第1章 第4节 基本不等式(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word

该高中数学高考复习学案系统梳理基本不等式专题，涵盖推导过程、最值问题及实际应用，按“知识梳理-诊断自测-考点突破”架构组织，通过问题链引导学生自主构建“一正二定三相等”核心逻辑，形成从概念到应用的层次化知识网络。 亮点在于诊断性自测与方法指导结合，开篇5道诊断题定位薄弱点，考向中配凑法、常数代换法等步骤解析培养数学思维，一题多解和变式训练提升应用能力，助力学生自主诊断与提升，教师可依学情精准指导，实现因材施教。

第4节　基本不等式 1.了解基本不等式的推导过程. 2.能用基本不等式解决简单的最值问题. 3.掌握基本不等式在实际生活中的应用. 知识梳理 1.基本不等式≤ （1）基本不等式成立的条件是：　　　　　； （2）等号成立的条件是：当且仅当　　　　时，等号成立； （3）其中叫做正数a，b的　　　　平均数，叫做正数a，b的　　　　平均数. 提醒：应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错. 2.基本不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2（简记：积定和最小）； （2）如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 S2 （简记：和定积最大）. 1.a2＋b2≥2ab；ab≤（ ）2（a，b∈R）. 2.＋≥2（a，b同号）. 3.≥（ ）2（a，b∈R）. 4.≥≥（a＞0，b＞0）. 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 诊断自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.（　　） （2）函数y＝x＋的最小值是2.（　　） （3）已知0＜x＜1，则x（1－x）取最大值时x＝.（　　） （4）x，y＞0是＋≥2的充要条件.（　　） 2.已知m＞0，n＞0，mn＝81，则m＋n的最小值是（　　） A.9 B.18 C.9 D.27 3.函数y＝x＋（x≥0）的最小值为　　　　. 4.已知x，y∈（0，＋∞），若2x＋3y＝1，则＋的最小值为　　　　. 5.（2025·云南昆明模拟）若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是　　　　.　 基本不等式的理解 （基础自学过关） 1.已知实数a，b，则“ab≥0”是“a＋b≥2”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.若实数a，b满足a＞b＞0，则下列不等式中恒成立的是（　　） A.＋2b＞2 B.＋2b＜2 C.a＞＞b＞ D.a＞＞＞b 3.〔多选〕（2026·山西大同模拟）下列命题正确的是（　　） A.若x＜0，则x＋≤－2 B.若x＞0，则x－≤－2 C.若x∈R且x≠0，则x＋≥2 D.当x∈（ 0，］时，sin x＋的最小值为4 利用基本不等式判断命题真假的步骤 （1）检查是否满足应用基本不等式的条件； （2）应用基本不等式； （3）检验等号是否成立. 利用基本不等式求最值 （定向精析突破） 考向1　配凑法 （1）函数f（x）＝4x＋，x∈（－1，＋∞）的最小值为（　　） A.6 B.8 C.10 D.12 （2）已知0＜x＜，则x的最大值为（　　） A. B. C. D. 听课记录 配凑法求最值的实质及关键点 　　配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.　 考向2　常数代换法 （1）（2025·山东齐鲁名校大联考一模）已知实数x＞0，y＞0，x＋3y＝2，则＋的最小值为（　　） A.3 B.1＋ C.2＋ D.2＋ （2）已知正数a，b满足4a＋b＝ab，则a＋b的最小值为　　　　. 听课记录 常数代换法求最值的基本步骤 （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； （4）利用基本不等式求最值. 考向3　消元法 教材母题：〔人A必修一P58复习参考题5题〕若a，b＞0，且ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围. 细研教材：当所求最值的代数式中变量比较多时，通常是利用已知条件消去部分变量，然后配凑出“和为常数”或“积为常数”，再利用基本不等式求最值，也可采用整体换元思想转化为一元二次不等式求解，当消元后“配凑”比较困难时可考虑化归函数，利用导数求解. 变式1 〔一题多解〕若教材母题题干条件不变，则a＋b的最小值为　　　　. 变式2 若教材母题题干条件不变，则a2＋b2的取值范围为　　　　. 1.在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是题目中多次使用基本不等式，等号成立的条件必须相同，否则会造成错误. 2.尽量对式子进行化简、变形，再利用一次基本不等式求最值. 训练1 （1）已知0＜x＜1，则＋的最小值为（　　） A.2 B.4 C.7 D.9 （2）设x＞0，y＞0，x＋2y＝5，则的最小值为　　　　； （3）〔一题多解〕（2026·江苏南京模拟）已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则xy的最大值为　　　　. 基本不等式的实际应用 （师生共研过关） （2026·广西南宁调研）某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用x年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用y最少时的年限为（　　） A.7 B.8 C.9 D.10 听课记录 利用基本不等式解决实际问题的策略 （1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值； （2）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围； （3）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解. 训练2 （2025·河南郑州一模）已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，AB上的点，当△AEF的周长为4时，△AEF面积的最大值为　　　　. 提示：完成课后作业　第一章　第4节 答案 第4节　基本不等式 【夯实必备知识】 知识梳理 1.（1）a＞0，b＞0　（2）a＝b　（3）算术　几何 诊断自测 1.（1）×　（2）×　（3）√　（4）× 2.B　3.1　4.5＋2　5.25 m2 【研透核心考点】 考点1 1.B　2.D　3.AC　 考点2 【例1】　（1）B　（2）D　解析：（1）因为x∈（－1，＋∞），则x＋1＞0，则f（x）＝4x＋＝4（x＋1）＋－4≥2－4＝12－4＝8，当且仅当即x＝时，等号成立，故函数f（x）＝4x＋，x∈（－1，＋∞）的最小值为8. （2）因为0＜x＜，则1－2x2＞0，x＝＝≤×＝，当且仅当2x2＝1－2x2，即x＝时取等号. 【例2】　（1）D　（2）9　解析：（1）因为x＞0，y＞0，且x＋3y＝2，所以＋＝（ ＋）（x＋3y）＝（ 4＋＋）≥2＋＝2＋，当且仅当即y＝，x＝－1时取等号.故选D. （2）因为正数a，b满足4a＋b＝ab，所以＋＝1，所以a＋b＝（a＋b）（ ＋）＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当即a＝3，b＝6时取等号. 教材母题　解：法一（代入消元）　由题意得a＝且b－1＞0， ∴ab＝＝＝b－1＋＋5≥9，当且仅当b－1＝时取等号. 故ab的取值范围为[9，＋∞）. 法二（换元消元）　∵a，b＞0，且ab＝a＋b＋3，由a＋b≥2，得ab＝a＋b＋3≥2＋3，当且仅当a＝b时取等号， 即ab－2－3≥0，设＝t（t＞0），则t2－2t－3≥0， 解得t≥3，故ab≥9. 故ab的取值范围为[9，＋∞）. 法三（化归函数，导数求解）　 由法一得ab＝， 令f（b）＝（b＞1），则f'（b）＝（b＞1），令f'（b）＝0，得b＝3， 故f（b）在（1，3）上单调递减，在（3，＋∞）上单调递增，当b＝3时，f（b）取得最小值9，故ab的取值范围为[9，＋∞）. 变式1　6　解析：法一　∵a＞0，b＞0，ab＝a＋b＋3，∴a＝且b－1＞0，∴a＋b＝＋b＝1＋＋b＝＋b－1＋2≥2＋2＝6，当且仅当＝b－1，即a＝b＝3时取等号. 法二　∵ab＝a＋b＋3≤（a＋b）2，故可得（a＋b）2－4（a＋b）－12≥0，即（a＋b－6）（a＋b＋2）≥0，解得a＋b≥6或a＋b≤－2，又∵a＞0，b＞0，故a＋b≥6（当且仅当a＝b＝3时取得最小值）. 变式2　[18，＋∞）　解析：由a2＋b2＝（a＋b）2－2ab，ab＝a＋b＋3，则a2＋b2＝（a＋b）2－2（a＋b）－6，又由变式1知a＋b≥6，故令t＝a＋b（t≥6），则a2＋b2＝t2－2t－6.对于二次函数y＝t2－2t－6，其对称轴为直线t＝1，在t≥6时单调递增，且当t＝6时，y＝18，故a2＋b2的取值范围为[18，＋∞）. 训练1　（1）D　（2）4　（3）3 解析：（1）由0＜x＜1，得1－x＞0.＋＝（ ＋）[x＋（1－x）]＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝时取等号，∴＋的最小值为9. （2）∵x＞0，y＞0，∴＞0.∵x＋2y＝5，∴＝＝＝2＋≥2＝4，当且仅当2＝时取等号.∴的最小值为4. （3）法一（换元消元法） 9－xy＝x＋3y≥2，∴9－xy≥2，令＝t，∴t＞0，∴9－t2≥2t，即t2＋2t－9≤0，解得0＜t≤，∴≤，∴xy≤3，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，∴xy的最大值为3. 法二（代入消元法） ∵x＝，∴x·y＝·y＝＝＝－3（y＋1）－＋15≤－2＋15＝3，当且仅当3（y＋1）＝，即y＝1，x＝3时取等号.∴xy的最大值为3. 考点3 【例3】　C　该设备年平均费用y＝＝＋＋（x∈N*），∵x＞0，则y＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即x＝9∈N*时，等号成立，∴该设备年平均费用最少时的年限为9.故选C. 训练2　12－8 解析：设AE＝x，AF＝y（0＜x≤2，0＜y≤2），则EF＝，因为△AEF的周长为4，所以x＋y＋＝4，因为x＋y＋＝4≥2＋，当且仅当x＝y时取等号，故≤＝4－2，则xy≤24－16，则△AEF面积满足xy≤12－8.故△AEF面积的最大值为12－8. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $