第09讲 探索勾股定理（暑假预习讲义）新八年级数学新教材浙教版

第09讲 探索勾股定理 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 用勾股定理解三角形 题型2 勾股树(数)问题 题型3 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型4 勾股定理与网格问题 题型5 勾股定理与无理数 题型6 以弦图为背景的计算题 题型7 勾股定理的应用 题型8 判断三边能否构成直角三角形 题型9 在网格中判断直角三角形 题型10 利用勾股定理的逆定理求解 题型11 勾股定理逆定理的实际应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 勾股定理 勾股逆定理 勾股数 弦图 网格直角三角形 面积法 1.学生能通过拼图、弦图等面积探究活动推导勾股定理，准确表述勾股定理内容，掌握直角三角形三边数量关系：(a²+b²=c²)；同时理解勾股定理逆定理，会用三边长度判断直角三角形。 2.能熟练解决 11 类典型题型：利用勾股定理解三角形、识别勾股数、三边图形面积计算、网格求值、无理数作图、弦图计算、生活实际应用；会用逆定理判定直角三角形、解决实际几何问题。 3.掌握面积法证明勾股定理的核心思路，能区分勾股定理（已知直角求边长）与逆定理（已知边长证直角）的使用场景，完成计算、证明、实际建模综合题 学习重点： (1)掌握勾股定理与逆定理文字、几何表达式，熟练背诵并运用公式进行边长、面积计算。 (2)熟练掌握全部 11 类经典题型解题方法：网格求线段、弦图计算、勾股数识别、生活应用题、三边图形面积、逆定理判定直角三角形等。 (3) 能利用面积法（弦图、拼图）完成勾股定理的推导与简单证明。 学习难点： (1) 勾股定理的探究推导：从图形面积割补、弦图拼图中抽象出三边平方等量关系，理解“等面积转化” 的证明逻辑。 (2)区分勾股定理与逆定理：正向已知直角求边长，反向已知三边长度证明直角，做题容易混淆条件。 (3) 实际应用题建模：从生活场景（梯子、航海、折叠、距离）中抽象出直角三角形，找准直角边与斜边列式计算。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 勾股定理的相关概念 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 即时即练 1．已知一个直角三角形的两直角边长分别为和，则第三边长是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，D是边上一点，连接，将沿翻折，使点C落在边上的点E处，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．3.5 3． 一架快递无人机自仓库地面处垂直起飞到点，沿水平正东方向匀速飞行一段距离到点，随后再次垂直上升90米到点并悬停执行配送任务．此时，地面操控者发现点与无人机之间的直线距离恰好比无人机水平飞行的距离多30米．求该无人机水平飞行的距离为多少米？ 知识点02 勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 即时即练 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（  ）． 知识点03 勾股定理的证明 勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以 即时即练 1．如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 知识点03 勾股定理的逆定理 勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 即时即练 1．以下各组线段为边，能组成直角三角形的是（     ） A．3，4，6 B．8，6，10 C．14，8，7 D．2，5，6 2．台风风力强，影响范围大，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由向移动，点为一海港，且点与，两点的距离分别为，，又．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响海港持续的时间有多长？ 题型1 用勾股定理解三角形 【例1】如图，在中，，于．若，， (1)求的长度； (2)求的长度． 【变式1-1】如图，在中，，于D， 平分交于F，交于E． (1)若，求的长； (2)求证：； (3)在（1）的条件下， 求的长． 【变式1-2】已知：如图，在中，，，，与相交于点 (1)求证：． (2)若，，求的长． 【变式1-3】如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E，F，，垂足为G． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 题型2 勾股树(数)问题 【例2】下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．7，8，10 B．8，24，25 C．3，4，5 D．5，10，13 【变式2-1】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是勾股数的为（     ） A．1，1， B．1.5，2，2.5 C．4，5，6 D．5，12，13 【变式2-2】如图是一株美丽的“勾股树”，若正方形A，B的面积分别是16，10，则正方形C的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2026次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2027 C． D． 题型3 以直角三角形三边为边长的图形面积 【例3】如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，若正方形，的面积分别是，，则最大正方形的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图所示，三个大小不一的正方形拼合在一起，中间形成一个直角三角形．