第2章 第4节 函数的对称性及应用(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word

第4节　函数的对称性及应用

知识梳理

1.奇函数、偶函数的对称性

（1）奇函数的图象关于　　　　对称，偶函数的图象关于　　　　对称；

（2）若f（x＋a）是偶函数，则函数f（x）图象的对称轴为　　　　；若f（x＋a）是奇函数，则函数f（x）图象的对称中心为　　　　.

2.若函数y＝f（x）满足f（a－x）＝f（a＋x），则函数的图象关于直线　　　　对称；若函数y＝f（x）满足f（a－x）＝－f（a＋x），则函数的图象关于点　　　　对称.

3.两个函数图象的对称

（1）函数y＝f（x）与y＝f（－x）关于　　　对称；

（2）函数y＝f（x）与y＝－f（x）关于　　　对称；

（3）函数y＝f（x）与y＝－f（－x）关于　　　对称.

诊断自测

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）若函数y＝f（x）是奇函数，则函数y＝f（x－1）的图象关于点（1，0）对称.（　　）

（2）若函数y＝f（x＋1）是偶函数，则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称.（　　）

（3）函数y＝5x与y＝5－x的图象关于x轴对称.（　　）

（4）若函数f（x）满足f（2＋x）＝f（2－x），则f（x）的图象关于直线x＝2对称.（　　）

2.函数f（x）＝图象的对称中心为（　　）

A.（0，0） B.（0，1）

C.（1，0） D.（1，1）

3.已知定义在R上的函数f（x）在（－∞，2）上单调递增，且f（x＋2）＝f（2－x）对任意x∈R恒成立，则（　　）

A.f（－1）＜f（3） B.f（0）＞f（3）

C.f（－1）＝f（3） D.f（0）＝f（3）

4.若偶函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f（x）＝2x－1，则f（－1）＝　　　　.

5.已知函数y＝f（x）的图象经过点P（1，－2），则函数y＝－f（－x）的图象必过点　　　　.

 

 

 

 

考向1　轴对称

（1）已知函数f（x－1）为偶函数，且函数f（x）在[－1，＋∞）上单调递增，则关于x的不等式f（1－2x）＜f（－7）的解集为（　　）

A.（－∞，3） B.（3，＋∞）

C.（－∞，2） D.（2，＋∞）

（2）已知函数f（x）（x∈R）满足f（4＋x）＝f（－x），若函数y＝｜x2－4x－5｜与y＝f（x）图象的交点分别为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则所有交点的横坐标之和为（　　）

A.0 B.m

C.2m D.4m

听课记录                                                                                                                                       

                                                                          

考向2　中心对称

（1）（2026·江西九江模拟）设函数f（x）＝ax3－x－3＋a，若函数f（x－1）的图象关于点（1，0）对称，则a＝（　　）

A.－1 B.0

C.1 D.2

（2）〔一题多解〕（2024·新高考Ⅰ卷18题节选）已知函数f（x）＝ln＋ax＋b（x－1）3.证明：曲线y＝f（x）是中心对称图形.

训练1 （1）已知函数f（x）＝3｜x－a｜＋2，且满足f（5＋x）＝f（3－x），则f（6）＝（　　）

A.29 B.11

C.3 D.5

（2）已知函数f（x）的定义域为R，f（x）的图象关于点（1，0）中心对称，f（2x＋2）是偶函数，则（　　）

A.f（0）＝0 B.f（ ）＝0

C.f（2）＝0 D.f（3）＝0

（3）（2026·江苏扬州模拟）已知定义域为R的函数f（x）在[1，＋∞）上单调递减，且f（x＋1）为奇函数，则使得不等式f（x2－x）＜f（2－2x）成立的实数x的取值范围为　　　　.

已知函数y＝f（x）是定义域为R的函数，则函数y＝f（x＋2）与y＝f（4－x）的图象（　　）

A.关于直线x＝1对称

B.关于直线x＝3对称

C.关于直线y＝3对称

D.关于点（3，0）对称