广西玉林市第一中学2025-2026学年高二下学期自主限时训练(十)数学试卷（6.22）

**基本信息** 玉林一中高二数学周测试卷，涵盖集合、函数、概率等核心知识，通过分层设问与情境化设计，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，适配高二限时训练需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|6|集合运算、充分必要条件、函数性质、二项式系数、概率计算、不等式恒成立|基础概念辨析，如第2题结合集合关系判断充要条件| |多选题|2|概率独立事件、基本不等式应用|多选项设计考查逻辑严谨性，如第8题综合不等式最值证明| |填空题|3|函数取值范围、导数应用、排列组合|情境化问题，如第11题团队闯关方案设计| |解答题|1|导数证明与极值点参数范围|分层设问，第（1）问证明不等式，（2）问探究极值条件，体现数学思维的严谨性|

玉林一中高二数学自主限时训练10（6.22） 姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1．已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 2．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设，若，则（    ） A． B． C． D． 4．的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 5．已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 6．若，，且，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 二、多选题 7．某班级有60%的学生报名参加了数学竞赛，40%的学生报名参加了物理竞赛．报名参加数学竞赛的学生中，有30%同时也报名参加了物理竞赛．从该班级中随机抽取一名学生，记事件为“该学生报名参加数学竞赛”，事件为“该学生报名参加物理竞赛”．则以下说法正确的是（   ） A．事件和事件是独立事件 B． C． D． 8．已知a，b为正实数，且，下列正确的是（   ） A．的最小值为4 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 题目 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题 9．已知，，则的取值范围为__________． 10．已知函数的导函数满足在上恒成立，则不等式的解集是___________. 11．某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡，现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，每一个选手参加一个关卡的闯关，每一个关卡至少一个选手参加，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有______种. 四、解答题 12．已知函数．（为自然对数的底数） （1）设为的导函数，求证：当时，； （2）若，且是的极小值点，求实数的取值范围． 玉林一中高二数学自主限时训练10（6.22）试卷第1页，共3页 玉林一中高二数学自主限时训练10（6.22）试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《玉林一中高二数学自主限时训练10（6.22）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C D D A BCD ACD 1．B【详解】因为且，所以或， ①若，此时，不满足元素的互异性；②若，解得或3，当时不满足元素的互异性，当时，符合题意.综上所述，. 2．A【详解】由，可得或，又集合是集合或的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A 3．C由题意可知，当时，，所以由得；当时，，所以由得，无解.综上，. 4．D【详解】，项对应， ，项对应系数为，故展开后系数为. 5．D【详解】记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件，根据题意可得，，所以. 6．A【详解】因为，，，所以.当且仅当时，等号成立，所以的最小值为8，由题可知，，即，解得， 7．BCD依题意，，对于C，在报名参加数学竞赛的学生中，同时报名参加物理竞赛的概率，C正确；对于A， 由于，事件和事件不是独立事件，A错误；对于B，，B正确；对于D，，D正确． 8． ACD【详解】正实数a，b满足，则，对于A，由，当且仅当时取等号，则，即的最小值为4，故A正确；对于B，由，当且仅当时取等号，于是，解得，因此的最大值为4，故B错误；对于C，，则， 9． 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故C正确；对于D，，由A知，，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D正确. 9．【详解】由，，得，则，当且仅当，即时取等号，所以的取值范围为. 10．【详解】令，则，所以在上单调递增，由，得，即，又在上单调递增，所以得.所以不等式的解集是. 11．10【详解】已知甲负责第一关，从剩余4人中选2人去第四关，共种选法，剩下2人全排列去第二、三关，共种排法，总方案数为 6 × 2 = 12，不符合条件（乙丙同关卡）的情况：因为第二、三关都只有1个位置，乙丙只能同时在第四关，此时剩下2人全排列去第二、三关，共种， 因此符合条件的方案数为 12 − 2 = 10 . 12．（1）证明见解析；（2）. 【详解】（1）当时，，即证，即， 先证：，令，，当时，，当时，，所以，所以；再证：，令，则，当时，，当时，，所以，所以；所以，即，所以； （2），，所以在上单调递增，所以在处取得极小值，且，解之得，当时，，当时，，当时，，此时在处取得最小值，综上. 玉林一中高二数学自主限时训练10（6.22）答案第1页，共2页 玉林一中高二数学自主限时训练10（6.22）答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $