第2章 第6节 指数与指数函数(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word

该高中数学高考复习学案系统梳理了指数与指数函数专题，涵盖根式与有理数指数幂的概念运算、指数函数的定义图象及性质应用，按“概念-运算-性质-应用”逻辑层次构建知识网络，通过填空式知识梳理和问题链设计，引导学生自主关联指数幂运算性质与函数单调性，形成完整认知框架。 亮点在于诊断性自测与分层考点训练，开篇5道正误判断及选择诊断题帮助学生定位薄弱点，考点模块含基础自学、师生共研、定向突破三级训练，结合高考真题演练培养数学思维与运算能力。每个考点配方法指导（如比较指数式大小技巧）和反思总结表，助力学生自主提升，教师可依学情精准辅导，实现个性化复习。

第6节　指数与指数函数 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象. 3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用. 知识梳理 1.根式与有理数指数幂 （1）根式 ①如果xn＝a，那么　　　叫做a的n次方根； ②式子叫做　　　　，这里n叫做根指数，a叫做被开方数； ③（）n＝　 　.当n为奇数时，＝　 　；当n为偶数时，＝｜a｜＝ （2）有理数指数幂 概 念 正分数指数幂：＝　　　 a＞0，m，n∈N*，n＞1 负分数指数幂：＝＝　　　 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 运算 性质 aras＝ar＋s a＞0，b＞0，r，s∈Q （ar）s＝ars （ab）r＝arbr 2.指数函数的概念 函数y＝　　　　（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数. 提醒：形如y＝kax，y＝ax＋k（k∈R且k≠0，a＞0且a≠1）的函数叫做指数型函数，不是指数函数.　 3.指数函数的图象与性质 底数 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域为　　　　，值域为　　　　 图象过定点　　　 当x＞0时，恒有y＞1；当x＜0时，恒有0＜y＜1 当x＞0时，恒有0＜y＜1；当x＜0时，恒有y＞1 　　　　函数 　　　　函数 提醒：指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质跟a的取值有关，应分a＞1与0＜a＜1来研究. 1.函数y＝ax与y＝（ ）x（a＞0，且a≠1）的图象关于y轴对称. 2.作指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象，应抓住三个关键点：（1，a），（0，1），（ －1，）.　 3.底数a的大小决定了指数函数图象相对位置的高低，不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”. 诊断自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）＝－4.（　　） （2）分数指数幂可以理解为个a相乘.（　　） （3）函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数.（　　） （4）函数y＝ax＋2（a＞0，且a≠1）过定点（0，2）.（　　） （5）若am＜an（a＞0，且a≠1），则m＜n.（　　） 2.若函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）满足f（2）＝81，则f（ －）＝（　　） A.± B.±3 C. D.3 3.下列各式正确的是（式中字母均是正数）（　　） A.＝－ B.（＝36 C.若m8＝2，则m＝ D.＝2－π 4.（2026·黑龙江绥化高一月考）已知两个指数函数y＝ax，y＝bx的部分图象如图所示，则（　　） A.0＜b＜a＜1 B.0＜a＜b＜1 C.a＞b＞1 D.b＞a＞1 5.若函数f（x）＝ax在[－1，1]上的最大值为2，则a＝　　　　. 指数幂的运算 （基础自学过关） 1.已知3a＝2，9b＝36，则a－b＝（　　） A. B.－ C.1 D.－1 2.已知ab＝－5，则a＋b＝（　　） A.2 B.0 C.－2 D.±2 3.〔多选〕已知a＋a－1＝3，则下列选项正确的是（　　） A.a2＋a－2＝7 B.－＝±1 C.＋＝± D.＋＝2 4.化简与求值： （1）（ －（ 2）0.5＋（0.027； （2）（a＞0，b＞0）； （3）（ ×（ －）0＋×－； （4）＋（a＜b＜0，n＞1，n∈N*）. 指数幂的运算 指数函数的图象及应用 （师生共研过关） （1）函数f（x）＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（　　） A.a＞1，b＜0 B.a＞1，b＞0 C.0＜a＜1，b＞0 D.0＜a＜1，b＜0 （2）函数y＝｜3x－1｜与直线y＝m有两个不同的交点，则实数m的取值范围是　　　　. 听课记录 1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用指数型函数的图象，数形结合求解. 训练1 （1）函数y＝e－｜x｜（e是自然对数的底数）的大致图象是（　　） （2）〔多选〕（2026·江苏海门模拟）已知实数a，b满足等式2a＝3b，下列关系式中可能成立的是（　　） A.0＜b＜a B.a＜b＜0 C.b＜a＜0 D.a＝b 指数函数的性质及应用 （定向精析突破） 考向1　比较指数式的大小 （2023·天津高考3题）若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为（　　） A.c＞a＞b B.c＞b＞a C.a＞b＞c D.b＞a＞c 听课记录 比较指数式大小的方法 （1）能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； （2）不能化成同底数的，一般引入“0”“1”等中间量比较大小. 考向2　解简单的指数方程或不等式 （1）已知不等式≤（ ）x－2的解集为A，则A＝　　　　； （2）若函数f（x）＝4x－a·2x－1＋4的一个零点是0，那么它的另一个零点为　　　　. 听课记录 解指数方程或不等式的依据及方法 （1）解指数方程或不等式的依据：①af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）；②af（x）＞ag（x），当a＞1时，等价于f（x）＞g（x）；当0＜a＜1时，等价于f（x）＜g（x）； （2）解指数方程或不等式的方法：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解. 训练2 （1）（2023·全国甲卷11题）已知函数f（x）＝，记a＝f（ ），b＝f（ ），c＝f（ ），则（　　） A.b＞c＞a B.b＞a＞c C.c＞b＞a D.c＞a＞b （2）（2025·湖北武汉质检）已知p：ax＜1（a＞1），q：2x＋1－x＜2，则p是q的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 指数型函数性质的综合应用 （师生共研过关） 教材母题：〔人A必修一P161复习参考题12题〕对于函数f（x）＝a－（a∈R）， （1）探索函数f（x）的单调性； （2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？ 细研教材：由教材母题知，指数型函数的单调性及奇偶性可利用定义来进行分析判断，一般地，指数型函数f（x）＝是单调的奇函数. 变式1 若f（x）＝是奇函数，则a＝（　　） A.－1 B.0 C.1 D.±1 变式2 已知函数f（x）＝a－是R上的奇函数，则f（x）的值域为　　　　. 变式3 已知函数f（x）＝，且满足f（m2）＋f（m－2）＞0，则实数m的取值范围是　　　　. 　　涉及指数型函数性质的综合问题时，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 训练3 （1）（2023·新高考Ⅰ卷4题）设函数f（x）＝2x（x－a）在区间（0，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，－2] B.[－2，0） C.（0，2] D.[2，＋∞） （2）〔多选〕（2026·山东临沂模拟）已知函数f（x）＝＋a（a∈R），则（　　） A.f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞） B.f（x）的值域为R C.当a＝1时，f（x）为奇函数 D.当a＝2时，f（－x）＋f（x）＝2 （3）若f（x）＝ex－e－x＋x3且f（a－1）＋f（2a2）≤0，则a的取值范围为　　　　. 提示：完成课后作业　第二章　第6节 答案 第6节　指数与指数函数 【夯实必备知识】 知识梳理 1.（1）①x　②根式　③a　a　（2）　 2.ax　3.R　（0，＋∞）　（0，1）　增　减 诊断自测 1.（1）×　（2）×　（3）√　（4）×　（5）× 2.C　3.B　4.D　5.2或 【研透核心考点】 考点1 1.D　2.B　3.ABD　 4.解：（1）原式＝（ －（ ＋＝－＋0.09＝－0.16. （2）原式＝＝·＝. （3）原式＝（ ×1＋×－（ ＝2. （4）∵a＜b＜0，∴a－b＜0，a＋b＜0. ∵n＞1，n∈N*，∴当n是奇数时，原式＝（a－b）＋（a＋b）＝2a； 当n是偶数时，原式＝｜a－b｜＋｜a＋b｜＝（b－a）＋（－a－b）＝－2a. ∴＋ ＝ 考点2 【例1】　（1）D　（2）（0，1）　解析：（1）由题中f（x）＝ax－b的图象可以观察出，函数f（x）＝ax－b为减函数，所以0＜a＜1.函数f（x）＝ax－b的图象是将f（x）＝ax的图象向左平移得到的，所以b＜0. （2）函数y＝｜3x－1｜的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线y＝m的图象是平行于x轴的一条直线，图象如图所示，由图象可得，如果函数y＝｜3x－1｜与直线y＝m有两个不同的交点，则m的取值范围是（0，1）. 训练1　（1）C　（2）ABD　解析：（1）因为y＝e－｜x｜＝所以函数图象关于y轴对称，且过点（0，1），y＝e－｜x｜＞0，函数在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，故C符合.故选C. （2）作出函数y＝2x与函数y＝3x的图象（如图），当2a＝3b＞1时，根据图象得0＜b＜a，故A选项正确；当2a＝3b＝1时，根据图象得a＝b＝0，故D选项正确；当2a＝3b＜1时，根据图象得a＜b＜0，故B选项正确；b＜a＜0不可能成立，故选A、B、D. 考点3 【例2】　D　∵指数函数y＝1.01x是增函数，又0.6＞0.5，∴1.010.6＞1.010.5，故b＞a.∵幂函数y＝x0.5是增函数，又1.01＞0.6，∴1.010.5＞0.60.5，故a＞c.故选D. 【例3】　（1）[－3，1]　（2）2 解析：（1）∵（ ）x－2＝（2－2）x－2＝2－2x＋4，∴≤2－2x＋4，即x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，∴－3≤x≤1，故A＝[－3，1]. （2）依题意有f（0）＝40－a·2－1＋4＝0，解得a＝10，于是f（x）＝4x－10·2x－1＋4＝（2x）2－5·2x＋4，令2x＝t（t＞0），则函数化为y＝t2－5t＋4，令y＝0，解得t＝1或t＝4，当t＝1时，得x＝0；当t＝4时，得x＝2，所以函数f（x）的另一个零点为2. 训练2　（1）A　（2）B　解析：（1）函数f（x）＝是由函数y＝eu和u＝－（x－1）2复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－（x－1）2在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.易知f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f（ ）＝f（ 2－），又＜2－＜＜1，所以f（ ）＜f（ 2－）＜f（ ），所以b＞c＞a，故选A. （2）∵ax＜1，当a＞1时，y＝ax是增函数，∴p：{x｜x＜0}.对于不等式2x＋1＜x＋2，作出函数y＝2x＋1与y＝x＋2的图象，如图所示.由图象可知，不等式2x＋1＜x＋2的解集为{x｜－1＜x＜0}，∴q：{x｜－1＜x＜0}.又∵{x｜－1＜x＜0}⫋{x｜x＜0}，∴p是q的必要不充分条件. 考点4 教材母题　解：（1）法一（直接判断法）　因为函数y＝2x＋1在R上是增函数，又2x＋1＞0，所以y1＝在R上是减函数，所以y2＝－在R上是增函数，所以函数f（x）＝a－在R上单调递增. 法二（定义法）　f（x）＝a－（a∈R）的定义域为R，设x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝.因为x1＜x2，所以＜，即－＜0.又＋1＞0，＋1＞0，所以f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在R上单调递增. （2）法一（定义法）　因为f（x）＝a－（a∈R）的定义域为R，要使f（x）为奇函数，则f（－x）＝－f（x）在R上恒成立，即a－＝－a＋，所以2a＝＋＝2，所以a＝1，所以存在实数a＝1，使函数f（x）为奇函数. 法二（特殊值法）　由于f（x）是奇函数，且定义域为R，故f（0）＝a－＝0，解得a＝1，则f（x）＝1－，经验证符合题意，故存在实数a＝1，使函数f（x）为奇函数. 变式1　D　因为f（x）为奇函数，所以f（x）＋f（－x）＝0，即＋＝0，解得a＝±1. 变式2　（－1，1）　解析：易知a＝1，则f（x）＝1－，因为2x＋1＞1，所以0＜＜2，则－1＜1－＜1，即f（x）的值域为（－1，1）. 变式3　（－∞，－2）∪（1，＋∞） 解析：因为f（x）的定义域为R，f（－x）＝＝＝－f（x），所以f（x）为奇函数.因为f（x）＝＝1－，所以f（x）为R上的增函数.因为f（m2）＋f（m－2）＞0，所以f（m2）＞－f（m－2）＝f（2－m），所以m2＞2－m，即m2＋m－2＞0，解得m＜－2或m＞1，所以实数m的取值范围为（－∞，－2）∪（1，＋∞）. 训练3　（1）D　（2）ACD　（3）［－1，］ 解析：（1）设t＝x（x－a），易知函数y＝2t是增函数.因为f（x）＝2x（x－a）在（0，1）上单调递减，所以由复合函数的单调性可知函数t＝x（x－a）在（0，1）上单调递减.因为函数t＝x（x－a）在（ －∞，）上单调递减，所以≥1，即a≥2.故选D. （2）对于函数f（x）＝＋a（a∈R），令2x－1≠0，解得x≠0，所以f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），故A正确；当x＞0时，2x＞1，2x－1＞0，＞0，所以＋a＞a；当x＜0时，0＜2x＜1，－1＜2x－1＜0，＜－2，所以＋a＜－2＋a，综上可得，f（x）的值域为（－∞，－2＋a）∪（a，＋∞），故B错误；当a＝1时，f（x）＝＋1＝，定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），f（－x）＝＝－＝－f（x），所以f（x）＝＋1为奇函数，故C正确；当a＝2时，f（x）＝＋2＝＋1，则f（x）＋f（－x）＝＋1＋＋1＝2，故D正确. （3）显然f（x）为奇函数且单调递增，则f（a－1）＋f（2a2）≤0等价于f（a－1）≤f（－2a2），即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤，故a的取值范围为［－1，］. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $