第2章 第2节 函数的单调性与最值(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word

该高中数学高考复习学案系统梳理了函数单调性与最值专题，涵盖单调性定义、单调区间、最值概念及性质应用，按“定义-性质-应用”层次构建知识网络，通过诊断自测题和问题链设计，引导学生自主梳理符号语言表达与实际意义，形成完整认知框架。 亮点在于自主诊断与分层训练设计，开篇5道诊断题精准定位薄弱点，考点模块含“一题多解”“师生共研”等活动，培养数学思维与表达素养。每个考点配真题演练与方法总结，助力学生自主提升，教师可依学情数据因材施教，有效提升复习实效。

第2节　函数的单调性与最值 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值. 2.理解函数的单调性、最大值、最小值的实际意义. 3.掌握函数单调性的简单应用. 知识梳理 1.函数的单调性 （1）单调性的定义 定 义 要求x1，x2 一般地，设函数f（x）的定义域为D，区间I⊆D，如果　　　　x1，x2∈I，当x1＜x2时 要求f（x1）与 f（x2） 都有　　　　 都有　　 　　 结论 函数f（x）在区间I上　　　　　；若函数f（x）在定义域D上单调递增，则称f（x）为增函数 函数f（x）在区间I上　　　　　　；若函数f（x）在定义域D上单调递减，则称f（x）为减函数 图象描述 自左向右看图象是　　　 自左向右看图象是　　　 （2）单调区间的定义：如果函数y＝f（x）在区间I上　　　　　　或　　　　　　，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，　　　　叫做y＝f（x）的单调区间. 提醒：（1）求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域；（2）“函数的单调区间为M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M. 2.函数的最值 前提 设函数y＝f（x）的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 ①∀x∈D，都有　　　　　　； ②∃x0∈D，使得　　　　　 ①∀x∈D，都有　　　　　　； ②∃x0∈D，使得　　　　　 结论 M是函数y＝f（x）的　　　　值 M是函数y＝f（x）的　　　　值 提醒：（1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得；（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值. 1.若函数f（x），g（x）在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质： （1）在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数； （2）若k＞0，则kf（x）与f（x）单调性相同；若k＜0，则kf（x）与f（x）单调性相反； （3）函数y＝f（x）（f（x）＞0）在公共定义域内与y＝－f（x），y＝的单调性相反. 2.复合函数的单调性满足“同增异减”. 3.函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈I（x1≠x2），则： （1）＞0（或（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0）⇔f（x）在I上单调递增； （2）＜0（或（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0）⇔f（x）在I上单调递减. 诊断自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝在定义域内单调递减.（　　） （2）对于函数y＝f（x），若f（1）＜f（3），则f（x）为增函数.（　　） （3）若函数y＝f（x）在[1，＋∞）上单调递增，则函数f（x）的单调递增区间是[1，＋∞）.（　　） （4）若函数f（x）在区间（1，2]和（2，3）上均单调递增，则函数f（x）在区间（1，3）上单调递增.（　　） （5）若函数f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）在区间[a，b]上一定有最值.（　　） 2.函数y＝－在区间[1，2]上的最大值为（　　） A.－　　B.－ C.－1　　D.不存在 3.已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（　　） A.[－1，2]∪[4，5] B.[－1，2]和[4，5] C.[－3，－1]∪[2，4] D.[－3，－1]和[2，4] 4.〔多选〕下列函数在（0，＋∞）上单调递增的是（　　） A.f（x）＝－2x＋1 B.f（x）＝x2＋1 C.f（x）＝1－ D.f（x）＝｜x｜ 5.函数y＝的单调递减区间是　　　　.　 函数的单调性 （师生共研过关） （1）〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A.函数y＝e－x－在（－∞，0）上单调递减 B.若f（x），g（x）都是R上的增函数，则h（x）＝f（x）＋g（x）也是R上的增函数 C.函数y＝2｜x＋1｜的单调递减区间是（－∞，－1] D.函数f（x）＝的单调递增区间为[1，＋∞） （2）〔一题多解〕试讨论函数f（x）＝（a≠0）在（－1，1）上的单调性. 1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 2.函数单调性的判断方法 （1）定义法；（2）图象法；（3）利用已知函数的单调性；（4）导数法. 提醒：函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不能用“∪”. 训练1 （1）（2026·山西临汾适应性考试）下列函数中，满足“对任意x1，x2∈（0，＋∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”的是（　　） A.y＝x2－x B.y＝lg（x2＋1） C.y＝3｜x－1｜ D.y＝ （2）函数f（x）＝－x的单调递增区间为（　　） A.（ 0，） B.（0，1） C.（ ，＋∞） D.（1，＋∞） 函数单调性的应用 （定向精析突破） 考向1　比较函数值的大小 已知函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，[f（x2）－f（x1）]·（x2－x1）＜0恒成立，设a＝f（ －），b＝f（2），c＝f（e）（e为自然对数的底数），则a，b，c的大小关系为（　　） A.c＞a＞b B.c＞b＞a C.a＞c＞b D.b＞a＞c 听课记录 利用单调性比较函数值大小的方法 　　比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间内进行比较，或采用中间值法比较大小. 考向2　解不等式 已知函数f（x）＝ln x＋2x，若f（a2－4）＜2，则实数a的取值范围是　　　　. 听课记录 考向3　求参数的值（范围） （2024·新高考Ⅰ卷6题）已知函数f（x）＝在R上单调递增，则a的取值范围是（　　） A.（－∞，0] B.[－1，0] C.[－1，1] D.[0，＋∞） 听课记录 利用函数的单调性求参数的值（范围）的方法 （1）根据其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式（组））或先得到其图象的升降，再结合图象求解； （2）对于分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值. 训练2 （1）若f（x）是定义在（－∞，0]上的减函数，则不等式f（2x＋3）≤f（x＋1）的解集为（　　） A.［－2，－］ B.（－∞，－2）∪（ －，＋∞） C.（ －2，－） D.（－∞，－2）∪［－，＋∞） （2）（2026·四川外国语大学附中模拟）若函数f（x）＝4｜x－a｜＋3在区间[1，＋∞）上不单调，则a的取值范围为　　　　. 函数的值域（最值） （师生共研过关） 〔多选〕下列函数的值域正确的是（　　） A.当x∈[0，3）时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2，6） B.函数y＝的值域为R C.函数y＝2x－的值域为［，＋∞） D.函数y＝＋的值域为[，＋∞） 听课记录 求函数最值（值域）的常用方法 （1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； （2）数形结合法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； （3）配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题； （4）换元法：引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行“变量代换”； （5）分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和（差）的形式. 训练3 （1）（2026·辽宁大连八中高三段考）若函数y＝f（x）的值域是［，4］，则函数F（x）＝f（2x＋1）＋的值域是（　　） A.［，4］ B.［2，］ C.［2，］ D.［，］ （2）设a＞0，且a≠1，函数f（x）＝的值域为[2，＋∞），则实数a的取值范围是　　　　. 提示：完成课后作业　第二章　第2节 答案 第2节　函数的单调性与最值 【夯实必备知识】 知识梳理 1.（1）∀　f（x1）＜f（x2）　f（x1）＞f（x2）　单调递增　单调递减　上升的 下降的　（2）单调递增　单调递减　区间I 2.①f（x）≤M　②f（x0）＝M　①f（x）≥M ②f（x0）＝M　最大　最小 诊断自测 1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）×　（5）√ 2.A　3.B　4.BCD　5.（－∞，－2] 【研透核心考点】 考点1 【例1】　（1）ABC　在（－∞，0）上函数y＝e－x与y＝－都单调递减，所以y＝e－x－在（－∞，0）上单调递减，故A正确； 两增函数的和为增函数，故B正确；作出函数y＝2｜x＋1｜的图象，如图所示，由图象可知，函数y＝2｜x＋1｜的单调递减区间是（－∞，－1]，故C正确；由复合函数的单调性的判断方法“同增异减”可得f（x）的单调递增区间为（－∞，1]，故D错误. （2）解：法一（定义法） 设－1＜x1＜x2＜1， f（x）＝a（ ）＝a（ 1＋）， 则f（x1）－f（x2）＝a（ 1＋）－a（ 1＋）＝， 由于－1＜x1＜x2＜1， 所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0， 故当a＞0时，f（x1）－f（x2）＞0， 即f（x1）＞f（x2），函数f（x）在（－1，1）上单调递减； 当a＜0时，f（x1）－f（x2）＜0， 即f（x1）＜f（x2），函数f（x）在（－1，1）上单调递增. 法二（导数法） f'（x）＝＝＝－. 当a＞0时，f'（x）＜0，函数f（x）在（－1，1）上单调递减； 当a＜0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（－1，1）上单调递增. 训练1　（1）B　（2）A　解析：（1）由题意知，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，y＝x2－x在（ －∞，）上单调递减，在（ ，＋∞）上单调递增，A错误；因为x2＋1≥1，所以y＝lg（x2＋1）的定义域为R，又y＝lg t在（0，＋∞）上单调递增，t＝x2＋1在（0，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减，所以y＝lg（x2＋1）在（0，＋∞）上单调递增，B正确；y＝3｜x－1｜的定义域为R，又y＝3t在R上单调递增，t＝｜x－1｜在（1，＋∞）上单调递增，在（－∞，1）上单调递减，所以y＝3｜x－1｜在（1，＋∞）上单调递增，在（－∞，1）上单调递减，C错误；y＝＝1－在（1，＋∞）上单调递增，在（－∞，1）上单调递增，但在（0，＋∞）上不单调递增，D错误.故选B. （2）令t＝，显然t＝在[0，＋∞）上为增函数.又y＝t－t2＝－（ t－）2＋（t≥0）在上单调递增，由≤得0≤x≤，所以f（x）的单调递增区间是（ 0，）. 考点2 【例2】　D　∵f（x）的图象关于直线x＝1对称，∴f（ －）＝f（ ）.又∵当x2＞x1＞1时，[f（x2）－f（x1）]（x2－x1）＜0恒成立，∴f（x）在（1，＋∞）上单调递减.∵2＜＜e，∴f（2）＞f（ ）＞f（e），∴b＞a＞c. 【例3】　（－，－2）∪（2，）　解析：因为函数f（x）＝ln x＋2x在定义域（0，＋∞）上为增函数，且f（1）＝ln 1＋2＝2，所以由f（a2－4）＜2得，f（a2－4）＜f（1），所以0＜a2－4＜1，解得－＜a＜－2或2＜a＜. 【例4】　B　因为f（x）在R上单调递增，且x≥0时，f（x）＝ex＋ln（x＋1）单调递增，则需满足解得－1≤a≤0，即a的取值范围是[－1，0].故选B. 训练2　（1）A　（2）（1，＋∞） 解析：（1）根据题意，可得解得－2≤x≤－. （2）因为函数f（x）＝4｜x－a｜＋3在（－∞，a）上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增.又函数f（x）在区间[1，＋∞）上不单调，所以a＞1. 考点3 【例5】　ACD　对于A，y＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2，由x∈[0，3），再结合函数的图象（如图1所示），可得函数的值域为[2，6）. 对于B（分离常数法），y＝＝＝2＋，显然≠0，∴y≠2，故函数的值域为（－∞，2）∪（2，＋∞）.对于C（换元法），设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0，∴y＝2（t2＋1）－t＝2（ t－）2＋，由t≥0，再结合函数的图象（如图2所示），可得函数的值域为［，＋∞）.对于D，函数的定义域为[1，＋∞），∵y＝与y＝在[1，＋∞）上均单调递增，∴y＝＋在[1，＋∞）上为增函数，∴当x＝1时，ymin＝，即函数的值域为[，＋∞）. 训练3　（1）B　（2）（1，]　解析：（1）因为函数y＝f（x）的值域是［，4］，所以函数f（2x＋1）的值域是［，4］.令f（2x＋1）＝t∈［，4］，则F（x）＝g（t）＝t＋，由对勾函数的性质可知，函数g（t）＝t＋在［，1］上单调递减，在（1，4]上单调递增，而g（ ）＝，g（1）＝2，g（4）＝，所以g（t）∈［2，］，即函数F（x）的值域是［2，］.故选B. （2）当x≤2时，f（x）＝x2－6x＋10，曲线y＝x2－6x＋10的对称轴为直线x＝3，所以f（x）在（－∞，2]上单调递减，又f（2）＝22－6×2＋10＝2，所以当x≤2时，f（x）∈[2，＋∞）.因为函数f（x）＝的值域为[2，＋∞），所以当x＞2时，f（x）＝logax≥2恒成立，所以a＞1，则loga2≥2＝logaa2，所以a2≤2，所以1＜a≤，即a的取值范围是（1，]. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $