第1章 第5节 基本不等式的综合应用(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word

该高中数学高考复习学案系统梳理了基本不等式的综合应用专题，将基本不等式变形、恒（能）成立问题、与其他知识交汇的最值问题等核心考点，通过教材母题几何解释、变式线段关系探究构建知识网络，引导学生自主推导调和、几何、算术、平方平均数的大小关系，形成层次分明的认知体系。 亮点在于问题驱动的自主学习设计和诊断性训练，如通过母题图形观察发现不等式几何意义，变式任务引导学生用数学思维推理证明不等关系，训练题覆盖多选、填空等题型帮助自主诊断。培养学生数学眼光和逻辑推理能力，教师可通过学生训练反馈精准指导，助力个性化复习提升。

第5节　基本不等式的综合应用 1.掌握基本不等式及其常见变形. 2.会求与基本不等式有关的恒（能）成立问题. 3.掌握基本不等式在其他知识中的应用. 　　 基本不等式的变形应用 （师生共研过关） 教材母题：〔人A必修一P45探究〕如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ 变式 如图，以O为圆心，AD＝a，DB＝b，过点O作AB的垂线交半圆O于点C，再过点D作AB的垂线，交半圆O于点E，连接OE，CD，过点D作OE的垂线，垂足为点F.试研究线段CD，OC，DE，EF与代数式，，，之间的关系，并据此推测它们之间的一个大小关系.你能用基本不等式证明所得到的猜测吗？ 　　若实数a＞0，b＞0，则有≤≤≤，当且仅当a＝b时取等号.其中，叫做正实数a，b的调和平均数，叫做正实数a，b的几何平均数，叫做正实数a，b的算术平均数，叫做正实数a，b的平方平均数. 训练1 〔多选〕已知a，b∈R，则下列不等式成立的是（　　） A.≥ B.≤ C.≤ D.ab≤ 与基本不等式有关的恒（能）成立问题 （师生共研过关） 已知a＞0，b＞0，若不等式≤恒成立，则m的最大值为（　　） A.4 B.6 C.8 D.9 听课记录 　　对于不等式恒（能）成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值. 训练2 若两个正实数x，y满足＋＝2，且不等式x＋＜m2－m有解，则实数m的取值范围为　　　　. 基本不等式与其他知识交汇的最值问题 （师生共研过关） 〔一题多解〕在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是　　　　. 听课记录 　　基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角函数、解三角形、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值问题. 训练3 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则sin B的取值范围是　　　　. 提示：完成课后作业　第一章　第5节 答案 第5节　基本不等式的综合应用 考点1 教材母题　解：可证△ACD∽△DCB，因而CD＝. 由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为≤. 显然，当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，上述不等式的等号成立. 变式　解：OC＝，CD＝＝ ＝， 由教材母题知DE＝，在△ODE中，由等面积法得DF＝＝，又由△EFD∽△DFO，得EF＝＝.由图形易知EF＜DE＜OC＜CD.故≤≤≤（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时等号成立. 利用基本不等式证明如下： 由＝，所以即证≤，即证≤1，即证2≤a＋b，即证≤，显然上式成立.所以≤≤（当且仅当a＝b时取等号）. 要证≤，即证（ ）2≤，即证≤，即证a2＋2ab＋b2≤2a2＋2b2，即证a2＋b2－2ab≥0，即证（a－b）2≥0，显然上式成立.所以≤（当且仅当a＝b时取等号）. 综上可得，若实数a＞0，b＞0，则有≤≤≤成立，当且仅当a＝b时取等号. 训练1　BD　A选项，由选项可知a与b同号，当a＞0且b＞0时，由基本不等式可知≥恒成立，当a＜0且b＜0时，＜0，＞0，该不等式不成立，故A选项错误；B选项，当a＋b＞0时，＞0，则（ ）2－（ ）2＝＝≤0恒成立，即≤恒成立，当a＋b≤0时，原不等式恒成立，故B选项正确；C选项，当a＋b＞0时，2ab－＝≤0，即2ab≤，≤恒成立，当a＋b＜0时，2ab－＝≤0，即2ab≤，≥，故C选项错误；D选项，ab－＝＝≤0，ab≤恒成立，故D选项正确. 考点2 【例1】　A　因为a＞0，b＞0，≤恒成立，即m≤＝＝＋＋2恒成立，即m≤（ ＋＋2）min，又因为＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b时取等号，所以m≤4，所以m的最大值为4. 训练2　（－∞，－1）∪（2，＋∞） 解析：由＋＝2，则x＋＝（ ＋）（ x＋）＝（ 2＋＋）≥（ 2＋2）＝2，当且仅当＝，即y＝4x＝4时取等号，由不等式x＋＜m2－m有解，得m2－m＞2，解得m＜－1或m＞2，所以实数m的取值范围是（－∞，－1）∪（2，＋∞）. 考点3 【例2】　4　解析：法一　由题意可设P（ x0，x0＋）（x0＞0），则点P到直线x＋y＝0的距离d＝＝≥＝4，当且仅当2x0＝，即x0＝时取等号.故所求最小值是4. 法二　设P（ x0，＋x0）（x0＞0），则曲线在点P处的切线的斜率为k＝1－.令1－＝－1，结合x0＞0得x0＝，∴P（，3），曲线y＝x＋（x＞0）上的点P到直线x＋y＝0的最短距离即为此时点P到直线x＋y＝0的距离，故dmin＝＝4. 训练3　（ 0，］　解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以cos B＝＝＝.因为a2＋c2≥2ac，当且仅当a＝c时取等号，所以3（a2＋c2）－2ac≥4ac＞0，所以cos B＝≥＝.又y＝cos x在区间（0，π）上单调递减，所以0＜B≤，所以0＜sin B≤. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $