内容正文:
六年级数学暑假自学课(人教版·新教材)
第二单元:分数乘法
专题06:分数、小数混合运算及运算律
知识点精讲
知识点01:分数乘小数
内容
计算方法
(1)把小数转化成分数,按分数乘分数的方法进行计算;
(2)把分数转化成小数,按小数乘小数的方法进行计算。
简便算法
在计算小数乘分数时,如果小数能和分数的分母约分,可以先约分再计算,这样可以使计算简便。
【典型例题1】计算时,算式( )最合理。
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】分数乘小数的计算方法:分数的分母与小数能约分的先约分,再计算;如果不能约分,把小数转换成最简分数,按分数乘分数的方法进行计算。
【详解】A.把化成小数,因为是无限小数,保留两位小数,转化成小数乘小数的计算,计算仍然有误差,计算方法不是最合理;
B.计算结果不是最简分数,还要继续计算;
C.把0.25化成最简分数,再与相乘,转化成分数乘分数的计算,能约分的先约分,再计算,计算方法合理;
D.把0.25化成分数,不是最简分数,且计算结果不是最简分数,计算方法不合理。
故答案为:C
【典型例题2】2.5米的是( )米,2.8吨的是( )吨。
【答案】 0.5 0.8
【分析】求2.5米的,就用2.5×,求2.8吨的,用2.8×,据此解答。
【详解】2.5×=2.5×0.2=0.5(米)
2.8×=0.8(吨)
2.5米的是0.5米,2.8吨的是0.8吨。
【典型例题3】小明看见远处的闪电后,经过3.75秒听到雷声。已知雷声在空气中每秒约传千米,闪电的传播时间忽略不计。
【答案】1.25千米
【分析】根据路程=速度×时间,用雷声在空气中的速度×听到雷声的时间,即可解答。
【详解】×3.75=1.25(千米)
答:闪电的地方离小明大约1.25千米。
【变式训练1】 (填小数)=( )
【答案】12;;0.5;1.2
5;3;;1;0.03;0.33
【分析】小数乘分数计算法则,把小数化成分数,然后按照分数乘分数的法则进行计算。分数乘分数,用分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分母,能约分的先约分再计算会更简便。如果分数能化成有限小数,可把分数化成小数,再按照小数乘法的法则进行计算。小数乘法先按照整数乘法的计算法则算出积,再看因数中共有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上小数点。 当小数与分数的分母存在倍数关系时,可以直接约分,然后再计算。以此答题即可。
【详解】 (填小数)=(1.2)
【变式训练2】在括号里填上“>”“<”或“=”。
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
【答案】 < > > > = =
【分析】一个数(0除外)乘小于1的数,积比原来的数小。
一个数(0除外)乘大于1的数,积比原来的数大。
分数与小数乘法的计算方法:分数的分母与小数能约分的先约分,再计算;如果不能约分,把小数转换成分数,按分数乘分数的方法进行计算。
【详解】(1),;
(2),;
,所以;
(3),所以;
(4)
,所以;
(5),
,所以;
(6),;
,所以。
【变式训练3】做一个大中国结需要1.4m彩绳,做一个小中国结需要的彩绳是做一个大中国结的,做一个小中国结需要( )m彩绳。
【答案】0.7/
【分析】已知做一个大中国结需要1.4m彩绳,做一个小中国结需要的彩绳是做一个大中国结的,也就是1.4m的,根据求一个数的几分之几是多少,用乘法计算即可求解。
【详解】1.4×=0.7(m)
做一个小中国结需要0.7m彩绳。
知识点02:分数的混合运算和简便运算
内容
运算顺序
有括号的,先算括号里面的,再算括号外面的;没有括号的,先算乘除法,再算加减法;同级运算,按从左往右的顺序计算。
运算定律
整数乘法的运算定律对于分数乘法也同样适用。运用乘法运算定律,可以使计算简便些。
乘法交换律:a×b=b×a
乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律:a×(b+c)=a×b+a×c
乘法运算定律的应用
运用乘法运算定律可以使分数乘法的计算简便:
(1)几个分数连乘时,可以运用乘法交换律或结合律进行简算。
(2)几个分数的和与整数相乘时,如果所乘整数是这几个分数分母的公倍数,可以运用乘法分配律进行简算。
【典型例题1】根据乘法的运算定律填空。
(1)×40×=×_____×_____=_____。根据____________。
(2)×+×=_____×(_____+_____)=_____。根据____________。
(3)(+)×20=_____×_____+_____×_____=_____+_____=_____。根据_________。
【答案】(1) 40 40 乘法交换律
(2) 乘法分配律
(3) 20 20 4 5 9 乘法分配律
【分析】乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘,可以先把它们分别与这个数相乘,再相加;(a+b)×c=a×c+b×c;
三个数相乘,先把前两个数相乘,再和另外一个数相乘,或先把后两个数相乘,再和另外一个数相乘,积不变,叫做乘法结合律;a×b×c=a×(b×c);
乘法交换律是一种计算定律,两个数相乘,交换因数的位置,它们的积不变,叫做乘法交换律;a×b=b×a;据此解答。
【详解】(1)×40×=××40=40。根据乘法交换律。
(2)×+×=×(+)=。根据乘法分配律。
(3)(+)×20=×20+×20=4+5=9。根据乘法分配律。
【典型例题2】用简便算法计算下面各题。
【答案】;;0;5
【分析】分数的连乘,可以将分子和分母相同数先约分然后再将互为倍数的分子和分母约分。即可以将中的分子11和中分母的11先约分。然后再计算。
利用乘法的分配律提出,再将剩下的数相加即可。
先将0.25转化为小数为,再利用乘法的分配律将剩下的数相加,相减。
先利用乘法的分配律将括号外面的11分别与括号里面的数相乘,再利用加法的结合律将同分母的分数相加即可。
【详解】
=
=
【典型例题3】小明把错当成进行计算,这样算出的结果与正确的结果相差( )。
A.5 B.6 C.5a D.6a
【答案】C
【分析】根据乘法分配律a×(b+c)=a×b+a×c将正确算式括号内的每一项分别与6相乘,再相加计算出结果;
按照“先乘除,后加减,先括号里,再括号外”的四则混合运算顺序,将错误算式先算乘法再算加法计算出结果;
用正确结果减去错误结果即可计算差值。
【详解】
=
=
=
=
=
=
所以计算出的结果与正确的结果相差。
故答案为:C
【变式训练1】算式中,运用了( )。
A.乘法交换律和乘法结合律 B.乘法分配律
C.乘法交换律和乘法分配律 D.乘法结合律和乘法分配律
【答案】A
【分析】乘法交换律:两个数相乘,交换两个因数的位置,积不变;乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,再与第三个数相乘,或者先把后两个数相乘,再与第一个数相乘,积不变;乘法分配律:一个数乘两个数的和,等于这个数分别乘这两个数,然后把乘得的积相加。据此解答。
【详解】,交换了因数和37的位置,同时又用括号使后两个因数先乘,符合乘法交换律和乘法结合律的特征。
所以算式中,运用了乘法交换律和乘法结合律。
故答案为:A
【变式训练2】当是( )时,计算运用乘法分配律可以更简便。
A.12 B.35 C.57 D.75
【答案】B
【分析】整数乘法运算定律对于分数乘法同样适用,可以利用乘法分配律(a+b)×c=a×c+b×c转化为,此时当是5和7的公倍数时可以约分计算,使计算更加简便,据此解答。
【详解】5和7的最小公倍数:5×7=35
当是5和7的公倍数时,计算运用乘法分配律可以更简便,选项中只有35是5和7的公倍数。
故答案为:B
【变式训练3】与算式相等的算式是( )。
A. B. C.
【答案】C
【分析】乘法分配律,算式中的整数98与分数的分母99比较接近,可以把整数98改写为(99-1),再用括号外的分数分别乘99和1,就可以简算。据此解答。
【详解】
则与算式相等的算式是。
故答案为:C
课后强化
一、选择题
1.下列各式中,与1.2的结果相等的是( )。
A. B.3.6× C.+
【答案】C
【分析】将题中算式以及选项中算式的结果——计算出来,再比较即可。
【详解】1.2=0.8
A.=,=0.16
B.3.6×=2
C.+=,=0.8
各式中,与1.2的结果相等的是+。
故答案为:C
2.两根同样长的绳子(不足1米),第一根剪去它的,第二根剪去米,剩下的绳子相比( )。
A.第一根长 B.第二根长 C.无法确定哪根长
【答案】A
【分析】根据题意,两根同样长的绳子不足1米,设绳子长是0.9米,分别求出第一根和第二根剩下的长度,再进行比较,即可解答。
【详解】设绳子的长度是0.9米。
0.9×(1-)
=0.9×
=0.54(米)
0.9-=0.5(米)
0.54>0.5,第一根剩下的长。
两根同样长的绳子(不足1米),第一根剪去它的,第二根剪去米,剩下的绳子相比第一根剩下的长。
故答案为:A
3.,这是根据( )计算的。
A.乘法结合律 B.乘法交换律 C.乘法分配律
【答案】C
【分析】利用乘法分配律把36分别与括号里面的和相乘,再把两个积相加,这正是乘法分配律的典型应用。
【详解】
=
=
=
故答案为:C
4.20×()=20×+20×,这是根据( )计算的。
A.乘法交换律 B.乘法分配律 C.乘法结合律
【答案】B
【分析】乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘,可以先把它们分别与这个数相乘,再相加,用字母表示为(a+b)×c=a×c+b×c。在20×()=20×+20×中,是20与和的和相乘,转化为20分别与、相乘,再相加,符合乘法分配律的形式。
【详解】题意算式中,是把20与和的和相乘,转化为20分别与、相乘,再相加。
所以这是根据乘法分配律计算的。
故答案为:B
5.下列算式中,结果与相等的是( )。
A. B. C.
【答案】C
【分析】98×,把98化为99-1,原式化为:(99-1)×,再根据乘法分配律,化简,即可解答。
【详解】98×
=(99-1)×
=99×-1×
=99×-
下列算式中,结果与98×相等的是99×-。
故答案为:C
二、填空题
6.0.7×,我们可以把0.7化成( )数进行计算,也可以把化成( )数进行计算。
【答案】 分 小
【分析】计算分数乘小数时,可以先把小数转化为最简分数,再按照分数乘分数的计算方法约分计算;也可以把分数化成小数,按照小数乘小数的计算方法计算;据此解答。
【详解】由分析可得:0.7×,我们可以把0.7化成分数进行计算,也可以把化成小数进行计算。
7.____×(____×____) ____×(____×____)
【答案】 18 36
【分析】乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,再与第三个数相乘,或者先把后两个数相乘,再与第一个数相乘,积不变;据此解答。
【详解】×(18×)
×(×36)
8.。
【答案】0.1;12;1.5
【分析】通过计算,可得,则,根据一个乘数等于积除以另一个乘数,代入数据计算,即可解答;因为,所以。据此解答。
【详解】
1.5÷15=0.1
因为,所以。
即
9.一根绳子长为,它的3.6倍是( )m。
【答案】2.7
【分析】求一个数的几倍用乘法计算,用绳子的长度×3.6,即可解答。
【详解】×3.6=2.7(m)
一根绳子长为m,它的3.6倍是2.7m。
10.如果,那么;如果,那么。
【答案】;90
【分析】根据乘法交换、结合律将原式化为:,再将代入即可求出的值。
根据乘法分配律将化为: ,再将代入即可求出的值。
【详解】
=
=
=×100÷20
=
=
=150×
=90
如果,那么;如果,那么。
11.我会比。(在括号里填上“>”“<”或“=”)
( ) ( )
( ) ( )
【答案】 < < > =
【分析】根据题意,算出算式的结果进行比较即可。
(1)=2;=2.88比较大小即可。
(2)=0.075;=0.08,比较大小即可。
(3)=9.6;=6.3,比较大小即可。
(4)=2.88;=2.88,比较大小即可。
【详解】< < > =
12.的2.4倍是( ),12.6的的是( )。
【答案】 1.8// 3.5//
【分析】求一个数的几倍,列乘法算式,按照分数乘小数的方法计算。连续求一个数的几分之几是多少,列连乘法算式,按照分数乘小数的方法计算。据此解答。
【详解】
故的2.4倍是1.8,12.6的的是3.5。
13.一桶油重9.6kg(不包含桶),用去了,用去了( )kg。
【答案】5.76
【分析】把油的重量看作单位“1”, 用去了,求用去的重量,用油的重量×解答。
【详解】9.6×=5.76(kg)
用去了5.76kg。
14.如图所示,这块三角形菜地的面积是( )m2。
【答案】0.45
【分析】已知三角形菜地的底是1.5m,高是m,根据三角形的面积=底×高÷2,代入数据计算,即可求出这块三角形菜地的面积。
【详解】1.5×÷2
=0.9÷2
=0.45(m2)
这块三角形菜地的面积是0.45m2。
15.一堆沙重1.2t,若用去,用去了( )t;若用去,还剩下( )t。
【答案】 0.9 0.45
【分析】以这堆沙1.2t为单位“1”,用去的占这堆沙的,求1.2t的是多少,用1.2×即可求出用去的吨数;这堆沙1.2t,用去,用1.2-即可求出剩下的吨数。
【详解】1.2×=0.9(t)
1.2-
=1.2-0.75
=0.45(t)
一堆沙重1.2t,若用去,用去了0.9t;若用去,还剩下0.45t。
16.航航在计算(□)×时,错算成□×,这样得数比原来多了( )。
【答案】
【分析】根据乘法分配律,先求出(+□)×的结果,再用+□×减去前面算式即可。
【详解】+□×-(+□)×
=+□×-(×+□×)
=+□×-(+□×)
=+□×--□×
=(-)+(□×-□×)
=+0
=
所以这样得数比原来多了。
17.矩阵在计算机应用中十分广泛。例如数字图像处理、计算机图形学、人工智能、网络通信以及一般的算法设计和分析等。二阶矩,求( )。
【答案】
【分析】由题干二阶矩可知,二阶矩等于与的乘积减去与的乘积,由此将数值代入,计算出结果即可。
【详解】中,,,;
即。
18.鸵鸟是现在世界上最大的鸟,身高可达2.5米。一只成年的帝企鹅身高是鸵鸟的。成年帝企鹅的身高是( )米。
【答案】1.2
【分析】根据题意可知,把鸵鸟的身高看作单位“1”,根据分数乘法的意义,用2.5×即可求出成年帝企鹅的身高。据此解答。
【详解】2.5×=1.2(米)
成年帝企鹅的身高是1.2米。
三、计算题
19.计算下面各题。
(1) (2) (3)
【答案】13;;5
【分析】(1)运用乘法分配律进行简算,将12分别与括号内的两个分数相乘后再相加,简化计算过程;
(2)运用乘法分配律逆运算进行简算,提取相同因数,先算括号内的和,再与相乘;
(3)先将除法转化为乘法(除以一个数等于乘它的倒数),再运用乘法分配律进行简算,分别计算两个分数与24的乘积后再相减。
【详解】(1)
(2)
(3)
20.下面各题,怎样算简便就怎样算。
(1) (2)9.5×+0.2×9.5 (3)2024×
【答案】(1);(2)9.5;(3)
【分析】(1)利用减法性质去括号,凑整简化。
(2)逆用乘法分配律,用相同因数 9.5乘另外两个因数的和。
(3)把2024拆分成2023+1,用乘法分配律简化分数乘法。
【详解】(1)
=
(2)9.5×+0.2×9.5
=9.5×0.8+0.2×9.5
=9.5×(0.8+0.2)
=9.5×1
=9.5
(3)
21.看图列式计算。
【答案】
【分析】从图中可以看出,把长度为2.4m的线段平均分成了3份,求其中2份的长度。即求2.4m的是多少,用乘法计算。
【详解】
四、解答题
22.据了解,1吨黄豆大约可榨油吨,李叔叔家现在有黄豆0.75吨,李叔叔家的黄豆能榨多少吨的油?
【答案】0.15吨
【分析】已知1吨黄豆大约可榨油吨,求0.75吨黄豆能榨多少吨油,就求出0.75个是多少,根据求一个数的几分之几是多少,用乘法计算。
【详解】0.75×=0.15(吨)
答:李叔叔家的黄豆能榨0.15吨的油。
23.鸵鸟是现在世界上最大的鸟,身高可达2.5米,某种企鹅的身高是鸵鸟的。这种企鹅的身高是多少米?
【答案】0.6米
【分析】将鸵鸟的身高看成单位“1”,就是求2.5米的是多少,求一个数的几分之几用乘法。
小数乘分数,可以将小数和分数的分母约分后再计算,或者将小数转化为分数后根据分数的乘法计算。
【详解】2.5×=0.6(米)
答:这种企鹅的身高是0.6米。
24.某果园果树种植面积为28.5公顷,其中的是苹果树的种植面积,其他果树的种植面积是多少公顷?
【答案】17.1公顷
【分析】把果树种植的总面积看作单位“1”,苹果树的种植面积占总面积的,根据求一个数的几分之几是多少,用乘法计算,求出苹果树的种植面积;再用总面积减去苹果树的种植面积,即是其他果树的种植面积。
【详解】28.5×=11.4(公顷)
28.5-11.4=17.1(公顷)
答:其他果树的种植面积是17.1公顷。
25.张明的身高是1.65米,赵红的身高是张明的。赵红的身高是多少米?
【答案】1.54米
【分析】求赵红的身高就是求1.65米的是多少,列乘法算式解答。
【详解】(米)
答:赵红的身高是1.54米。
26.公园的园丁新种植了480盆花,其中杜鹃花占,月季花占。新种植的这两种花共有多少盆?
【答案】400盆
【分析】把花的总数看作单位“1”,根据分数乘法的意义,用花的总数乘即可求出杜鹃花的数量,用花的总数乘即可求出月季花的数量,再将两种花的数量相加即可。
【详解】480×+480×
=480×(+)
=480×
=400(盆)
答:新种植的这两种花共有400盆。
27.小明有9.6元钱,要购买巧克力糖,其售价如下,最多可以买多少块?
本周特价
巧克力糖每块1.6元,按原价的销售。
【答案】8块
【分析】求一个数的几分之几是多少,用这个数乘分率。将原价看作单位“1”,用原价乘,求出现价。根据“数量=总价÷单价”列式求出现在最多可以买多少块。
【详解】9.6÷(1.6×)
=9.6÷1.2
=8(块)
答:最多可以买8块。
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专题06:分数、小数混合运算及运算律
知识点精讲
知识点01:分数乘小数
内容
计算方法
(1)把小数转化成分数,按分数乘分数的方法进行计算;
(2)把分数转化成小数,按小数乘小数的方法进行计算。
简便算法
在计算小数乘分数时,如果小数能和分数的分母约分,可以先约分再计算,这样可以使计算简便。
【典型例题1】计算时,算式( )最合理。
A. B.
C. D.
【典型例题2】2.5米的是( )米,2.8吨的是( )吨。
【典型例题3】小明看见远处的闪电后,经过3.75秒听到雷声。已知雷声在空气中每秒约传千米,闪电的传播时间忽略不计。
【变式训练1】 (填小数)=( )
【变式训练2】在括号里填上“>”“<”或“=”。
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
【变式训练3】做一个大中国结需要1.4m彩绳,做一个小中国结需要的彩绳是做一个大中国结的,做一个小中国结需要( )m彩绳。
知识点02:分数的混合运算和简便运算
内容
运算顺序
有括号的,先算括号里面的,再算括号外面的;没有括号的,先算乘除法,再算加减法;同级运算,按从左往右的顺序计算。
运算定律
整数乘法的运算定律对于分数乘法也同样适用。运用乘法运算定律,可以使计算简便些。
乘法交换律:a×b=b×a
乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律:a×(b+c)=a×b+a×c
乘法运算定律的应用
运用乘法运算定律可以使分数乘法的计算简便:
(1)几个分数连乘时,可以运用乘法交换律或结合律进行简算。
(2)几个分数的和与整数相乘时,如果所乘整数是这几个分数分母的公倍数,可以运用乘法分配律进行简算。
【典型例题1】根据乘法的运算定律填空。
(1)×40×=×_____×_____=_____。根据____________。
(2)×+×=_____×(_____+_____)=_____。根据____________。
(3)(+)×20=_____×_____+_____×_____=_____+_____=_____。根据_________。
【典型例题2】用简便算法计算下面各题。
【典型例题3】小明把错当成进行计算,这样算出的结果与正确的结果相差( )。
A.5 B.6 C.5a D.6a
【变式训练1】算式中,运用了( )。
A.乘法交换律和乘法结合律 B.乘法分配律
C.乘法交换律和乘法分配律 D.乘法结合律和乘法分配律
【变式训练2】当是( )时,计算运用乘法分配律可以更简便。
A.12 B.35 C.57 D.75
【变式训练3】与算式相等的算式是( )。
A. B. C.
课后强化
一、选择题
1.下列各式中,与1.2的结果相等的是( )。
A. B.3.6× C.+
2.两根同样长的绳子(不足1米),第一根剪去它的,第二根剪去米,剩下的绳子相比( )。
A.第一根长 B.第二根长 C.无法确定哪根长
3.,这是根据( )计算的。
A.乘法结合律 B.乘法交换律 C.乘法分配律
4.20×()=20×+20×,这是根据( )计算的。
A.乘法交换律 B.乘法分配律 C.乘法结合律
5.下列算式中,结果与相等的是( )。
A. B. C.
二、填空题
6.0.7×,我们可以把0.7化成( )数进行计算,也可以把化成( )数进行计算。
7.____×(____×____) ____×(____×____)
8.。
9.一根绳子长为,它的3.6倍是( )m。
10.如果,那么;如果,那么。
11.我会比。(在括号里填上“>”“<”或“=”)
( ) ( )
( ) ( )
12.的2.4倍是( ),12.6的的是( )。
13.一桶油重9.6kg(不包含桶),用去了,用去了( )kg。
14.如图所示,这块三角形菜地的面积是( )m2。
15.一堆沙重1.2t,若用去,用去了( )t;若用去,还剩下( )t。
16.航航在计算(□)×时,错算成□×,这样得数比原来多了( )。
17.矩阵在计算机应用中十分广泛。例如数字图像处理、计算机图形学、人工智能、网络通信以及一般的算法设计和分析等。二阶矩,求( )。
18.鸵鸟是现在世界上最大的鸟,身高可达2.5米。一只成年的帝企鹅身高是鸵鸟的。成年帝企鹅的身高是( )米。
三、计算题
19.计算下面各题。
(1) (2) (3)
20.下面各题,怎样算简便就怎样算。
(1) (2)9.5×+0.2×9.5 (3)2024×
21.看图列式计算。
四、解答题
22.据了解,1吨黄豆大约可榨油吨,李叔叔家现在有黄豆0.75吨,李叔叔家的黄豆能榨多少吨的油?
23.鸵鸟是现在世界上最大的鸟,身高可达2.5米,某种企鹅的身高是鸵鸟的。这种企鹅的身高是多少米?
24.某果园果树种植面积为28.5公顷,其中的是苹果树的种植面积,其他果树的种植面积是多少公顷?
25.张明的身高是1.65米,赵红的身高是张明的。赵红的身高是多少米?
26.公园的园丁新种植了480盆花,其中杜鹃花占,月季花占。新种植的这两种花共有多少盆?
克力糖,其售价如下,最多可以买多少块?
本周特价
巧克力糖每块1.6元,按原价的销售。
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