第1章 第6节 一元二次不等式及其解法(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word
第6节 一元二次不等式及其解法
1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式. 2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式. 3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法. |
知识梳理
1.一元二次不等式
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式.
提醒：对于不等式ax2＋bx＋c＞0，求解时不要忘记a＝0时的情形.
2.三个“二次”的对应关系
判别式 Δ＝b2－4ac | Δ＞0 | Δ＝0 | Δ＜0 |
y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象 |
|
|
|
ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根 | 有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2） | 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ | 没有 实数根 |
ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集 | {x｜x＜x1，或x＞x2} |
| R |
ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集 | {x｜x1＜x＜x2} | ⌀ | ⌀ |
1.分式不等式的解法 （1） |
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（2） 2.｜ax＋b｜≤c（c＞0）和｜ax＋b｜≥c（c＞0）型不等式的解法 （1）｜ax＋b｜≤c⇔－c≤ax＋b≤c； （2）｜ax＋b｜≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. |
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）ax2＋bx＋c＜0为一元二次不等式.（ ）
（2）
≥0等价于（x－a）（x－b）≥0.（ ）
（3）若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为（x1，x2），则必有a＞0.（ ）
（4）若方程ax2＋bx＋c＝0（a＜0）没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0（a＜0）的解集为R.（ ）
2.不等式（x－2）（3－2x）≥0的解集为（ ）
A.（ 
，＋∞） B.［，2］
C.[2，＋∞） D.（ －∞，］
3.若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x｜－
＜x＜
}，则a－b＝（ ）
A.－10 B.－14
C.10 D.14
4.不等式｜5－2x｜＜9的解集为 .
5.若关于x的不等式x2－2ax＋18＞0恒成立，则实数a的取值范围为 .
| 一元二次不等式的解法 |
（定向精析突破） | |
考向1 不含参一元二次不等式的解法
〔多选〕下列选项中，正确的是（ ）
A.不等式－x2－x＋2＞0的解集为{x｜x＜－2或x＞1}
B.不等式
≤1的解集为{x｜－3≤x＜2}
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C.不等式｜x－2｜≥1的解集为{x｜1≤x≤3}
D.不等式
－x≤1的解集为{x｜0≤x≤2}
听课记录
1.可通过解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数的图象，求出不等式的解集. 2.分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进行限制，转化为不等式组. |
考向2 含参一元二次不等式的解法
已知函数f（x）＝ax2＋3x＋2.若a＞0，解关于x的不等式f（x）＞－ax－1.
解含参数的一元二次不等式的步骤 （1）若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式； （2）判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系； （3）确定方程无根时，可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集. |
训练1 （1）不等式－1＜x2＋2x－1≤2的解集是 ；
（2）解关于x的不等式x2－ax＋1≤0.
| 三个二次之间的关系 |
（师生共研过关） | |
〔多选〕（2026·海南华侨中学考试）已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x｜x≤－2或x≥1}，则（ ）
A.a＜0
B.cx＋b＞0的解集是{x｜x＜}
C.a－b＋c＜0
D.cx2＋bx＋a≤0的解集为{x｜－≤x≤1}
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