第2章 第5节 幂函数与二次函数(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word

该高中数学高考复习学案系统梳理了幂函数与二次函数专题，将幂函数定义、图象、性质与二次函数解析式、图象、性质及一元二次方程根的分布等核心考点按“定义-性质-应用”逻辑构建知识网络，通过填空式知识梳理和问题链设计，引导学生自主归纳规律，形成完整知识框架。 亮点在于诊断性自测与分层训练设计，开篇设置5道诊断题检测基础，核心考点配备一题多解示例和分类讨论训练题，培养学生数学思维与模型观念。每个模块含反思总结任务，帮助学生自主归因提升，教师可依据学情精准指导，有效支持个性化复习与因材施教。

第5节　幂函数与二次函数 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律. 2.掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性、顶点、最值等），能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 知识梳理 1.幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数　　　　叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数； （2）常见的五种幂函数的图象 （3）幂函数的性质 ①幂函数在（0，＋∞）上都有定义； ②当α＞0时，幂函数的图象都过点　　　和　　　　，且在（0，＋∞）上单调递增； ③当α＜0时，幂函数的图象都过点　　　，且在（0，＋∞）上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为　　　　，当α为偶数时，y＝xα为　　　　. 2.二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：f（x）＝　　　　　　　　（a≠0）； （2）顶点式：f（x）＝a（x－h）2＋k（a≠0），顶点坐标为　　　　； （3）零点式：f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），x1，x2为f（x）的　　　　. 3.二次函数的图象和性质 解析式 f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0） f（x）＝ax2＋bx＋c（a＜0） 图象 定义域 R R 值域 单调性 在x∈（ －∞，－］ 上单调递减； 在x∈　　　　　上单调递增 在x∈（ －∞，－］ 上单调递增； 在x∈　　　　　上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝　　　　对称 提醒：注意二次项系数对函数性质的影响，经常分二次项系数大于零与小于零两种情况讨论. 1.幂函数的性质 （1）当x∈（0，1）时，α越大，函数值越小，其图象越接近x轴（简记为“指大图低”）；当x∈（1，＋∞）时，α越大，函数值越大，其图象越远离x轴（简记为“指大图高”）； （2）任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限； （3）任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除（1，1），（0，0），（－1，1），（－1，－1）外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点； （4）幂函数f（x）＝（m，n互质），当m为偶数时，函数为偶函数；当m为奇数，n为偶数时，函数为非奇非偶函数. 2.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 3.若f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），则当时，恒有f（x）＞0；当时，恒有f（x）＜0. 诊断自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝2是幂函数.（　　） （2）幂函数y＝xn（n＞0）在（0，＋∞）上单调递增.（　　） （3）二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R）不可能是偶函数.（　　） （4）若幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.（　　） 2.已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则f（4）＝（　　） A. B.4 C. D. 3.若函数f（x）＝4x2－kx－8在［－，］上单调递减，则实数k的取值范围是（　　） A.[2，＋∞） B.[－2，＋∞） C.（－∞，2] D.（－∞，－2] 4.若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为（　　） A.－1＜m＜0＜n＜1 B.－1＜n＜0＜m＜ C.－1＜m＜0＜n＜ D.－1＜n＜0＜m＜1 5.已知y＝f（x）为二次函数，若y＝f（x）在x＝2处取得最小值－4，且y＝f（x）的图象经过原点，则函数解析式为　　　　. 幂函数的图象与性质 （基础自学过关） 1.（2026·福建福州模拟）已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的解析式可能是（　　） A.y＝ B.y＝ C.y＝x3 D.y＝ 2.〔多选〕（2026·辽宁葫芦岛质检）已知函数f（x）＝xα（α为常数），则下列说法正确的是（　　） A.函数f（x）的图象恒过定点（0，0） B.当α＝－1时，函数f（x）是减函数 C.当α＝3时，函数f（x）是奇函数 D.当α＝时，函数f（x）的值域为[0，＋∞） 3.已知幂函数f（x）＝（3m2＋m－1）xm为偶函数，且a＝f（－2），b＝f（e），c＝f（1），则（　　） A.b＜c＜a B.c＜b＜a C.a＜b＜c D.c＜a＜b 4.（2025·广东广州模拟预测）若（m＋1）－1＜（3－2m）－1，则实数m的取值范围为　　　　. 1.对于幂函数的图象，只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. 2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 二次函数的解析式 （师生共研过关） 〔一题多解〕已知二次函数f（x）满足f（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，求二次函数f（x）的解析式. 求二次函数解析式的方法 训练1 （1）已知f（x）为二次函数，且f（x）＝x2＋f'（x）－1，则f（x）＝（　　） A.x2－2x＋1 B.x2＋2x＋1 C.2x2－2x＋1 D.2x2＋2x－1 （2）已知二次函数f（x）的图象经过点（4，3），在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f（2－x）＝f（2＋x），则f（x）＝　　　　. 二次函数的图象与性质 （定向精析突破） 考向1　二次函数的图象 （1）设函数f（x）＝x2＋x＋a（a＞0），若f（m）＜0，则（　　） A.f（m＋1）≥0 B.f（m＋1）≤0 C.f（m＋1）＞0 D.f（m＋1）＜0 （2）〔多选〕如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的一部分，图象的对称轴为x＝－1.则下面四个结论中正确的为（　　） A.b2＞4ac B.2a－b＝1 C.a－b＋c＝0 D.5a＜b 听课记录 识别二次函数图象应学会“三看” 考向2　二次函数的单调性与最值 已知函数f（x）＝x2－tx－1，若x∈[－1，2]，求f（x）的最小值g（t）. 　　二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. 训练2 （1）设abc＞0，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图象可能是（　　） （2）（2026·浙江宁波模拟）已知二次函数f（x）满足f（2＋x）＝f（2－x），且f（x）在[0，2]上单调递增，若f（a）≥f（0），则实数a的取值范围是（　　） A.[0，＋∞）　　　　B.（－∞，0] C.[0，4] D.（－∞，0]∪[4，＋∞） （3）已知函数y＝x2－3x－4的定义域是[－1，m]，值域为［－，0］，则m的取值范围是（　　） A.（0，4] B.［，4］ C.［，3］ D.［，＋∞） 一元二次方程根的分布 　　解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式（组）进行求解： （1）判别式Δ的符号； （2）对称轴x＝－与所给区间的位置关系； （3）区间端点处函数值的符号. 关于x的方程x2＋（m－3）x＋m＝0满足下列条件，求m的取值范围. （1）一个根小于2，一个根大于4； （2）有两个不相等的正根； （3）一个根在（－2，0）内，另一个根在（0，4）内； （4）两个不相等的根都在（0，2）内. 提示：完成课后作业　第二章　第5节 答案 第5节　幂函数与二次函数 【夯实必备知识】 知识梳理 1.（1）y＝xα　（3）②（1，1）　（0，0）　③（1，1）　④奇函数　偶函数 2.（1）ax2＋bx＋c　（2）（h，k）　（3）零点 3.（ －，＋∞）　（ －，＋∞）　－ 诊断自测 1.（1）×　（2）√　（3）×　（4）√ 2.A　3.A　4.D　5.f（x）＝x2－4x 【研透核心考点】 考点1 1.D　2.CD　3.D　 4.（－∞，－1）∪（ ，） 考点2 【例1】　解：法一（利用二次函数的一般式） 设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）. 由题意得解得 故所求二次函数解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7. 法二（利用二次函数的顶点式） 设f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0）. ∵f（2）＝f（－1）， ∴二次函数图象的对称轴为x＝＝. ∴m＝，又根据题意函数有最大值8，∴n＝8， ∴f（x）＝a＋8. ∵f（2）＝－1，∴a＋8＝－1，解得a＝－4， ∴f（x）＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三（利用二次函数的零点式）　由已知f（x）＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f（x）＋1＝a（x－2）（x＋1）（a≠0）， 即f（x）＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值8，即＝8. 解得a＝－4或a＝0（舍去）， 故所求函数解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7. 训练1　（1）B　（2）x2－4x＋3 解析：（1）（一般式）　设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），则f'（x）＝2ax＋b，由f（x）＝x2＋f'（x）－1可得ax2＋bx＋c＝x2＋2ax＋（b－1），所以解得因此f（x）＝x2＋2x＋1.故选B. （2）（零点式）　因为f（2－x）＝f（2＋x）对x∈R恒成立，所以f（x）的对称轴为x＝2.又因为f（x）的图象在x轴上截得的线段长为2，所以f（x）＝0的两根为1和3.设f（x）＝a（x－1）（x－3）（a≠0）.又因为f（x）的图象经过点（4，3），所以3a＝3，a＝1.所以所求二次函数的解析式为f（x）＝（x－1）（x－3），即f（x）＝x2－4x＋3. 考点3 【例2】　（1）C　（2）AD 解析：（1）因为f（x）的对称轴为x＝－，f（0）＝a＞0，所以f（x）的大致图象如图所示，由f（m）＜0，得－1＜m＜0，所以m＋1＞0，所以f（m＋1）＞f（0）＞0. （2）因为图象与x 轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，B错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确. 【例3】　解：f（x）的对称轴为x＝， ①当≥2，即t≥4时，f（x）在[－1，2]上单调递减，所以f（x）min＝f（2）＝3－2t； ②当－1＜＜2，即－2＜t＜4时，f（x）min＝f（ ）＝－1－； ③当≤－1，即t≤－2时，f（x）在[－1，2]上单调递增，所以f（x）min＝f（－1）＝t. 综上，g（t）＝ 训练2　（1）D　（2）C　（3）B 解析：（1）A中，a＜0，b＜0，c＜0，不符合题意；B中，a＜0，b＞0，c＞0，不符合题意；C中，a＞0，b＞0，c＜0，不符合题意；D中，a＞0，b＜0，c＜0，符合题意，故选D. （2）由f（2＋x）＝f（2－x）可知，函数f（x）图象的对称轴为直线x＝2，又函数f（x）在[0，2]上单调递增，所以由f（a）≥f（0）可得0≤a≤4. （3） 设f（x）＝x2－3x－4＝（ x－）2－，x∈R，所以f（x）的图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程为x＝，如图所示，所以f（ ）＝－，易知f（－1）＝f（4）＝0，由图可知，要使函数y＝x2－3x－4的定义域是[－1，m]，值域为［－，0］，则m的取值范围是［，4］. 衔接教材 【例】　解：令f（x）＝x2＋（m－3）x＋m. （1）若方程x2＋（m－3）x＋m＝0的一个根小于2，一个根大于4，则 解得m＜－. 故m的取值范围为（ －∞，－）. （2）由题意得解得0＜m＜1. 故m的取值范围为（0，1）. （3）若方程x2＋（m－3）x＋m＝0的一个根在（－2，0）内，另一个根在（0，4）内， 则解得－＜m＜0. 故m的取值范围为（ －，0）. （4）若方程x2＋（m－3）x＋m＝0的两个根都在（0，2）内， 则 解得＜m＜1. 故m的取值范围为（ ，1）. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $