第1章 第4节 基本不等式(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word

第4节　基本不等式

知识梳理

1.基本不等式≤

（1）基本不等式成立的条件是：　　　　　；

（2）等号成立的条件是：当且仅当　　　　时，等号成立；

（3）其中叫做正数a，b的　　　　平均数，叫做正数a，b的　　　　平均数.

提醒：应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错.

2.基本不等式与最值

已知x＞0，y＞0，则

（1）如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2（简记：积定和最小）；

（2）如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 S2 （简记：和定积最大）.

诊断自测

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.（　　）

（2）函数y＝x＋的最小值是2.（　　）

（3）已知0＜x＜1，则x（1－x）取最大值时x＝.（　　）

（4）x，y＞0是＋≥2的充要条件.（　　）

2.已知m＞0，n＞0，mn＝81，则m＋n的最小值是（　　）

A.9 B.18

C.9 D.27

3.函数y＝x＋（x≥0）的最小值为　　　　.

4.已知x，y∈（0，＋∞），若2x＋3y＝1，则＋的最小值为　　　　.

5.（2025·云南昆明模拟）若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是　　　　.　

1.已知实数a，b，则“ab≥0”是“a＋b≥2”的（　　）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.若实数a，b满足a＞b＞0，则下列不等式中恒成立的是（　　）

A.＋2b＞2 

B.＋2b＜2

C.a＞＞b＞ 

D.a＞＞＞b

3.〔多选〕（2026·山西大同模拟）下列命题正确的是（　　）

A.若x＜0，则x＋≤－2

B.若x＞0，则x－≤－2

C.若x∈R且x≠0，则x＋≥2

D.当x∈（ 0，］时，sin x＋的最小值为4

 

考向1　配凑法

（1）函数f（x）＝4x＋，x∈（－1，＋∞）的最小值为（　　）

A.6 B.8 

C.10 D.12

 

（2）已知0＜x＜，则x的最大值为（　　）

A. B. 

C. D.

听课记录                                                                                                                                       

                                                                          

考向2　常数代换法