第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word
第3节 函数的奇偶性与周期性
1.了解函数奇偶性的概念和几何意义，了解函数周期性的概念和几何意义. 2.会依据函数的性质进行简单的应用. |
知识梳理
1.函数的奇偶性
| 偶函数 | 奇函数 |
前提 | 定义域关于原点对称 | |
定义 | 一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果∀x∈D，都有 ∈D | |
且f（－x）＝ ，那么函数f（x）就叫做偶函数 | 且f（－x）＝ ，那么函数f（x）就叫做奇函数 | |
图象特征 | 关于 对称 | 关于 对称 |
2.函数的周期性
（1）周期函数：设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且 ，那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期；
（2）最小正周期：如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个 的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期.
1.函数奇偶性常用结论 （1）如果函数f（x）是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f（0）＝0；如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（｜x｜）； （2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性； （3）灵活应用奇函数的两个特殊性质 ①若f（x）为奇函数，则f（x）＋f（－x）＝0.特别地，若f（x）存在最值，则f（x）min＋f（x）max＝0； |
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②若F（x）＝f（x）＋c，f（x）为奇函数，则F（－x）＋F（x）＝2c.特别地，若F（x）存在最值，则F（x）min＋F（x）max＝2c. 2.函数周期性常用结论 对f（x）定义域内任一自变量x： （1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a（a＞0）； （2）若f（x＋a）＝ （3）若f（x＋a）＝－ （4）若f（x＋a）＝f（x＋b），则T＝｜a－b｜（a≠b）； （5）若f（x）＋f（x＋a）＝k（k为常数），则T＝2a（a＞0）； （6）若f（x）·f（x＋a）＝k（k为常数），则T＝2a（a＞0）. |
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝x2在x∈（0，＋∞）上是偶函数.（ ）
（2）若函数f（x）为奇函数，则一定有f（0）＝0.（ ）
（3）若T是函数的一个周期，则nT（n∈Z，n≠0）也是函数的周期.（ ）
（4）对于函数y＝f（x），若存在x，使f（－x）＝－f（x），则函数y＝f（x）一定是奇函数.（ ）
2.〔多选〕给出下列函数，其中是奇函数的有（ ）
A.f（x）＝x4 B.f（x）＝x5
C.f（x）＝x＋
D.f（x）＝
3.已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b＝（ ）
A.－
B.
C.
D.－
4.（2025·浙江台州一模）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝log3x，则f（－9）＝（ ）
A.－3 B.－2
C.2 D.3
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5.已知函数f（x）满足f（x＋3）＝f（x），当x∈[0，2]时，f（x）＝x2＋4，则f（2 026）＝ .
| 函数奇偶性的判断 |
（师生共研过关） | |
判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝
＋
；
（2）f（x）＝｜x＋1｜－｜x－1｜；
（3）f（x）＝
；
（4）〔一题多解〕f（x）＝
判断函数的奇偶性包括的两个必备条件 （1）定义域关于原点对称，否则为非奇非偶函数； （2）判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（f（x）＋f（－x）＝0（奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数））是否成立. 提醒：设f（x），g（x）的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. |
训练1 （1）〔一题多解〕（2024·天津高考4题）下列函数是偶函数的是（ ）
A.f（x）＝
B.f（x）＝
C.f（x）＝
D.f（x）＝
（2）〔多选〕（2026·广东深圳外国语学校月考）已知函数f（x）＝｜3－x｜，构造函数g（x）＝f（x）－f（－x），则下列关于函数g（x）的说法正确的是（ ）
A.g（x）－g（－x）是偶函数
B.g（x）＋g（－x）是偶函数
C.g（x）｜g（x）｜是奇函数
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