义域就是使所有式子都有意 f(g(a)的值应遵循由里往外的原则. 义的自变量的取值范围，注意相同的对应关系 (2)关注点：用来替换解析式中x的数a必 所作用对象的范围是二致的， 须是函数定义域内的值，否则求值无意义 对点训练 2.求函数值域的常用方法 (1)观察法：通过对解析式的简单变形和观 1.函数f)=2的定义域为 察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数 x27 的值域 A》 (2)配方法：若函数是二次函数形式，即可化 B.{xx>1} 为y=ax2十bx十c(a≠0)型的函数，则可通 过配方再结合二次函数的性质求值域，但要 2<x<1或>} 注意给定区间的二次函数最值的求法， D{-1≤≤号或x>1} (3)换元法：通过对函数的解析式进行适当 换元，可将复杂的函数化归为简单的函数， 2.求下列函数的定义域： 从而利用基本函数自变量的取值范围求函 y=(x-1)°+2 数的值域。 Vx+1; (4)分离常数法：此方法主要是针对分式函 (2=x+1)+=元 x+1 数，即将分式函数转化为“反比例函数”的形 式，便于求值域 对点训练 1.设函数f(.x)=一6 x+2 则当f(x)=2时，x的取 值为 A.-4 B.4 C.-10 D.10 41 数学必修第一册 2.求下列函数的值域： 听课记录 ay=-1:2y-号：8y= x-1 (x>1);(4)y=2.x-WJx-1. …/方法技巧/ 判断两个函数为同一个函数应注意的三点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相 同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相 同，也不一定是同一个函数 (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用 什么字母表示自变量、因变量是没有限制的， 题点四同一个函数的判断 (3)在化简解析式时，必须是等价变形 [典例4幻下列各组中的两个函数是否为同一个 函数？ 对点训练 (1)f(x)=2,gx)=（)2; 下列四组函数中，表示同一函数的是( (2)f(x)=x2,g(x)=(.x+1)2 A.f(x)=x|,g(x)=√x2 (3)f(x)=2-1 x+1g(x)=x-1; B.f(x)=x2和g(x)=(x十1)2 ④)f(x)=x+子g0=1+ 1 C.f(x)=2-1 x+1g(x)=x-1 D.f(x)=√x十I·√x-I,g(x)=√Jx2-1 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.若函数f(2x十1)=x2-2x,则f(2)=( 国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定 A.-1 B.- 义，已知集合M={-1,1,2,4},N={1,2,4, 16},给出下列四个对应法则，请由函数定义判 c D.1 断，其中能构成从M到N的函数的是( 2.已知函数f(x)的定义域为[2,8]，则函数h(x) A.y=2x B.y=x+2 C.y=x D.y=x2 =f(2x)+√/9-x2的定义域为 A.[4,16] B(1]0[3,+o∞)5.已知函数fx)=二7(>10，gx)=月 C.[1,3] D.[3,4] (x≥2)，若存在函数F(x),G(x)满足：F(x)= 3.若函数f(x)=(a2-2a-3)x2+(a十1)x十2 的定义域和值域都是R,则a的值为 ( 11·g).9=g,学生甲认为函 A.3或-1 B.3 数F(x),G(x)一定是同一个函数，乙认为函数 C.-1 D.不确定 F(x),G(x)一定不是同一个函数，丙认为函数 4.(多选)中国清朝数学家李善兰在1859年翻译 F(x),G(x)不一定是同一个函数，观点正确的 《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿 学生是 用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变 数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美 温馨提示 请做课时分层检测（十四） 42当且仅当x十3y=√2(x-y)时，等号成立，：(2)由题意可得-40.x2十800x十60000> 因此3十的最小值为32] 2 63840,即x2-20.x+960,解得8<x12. ②委优品数有老又，只务{一0 因为x∈N,所以x=9或x=10或x= 解得x≥4且x≠5， 2.B「因为实数x,y满足x2十4y2=1,为使！ 