第1章 第6节 一元二次不等式及其解法(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word

该高中数学高考复习学案系统梳理了一元二次不等式及其解法专题，涵盖定义、三个二次关系、分式与绝对值不等式及恒成立问题，通过知识表格与问题链引导学生自主构建“概念-图象-解法”逻辑网络，体现考点梳理的系统性和层次性。 亮点在于诊断性自测与分层训练设计，开篇5道诊断题帮助学生定位薄弱点，考向中含参不等式解法通过分类讨论培养逻辑推理素养，恒成立问题变式训练提升数学建模能力。每个模块配方法总结与错题归因表，助力学生自主诊断提升，教师可依学情精准指导，实现因材施教。

第6节　一元二次不等式及其解法 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式. 2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式. 3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法. 知识梳理 1.一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是　　　　的不等式，称为一元二次不等式. 提醒：对于不等式ax2＋bx＋c＞0，求解时不要忘记a＝0时的情形. 2.三个“二次”的对应关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象 ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根 有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2） 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集 {x｜x＜x1，或x＞x2} R ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集 {x｜x1＜x＜x2} ⌀ ⌀ 1.分式不等式的解法 （1）＞0（＜0）⇔f（x）·g（x）＞0（＜0）； （2）≥0（≤0）⇔ 2.｜ax＋b｜≤c（c＞0）和｜ax＋b｜≥c（c＞0）型不等式的解法 （1）｜ax＋b｜≤c⇔－c≤ax＋b≤c； （2）｜ax＋b｜≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 诊断自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）ax2＋bx＋c＜0为一元二次不等式.（　　） （2）≥0等价于（x－a）（x－b）≥0.（　　） （3）若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为（x1，x2），则必有a＞0.（　　） （4）若方程ax2＋bx＋c＝0（a＜0）没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0（a＜0）的解集为R.（　　） 2.不等式（x－2）（3－2x）≥0的解集为（　　） A.（ ，＋∞） B.［，2］ C.[2，＋∞） D.（ －∞，］ 3.若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x｜－＜x＜}，则a－b＝（　　） A.－10 B.－14 C.10 D.14 4.不等式｜5－2x｜＜9的解集为　　　　. 5.若关于x的不等式x2－2ax＋18＞0恒成立，则实数a的取值范围为　　　　. 一元二次不等式的解法 （定向精析突破） 考向1　不含参一元二次不等式的解法 〔多选〕下列选项中，正确的是（　　） A.不等式－x2－x＋2＞0的解集为{x｜x＜－2或x＞1} B.不等式≤1的解集为{x｜－3≤x＜2} C.不等式｜x－2｜≥1的解集为{x｜1≤x≤3} D.不等式－x≤1的解集为{x｜0≤x≤2} 听课记录 1.可通过解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数的图象，求出不等式的解集. 2.分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进行限制，转化为不等式组. 考向2　含参一元二次不等式的解法 已知函数f（x）＝ax2＋3x＋2.若a＞0，解关于x的不等式f（x）＞－ax－1. 解含参数的一元二次不等式的步骤 （1）若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式； （2）判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系； （3）确定方程无根时，可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集. 训练1 （1）不等式－1＜x2＋2x－1≤2的解集是　　　　； （2）解关于x的不等式x2－ax＋1≤0. 三个二次之间的关系 （师生共研过关） 〔多选〕（2026·海南华侨中学考试）已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x｜x≤－2或x≥1}，则（　　） A.a＜0 B.cx＋b＞0的解集是{x｜x＜} C.a－b＋c＜0 D.cx2＋bx＋a≤0的解集为{x｜－≤x≤1} 听课记录 “三个二次”之间的关系及其应用 （1）一元二次方程的根就是对应二次函数的零点，也就是对应一元二次不等式解集的端点值； （2）给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或利用根与系数的关系求解. 训练2 （1）已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式bx2－cx＋3≤0的解集为（　　） A.（－∞，－1] B.（－∞，－3]∪[1，＋∞） C.[3，＋∞） D.（－∞，－1]∪[3，＋∞） （2）〔多选〕（2026·山东枣庄调研）已知关于x的不等式（x＋2）（x－4）＋a＜0（a＜0）的解集是（x1，x2）（x1＜x2），则（　　） A.x1＋x2＝2 B.x1x2＜－8 C.－2＜x1＜x2＜4 D.x2－x1＞6 一元二次不等式恒成立问题 （师生共研过关） 教材母题：〔人A必修一P58复习参考题6题改编〕当k取什么值时，不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立？ 细研教材：不等式ax2＋bx＋c＞0（＜0）恒成立满足的条件： （1）不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔或 （2）不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔或 变式1 若不等式2kx2＋kx－＜0，其对x∈[1，2]恒成立，则实数k的取值范围为　　　　；其在x∈[1，2]上有解，则实数k的取值范围为　　　　. 变式2 若不等式2kx2＋kx－＜0对任意0≤k≤1恒成立，则实数x的取值范围为（　　） A.（ －，） B.（ －，） C.（ －，） D.（ －，） 变式3 若恰有一个整数x使得不等式2kx2＋kx－＜0成立，则实数k的取值范围为　　　　. 恒成立问题求参数的范围的解题策略 （1）弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数； （2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论. 训练3 （1）若不等式mx2－4mx＋3≠0对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是（　　） A.（ 0，） B.［0，） C.（ 0，） D.［0，） （2）已知∀x∈[1，2]，∀y∈[2，3]，y2－xy－mx2≤0，则实数m的取值范围为　　　　. 提示：完成课后作业　第一章　第6节 答案 第6节　一元二次不等式及其解法 【夯实必备知识】 知识梳理 1.2　 诊断自测 1.（1）×　（2）×　（3）√　（4）× 2.B　3.A　4.（－2，7）　5.（－3，3） 【研透核心考点】 考点1 【例1】　BD　由题知方程－x2－x＋2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式－x2－x＋2＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，故A错误；因为－1≤0，即≤0，即（x＋3）（x－2）≤0（x－2≠0），解得－3≤x＜2，所以不等式的解集为{x｜－3≤x＜2}，故B正确；由｜x－2｜≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1，解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x｜x≤1或x≥3}，故C错误；原不等式等价于上述不等式组的解集为{x｜x＋1≥0}∩{x｜x2－2x≤0}，即原不等式的解集为{x｜0≤x≤2}，故D正确. 【例2】　解：不等式f（x）＞－ax－1可化为ax2＋（a＋3）x＋3＞0，即（ax＋3）（x＋1）＞0. 因为a＞0，所以当－＜－1，即0＜a＜3时，原不等式的解集为{x｜x＜－或x＞－1}； 当－＝－1，即a＝3时，原不等式的解集为{x｜x≠－1}； 当－＞－1，即a＞3时，原不等式的解集为{x｜x＜－1或x＞－}. 训练1　（1）{x｜－3≤x＜－2或0＜x≤1} 解析：原不等式等价于即由①得x（x＋2）＞0，所以x＜－2或x＞0；由②得（x＋3）（x－1）≤0，所以－3≤x≤1. 画出数轴，如图，可得原不等式的解集为{x｜－3≤x＜－2或0＜x≤1}. （2）解：由题意知，Δ＝a2－4， ①当a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时， 方程x2－ax＋1＝0的两根为x＝， 所以原不等式的解集为{x｜≤x≤}. ②若Δ＝a2－4＝0，则a＝±2. 当a＝2时，原不等式可化为x2－2x＋1≤0， 即（x－1）2≤0，所以x＝1； 当a＝－2时，原不等式可化为x2＋2x＋1≤0， 即（x＋1）2≤0，所以x＝－1. ③当Δ＝a2－4＜0，即－2＜a＜2时，原不等式的解集为⌀. 综上，当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为{x｜≤x≤}； 当a＝2时，原不等式的解集为{1}； 当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2＜a＜2时，原不等式的解集为⌀. 考点2 【例3】　AD　由题知，a＜0，且－＝－2＋1＝－1，＝－2×1＝－2，即b＝a，c＝－2a，故A正确；由cx＋b＞0可得－2ax＋a＞0，即2x－1＞0，所以x＞，故B错误；a－b＋c＝－2a＞0，故C错误；由cx2＋bx＋a≤0可得－2ax2＋ax＋a≤0，所以2x2－x－1≤0，解得－≤x≤1，故D正确.故选A、D. 训练2　（1）D　（2）ABD　解析：（1）根据二次函数y＝x2＋bx＋c的图象可知，－1，2为方程x2＋bx＋c＝0的两根，故－1＋2＝－b，－1×2＝c，即b＝－1，c＝－2，则bx2－cx＋3≤0即－x2＋2x＋3≤0，也即x2－2x－3≥0，（x－3）（x＋1）≥0，解得x≥3或x≤－1.故不等式的解集为（－∞，－1]∪[3，＋∞）. （2）因为关于x的不等式（x＋2）·（x－4）＋a＜0（a＜0）的解集是（x1，x2）（x1＜x2），所以x1，x2是一元二次方程x2－2x－8＋a＝0的两个根，所以x1＋x2＝2，故A正确；x1x2＝a－8＜－8，故B正确；x2－x1＝＝2＞6，故D正确；由x2－x1＞6，x1＋x2＝2，可得x1＜－2，x2＞4，故C错误.故选A、B、D. 考点3 教材母题　解：当k＝0时，不等式显然成立， 当k＞0时，二次函数y＝2kx2＋kx－开口向上，2kx2＋kx－＜0不可能对一切实数x都成立. 当k＜0时，若一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则Δ＜0，即k2＋3k＜0（k＜0），解得－3＜k＜0. 综上，当－3＜k≤0时，不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立. 变式1　（ －∞，）　（ －∞，） 解析：不等式2kx2＋kx－＜0对x∈[1，2]恒成立，即k（2x2＋x）－＜0对x∈[1，2]恒成立，即k＜对x∈[1，2]恒成立⇔k＜（ ）min，易知f（x）＝在x∈[1，2]上单调递减，f（x）min＝，即k＜.在x∈[1，2]上有解，即k＜f（x）max，又f（x）max＝，即k＜. 变式2　B　若不等式对任意0≤k≤1恒成立，则（2x2＋x）k－＜0，即解得－＜x＜. 变式3　［，＋∞）　解析：若恰有一个整数x使得不等式成立，则k＞0，因为－＜0，且f（x）＝2kx2＋kx－图象的对称轴为直线x＝－＝－，所以该整数解为x＝0，结合二次函数f（x）＝2kx2＋kx－（k＞0）的图象，可得即解得k≥. 训练3　（1）B　（2）[6，＋∞） 解析：（1）①当m＝0时，3≠0恒成立，满足条件.②当m≠0时，则Δ＝16m2－12m＜0，解得0＜m＜.综上，实数m的取值范围是0≤m＜. （2）因为x∈[1，2]，y∈[2，3]，则∈［，1］，所以∈[1，3]，又y2－xy－mx2≤0，可得m≥（ ）2－，令t＝∈[1，3]，则∀t∈[1，3]，m≥t2－t，即只需m≥（t2－t）max，t2－t＝（ t－）2－，当t＝3时，t2－t取到最大值，（t2－t）max＝9－3＝6，所以实数m的取值范围是[6，＋∞）. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $