江苏省海安高级中学2025-2026学年高一下学期6月月考数学试题

高一 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.已知复数z=1+2i,其中i为虚数单位，则复数2在复平面内对应的点的坐标为 A.（-4,5) B.(4,3) C.(-3,4) D.(5,4) 2.己知向量a=(m,1),b=(2,-1),且a⊥b,则m= A.司 B. C.2 D.-2 3.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.己知A=45°，a=4,b=2√2，则B的大 小为 A.30° B.60° C.30°或150°D.60°或120° 4.如图，△OAB是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图，其中∠OBA'=90°，A'B=1, 则AB= B A.1 B.√2 C.2 D.6 /O 5.在直四棱柱ABCD-ABC1D中，底面ABCD为矩形，点E为AC的中点，AB=A4=2,且AD=2√2， 则异面直线AE与所成角BC的余弦值为 A.② 3 B.3 3 C.② 2 D.3 6.已知直线l,三个不同的平面a,B,y,则下列能推出u∥B的条件是 A.l⊥ax,l∥B B.l∥a,l∥B C.1⊥a,1⊥B D.a⊥y,B⊥Y 7.如图，圆O是边长为23的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点D, 点M为圆上任意一点，BM=xBA+yBD(x,y∈R),则2x十y的最大值为 A.√2 B.3 C.2 D.2W2 第1 8.在长方体ABCD-4BCD中，直线AC与平面ABCD所成角为C,与平面ABB,4所成角为B, 与平面ADD4所成角为7，若ana=},ang=},则an厂 A.6 B. C. 6 D.②7 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，至少有两项是 符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分， 9.下列说法正确的有 A.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体叫做棱柱 B.平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D.相等的角在直观图中仍然相等， 10.设、22、23为复数，≠0，下列命题中正确的是 A.若22=3，则2=±3 B.若1·22=13，则2=3 C.若z2=3,则白·22=3z D.若422=4，则=2 11.如图，正方形ABCD-4BCD的棱长为1，线段BD有两个动点E,F,且EF=巨，则下 列结论正确的是 A.AC⊥BE D B.异面直线AE,BF所成角为定值 C.直线AB与平面BEF所成角为定值 D.以ABEF为顶点的四面体的体积不随EF位置的变化而变化（四 面体体积公式为了h,s为底面积，h为高) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设ā，石为单位向量，a在石上的投影向量为}万，则3ā- 13.己知二面角a-l-B的大小为60°，二面角内一点P到平面aB的距离分别为3和5，则P到 1的距离为 页 14.设Ox,Oy是平面内的两条数轴，∠xOy=9(0<0<π)，e,e2分别是与x轴、y轴正方向同向的 单位向量.若OM=x阳，+ye2,则把有序数对(c,)叫做向量OM在坐标系Oy中的坐标.己知 OA=(3,0),OB=1,1),对任意t∈R,1OA-tOB≥2恒成立，则cos0的取值范围为一 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos2A-3cos(B+C)=1. (1)求A的大小： (2)若△ABC的面积S=3√5，b=4,求sinBsinC的值. 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为梯形，BCI/AD,平面PAB⊥ 平面PBC,且AB=BC=1,PA=AD=2 Q (1)若平面PBC与平面PAD相交于直线I,求证：BC/l: (2)求证：AB⊥BC. 17.(本小题满分15分) 已知复数2cosa+isin,2=cosB-isin,a,B均为锐角，且lh-2=25 5 (1)求cos(a+B)的值； (2)若c0sa=号，求c0sB的值. 第2页 18.(本小题满分17分) 如图，在三棱柱ABC-4BC中，侧棱A4⊥底面ABC,M为棱AC的中点，AB=BC,AC=2,A4=√2 (1)求证：BC∥平面4BM; (2)求证：AC1⊥平面ABM; (3)在棱BA上是否存在点N使得平面4CN上平面4CC?如果存在，求此时路的值：如 果不存在，请说明理由 B B C 19.(本小题满分17分) 在△ABC中，CD=2DA,设∠A,∠DBC分别为CB,B=a. 0若B=号 (i)求2AD+BDBD的值： (i)求九的最小值： (2)若九=2，BD=2BC,求cosB的值. 数学答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.已知复数z=1+2i,其中i为虚数单位，则复数z2在复平面内对应的点的坐标为 A.(-4,5) B.(4,3) C.（-3,4) D.(5,4) 【答案】C 2.己知向量a=(m,1),b=(2,-1),且a⊥b,则m= A. B. C.2 D.-2 【答案】A 3.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=45°，a=4,b=2W2,则B的大小为 A.30° B.60° C.30°或150°D.60°或120° 【答案】A 4.如图，△O'AB是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图，其中∠OBA=90°，A'B=1, 则AB= B A.1 B.2 C.2 D.√6 【答案】D A 5.在直四棱柱ABCD-4BCD中，底面ABCD为矩形，点E为4C的中点，AB=A4=2,且AD=2V2, 则异面直线AE与所成角BC的余弦值为 A号 B.9 C.2 2 D.2 【答案】C 6.已知直线l,三个不同的平面a,B,y,则下列能推出α∥B的条件是 A.I⊥a,l∥BB.lI∥a,I∥BC.1⊥a,1⊥BD.a⊥y,B⊥y 【答案】C 7.如图，圆O是边长为2W3的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点D,点M为圆上任意 解三角形 第1 点，BM=xBA+yBD(x,y∈R),则2x十y的最大值为 A.√2 B.√5 C.2 D.22 【答案】C D 8.在长方体ABCD-ABCD中，直线AC1与平面ABCD所成角为C,与平面ABB4所成角为B,与平 面4DD4所成角为y,若ana-号，tamB-号，则tan A.6 B.6 C.5 D.V21 6 3 【答案】D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合 题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的有 A.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体叫做棱柱 B.平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D.相等的角在直观图中仍然相等. 【答案】BC 10.,设、22、3为复数，≠0.下列命题中正确的是 A.若22=3，则2=±3 B.若122=313，则2=3 C.若4122=，则=2 D.若2=3，则a·22=名13 【答案】BD 11.如图，正方形ABCD-4BCD的棱长为1，线段BD有两个动点E,F,且 EF=巨，则下列结论正确的是 2 A.AC⊥BE B.异面直线AE,BF所成角为定值 C.直线AB与平面BEF所成角为定值 D.以ABEF为顶点的四面体的体积不随EF位置的变化而变化（四面体体积公式为号h,5为底面 积，h为高) 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.设ā，6为单位向量，ā在万上的投影向量为，万，则3ā-= 【答案】2√5 13.已知二面角-1-B的大小为60°，二面角内一点P到平面aB的距离分别为3和5，则P到1的距 离为 【答案】14 14.设Ox,Oy是平面内的两条数轴，∠xOy=(0<日<π)，e,e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向 量.若OM=xe,+y2,则把有序数对(x,y)叫做向量OM在坐标系Oy中的坐标.已知OA=(3,0), OB=(1,1),对任意t∈R,|OA-1OB≥2恒成立，则cos0的取值范围为 【答案】(-1， 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,己知cos2A-3cos(B+C)=1. (1)求A的大小： (2)若△ABC的面积S=3√5，b=4,求sinBsinC的值. COSA= 【答案】(1)原式可化为：2c0s2A+3c0sA-2=0,解之得： 2或-2（舍去） ”0<A<元，A= 3 ②因为Scsn4=3W5,×4e×5-3W5c=3.由余弦定理得：a=B+e-2 eo=5、 2 2 b c a 2v39 正弦定理得：sinB sinC sinA3,代入b=4,c=3得 sin B.sinC=4x3x3x3 9 2W3923913 解三角形 第2 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为梯形，BC/IAD,平面PAB⊥平 面PBC,且AB=BC=1,PA=AD=2. (1)若平面PBC与平面PAD相交于直线1，求证：BC//I; (2)求证：AB⊥BC; 【小问1详解】 由BC/IAD,BC在平面PAD,ADC平面PAD,得BC/I平面PAD, 又BCC平面PBC,且平面PBC与平面PAD相交于直线I,所以BC/I. 【小问2详解】 在平面PAB内作AH⊥PB于H, :平面PAB⊥平面PBC,平面PABO平面PBC=PB, .PH⊥平面PBC,BCc平面PBC,则PH⊥BC 又PA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,则PA⊥BC, 又PA∩AH=A且都在平面PAB内，故BC⊥平面PAB, 又ABC平面PAB,则BC⊥AB 17.(本小题满分15分) 已知复数=cosa+isin,2=cos0--isinp,a,B均为锐角，且lh1-225 5 (1)求cos(a+B)的值： (2)若c0sa=号，求c0sB的值. (I)因为复数z,=cosa+isina,z2=cosB-isinB,所以z1-z2=(cosa-cosβ)+i(sina+sinB) 所以z,-z=V(cosa-cosB)}'+(sina+sinB}=√2-2(cosacosB---sinasinB) -2-2e-网因为-小25所以2-2me*可-2，特：0e+-号 @因为a,8约为帆角，所以0ca+0<,所以s血e+)--os(a+可--得)-号 页 证明如下：设AC的中点为D,连接DM,DN,如图所示： cosB=cos[(a+B)-a]=cos(a+B)cosa+sin(a+B)sina= 43.3424 因为D,M分别为4C,4C的中点，所以DMICC,,且DM=CC 5555-25 又因为N为BB的中点，所以DMIIBN,且DM=BN, 18.(本小题满分17分) 所以四边形BNDM为平行四边形，所以BMIIDN, 如图，在三棱柱ABC-4BC中，侧棱A4⊥底面ABC,M为棱AC的中点，AB=BC,AC=2,A4=√2. 由(2)知：BM⊥平面ACC,A,所以DN⊥平面ACCA. (1)求证：BC∥平面4BM: 又因为DNC平面ACN,所以平面AC,N⊥平面ACCA. 19.(本小题满分17分) (2)求证：AC⊥平面4BM: 在△ABC中，CD=2DA,设∠A,∠DBC分别为a,B,B=C. (3)在棱BB上是否存在点N,使得平面ACN⊥ 平面4CC?如果存在，求此时器的值：如果不存在，请说明理由。 (I)若B=受 (i)求(2AD+BD)BD的值： 【详解】(1)连接AB与AB,两线交于点O,连接OM,如图所示： (i)求元的最小值： 在△B,AC中，因为M,O分别为AC,AB的中点，所以OMIB,C, (2)若元=2，BD=2BC,求coSB的值 又因为OMc平面ABM,BC工平面ABM,所以B,C∥平面ABM 【小间1详】G因为∠D8C-子，而=2D1。 (2)因为侧棱A4⊥底面ABC,BMc平面ABC,所以A4⊥BM 所以(2AD+BD)BD=(DC+BD)BD=BC.BD=0. 又因为M为棱AC的中点，AB=BC,所以BM⊥AC 因为A4∩AC=A,AA,ACc平面ACCA, (i)方法-：由(2AD+BD)BD=0得（3AD-ABAD-AB=0, 所以BM⊥平面ACC,A,所以BM⊥AC. 即0=3AD2+AB2-4AD.AB=3AD2+AB2-4 ADABc0s4,所以c0s4=3AD+AB 因为AC=2,所以AM=1. 4AD·AB 又因为AA=V2,所以在RT△ACC,和RT△AAM中，tan∠ACC=tan∠AMA=√2， ≥231D:B=5,当且仅当5AD=4B时等号成立，即co34≥5 4AD·AB2 所以∠ACC=∠AMA,即∠AC,C+∠C,AC=∠AMA+∠C,AC=90,所以AM⊥AC. 因为BM∩AM=M,BM,AMc平面ABM,所以AC⊥平面ABM 因为A(0列，所以0<4≤石，即0<a≤名，所以2-E_2之3所以2的最小值为3. 6 aa ③当点N为B踢的中点，即然-时，平面ACN1平面4G© 方法设∠0C=0=,则CD=2,图为2C0-号故00引 解三角形 第3页 所以BD=2xC0s0,在△ABD中，由正弦定理得 BD AD sinA sin∠ABD p 2xcos0 sina sin(0-a'所以2 cosin(6-a）=sina,所以2cos6sin6cosa-2cos'8sina=sina, 因为cos20cosx≠0，所以2tan0-2tana= tang=tana(tan20+1）,所以anx= 2tane cos20 tan20+3 2tane 因为tanB>0,所以tana= 2tan0√5 ≤ 当且仅当tan0=√5时等号成立， tan20+32√3tan03 因为A∈(0，)，所以0<A≤T,即0<a≤T, 6 6 2 所以元=E_2≥3'所以元的最小值为3： 【小问2详解】设AD=x,AB=y,BC=m,则CD=2x,BD=2m, 在△ABD,.△DBC中， CD BC 由正弦定理得 BD AB sinA sin.∠BDA'sin∠DBC sin.∠BDC 即2m y 2x m sinA sin∠BDA'sin2Asin∠BDC 因为sin∠BDA=sin∠BDC,所以cosA= 2m2,@ 在△M8D,△1BC中，由余弦定理得co8=+4,@c04=9r+y-m ,③ 2xy 6xy 由②③得6x2+11m2=2y2, 由0②得y=m(+y-4m）,故2+mx-m=0,即x=5m m,所以y=√7m, 2 所以cosA=y=V14 3 2m2 4 所t以eas∠D8C=6os2A=2sSA-1=2×4 4 14 解三角形 第4页