第1章 第3节 等式性质与不等式性质(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word

该高中数学高考复习学案系统梳理了等式性质与不等式性质专题，涵盖两个实数比较大小、等式性质、不等式性质及补充性质，按知识逻辑构建“基础梳理-性质应用-拓展提升”的考点网络，通过诊断自测题和问题链设计，引导学生自主推导性质联系，形成完整知识框架。 亮点在于自主学习支持与分层训练设计，开篇设置4道诊断题检测基础，核心考点配备“一题多解”“变式训练”等任务，如比较大小题引导学生用数学思维推理，代数式取值范围题培养模型意识。每个模块附方法总结表，帮助学生自主归因提升，教师可依据学情数据精准指导，助力因材施教。

第3节　等式性质与不等式性质 1.掌握等式的性质. 2.会比较两个数(式)的大小. 3.理解不等式的性质，并能简单应用. 知识梳理 1.两个实数比较大小的方法 （1）作差法（a，b∈R）； （2）作商法 2.等式的性质 性质1 对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2 传递性：如果a＝b，b＝c，那么a　　　　c；　 性质3 可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4 可乘性：如果a＝b，那么ac＝　　　　； 性质5 可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 3.不等式的性质 性质1 对称性：a＞b⇔b＜a； 性质2 传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； 性质3 可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c　　　　b＋d； 性质4 可乘性：a＞b，c＞0⇒ac　　　　　bc；a＞b，c＜0⇒ac　　　　　　bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； 性质5 可乘方性：a＞b＞0⇒an　　　　bn（n∈N，n≥2）； 性质6 可开方性：a＞b＞0⇒＞（n∈N，n≥2）. 1.倒数性质 （1）a＞b，ab＞0⇒＜； （2）a＜0＜b⇒＜； （3）a＞b＞0，d＞c＞0⇒＞. 2.分数性质：若a＞b＞0，m＞0，则 （1）真分数性质：＜；＞（b－m＞0）； （2）假分数性质：＞；＜（b－m＞0）. 诊断自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种.（　　） （2）若＞1，则a＞b.（　　） （3）a＝b⇔ac＝bc.（　　） 2.设M＝2a（a－2），N＝（a＋1）（a－3），则（　　） A.M＞N B.M≥N C.M＜N D.M≤N 3.已知2＜a≤3，－2＜b≤－1，则a＋2b的最大值为（　　） A.－1 B.0 C.1 D.2 4.（2026·河北沧州名校联考质量监测）若a＜b＜0，则下列不等式中一定成立的是（　　） A.a＋c＜b＋c B.＜ C.ac＜bc D.＞ 比较数（式）的大小 （基础自学过关） 1.已知0＜a＜，且M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是（　　） A.M＞N B.M＜N C.M＝N D.不能确定 2.〔多选〕若a＞b＞0，那么下列不等式一定成立的是（　　） A.a＋＞b＋ B.＜ C.a＞＞b D.a3＋b3≥a2b＋ab2 3.〔一题多解〕已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x　　　y（填“＞”“＜”或“＝”）. 不等式的基本性质 （师生共研过关） （1）（2026·浙江杭州质检）若a＞b，则（　　） A.a2＞b2 B.＜ C.＜ D.a｜a｜＞b｜b｜ （2）〔多选〕（2025·江苏常州二模）若＜＜0，则（　　） A.｜a｜＜｜b｜ B.ac＜bc C.＞0 D.0＜＜1 听课记录 判断不等式的常用方法 （1）利用不等式的性质逐个验证，要特别注意前提条件； （2）作差法； （3）利用特殊值法排除错误项； （4）构造函数，利用函数的单调性. 训练1 〔多选〕（2025·山东临沂二模）已知a＞b＞c，则下列不等式正确的是（　　） A.