11,则300十10.x=390或400或410. .函数的定义域为(xx≥4且x≠5} xy取得最大值，必有x,y同号，因为x2十 故每辆汽车的出租价格可定为390元或： ,2x+3≥0， 400元或410元 4y-1≥2√2·4y=4xy,当且仅当x=:2.解(1)设每件定价为t元， ③要使函数有意义，则2一x>0, (x≠0， I= 2y,即 2, 时，等号成 依题意得(8-气5×0.2）≥25×8，整型 解得-受<<2，且x≠0， 得t一65十1000≤0，解得25≤140，所 y= 4 y= 4 以要使销售的总收入不低于原收入，每件： 故定义城为[-号0）U0,2》. 定价最多为40元， 立，所以xy≤ ,因此xy的最大值 (2)依题意知当x>25时，不等式ax≥25X (2)①f(x十1)的定义域为(2,4)， ,.2<x<4,则3<x十1<5，即f(x)的定义 为子 8+50+ 6(x2-600)+5x成立， 城为(3,5) 学价于>25时≥0+合叶号有解， ②.f(x)的定义域为(3,5)， 3.A(3+日)(1+号) 2 3a+a十b 5 由3<2<5得号<<号， +2a+2b_4a+b.2a+3b 由于150+1 b 6x=10, 8a2+3b2+14ab 即f(2)的定义城为（号，） ab 当且仪当=言，即工=30时等号成立对怎训续 =14+8·+3b 所以a≥10.2. 1.C [要使函数有意义，自变量工的取值必 b ! 故当该商品明年的销售量a至少达到10.2 须满足2二10：解得≥立·即x≥ ≥14+28·3 x2-1≠0， x≠土1， b 价为30元. =14十46.当且仅当8-时取等号.] 1 第三章函数的概念与性质 且x≠1，故选C] 4.D[由于x十4y-xy=0,即x十4y=xy,! 3.1.1函数的概念 2.解(1)要使函数有意义 等式两边同时除以y得4+】 =1,由基必备知识，自主梳理 一1≠0， (一)实数集任意一个数x唯一x 当且仅当 2 本不等式可得x+y=(x+y)fxEA} 千行≥0，解得>-1且x≠1， y·之[即学即练 x十1≠0 3 所以这个函数的定义域为{xx>一1 且x≠1}. +5=9,当且仅当4y=工，即当x=2y时 (2)要使函数有意义，自变量x的取值必须 等号成立.因此m≤9.] .{xx≥1}[只需满足x-1≥0，∴x≥1.] 题型三 3.提示：(1)确定，一一对应. 满足{8：解得≤1且≠-1， 1.C[,不等式a.x2十bx十2>0的解集是 (2)不确定，例如函数的定义域为A一 即函数定义域为{xx1且x≠一1}， { 日<}号是方树 {-1,0,1},值域为B-(0,1},则对应关系：[典例3]解(1)①因为f(x)=2x2+2, f(x)=x2或f(x)=x均可. 所以f(2)=2×22+2=10, .x2十bx十2=0的两个实数根，且a<0. (a,b)La,b)(a,b b 即学即练] f(a+3)-2(a+3)2+2-2a2+12a+20. 2 3 a '解得=-12,1.12 [根据区间的定义，可表示 因为g(x) x+2 2、 1 2 1b=-2, 为{x1x2}, 1 a 2.(0,1)U[2:41 :(三)1.(1)相同相同 ∴.b-a=10,] 所以g(a)十g(0)=a千20十2a+2 [即学即练 2.B[令a2一9=0，解得a=士3. 当4=3时，不等式化为6证-0，解得≥ [对于第一组，定义域不同：对于第三 2 (a≠-2)， 组，对应关系不同；对于第二、四组，定义域 6,不合题意，舍去；当a=-3时，不等式 与对应关系都相同. g(f(2)=(10)=10+2-12 2.D[由表格知，对应的y的值为-一1,0,1， 化为一1≥0，无解，符合题意.当a2一9≠0，！故选D.1 即a≠士3时，因为(a2-9)x+(a十3)·关键能力·合作探究 ②g(f(x)=f)+2= 2x2+2+2 x-1≥0的解集是室集，所以(a一9)x2+典例1了解(1)A中的元素0在B中没有 (a+3)x 1<0恒成立，所以对应元素，故不是集合A到集合B的函数. 2.x2+4 (a2-90, (2)对于集合A中的任意一个整数x,按照 > △=(a十3)2+4(a2-9)<0 对应关系f:→y=x2在集合B中都有唯 (2)设1=√1-3x(≥0)，则x=1一1 3 3<a3, 一3<a<号，解得-3<a<号综上得， 9 个确定的整数x2与其对应，故是集合 A到集合B的函数 所以21与+=-号(-是-） 3 ( (3)集合A中的负整数没有平方根，在集合！ 实数a的取值范周是a -3a<号}月 B中没有对应的元素，故不是集合A到集！ 合B的函数 号[-子)] 3.解(1)依题意，可得方程ax2+5x-2=0; (4)对于集合A中任意一个实数x,按照对 应关系f:x→y=0在集合B中都有唯一 因为20，且-3 <0, 的两个实数根为 2 和2，且a<0. 个确定的数0和它对应，故是集合A到集！ 所以当1是时，y取最大值为引，即 由根与系数的关系，得 22- -2 合B的函数 :对点训练 1.ABD [选项A,B,D中对A中任意实数 +2= 5 x,按给定的对应关系，在集合B中都有！ 解得a=-2. 唯一实数y与之对应，因此远项A,B,D符！ 合函数的定义 所以画教的值城为（一] (2)将a=-2代入不等式，得中2>3， x+1 产中有对点调练 即1女2 之对应，不符合函数的定义 -3>0, 2. [根据题意，依次分析选项.对于A,其对， .C[令日-2，则x=-10,选C] x+1 整理得（2>0，即(z+1)(红+2)<0. 应函数的值域不是N=(y0≤y≤1)，A错2.解(1)（直接法）√≥0， 误：对于B,其对应函数的定义域不是{x x+1 0≤r≤1，B错误；对于C,其对应函数的定： ∴.√x-1≥-1， 解得一2<x< 一1 义城为M=x0x1,值城是N= ∴.y=√-1的值战为[-1，十∞). 则不等式的解集为{x一2<x<一1}. (y0≤y≤1}，C正确；对手D,图象不满足 题型四 个工对应唯一的y,该图象不是函数的图！ (2)(分离常数法)y-2士1-2(x-3)+7 x-3 x-3 1.解(1)由题意可得每辆车一天的租金为 象，D错误.故远C」 故该汽车租贫公司每天的收入v80+典例2) (300十10x)元，租出的车辆为(200一4x)辆， 解(1)①要使函数有意义，只需 =2+7 x3' 10x)(200-4x)=-40x2+800.x十60000(1： {8:解得2一2，品餐的定义盟 x50,x∈N). 为xx≥-2}. 显然30，所以≠2： 故函数的值域为（一∞，2）U(2,十∞). 263 (3)(基本不等式法)由x>1,知x-1>0. 则y=+8-x-1)+2x-1)+9 3.1.2函数的表示法 (2)作出y=是，x∈[号，+∞）的图象如 x-1 x1 图②所示，其值域为(0,2] 第一课时函数的表示法 =(x-1)+ -+2≥2/(x-1). 9 x一必备知识·自主梳理 +2=8. :数学表达式 表格图象 当且仅当x-1 一，即x=4时，上式取[即学即练 620.名4632可12 2 “=” 1.32.f(x)-x+1 ·关键能力·合作探究 y-士8(>1)的最小值为8. 图① [典例1]解（1)列表法： 图② x-1 /台 3 5 :[典例3]解(1)法一：令t=√元十1≥1，则 故函数y=十8的值城为[8，十6∞) x=(f一)-. x-1 v/元 3000 6000 9000 12000 15000 所以f(t)=(t-1)2+2=2-2+3, (4)(换元法)设t= yt /台 6 10 即f(x)=x2-2x十3(x≥1). √x-1,则t≥0，且x 法二：因为f(√无+1)=x+2 =2+1, 5 /元1800021000240002700030000 所以v=2(t2+1)-t (2)图象法： =(元+1)2-2（√F+1)+3WF+1≥1， =2(-)+, 30000/元 所以f(x)=x2一2.x十3(x≥1). 2 (2)因为函数f(x)为一次函数， 由≥0，结合函数的图 设f(x)=ax+b(a≠0)，因为f(f(x) 象得原画数的位线为[背十∞) 所以a(a.x十b)+b=a2x+ab+b=4.x-1, 3000 典例4]解(1)函数f(x)=√x2=x的： 01 10x/台 则-4， 定义域为R,函数g(x)=(√工)定义域为 (3)解折法：y=3000x,x∈{1,2,3， {a6+6一1，解得=2， b=1, [0,十∞)，定义域不同，对应关系也不同， 10}. 不是同一个函数， 对点训练 所以f(x)=-2x+1或f(x)=2x- 3 (2):函数f(x)=x2,g(x)=(x十1)2对1.C[f(g(1))=f(1)=4,f(g(2))= 应法则不同，即解析式不同，∴两个函数不 f(1)=4,f(g(3))=f(3)=2, (3)调为fx)-2()F=-1,x>0 是同一个函数，即函数f(x)与g(x)不是同！ f(g(4))=f(3)=2,所以值域为} ① 一个函数 3)f)=g()=正-1，由于2解，很题意，设人1一6月份的月经济收入 f4,2},远C. 所以() -2f(x)· 1 ② 分别是：1000元，2000元，4000元，8000 f(x)的定义域为{xx≠-1}，g(x)的定义 ①②联立方程组可解得f(x)= 1 域为R,两函数定义域不同，·两个函数不！ 元，16000元，32000元.孩人1~6月份的 是同一个函数 月经济收入y(元)与月份序号x的函数关 (x>0) 系如下： 对点训练 (4)函数f()=x+与g()=1+的 (1)表格形式： 1. 号x2+3x+1[由已知可得 定义域都为（一∞，0）U(0,+∞)，且对应} r(月份)1 2 3 5 6 关系也相同，是同一个函数 (2f(x)+3f(-x)=2x2-3x+5, 对点训练 y(元)10002000100080001600032000 2f(-x)+3f-(-x)]=2(-x)2-3(-x)+5 A [对于A项，g(x)=√F=x与f(x) (2)图象形式： 解得)=号2+3x+1.] 工定义域、对应关系分别对应相同，是： 1y/元 2.解(1)设f(x)=a.x2+bx+c(a≠0)，则 同一函数 32000 ·(6,32000) 远项B中，对应关系不同，不是同一函数. `、 f(x十1)十f(x)=2a.x2+(2a+2b)x十a+ 选项C中，f(x)定义战{xx∈R且x≠！ b+2c=2x2-2x-3. 一1}，g(x)的定义域为R,不是同一函数. 2a=2, a=1, 选项D中，f(x)定义城为1，+∞)g(x日 所以)2a十2b=-2,解得)b=-2, 定义域为{xx一1或x≥1}，两函数定义 (a+b+2c=-3, c=-1. 城不同，不是同一函数.门] 从而f(x)=x2-2x-1. 素养演练·提升技能 16000 ●(5.16000) 1.B[因为函数f(2x+1)=x2-2x,令2x ②(-)=+是-(-）+2 十1=2，解得x= 合所以f2)=(） 8000 ●(4,8000) 令t=x一 4000 -2×号= ∴.f(t)=t2十2，.fx)=x2+2(.x≠0). 4·] 1,1000)·(3,4000) 。(2,2000) 2.C[由题意可知，函数f(x)的定义域为！ O123456x/月份 (3)“fx)+2f(）=x,0 2.五 8,则函数h(x)的定义域满足 2≤2≤8，则1≤x≤3，所以函数h(x)的 (3)解析式形式：y=1000X2-(1≤x≤ 用士代替x得f(）+21)=士@ 9-x2≥0， 6,x∈N'). 定义域为[1,3].] :[典例2]解(1)当x∈「0,2]时，图象是直 3.B[当a -2a一3≠0时，f(x)是二次函： 线y=2x十1的一部分.如图①所示，由图： 0), 数，当其定义域是R时，值域不是R,不符 象知函数的值域为[1,5]. 合题意.当a2-2a-3=0时，解得a=-1 (2)当x∈[2，十∞)时，图象是反比例函数 .函数f(x)的解析式为f(x)= 品 或a=3,若a= 一1，则f(x)=2,是常数函： (x≠0). 数，值域为{2}，不符合题意；若a=3,则 y= 2的一部分如图②所示，由图象知函素养演练·提升技能 (x)=4x2,其图象是一条直线，值域为 ,.(8 数的值域为(0,1门· 一段时间，该同学骑行共享单车由 R,符合题意 宾馆往长城方向，前进了akm,则该同学离 4.C 在A中，当x=4时，y=8N,故A (3)当-2≤x≤2时，图象是抛物线y=x2 起点（宾馆）的距离s与时间的函数图 错误；在B中，当x=1时，y一3任N,故B以 十2x的一部分.如图③所示，由图象知函！ 应是直线，且是上升的：第二段时间休息 入 错误；在C中，任取x∈M,总有y ∈ 数的值域为[一1,8]. 半小时，随时间变化，该同学离起点的距离 N,故C正确：在D中，任取x∈M,总有！ 并没有发生变化，因此该同学离起点（宾 y=x2∈N,故D正确.门] 馆)的距离s与时间t的函数图象应是 5.甲[.f(x)= x>10,g(- 横线：第三段时间，原路返回，其距离起 应越来越近，因此该同学离起点（宾馆）的 与时间t的函数图象应是直线，且 (x≥2)，f(x)= -(x>1). 距离 是 下降的：第四段时间，调转车头继续向长 方向前进，该部分对应的图象应和第一段 ,.F(x)= =x(x≥2)， 可12 012 时间的相似.因此只有C远项符合，] G 图② -lg().G(2_ 图① 2 (x≥2)对点训练 图③ 2.D[∈(-∞1f(z)-1, x-1 解(1)作出v -2.x+1,x∈(-2，-1， 则10f()=10,f(10()） 解得G(x)=(x≥2)，F(x)=G(x)=√ 0,1,2}的图象如图①所示，其值域 f(10), （x≥2).故观，点正确的学生是甲. 为(5,3,1，-1，-3). 又.10∈[2，十o∞)，∴.f(10)=3,故选D.] 264