第1章 第1节 集合(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word

该高中数学高考复习学案系统覆盖集合的概念、关系、运算及创新应用，以元素特征、子集关系、运算律为逻辑主线构建知识网络，通过填空式梳理、问题链设计引导学生自主完成概念辨析与关系推导，形成系统化认知框架。 亮点在于诊断性自测与分层训练结合，开篇5道诊断题精准定位薄弱环节，考点模块设基础自学、师生共研等分层任务，培养数学抽象与逻辑推理素养。配套方法指导与错题归因表，助力学生个性化提升，教师可依学情实施针对性教学。

第1节　集合 1.了解集合的含义，了解全集与空集的含义. 2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系. 3.会求两个集合的并集、交集与补集. 4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算. 知识梳理 1.集合的概念 （1）集合中元素的三个特征：　　　、　　　、　　　　； （2）元素与集合的关系有　　　　、　　　　两种，用符号　　　　，　　　　表示； （3）集合的表示法：　　　　、　　　　、　　　　； （4）五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示　　　集，　　　　　表示非负整数集（自然数集），　　　　表示整数集，Q表示　　 　集，R表示实数集. 提醒：（1）解题时，应注意检查集合的元素是否满足互异性；（2）N为自然数集（即非负整数集），包含0，而N*（N＋）表示正整数集，不包含0. 2.集合间的基本关系 　　表示 关系　　 自然语言 符号语言 图形语言 子集 集合A中　　　　　　元素都是集合B中的元素 　　　（或B⊇A） 或 真子集 集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A 　　　 （或B⫌A） 集合相等 集合A，B中元素相同 A＝B 空集 不含任何元素的集合 ⌀ 提醒：（1）A⊆B包含两层含义：A⫋B或A＝B；（2）若A⊆B，要分A＝⌀或A≠⌀两种情况讨论，不要忽略A＝⌀的情况. 3.集合的基本运算 　　类别 表示　　 并集 交集 补集 图形语言 符号语言 A∪B＝　　　 A∩B＝　　　 ∁UA＝　　　 1.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C. 2.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个. 3.等价关系：A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. 诊断自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）任何一个集合都至少有两个子集.（　　） （2）若1∈{x，x2}，则x＝1或x＝－1.（　　） （3）已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∪B＝{0，1}.（　　） （4）{x｜y＝x2＋1}＝{y｜y＝x2＋1}＝{（x，y）｜y＝x2＋1}.（　　） 2.（2025·全国Ⅰ卷2题）已知集合U＝{x｜x是小于9的正整数}，A＝{1，3，5}，则∁UA中元素的个数为（　　） A.0 B.3 C.5 D.8 3.（2026·河南郑州模拟）设集合A＝{x｜x2－2＞0}，B＝{1，2，3，4}，则A∩B的子集的个数为（　　） A.8 B.7 C.4 D.3 4.〔多选〕已知集合P＝{x｜x2＝4}，则（　　） A.2∈P B.P＝{－2，2} C.{⌀}⊆P D.P⫋N 5.已知集合A＝{x｜0＜x＜a}，B＝{x｜1＜x≤2}，若B⊆A，则实数a的取值范围是　　　　. 集合的基本概念 （基础自学过关） 1.已知集合A＝{x｜2x－a＞0}，且1∉A，2∈A，则（　　） A.a＞1 B.a≤2 C.2＜a≤4 D.2≤a＜4 2.（2026·广东佛山模拟）已知集合A＝{x｜x∈Z，且∈Z}，则集合A中的元素个数为（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 3.（2026·浙江宁波模拟）已知集合S＝{y｜y＝x2－1}，T＝{（x，y）｜x＋y＝0}，下列关系正确的是（　　） A.－2∈S B.（2，－2）∉T C.－1∉S D.（－1，1）∈T 4.已知m∈R，n∈R，若集合{m，，1}＝{m2，m＋n，0}，则m＋n＝　　　　. 解决与集合中元素有关问题的关键点 集合间的基本关系 （师生共研过关） （1）设M＝{x｜x＝，k∈Z}，N＝{x｜x＝k＋，k∈Z}，则（　　） A.M⫋N B.N⫋M C.M＝N D.M∩N＝⌀ （2）（2025·江苏南京、盐城一模）设集合A＝{x｜x2－4≤0}，B＝{x｜x＋a≤0}.若A⊆B，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，2） B.（－∞，2] C.（－∞，－2） D.（－∞，－2] 听课记录 变式 若本例（2）条件变为集合A＝{x｜－2＜x≤2}，集合B＝{x｜a＋1≤x＜－a}，若B⊆A，则实数a的取值范围为　　　　. 1.空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解. 2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题. 训练1 （1）（2023·新高考Ⅱ卷2题）设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝（　　） A.2 B.1 C. D.－1 （2）已知集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0}，B＝{x｜－1＜x＜5，x∈N}，则满足A⫋C⊆B的集合C的个数为（　　） A.8 B.7 C.4 D.3 集合的基本运算 （定向精析突破） 考向1　集合的运算 （1）（2025·全国Ⅱ卷3题）已知集合A＝{－4，0，1，2，8}，B＝{x｜x3＝x}，则A∩B＝（　　） A.{0，1，2} B.{1，2，8} C.{2，8} D.{0，1} （2）（2026·贵州贵阳摸底）已知全集U＝R，集合A＝{x｜－1≤x≤3}，B＝{y｜y＝2x，x∈R}，则图中阴影部分所对应的集合为（　　） A.{x｜x＜－1} B.{x｜x≤－1} C.{x｜x≤0或x＞3} D.{x｜0＜x≤3} 听课记录 集合基本运算的方法技巧 考向2　利用集合的运算求参数 （1）（2026·河南郑州第一次联考）已知集合A＝{x｜2x－a≤0}，B＝{x｜1＜x＜2}.若A∩B＝⌀，则a的取值范围为（　　） A.（－∞，1） B.（－∞，1] C.（－∞，2） D.（－∞，2] （2）设集合A＝{x｜x＜a2}，B＝{x｜x＞a}，若A∩（∁RB）＝A，则实数a的取值范围为（　　） A.[0，1] B.[0，1） C.（0，1） D.（－∞，0]∪[1，＋∞） 听课记录 利用集合的运算求参数的方法 （1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍； （2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解. 训练2 （1）（2026·广东调研考试）设全集U＝M∪N＝{1，2，3，4}，N＝{1，2}，则M∩（∁UN）＝（　　） A.{3，4} B.{3} C.{4} D.⌀ （2）已知集合A＝{x｜x2－x－6≤0}，B＝{x｜－4≤x≤a}，且A∪B＝{x｜－4≤x≤3}，则实数a的取值范围是（　　） A.（－4，－2] B.（－3，－2] C.[－3，3] D.[－2，3] 集合的创新问题 （师生共研过关） （1）（2026·北京海淀模拟）定义差集A－B＝{x｜x∈A，且x∉B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－（A－B）用阴影部分表示正确的为（　　） （2）（2025·广西南宁适应性测试）已知集合A＝{2，4，6，8，9}，B＝{1，2，3，4，5，8}，又知集合C是这样一个集合：若集合C的各元素都加上2，它就变成A的一个子集；若集合C的各元素都减去2，它就变成B的一个子集.试写出这样的一个集合C＝　　　　. 听课记录 解决以集合为背景的创新问题的关键 （1）紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中，这是破解新定义集合问题的关键所在； （2）用好集合的性质：解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质. 训练3 已知集合A，B与集合A·B的对应关系如下表所示： A {1，2，3，4，5} {－1，0，1} {－4，8} B {2，4，6，8} {－2，－1，0，1} {－4，－2，0，2} A·B {1，3，5，6，8} {－2} {－2，0，2，8} 若A＝{－2 026，0，2 026}，B＝{－2 026，0，2 027}，试根据表中的规律写出A·B＝　　　　. 容斥原理 教材母题：〔人A必修一P15阅读与思考〕学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？ 细研教材：在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题，一般地，若有限集合A＝{a1，a2，…，an}，将A中的元素个数记为card（A）＝n，集合B＝{b1，b2，…，bm}，将B中的元素个数记为card（B）＝m，关于集合中的元素个数有如下关系： （1）二元容斥原理：card（A∪B）＝card（A）＋card（B）－card（A∩B）； （2）三元容斥原理：card（A∪B∪C）＝card（A）＋card（B）＋card（C）－card（A∩B）－card（C∩A）－card（B∩C）＋card（A∩B∩C）. 〔一题多解〕某年级先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，物理179人，化学165人；至少参加两科的：数学、物理143人，数学、化学116人，物理、化学97人；三科都参加的有90人.则参加竞赛的学生总人数是（　　） A.280 B.281 C.282 D.283 听课记录 提示：完成课后作业　第一章　第1节 答案 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 第1节　集合 【夯实必备知识】 知识梳理 1.（1）确定性　互异性　无序性　（2）属于 　不属于　∈　∉　（3）列举法　描述法 　图示法　（4）正整数　N　Z　有理数 2.任意一个　A⊆B　A⫋B　 3.{x｜x∈A，或x∈B}　{x｜x∈A，且x∈B}　{x｜x∈U，且x∉A} 诊断自测 1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）× 2.C　3.A　4.AB　5.（2，＋∞） 【研透核心考点】 考点1 1.D　2.C　3.D　4.－1　 考点2 【例1】　（1）B　（2）D　解析：（1）对于集合N，因为x＝k＋＝（2k＋1），k∈Z，所以集合N是由所有奇数的一半组成，而集合M是由所有整数的一半组成，故N⫋M. （2）由x2－4≤0可得A＝[－2，2]，由x＋a≤0可得B＝（－∞，－a]，又A⊆B，用数轴表示其关系如图，所以2≤－a，即a≤－2. 变式　[－2，＋∞） 解析：由B⊆A，当B＝⌀时，a＋1≥－a，则a≥－；当B≠⌀时，用数轴表示其关系如图，所以即得a∈［－2，－）.综上所述，a的取值范围为[－2，＋∞）. 训练1　（1）B　（2）B　解析：（1）由题意，得0∈B.又B＝{1，a－2，2a－2}，所以a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B，舍去.当2a－2＝0时，a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，满足A⊆B.综上所述，a＝1.故选B. （2）A＝{1，2}，B＝{0，1，2，3，4}，因为A⫋C⊆B，所以1，2∈C，所以集合C的个数等于集合{0，3，4}的非空子集个数，故集合C的个数为23－1＝7. 考点3 【例2】　（1）D　（2）A　解析：（1）由题可得B＝{－1，0，1}，所以A∩B＝{0，1}.故选D. （2）因为B＝{y｜y＝2x，x∈R}，所以B＝（0，＋∞）.而题图中白色部分表示A∪B＝[－1，＋∞），故阴影部分所对应的集合为∁R（A∪B）＝（－∞，－1）.故选A. 【例3】　（1）D　（2）A　解析：（1）A＝{x｜2x－a≤0}＝{x｜x≤}，因为A∩B＝⌀，所以≤1，解得a≤2，所以a的取值范围为（－∞，2].故选D. （2）因为B＝{x｜x＞a}，所以∁RB＝{x｜x≤a}，又A∩（∁RB）＝A，所以A⊆（∁RB），又A＝{x｜x＜a2}，所以a2≤a，解得0≤a≤1，即实数a的取值范围为[0，1]. 训练2　（1）A　（2）D　解析：（1）因为U＝M∪N＝{1，2，3，4}，N＝{1，2}，所以∁UN＝{3，4}，集合M必含有元素3，4，元素1，2可任取或不取，所以M∩（∁UN）＝{3，4}.故选A. （2）因为A＝{x｜x2－x－6≤0}＝{x｜－2≤x≤3}，B＝{x｜－4≤x≤a}，且A∪B＝{x｜－4≤x≤3}，画出数轴如图所示，所以－2≤a≤3.故选D. 考点4 【例4】　（1）A　（2）{4，7}（答案不唯一）　解析：（1）如图所示，A－B表示图中阴影部分，故集合C－（A－B）所含元素属于C，但不属于图中阴影部分.故选A. （2）逆向思维，即A中的元素都减去2得到集合D＝{0，2，4，6，7}，B中的元素都加上2得到集合E＝{3，4，5，6，7，10}.因此集合C是集合D和集合E的公共元素所组成的集合G＝{4，6，7}的非空子集，故这样的集合C有7个，答案不唯一，如C＝{4，7}. 训练3　{2 026，2 027}　解析：通过对表中集合关系的分析，可以发现规律：集合A·B表示的是A∪B中的元素再去掉A∩B中的元素，故当A＝{－2 026，0，2 026}，B＝{－2 026，0，2 027}时，A·B＝{2 026，2 027}. 衔接教材 教材母题　解：法一　用集合A表示田径运动会参赛的学生，用集合B表示球类运动会参赛的学生，则A∩B＝{x｜x是两次运动会都参赛的学生}， A∪B＝{x｜x是所有参赛的学生}， card（A∪B）＝card（A）＋card（B）－card（A∩B）＝8＋12－3＝17. 故在两次运动会中，这个班共有17名同学参赛. 法二　由题意画出Venn图，如图所示.故在两次运动会中，这个班共有5＋3＋9＝17名同学参赛. 【例】　B　法一　由题意画出Venn图，如图所示，则参加竞赛的学生总人数是34＋53＋26＋7＋90＋29＋42＝281. 法二　由题意，设A，B，C分别表示参加数学竞赛、物理竞赛和化学竞赛的学生构成的集合，则card（A）＝203，card（B）＝179，card（C）＝165，card（A∩B）＝143，card（B∩C）＝97，card（A∩C）＝116，card（A∩B∩C）＝90，因此card（A∪B∪C）＝card（A）＋card（B）＋card（C）－card（A∩B）－card（B∩C）－card（A∩C）＋card（A∩B∩C）＝203＋179＋165－143－97－116＋90＝281.所以参加竞赛的学生总人数是281. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $