第2章 第2节 函数的单调性与最值(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word
第2节 函数的单调性与最值
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值. 2.理解函数的单调性、最大值、最小值的实际意义. 3.掌握函数单调性的简单应用. |
知识梳理
1.函数的单调性
（1）单调性的定义
定 义 | 要求x1，x2 | 一般地，设函数f（x）的定义域为D，区间I⊆D，如果 x1，x2∈I，当x1＜x2时 | |
要求f（x1）与 f（x2） | 都有 | 都有 | |
结论 | 函数f（x）在区间I上 ；若函数f（x）在定义域D上单调递增，则称f（x）为增函数 | 函数f（x）在区间I上 ；若函数f（x）在定义域D上单调递减，则称f（x）为减函数 | |
图象描述 |
自左向右看图象是 |
自左向右看图象是 | |
（2）单调区间的定义：如果函数y＝f（x）在区间I上 或 ，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性， 叫做y＝f（x）的单调区间.
提醒：（1）求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域；（2）“函数的单调区间为M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M.
2.函数的最值
1 / 9
学科网（北京）股份有限公司
前提 | 设函数y＝f（x）的定义域为D，如果存在实数M满足 | |
条件 | ①∀x∈D，都有 ； ②∃x0∈D，使得 | ①∀x∈D，都有 ； ②∃x0∈D，使得 |
结论 | M是函数y＝f（x）的 值 | M是函数y＝f（x）的 值 |
提醒：（1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得；（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.
1.若函数f（x），g（x）在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质： （1）在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数； （2）若k＞0，则kf（x）与f（x）单调性相同；若k＜0，则kf（x）与f（x）单调性相反； （3）函数y＝f（x）（f（x）＞0）在公共定义域内与y＝－f（x），y＝ 2.复合函数的单调性满足“同增异减”. 3.函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈I（x1≠x2），则： （1） （2） |
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝
在定义域内单调递减.（ ）
（2）对于函数y＝f（x），若f（1）＜f（3），则f（x）为增函数.（ ）
（3）若函数y＝f（x）在[1，＋∞）上单调递增，则函数f（x）的单调递增区间是[1，＋∞）.（ ）
1 / 9
学科网（北京）股份有限公司
（4）若函数f（x）在区间（1，2]和（2，3）上均单调递增，则函数f（x）在区间（1，3）上单调递增.（ ）
（5）若函数f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）在区间[a，b]上一定有最值.（ ）
2.函数y＝－
在区间[1，2]上的最大值为（ ）
A.－
B.－
C.－1 D.不存在
3.已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（ ）
A.[－1，2]∪[4，5]
B.[－1，2]和[4，5]
C.[－3，－1]∪[2，4]
D.[－3，－1]和[2，4]
4.〔多选〕下列函数在（0，＋∞）上单调递增的是（ ）
A.f（x）＝－2x＋1 B.f（x）＝x2＋1
C.f（x）＝1－ D.f（x）＝｜x｜
5.函数y＝
的单调递减区间是 .
| 函数的单调性 |
（师生共研过关） | |
（1）〔多选〕下列说法中正确的是（ ）
A.函数y＝e－x－
在（－∞，0）上单调递减
B.若f（x），g（x）都是R上的增函数，则h（x）＝f（x）＋g（x）也是R上的增函数
C.函数y＝2｜x＋1｜的单调递减区间是（－∞，－1]
D.函数f（x）＝
的单调递增区间为[1，＋∞）
1 / 9
学科网（北京）股份有限公司