＜ B.ab2＞cb2 C.a＋b＞c D.a2＋c2＞b2 不等式性质的应用 （师生共研过关） 已知6＜a＜60，15＜b＜18，则下列结论正确的是（　　） A.＜＜ B.21＜a＋2b＜78 C.－12＜a－b＜45 D.＜＜5 听课记录 变式 若将本例条件改为“－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3”，则3x＋2y的取值范围为　　　　. 利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点 （1）必须严格运用不等式的性质； （2）多次运用不等式的性质有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 训练2 （1）某班有学生参加才艺比赛，已知每人只参加一项比赛，且参加书法比赛的人数多于参加唱歌比赛的人数，参加唱歌比赛的人数多于参加折纸比赛的人数，参加折纸比赛的人数的2倍多于参加书法比赛的人数，则参加这三项比赛的总人数至少为　　　　； （2）已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，则的取值范围是　　　　. 提示：完成课后作业　第一章　第3节 答案 第3节　等式性质与不等式性质 【夯实必备知识】 知识梳理 1.（1）＞　＝　＜　（2）＞　＜　＜　＞ 2.＝　bc　 3.＞　＞　＜　＞　 诊断自测 1.（1）√　（2）×　（3）× 2.A　3.C　4.A　 【研透核心考点】 考点1 1.A　2.AC　3.＜　 考点2 【例1】　（1）D　（2）ACD　解析：（1）对于A，若取a＝2，b＝－3，满足a＞b，此时a2＜b2，所以A错误；对于B，当a＞b＞0时，由假分数性质知B错误；对于C，若取a＝1，b＝－1，满足a＞b，此时＞，所以C错误；对于D，构造函数y＝x｜x｜＝易知该函数在R上为增函数，所以当a＞b时，有a｜a｜＞b｜b｜，所以D正确.故选D. （2）由＜＜0得c≠0，当c＞0时，由＜＜0得＜＜0，即b＜a＜0，可得0＜＜1，当c＜0时，由＜＜0得＞＞0，即b＞a＞0，所以0＜＜1，故A、D正确；由＜＜0得－＝＜0，且a与b同号，即ab＞0，所以c与b－a异号，即c与a－b同号，由ac＜bc得（a－b）c＜0，即c与a－b异号，故B错误，C正确.故选A、C、D. 训练1　AD　对于A，－＝＝，因为a＞b＞c，所以c－b＜0，a－c＞0，a－b＞0，即＜0，所以＜，故A正确；对于B，取b＝0，此时ab2＝cb2＝0，故B错误；对于C，取a＝－1，b＝－2，c＝－3，则a＋b＝c＝－3，故C错误；对于D，若a＞b＝0＞c，则a2＋c2＞b2＝0显然成立，若a＞b＞0＞c，则a2＋c2＞a2＞b2成立，若a＞0＞b＞c，则a2＋c2＞c2＞b2成立，综上，只要a＞b＞c，一定有a2＋c2＞b2，故D正确. 考点3 【例2】　C　因为15＜b＜18，所以＜＜，又6＜a＜60，所以＜＜4，所以A错误；因为6＜a＜60，15＜b＜18，所以36＜a＋2b＜96，所以B错误；因为15＜b＜18，所以－18＜－b＜－15，又6＜a＜60，所以－12＜a－b＜45，所以C正确；因为6＜a＜60，15＜b＜18，＝＋1，又＜＜4，所以＜＜5，所以D错误.故选C. 变式　（ ，）　解析：设3x＋2y＝λ（x－y）＋μ（x＋y），即3x＋2y＝（λ＋μ）x＋（μ－λ）y，于是解得∴3x＋2y＝（x－y）＋（x＋y）.∵－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3，∴－＜（x－y）＜2，5＜（x＋y）＜，∴＜（x－y）＋（x＋y）＜.故3x＋2y的取值范围是（ ，）. 训练2　（1）12　（2）（－3，－1） 解析：（1）设参加书法、唱歌、折纸比赛的人数分别为a，b，c，由题意得a≥b＋1，b≥c＋1，2c≥a＋1，所以a＋b＋2c≥b＋1＋c＋1＋a＋1，所以c≥3，所以b≥4，a≥5，所以参加这三项比赛的总人数至少为12. （2）因为a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，故a＞0，c＜0，所以＜0，1＞＞，2＋＋＝0，所以＝－－2，所以1＞－2－＞，解不等式得－3＜＜－1，故的取值范围是（－3，－1）. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $