第08讲 直角三角形性质和判定（暑假预习讲义）新八年级数学新教材浙教版

第08讲 直角三角形性质和判定 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1直角三角形的两个锐角互余 题型2斜边的中线等于斜边的一半 题型3用HL证全等(HL) 题型4全等的性质和HL综合(HL) 题型5旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 题型6垂线模型(全等三角形的辅助线问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 直角三角形 两锐角互余 斜边中线性质 30°直角三角形性质 HL 全等判定 1.学生能准确说出直角三角形的定义（直角、直角边、斜边，记作 Rt△），理解并掌握直角三角形核心性质：两锐角互余、勾股定理、斜边中线等于斜边一半、30° 角所对直角边等于斜边的一半。能够运用直角三角形的性质解决简单几何问题，如证明线段相等、角度相等，以及边长、角度、周长相关计算。 2.了解直角三角形各类判定方法（有直角、两锐角互余、勾股逆定理、斜边中线判定），能运用判定定理判断一个三角形是否为直角三角形。 3.掌握直角三角形专属全等判定 HL 定理，会区分普通三角形全等与直角三角形全等的判定差异，能结合性质、判定完成综合证明题。 学习重点： (1)直角三角形四大核心性质的理解与掌握，即准确把握 “两锐角互余”“斜边中线等于斜边的一半”“30° 锐角对的直角边为斜边一半”。 (2)能够熟练运用直角三角形的性质、判定、HL 全等定理，完成几何证明和边长、角度计算类题目。 学习难点： (1) 区分性质与判定的使用场景：正向用性质由直角推边角、线段等量关系；反向用判定由边长、角度关系证明三角形为直角三角形，做题时容易混淆。 (2) 综合题型分类讨论与综合运用：含 30°/45° 特殊直角三角形混合计算、HL 全等结合的综合大题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 直角三角形的性质 1. 两锐角之和等于90° 2. 斜边上的中线等于斜边的一半 3. 30°角所对的直角边等于斜边的一半 4. 若有一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°（应用时需先证明） 即时即练 1．如图，中，D在的延长线上，过D作于F，交于E．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由三角形的外角的性质求出，再根据直角三角形两锐角互余求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 2．如图，中，，点为的中点，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线性质可，然后利用等腰三角形的性质可得，进而可得出结论． 【详解】解：∵， D为中点， ， ， ． 故选：A． 3．如图，中，平分交于点D，点E为的中点，连接，则的周长是（    ） A．20 B．12 C．16 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边的中线性质；根据等腰三角形三线合一求出的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，根据三角形的周长公式计算得到答案． 【详解】解：，平分， ，， ，点为的中点， ， ∴的周长， 故选：C． 知识点02 直角三角形的判定 判定1：有一个角为90°的三角形时直角三角形 判定2：有两个角的和时90°的三角形是直角三角形 判定3：一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形 判定4：若两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，则这两个直角三角形全等。 即时即练 1．如图，，E是上的一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等角对等边. （1）先根据等角对等边得到，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质得到，再证明， 则由勾股定理可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴和均为直角三角形， ∵， ∴， 在和中，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， 在中，，，， 由勾股定理得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴中，由勾股定理得：． 题型 1直角三角形的两个锐角互余 【例1】如图，，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直定义得出，由平行线的性质得出，从而可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． 【变式1-1】如图，直线，点在直线上，点在直线上，连接，过点作，交直线于点．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平行线的性质得到，然后利用直角三角形的两锐角互余得到计算即可． 【详解】解：∵, ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式1-2】如图，在中，，于点，是斜边的中点，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直角三角形斜边中线性质、直角三角形两锐角互余，结合角度之间的数量关系求出，再通过同角的余角相等，得到即可求解． 【详解】解：在中，，是斜边的中点， ， ， ， ， ， 又，且， ， 解得， ， ． 【变式1-3】如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，，则（   ） A． B． C．140° D．145° 【答案】B 【详解】解：如图，延长交于点， ， ， ， ， 在中，， ． 题型 2 斜边的中线等于斜边的一半 【例2】如图，在中，，点为的中点，某同学用刻度尺测量长度时，点、对应的刻度分别为、，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先求出，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，求解即可． 【详解】解：由刻度尺的读数可知，， 在中，点是斜边的中点， ∴． 【变式2-1】如图，在中，是斜边上的中线，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，即可求解． 【详解】解：在中，是斜边上的中线， ， ， ． 【变式2-2】数学课上，老师要求将一个含角的直角三角形，用尺规作图将其分割成两个等腰三角形．甲，乙两人的作法分别如下图所示，则（    ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．两人都错 D．两人都对 【答案】D 【分析】根据两人作图结合等角对等边及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半判断即可． 【详解】解：甲：如图甲， 由作图可知， ∵， ∴， ∴是等腰三角形； ∵，， ∴， ∴是等腰三角形； 可知甲作图正确； 乙：如图乙， 由作图可知为中点， ∵， ∴， 即、是等腰三角形， 可知乙作图正确． 【变式2-3】某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为（　　） A．2.5 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可计算． 【详解】解：∵， ， ∵是的中点， ， 故选：B． 题型 3 用 HL证全等(HL) 【例3】如图，在与中，于点．若，求证：． 【答案】证明：， ∴ ∵， ， 在和中， ， ； ∴． 【分析】由，结合，推出，得，确定两个三角形均为直角三角形．利用定理证明．最后根据全等三角形对应边相等，即可解答． 【详解】略 【变式3-1】如图，在四边形中，，E是上的一点，，连接，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据等角对等边得到，再利用即可证得结论. 【详解】证明：， ， 在和中， ，       ．   【变式3-2】如图，点B、E、C、F在一条直线上，与交于点G，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用证明即可． 【详解】证明：∵ ∴ ∴ ∵， ∴． 【变式3-3】如图，A，E，B，D在同一直线上，，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】利用证明即可． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， 即． 题型 4 全等的性质和 HL 综合(HL)) 【例4】如图，点C在上，，，且，，交于F． (1)求证； (2)求的度数． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】（1）根据条件可知和都是直角三角形，利用证明； （2）根据全等三角形的性质进行等量代换，再利用三角形内角和180°，得到的度数． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式4-1】如图，中，点D为上一点，连接，过点D作，垂足分别是E，F，且满足． (1)求证：平分 (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． (2)15 【分析】（1）先推导出，证明出，得到，则平分，即可解答； （2）先求出，再根据进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵ ∴． 【变式4-2】如图， ，直线与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据同角的余角相等可得，结合 ，利用即可证明结论； （2）根据，结合已知易证，可得 ，即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， ； （2）证明：，， ∴，， ∴ ， ， ， ， ∴平分． 【变式4-3】如图，在中，，点F在线段上，点C在的延长线上，连接，并延长交于点E，且． (1)求证：； (2)若E为中点，，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，结合证明，进而可得，即可证明结论； （2）设，首先证明垂直平分，易得，再根据垂直平分线的性质证明，进而可得，在中，由勾股定理解得的值，进一步求解即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即； （2）解：设， ∵E为中点，且， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 即，解得（负值舍去）， ∴， ∴． 题型5旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【例5】 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【详解】（1）略 （2）略 【变式5-1】已知与中，，，，连接与相交于点，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定； （1）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到； （2）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到； （3）由（1）得，，则，再由，可得，得到，，推出，最后根据代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ， ． 在和中，，， ， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解： 在和中 ． 在和中 ， ． （3）解：由（1）得，， ， ∵， ，， ， ， ，， ， ． ，， ． 【变式5-2】已知，在中，，，点是边上的一点（不与点，重合），连接． (1)如图1，将线段绕点逆时针方向旋转得到线段，连接．求证：，； (2)如图2，点，都在线段上，且．试猜想线段，，之间满足的数量关系，并证明结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据题意，结合，证明，根据全等三角形的性质，得出，，再根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据等量代换，得出，进而即可得出结论； （2）根据题意，结合，证明，根据全等三角形的性质，得出，再根据勾股定理，得出，再根据等量代换，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，将线段绕点逆时针方向旋转得到线段， ∴ ，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵将线段绕点逆时针方向旋转得到线段，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、直角三角形两锐角互余、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理． 【变式5-3】在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E． (1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度； (2)求证：DE=CD+BE； (3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1)90° (2)见解析 (3)CD= BE + DE，证明见解析 【分析】（1）由∠BAC=90°可直接得到90°； （2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据AAS可证△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE = EA+AD = DC+BE． （3）同（2）易证△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE = AD +DE，所以 CD= BE + DE． 【详解】（1）∵∠BAC=90° ∴ ∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90° 故答案为：90°． （2）证明：∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E ∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°   ∵  ∠DAC+∠DCA=90°且 ∠DAC+∠EAB=90° ∴ ∠DCA=∠EAB   ∵在△DCA和△EAB中 ∴△DCA≌△EAB (AAS) ∴ AD=BE且EA=DC 由图可知：DE = EA+AD = DC+BE． （3）∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E ∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°              ∵ ∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90° ∴ ∠DCA=∠EAB             ∵在△DCA和△EAB中 ∴△DCA≌△EAB (AAS) ∴ AD=BE且AE=CD 由图可知：AE = AD +DE ∴ CD= BE + DE． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质． 题型6垂线模型(全等三角形的辅助线问题 【例6】综合与探究 【问题背景】 （1）如图1，直线l经过点A，，，过点B，C分别向直线l作垂线，垂足分别为点D，E，求证：． 【问题探究】 （2）如图2，在中，，D为上一点，E是上一点，且，，若，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，的面积为14，，请直接写出的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，作出正确的辅助线是解题的关键． （1）根据垂直得出直角三角形，根据同角的余角相等得出相等角，最后利用证明三角形全等即可； （2）过点作交于点，同理可得，可得，再根据等腰三角形的性质可得，即可解答； （3）过点作交的延长线于点，过点作于点，同理可得，可得，证明，利用三角形面积公式求得，进而得到，再求出，即可解答． 【详解】（1）证明：，， ， ，直线l经过点A， ，即， ， ； （2）解：如图，过点作交于点， 同理（1）得， ， ，， ， ∴； （3）解：如图，过点作交的延长线于点，过点作于点， ∵， ∴， ， 同理（1）中得， ， ∵， ∴， ∴， 的面积为14，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【变式6-1】一次函数的图象经过点，并且与x轴，y轴分别交于点A，B，过点A作于点A，且，点C在第一象限内． (1)求b的值； (2)求点C的坐标； (3)在第一象限内有一点，使 和 的面积相等，求t的值． 【答案】(1)4 (2)； (3)t的值为8． 【分析】本题是一次函数的综合问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质等知识，明确则是解题的关键． （1）利用待定系数法求解析式即可； （1）过点作轴于点，令和分别代入中即可求出与点的坐标，利用，求出点的坐标； （2）根据题意，设直线为，代入C的坐标即可求得，得到直线CP为，代入即可求得t的值． 【详解】（1）解：把代入，得： ，解得：． （2）由（1）得 解：令代入中，， ∴， 令代入4中，即，解得， ∴， 过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵在第一象限内有一点，使， ∴， 设直线的解析式为， 代入C的坐标得，，解得， ∴直线的解析式为， 把点代入得，， ∴t的值为． 【变式6-2】某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． (2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据直线l，直线l，，可得，利用可证明，根据即可得到； （2）同（1）利用可证明，根据即可得到； （3）过作于，的延长线于，可构造两组一线三直角全等模型，即：，，从而可以得到，，再根据可得，即可确定的长度； 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； （2）∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； （3）如图，过作于，的延长线于， ∴ ∵，， ∴ 在和中， ， ∴ ∴，， 同理可得： ∴，， 即：，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，一线三直角全等模型，线段之间的计算，构造合理的辅助线及掌握等腰直角三角形下的一线三直角全等模型是解决本题的关键． 【变式6-3】如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，且是直角． (1)若点A的坐标为，点B的坐标为，点C在第三象限，且，求点C的坐标． (2)若点A的坐标为，点B的坐标为，，点P为y轴正半轴上一动点，连接交x轴于点E，点F是点E关于y轴为对称轴的对称点连接且延长交于点D，连接交于点G．点P在运动过程中是否存在，若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由（提示：作的平分线交于点H）． (3)若点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，是否存在为定值，若存在，请求出这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)C点的坐标为 (2)存在点P，使，理由见解析 (3)存在为定值，其定值为 【分析】（1）过点C作轴于点M，可证明，进而求得结果； （2）作的平分线交于H，先证明，从而，进而证明，进一步得出结论； （3）过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为N,K，可得△ACN≌△ABK，进而得出结果． 【详解】（1）过点C作轴于点M． ∵是直角， ∴ ∵轴， ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴，， ∵，， ∴， ∴C点的坐标为 （2）存在点P，使． 理由：作的平分线交PC于H． ∵，， ∴， ∵E，F关于y轴对称， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）存在为定值，其定值为． 过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为N、K． ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴ ∴存在为定值，其定值为． 【点睛】本题考查了直角坐标系中点的坐标与线段长之间的关系，等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是利用等腰直角三角形构造全等三角形． 1．如图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，证明得到，进而利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴在和中， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．在中，若是直角，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直角三角形两锐角互余即可计算出的度数． 【详解】解：∵在中，是直角， ∴，， 又∵， ∴． 3．如图，在中，，是边上的中线，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等腰三角形“三线合一”的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离是（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意判断 为直角三角形，再利用斜边中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出 、 两点间的距离． 【详解】解：， 是直角三角形，， 是的中点，， ∴． 5．如图，点在的延长线上，于点，交于点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据直角三角形两锐角互余求出，然后利用三角形外角的性质求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴． 6．如图，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本事实：进行分析判断即可． 【详解】解：在Rt≌Rt中，， A．添加，无法证明，故此选项不符合题意； B．添加，无法证明，故此选项不符合题意； C．添加，可以用“”证明，故此选项符合题意；     D．添加，无法证明，故此选项不符合题意. 7．如图，在中，，点在边上，且于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的判定，三角形的内角和，掌握以上知识是解答本题的关键；根据角平分线的判定求得是的角平分线，然后根据三角形的内角和知识求得，然后即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵于点，于点，， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：A． 8．如图，，要用“”证明，还需要添加的一个条件是（   ） A．平分 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据证明时，为公共边，只需添加或，解答即可． 本题考查了直角三角形的全等判定，熟练掌握判定条件是解题的关键． 【详解】解：根据题意，根据证明时，为公共边，只需添加或， 故选：C． 9．如图，是等腰三角形，，是的角平分线，于，若cm，那么的周长为______． 【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的定义可得，，根据角平分线的定义得，证明得到，即可求解． 【详解】解： 是等腰三角形，， ，， 是的角平分线，于， ， 在和中， ， ， ， ， 的周长为， 故答案为：． 10．如图，四边形中，平分，于点E，，则的长为_________． 【答案】2 【分析】过点作交的延长线于点，证明，则，证明，则，得到，即可得到的长． 【详解】如图，过点作交的延长线于点， 平分，于点，于， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 11．如图，在等腰中，，点在线段上，点在的延长线上，连接，并延长交于点，且． (1)求证：； (2)过点作，交于点，猜想线段满足的数量关系，并证明； (3)若为中点，求的值． 【答案】(1)证明：∵等腰中，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； (2)； 如图，∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； (3) 【分析】（）证明，可得，进而由得到，即得，即可求证； （）证明是等腰直角三角形可得，由全等三角形的性质得，即得，即可求证； （）连接，由等腰直角三角形的性质得，由线段垂直平分线的性质得，即得，即可求解； 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵为中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． 12．如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得出，根据角平分线的判定定理，即可解答； （2）证明，即可解答； 【详解】（1）证明：，． ． 在与中，，，． ． ，． 平分． （2）解：在和中，，， ． ． ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 直角三角形性质和判定 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1直角三角形的两个锐角互余 题型2斜边的中线等于斜边的一半 题型3用HL证全等(HL) 题型4全等的性质和HL综合(HL) 题型5旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 题型6垂线模型(全等三角形的辅助线问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 直角三角形 两锐角互余 斜边中线性质 30°直角三角形性质 HL 全等判定 1.学生能准确说出直角三角形的定义（直角、直角边、斜边，记作 Rt△），理解并掌握直角三角形核心性质：两锐角互余、勾股定理、斜边中线等于斜边一半、30° 角所对直角边等于斜边的一半。能够运用直角三角形的性质解决简单几何问题，如证明线段相等、角度相等，以及边长、角度、周长相关计算。 2.了解直角三角形各类判定方法（有直角、两锐角互余、勾股逆定理、斜边中线判定），能运用判定定理判断一个三角形是否为直角三角形。 3.掌握直角三角形专属全等判定 HL 定理，会区分普通三角形全等与直角三角形全等的判定差异，能结合性质、判定完成综合证明题。 学习重点： (1)直角三角形四大核心性质的理解与掌握，即准确把握 “两锐角互余”“斜边中线等于斜边的一半”“30° 锐角对的直角边为斜边一半”。 (2)能够熟练运用直角三角形的性质、判定、HL 全等定理，完成几何证明和边长、角度计算类题目。 学习难点： (1) 区分性质与判定的使用场景：正向用性质由直角推边角、线段等量关系；反向用判定由边长、角度关系证明三角形为直角三角形，做题时容易混淆。 (2) 综合题型分类讨论与综合运用：含 30°/45° 特殊直角三角形混合计算、HL 全等结合的综合大题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 直角三角形的性质 1. 两锐角之和等于90° 2. 斜边上的中线等于斜边的一半 3. 30°角所对的直角边等于斜边的一半 4. 若有一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°（应用时需先证明） 即时即练 1．如图，中，D在的延长线上，过D作于F，交于E．已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，，点为的中点，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 3．如图，中，平分交于点D，点E为的中点，连接，则的周长是（    ） A．20 B．12 C．16 D．13 知识点02 直角三角形的判定 判定1：有一个角为90°的三角形时直角三角形 判定2：有两个角的和时90°的三角形是直角三角形 判定3：一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形 判定4：若两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，则这两个直角三角形全等。 即时即练 1．如图，，E是上的一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型 1直角三角形的两个锐角互余 【例1】如图，，，若，则（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，直线，点在直线上，点在直线上，连接，过点作，交直线于点．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在中，，于点，是斜边的中点，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【变式1-3】如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，，则（   ） A． B． C．140° D．145° 题型 2 斜边的中线等于斜边的一半 【例2】如图，在中，，点为的中点，某同学用刻度尺测量长度时，点、对应的刻度分别为、，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-1】如图，在中，是斜边上的中线，，则（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】数学课上，老师要求将一个含角的直角三角形，用尺规作图将其分割成两个等腰三角形．甲，乙两人的作法分别如下图所示，则（    ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．两人都错 D．两人都对 【变式2-3】某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为（　　） A．2.5 B．3 C．4 D．5 题型 3 用 HL证全等(HL) 【例3】如图，在与中，于点．若，求证：． 【变式3-1】如图，在四边形中，，E是上的一点，，连接，，．求证：． 【变式3-2】如图，点B、E、C、F在一条直线上，与交于点G，，，．求证：． 【变式3-3】如图，A，E，B，D在同一直线上，，，，，求证：． 题型 4 全等的性质和 HL 综合(HL)) 【例4】如图，点C在上，，，且，，交于F． (1)求证； (2)求的度数． 【变式4-1】如图，中，点D为上一点，连接，过点D作，垂足分别是E，F，且满足． (1)求证：平分 (2)若，求的面积． 【变式4-2】如图， ，直线与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：平分． 【变式4-3】如图，在中，，点F在线段上，点C在的延长线上，连接，并延长交于点E，且． (1)求证：； (2)若E为中点，，求的值． 题型5旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【例5】 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【变式5-1】已知与中，，，，连接与相交于点，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 【变式5-2】已知，在中，，，点是边上的一点（不与点，重合），连接． (1)如图1，将线段绕点逆时针方向旋转得到线段，连接．求证：，； (2)如图2，点，都在线段上，且．试猜想线段，，之间满足的数量关系，并证明结论． 【变式5-3】在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E． (1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度； (2)求证：DE=CD+BE； (3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 题型6垂线模型(全等三角形的辅助线问题 【例6】综合与探究 【问题背景】 （1）如图1，直线l经过点A，，，过点B，C分别向直线l作垂线，垂足分别为点D，E，求证：． 【问题探究】 （2）如图2，在中，，D为上一点，E是上一点，且，，若，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，的面积为14，，请直接写出的面积． 【变式6-1】一次函数的图象经过点，并且与x轴，y轴分别交于点A，B，过点A作于点A，且，点C在第一象限内． (1)求b的值； (2)求点C的坐标； (3)在第一象限内有一点，使 和 的面积相等，求t的值． 【变式6-2】某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． (2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 【变式6-3】如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，且是直角． (1)若点A的坐标为，点B的坐标为，点C在第三象限，且，求点C的坐标． (2)若点A的坐标为，点B的坐标为，，点P为y轴正半轴上一动点，连接交x轴于点E，点F是点E关于y轴为对称轴的对称点连接且延长交于点D，连接交于点G．点P在运动过程中是否存在，若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由（提示：作的平分线交于点H）． (3)若点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，是否存在为定值，若存在，请求出这个定值；若不存在，请说明理由． 1．如图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．在中，若是直角，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，是边上的中线，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离是（     ）    A． B． C． D． 5．如图，点在的延长线上，于点，交于点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，点在边上，且于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，，要用“”证明，还需要添加的一个条件是（   ） A．平分 B． C． D． 9．如图，是等腰三角形，，是的角平分线，于，若cm，那么的周长为______． 10．如图，四边形中，平分，于点E，，则的长为_________． 11．如图，在等腰中，，点在线段上，点在的延长线上，连接，并延长交于点，且． (1)求证：； (2)过点作，交于点，猜想线段满足的数量关系，并证明； (3)若为中点，求的值． 12．如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $