第2章 第5节 幂函数与二次函数(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word
第5节 幂函数与二次函数
1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律. 2.掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性、顶点、最值等），能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. |
知识梳理
1.幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数；
（2）常见的五种幂函数的图象
（3）幂函数的性质
①幂函数在（0，＋∞）上都有定义；
②当α＞0时，幂函数的图象都过点 和 ，且在（0，＋∞）上单调递增；
③当α＜0时，幂函数的图象都过点 ，且在（0，＋∞）上单调递减；
④当α为奇数时，y＝xα为 ，当α为偶数时，y＝xα为 .
2.二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：f（x）＝ （a≠0）；
（2）顶点式：f（x）＝a（x－h）2＋k（a≠0），顶点坐标为 ；
（3）零点式：f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），x1，x2为f（x）的 .
3.二次函数的图象和性质
解析式 | f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0） | f（x）＝ax2＋bx＋c（a＜0） |
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图象 |
|
|
定义域 | R | R |
值域 |
|
|
单调性 | 在x∈（ －∞，－ 上单调递减； 在x∈ 上单调递增 | 在x∈（ －∞，－ 上单调递增； 在x∈ 上单调递减 |
对称性 | 函数的图象关于直线x＝ 对称 | |
提醒：注意二次项系数对函数性质的影响，经常分二次项系数大于零与小于零两种情况讨论.
1.幂函数的性质 （1）当x∈（0，1）时，α越大，函数值越小，其图象越接近x轴（简记为“指大图低”）；当x∈（1，＋∞）时，α越大，函数值越大，其图象越远离x轴（简记为“指大图高”）； （2）任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限； （3）任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除（1，1），（0，0），（－1，1），（－1，－1）外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点； （4）幂函数f（x）＝ 2.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 3.若f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），则当 |
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝2
是幂函数.（ ）
（2）幂函数y＝xn（n＞0）在（0，＋∞）上单调递增.（ ）
（3）二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R）不可能是偶函数.（ ）
（4）若幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.（ ）
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2.已知幂函数y＝f（x）的图象过点
，则f（4）＝（ ）
A.
B.4
C.
D.
3.若函数f（x）＝4x2－kx－8在［－
，］上单调递减，则实数k的取值范围是（ ）
A.[2，＋∞） B.[－2，＋∞）
C.（－∞，2] D.（－∞，－2]
4.若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为（ ）
A.－1＜m＜0＜n＜1
B.－1＜n＜0＜m＜
C.－1＜m＜0＜n＜
D.－1＜n＜0＜m＜1
5.已知y＝f（x）为二次函数，若y＝f（x）在x＝2处取得最小值－4，且y＝f（x）的图象经过原点，则函数解析式为 .
| 幂函数的图象与性质 |
（基础自学过关） | |
1.（2026·福建福州模拟）已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的解析式可能是（ ）
A.y＝ B.y＝
C.y＝x3 D.y＝
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