已知其中两个正方形的面积分别为144，225，那么正方形A的面积是（    ） A．225 B．144 C．81 D．369 【变式3-2】如图，中，，，，分别以、、为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为（    ） A．169 B． C． D．30 【变式3-3】图①是由边长均为1的小正方形和构成，可以用其面积关系验证勾股定理，将图①按图②所示“嵌入”长方形中，则该长方形的面积为（    ） A．60 B．100 C．110 D．121 题型4 勾股定理与网格问题 【例4】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因其趣味性强，深受大众喜爱．如图所示的棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则“车”“炮”两棋子间的距离为（   ） A．1 B．3 C． D． 【变式4-2】如图所示的是一个围棋棋盘的局部．若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则黑、白两棋子的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，在的方格图中，每个小正方形的边长都为．求图中阴影部分的正方形的边长为（    ） A． B．4 C． D．5 题型5 勾股定理与无理数 【例5】如图所示，已知，，以点O为圆心，长为半径画弧交数轴于点A． (1)数轴上点A所表示的数为______； (2)比较大小：点A所表示的数_____；（填“>”或“<”） (3)在数轴上找出对应的点，并说明理由．（保留作图痕迹） 【变式5-1】如图，四边形为正方形． (1)图中的点表示的数是________． (2)在图中画出表示的点． 【变式5-2】如图，小聪在数轴上表示一个无理数．他先在数轴上方以单位长度为边长画了四个一样的小正方形，再依次连接其中四个顶点，，，（其中点与原点重合），又得到一个正方形（阴影部分）．最后以原点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点． (1)正方形的面积是 ，点表示的数是 ； (2)请在数轴上继续找出表示的点；（保留作图痕迹） (3)在（2）的基础上，若数轴正半轴上的点表示的数为，且，求的值． 【变式5-3】【课本再现】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个大正方形． ①拼的新的大正方形的面积为______．小正方形的对角线长为______； ②如图2，把图1中其中一个小正方形放置到数轴上，以1为圆心，对角线长为半径画弧，与数轴交于点，，则点，表示的数分别为______，______． 【知识迁移】 （2）小张同学把长为5，宽为1的长方形按图3所示的方式进行裁剪，并拼成一个大正方形． ①大正方形的边长为______； ②请在下图的数轴中画出表示的点（保留作图痕迹）． 题型6 以弦图为背景的计算题 【例6】【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ 【延伸扩展】 (3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 【变式6-1】如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．该直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b． (1)若，大正方形的面积为129，求小正方形的边长； (2)若大正方形的面积为17，小正方形的面积为5，求的值． 【变式6-2】动手操作：用4张全等的直角三角形纸片如（图1，两直角边长分别是a，b，斜边长为c），拼成含有正方形的图案如（图2）．拼图时，直角三角形纸片不能互相重叠 (1)【探究】研究发现可利用面积的方法证明勾股定理，在图2中，大正方形的面积可表示为_____________，也可表示为_____________，因此化简可得_____________． (2)【实践】如图①、②、③分别是利用4个全等的直角三角形组合成的新图形，图中间的四边形为正方形，其中图_____________可以证明勾股定理． (3)【应用】将图1中的两个三角形拼成如图3所示的图形，试比较代数式与的大小． (4)【发现】聪聪认真观察图3后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 【变式6-3】阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长之间的一个重要结论：． (1)如图1，已知：．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：四个直角三角形全等，且， 正方形的边长为　　　　　， ，且（等面积法）， 　　　　　+　　　　　 ． (2)如图2，四边形是直角梯形，，其中．求证：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积． 题型7 勾股定理的应用 【例7】如图，是一架长米的梯子，斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子底端点离墙的距离的长为米． (1)此时梯子顶端点离地面的距离是多少米？ (2)若梯子顶端从点下滑至点的距离是米，那么梯子底端将向左滑动的距离是多少米？ 【变式7-1】如图，大风把一棵树刮断，已知被刮断前树高，倒下后树干顶部离根部距，求树折断处与地面的距离（即的长）． 【变式7-2】云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米．如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为24米． (1)求B处与地面的距离； (2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方6米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【变式7-3】如图，在一条东西走向的公路l的一侧有一村庄P ，村庄P与公路l原来由两条笔直小路，相连接，其中，由于某种原因， 由村庄P到A的小路无法通行，现为方便村民运输农产品与出行，新建了一条公路（A， C， B在同一条直线上） ，测得， ，． (1)问是否为从村庄P到公路l的最近路线？请通过计算加以说明： (2)求原来的路线的长． 题型8 判断三边能否构成直角三角形 【例8】下列各组数据中，能组成直角三角形的是（     ） A．5，12，13 B．4，4，5 C．5，7，11 D．，，2 【变式8-1】以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式8-2】的三边长分别为，由下列条件能判断为直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知，，是的三边长，且满足关系，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 题型9 在网格中判断直角三角形 【例9】如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出___________，___________，___________； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出边上的高为___________． 【变式9-1】如图，网格中的每个小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上． (1)直接写出 ， ， ； (2)判断的形状，并说明理由． 【变式9-2】如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)求线段和的长． (2)是直角吗？请说明理由． 【变式9-3】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是网格中的三个格点（即小正方形的顶点）． (1)线段的长为 ， 线段的长为 ； (2)判断线段 与线段 之间的位置关系． 题型10 利用勾股定理的逆定理求解 【例10】如图，连接四边形的对角线，已知，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【变式10-1】已知如图，在四边形中，，求四边形的面积． 【变式10-2】如图，劳动课时，小星将的空地种上两种不同品种的花卉，中间用小路隔开，经测量，，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若空地种植花卉的费用为50元/，则需花费多少元？ 【变式10-3】如图，孙师傅在三角形铁片中剪下，且，，． (1)求的长； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 题型11 勾股定理逆定理的实际应用 【例11】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ 【变式11-1】某小区的两个喷泉，的位置如图所示，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． (1)____________； (2)求供水点到喷泉的距离； (3)请求出喷泉到小路的最短距离． 【变式11-2】如图，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为和，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【变式11-3】项目化学习 项目主题：办公区绿化规划． 项目背景：在城市生态环境建设中，办公区绿化不仅能美化环境，还能改善气候．某占地面积为的办公区准备建一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化． 设计方案：如图是该办公区的规划示意图．已知，，，，． 问题解决： (1)为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条直道，则这条直道的长度为________m； (2)若规划时，要求绿化区的面积大于办公区面积的，请通过计算判断上述设计方案是否符合规划要求． 1．下列给出的三条线段的长，能组成直角三角形的是（   ） A．1、2、3 B．6、7、8 C．、、 D． 2．如图，一棵垂直于地面的树在离地面处断裂，树的顶部落在离底部的地面上，则这棵树折断前的高度为（    ） A． B． C． D． 3．如图，数轴上的点A所表示的数是（    ） A． B． C． D． 4．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．勾股定理描述：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图，以直角三角形三边为边作三个正方形，正方形的面积为（   ） A．5 B．13 C．20 D．25 5．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．若，则正方形的面积为（　　） A．2 B．1 C．8 D．12 6．现有一个可调节角度的平板支架放在桌面上，如图所示，其支撑臂长度固定，当点A到桌面的高度时，；当压低支撑臂到的位置时，点到桌面高度，则此时的长度为（   ） A． B． C． D． 7．如图所示，一轮船以6海里/时的速度从港口出发向东北方向航行，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（   ） A．20海里 B．10海里 C．30海里 D．25海里 8．如图是《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（1丈10尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．若设竹子折断处离地面x尺，则根据题意，方程可列为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中， ，，， D 为斜边中点，连接，则的长为______． 10．如图，在中， ，，，将沿所在直线折叠（点、分别在上），使点与的中点重合，则线段的长为_____． 11．机械狗可用于开展水质监测工作，如图，机械狗从A点出发，计划沿与河岸垂直的方向到达B处，由于受水流的影响，实际上岸地点C与目的地B处相差50米，机械狗实际行走的路程为130米，则的长为_______米． 12．渭河是黄河的最大支流，流经陕西省关中平原的宝鸡、咸阳、西安、渭南等地．如图，渭河一侧有一村庄，河边原有两个观景台A，B，其中，现建设美丽乡村，决定在渭河边新建一个观景台（点A，D，B在同一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)通过计算说明，是从村庄到渭河边最短的路线； (2)求原来的路线的长． 13．在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离，物体C到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体C升高至处，求滑块B向左滑动至处的距离． 14．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 探索勾股定理 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 用勾股定理解三角形 题型2 勾股树(数)问题 题型3 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型4 勾股定理与网格问题 题型5 勾股定理与无理数 题型6 以弦图为背景的计算题 题型7 勾股定理的应用 题型8 判断三边能否构成直角三角形 题型9 在网格中判断直角三角形 题型10 利用勾股定理的逆定理求解 题型11 勾股定理逆定理的实际应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 勾股定理 勾股逆定理 勾股数 弦图 网格直角三角形 面积法 1.学生能通过拼图、弦图等面积探究活动推导勾股定理，准确表述勾股定理内容，掌握直角三角形三边数量关系：(a²+b²=c²)；同时理解勾股定理逆定理，会用三边长度判断直角三角形。 2.能熟练解决 11 类典型题型：利用勾股定理解三角形、识别勾股数、三边图形面积计算、网格求值、无理数作图、弦图计算、生活实际应用；会用逆定理判定直角三角形、解决实际几何问题。 3.掌握面积法证明勾股定理的核心思路，能区分勾股定理（已知直角求边长）与逆定理（已知边长证直角）的使用场景，完成计算、证明、实际建模综合题 学习重点： (1)掌握勾股定理与逆定理文字、几何表达式，熟练背诵并运用公式进行边长、面积计算。 (2)熟练掌握全部 11 类经典题型解题方法：网格求线段、弦图计算、勾股数识别、生活应用题、三边图形面积、逆定理判定直角三角形等。 (3) 能利用面积法（弦图、拼图）完成勾股定理的推导与简单证明。 学习难点： (1) 勾股定理的探究推导：从图形面积割补、弦图拼图中抽象出三边平方等量关系，理解“等面积转化” 的证明逻辑。 (2)区分勾股定理与逆定理：正向已知直角求边长，反向已知三边长度证明直角，做题容易混淆条件。 (3) 实际应用题建模：从生活场景（梯子、航海、折叠、距离）中抽象出直角三角形，找准直角边与斜边列式计算。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 勾股定理的相关概念 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 即时即练 1．已知一个直角三角形的两直角边长分别为和，则第三边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为和， ∴第三边长为． 2．如图，在中，，，，D是边上一点，连接，将沿翻折，使点C落在边上的点E处，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．3.5 【答案】B 【分析】由勾股定理可得，由折叠的性质可得，由此即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∵点C落在边上的点E处， ∴． 3． 一架快递无人机自仓库地面处垂直起飞到点，沿水平正东方向匀速飞行一段距离到点，随后再次垂直上升90米到点并悬停执行配送任务．此时，地面操控者发现点与无人机之间的直线距离恰好比无人机水平飞行的距离多30米．求该无人机水平飞行的距离为多少米？ 【答案】120米 【分析】该无人机水平飞行的距离为x米，则，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：该无人机水平飞行的距离为x米，则， 在中，，， ∴， 解得；， 答：该无人机水平飞行的距离为120米． 知识点02 勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 即时即练 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（  ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】勾股数需满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，依次验证各选项即可得到答案． 【详解】选项A，，，，，选项A不是勾股数，故不符合题意； 选项B，，，，，选项B不是勾股数，故不符合题意； 选项C，不是正整数，不符合勾股数定义，选项C不是勾股数，故不符合题意； 选项D，，，，，选项D是勾股数，故符合题意． 知识点03 勾股定理的证明 勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以 即时即练 1．如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形对应边相等求出、的长，结合图形得出的长及，最后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：，，，都是全等三角形， ，、， ， ， ， 在中，由勾股定理得：． 知识点03 勾股定理的逆定理 勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 即时即练 1．以下各组线段为边，能组成直角三角形的是（     ） A．3，4，6 B．8，6，10 C．14，8，7 D．2，5，6 【答案】B 【详解】解：A、∵，， ∴，不能组成直角三角形； B、∵，， ∴，能组成直角三角形； C、∵，， ∴，不能组成直角三角形； D、∵，， ∴，不能组成直角三角形． 2．台风风力强，影响范围大，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由向移动，点为一海港，且点与，两点的距离分别为，，又．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港会受台风影响． 理由：如图，过点作于点． ∵， ∴是直角三角形，， ∴，即， ∴． ∴海港会受台风影响． (2)台风影响海港持续时间为0.5小时 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出的长，即可得出的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）略 （2）解：在线段上取点，，使， 在中，， ∵，， ∴． （小时）． ∴台风影响海港持续时间为0.5小时． 题型1 用勾股定理解三角形 【例1】如图，在中，，于．若，， (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知直角三角形斜边和一条直角边，用勾股定理求出另一条直角边； （2）利用直角三角形两种面积表达式相等列等式，解方程算出斜边上的高． 【详解】（1）解： ，，， ． （2）解： ，，，， ， ， 解得． 【变式1-1】如图，在中，，于D， 平分交于F，交于E． (1)若，求的长； (2)求证：； (3)在（1）的条件下， 求的长． 【答案】(1) (2)证明：∵，于D， 平分， ∴， ∴， ∵， ∴. (3) 【分析】（1）勾股定理求出的长，等积法求出的长即可； （2）根据对顶角相等，等角的余角相等，等量代换，即可得出结论； （3）根据角平分线的性质和等积法进行求解即可. 【详解】（1）解：∵，于D，， ∴，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵ 平分交于F，， ∴点到的距离相等，均为的长， ∵， ∴， ∴， ∴. 【变式1-2】已知：如图，在中，，，，与相交于点 (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）根据题意，可得，根据直角三角形两锐角互余得，根据等角对等边，可得，最后根据全等三角形的判定方法求证，即可； （2）由（1）得，推出，，根据勾股定理，可得，即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴，， 在中，， ∴， ∴． 【变式1-3】如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E，F，，垂足为G． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)54 【分析】（1）先根据角平分线的性质得出，，再证，由对顶角相等可知，故可得出，那么，由此可得出结论； （2）首先利用勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）证明：∵是的平分线，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴ ∴． 题型2 勾股树(数)问题 【例2】下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．7，8，10 B．8，24，25 C．3，4，5 D．5，10，13 【答案】C 【分析】根据勾股数的定义，需验证三个正整数中，两较小数的平方和是否等于最大数的平方，由此判断即可． 【详解】A、，，，故不是勾股数，不符合题意； B、，，，故不是勾股数，不符合题意； C、，且三个数均为正整数，故是勾股数，符合题意； D、，，，故不是勾股数，不符合题意； 【变式2-1】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是勾股数的为（     ） A．1，1， B．1.5，2，2.5 C．4，5，6 D．5，12，13 【答案】D 【分析】勾股数需同时满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：∵勾股数需同时满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是满足两个较小数的平方和等于最大数的平方， 选项A中不是正整数，故不满足勾股数的定义，故不符合题意； 选项B中1.5和2.5不是正整数，故不满足勾股数的定义，故不符合题意； 选项C中最大数为6，且，，，故不满足勾股数的定义，故不符合题意； 选项D中5，12，13都是正整数，且，故满足勾股数的定义，故符合题意． 【变式2-2】如图是一株美丽的“勾股树”，若正方形A，B的面积分别是16，10，则正方形C的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解“勾股树”中的面积关系是解题的关键． 根据勾股定理的性质，可得直角三角形边长之间的关系，转换为面积之间的关系，即可求出正方形的面积． 【详解】解：假设正方形、、的边长分别为、、， 由勾股定理可得， 由于正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为， 故正方形C的面积为正方形A，B的面积之和， 即为， 故选A， 【变式2-3】有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2026次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2027 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2027， 故选：B． 题型3 以直角三角形三边为边长的图形面积 【例3】如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，若正方形，的面积分别是，，则最大正方形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形A、B、C的边长为、、，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：设正方形A、B、C的边长为、、， 由题意可得，，， 由勾股定理可得，， ∴正方形C的面积为． 【变式3-1】如图所示，三个大小不一的正方形拼合在一起，中间形成一个直角三角形．已知其中两个正方形的面积分别为144，225，那么正方形A的面积是（    ） A．225 B．144 C．81 D．369 【答案】C 【详解】解：正方形A的边是直角边，它的面积等于边长的平方，根据勾股定理，可知． 【变式3-2】如图，中，，，，分别以、、为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为（    ） A．169 B． C． D．30 【答案】D 【分析】阴影部分面积可以看成是以、为直径的两个半圆的面积加上一个直角的面积减去一个以为直径的半圆的面积． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积 ． 【变式3-3】图①是由边长均为1的小正方形和构成，可以用其面积关系验证勾股定理，将图①按图②所示“嵌入”长方形中，则该长方形的面积为（    ） A．60 B．100 C．110 D．121 【答案】C 【分析】延长交于点O，延长交于点P，证，得，同理，得，再证明，即可解决问题． 【详解】解：延长交于点O，延长交于点P，如图2所示： 根据题意可得， 四边形是正方形， ， ， 又中，， ， 在和中， ， ， ， 同理：， ， ，即， ， ， 长方形的面积为：． 题型4 勾股定理与网格问题 【例4】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：根据题意，得，，，， ∴， ∴． 【变式4-1】中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因其趣味性强，深受大众喜爱．如图所示的棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则“车”“炮”两棋子间的距离为（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理求解． 【详解】解：由勾股定理得：“车”“炮”两棋子间的距离为， 故选：D． 【变式4-2】如图所示的是一个围棋棋盘的局部．若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则黑、白两棋子的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理在网格中的应用，解题关键是确定两棋子的横向、纵向间隔长度，再利用勾股定理计算两点间距离． 利用勾股定理计算黑白两棋子的距离，先确定两棋子在网格中的横向、纵向间隔数，再代入勾股定理公式计算． 【详解】解：观察网格，设黑棋子的位置为一个端点，白棋子为另一个端点，两棋子在网格中横向间隔个小正方形边长，纵向间隔个小正方形边长． 根据勾股定理，两棋子的距离为：． 故选：D． 【变式4-3】如图，在的方格图中，每个小正方形的边长都为．求图中阴影部分的正方形的边长为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，求一个数的算术平方根，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用勾股定理求解即可． 【详解】解：小正方形的边长为1， 阴影部分的正方形的边长为： 故选：A． 题型5 勾股定理与无理数 【例5】如图所示，已知，，以点O为圆心，长为半径画弧交数轴于点A． (1)数轴上点A所表示的数为______； (2)比较大小：点A所表示的数_____；（填“>”或“<”） (3)在数轴上找出对应的点，并说明理由．（保留作图痕迹） 【答案】(1) (2)< (3)作图见详解，理由见详解 【分析】本题考查了勾股定理，数轴与实数的对应关系，实数的大小比较及无理数在数轴上的几何作图． （1）先求的长度，再利用“圆的半径相等”确定的长度，最后结合数轴位置确定数； （2）利用“负数比较大小，绝对值大的反而小”，把两个数转化为“负的平方根”形式，再比较被开方数； （3）构造直角边平方和为10的直角三角形，利用勾股定理得到斜边为，再以原点为圆心，斜边为半径画弧，交数轴正半轴的点即为对应的点． 【详解】（1）解：∵，， ∴数轴上点A所表示的数为， 故答案为：． （2）解：∵，，， ∴， 故答案为：<． （3）解：如图所示为所求： 理由：在数轴的正半轴3位置处取点E，过点E作，使， 在中，， 以点O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点F，此时， ∴点F即为对应的点． 【变式5-1】如图，四边形为正方形． (1)图中的点表示的数是________． (2)在图中画出表示的点． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据勾股定理求出的长，进而可得出结论； （2）过点作，，连接，以点O为圆心，的长为半径画圆，此圆与x轴正半轴的交点即为点M． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为1， ∴， ∴图中的点表示的数是． （2）解：如图所示，点即为所求． 【变式5-2】如图，小聪在数轴上表示一个无理数．他先在数轴上方以单位长度为边长画了四个一样的小正方形，再依次连接其中四个顶点，，，（其中点与原点重合），又得到一个正方形（阴影部分）．最后以原点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点． (1)正方形的面积是 ，点表示的数是 ； (2)请在数轴上继续找出表示的点；（保留作图痕迹） (3)在（2）的基础上，若数轴正半轴上的点表示的数为，且，求的值． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】（1）用割补法进行计算正方形的面积即可；再根据勾股定理求出边长即可得到答案； （2）以原点为圆心，正方形的边长为为半径画弧，交数轴负半轴于点，即可得到答案； （3）由题意可得：，再根据，得到答案即可． 【详解】（1）解：个小正方形的总面积是，阴影正方形的面积等于个小正方形面积的一半， 即； 根据勾股定理，正方形边长， 以原点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点，因此点表示的数为； （2）解：以原点为圆心，正方形的边长为为半径画弧，交数轴负半轴于点，即可得到答案； （3）解：由题意可得：， ，数轴正半轴上的点表示的数为， ， ． 【变式5-3】【课本再现】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个大正方形． ①拼的新的大正方形的面积为______．小正方形的对角线长为______； ②如图2，把图1中其中一个小正方形放置到数轴上，以1为圆心，对角线长为半径画弧，与数轴交于点，，则点，表示的数分别为______，______． 【知识迁移】 （2）小张同学把长为5，宽为1的长方形按图3所示的方式进行裁剪，并拼成一个大正方形． ①大正方形的边长为______； ②请在下图的数轴中画出表示的点（保留作图痕迹）． 【答案】（1）①，；②；；（2）①；②见解析 【分析】本题主要考查了实数与数轴，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．同时考查了勾股定理的应用，数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （1）①根据大正方形面积是两个小正方形的面积和，可得大正方形的面积，根据勾股定理可得可得小正方形的对角线长； ②依据图2中小正方形对角线长为，原点与之间的距离为，从而可得到点表示的数为，可得点表示的数分别为； （2）①由于大正方形的边长是小长方形的对角线，所以根据勾股定理可得大正方形的边长； ②由①可得小长方形的对角线长为，进而在数轴上以原点为圆心，为半径，即可找到表示的点． 【详解】解：（1）①拼的新的大正方形的面积为， 小正方形的对角线长为， 故答案为：，； ②如图2中小正方形对角线长为， 原点与之间的距离为， 点表示的数为； 点到圆心的距离是， 点表示的数分别为， 故答案为：，； （2）①由图可知大正方形的边长为， 故答案为：； ②如图所示，以原点为圆心，小长方形对角线或直角三角形的斜边长度为半径画弧，交数轴于点，点即为所求．          或 题型6 以弦图为背景的计算题 【例6】【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ 【延伸扩展】 (3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)新路比原路少米； (3)． 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）证明：由图可知，， ，， ， 又 ， ， ， ， ； （2）设，则，， 在中，， ， 解得：， ， ； 答：新路比原路少米． （3）解：∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ， 解得：． 【变式6-1】如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．该直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b． (1)若，大正方形的面积为129，求小正方形的边长； (2)若大正方形的面积为17，小正方形的面积为5，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，，再结合完全平方公式计算即可得出结果； （2）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个直角三角形的面积，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴小正方形的边长为； （2）解：由题意可得：， ∴． 【变式6-2】动手操作：用4张全等的直角三角形纸片如（图1，两直角边长分别是a，b，斜边长为c），拼成含有正方形的图案如（图2）．拼图时，直角三角形纸片不能互相重叠 (1)【探究】研究发现可利用面积的方法证明勾股定理，在图2中，大正方形的面积可表示为_____________，也可表示为_____________，因此化简可得_____________． (2)【实践】如图①、②、③分别是利用4个全等的直角三角形组合成的新图形，图中间的四边形为正方形，其中图_____________可以证明勾股定理． (3)【应用】将图1中的两个三角形拼成如图3所示的图形，试比较代数式与的大小． (4)【发现】聪聪认真观察图3后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 【答案】(1)，， (2)① (3) (4)见解析 【分析】（1）利用三角形与正方形面积公式表示出大正方形的面积，再建立等式化简，即可解题；（2）类比（1）中解题方法，分别用不同的方式表示大正方形的面积，建立等式化简，即可解题； （3）由得到，再因式分解所给的代数式，即可判断； （4）类比（1）中解题方法，分别用不同的方式表示梯形的面积，建立等式化简，即可解题． 【详解】（1）解：正方形的面积可表示为，也可表示为， 因此， 化简可得， 故答案为：，，； （2）图①中大正方形的面积可表示为，也可表示为， 因此可得， 整理得， 故在图①、②、③中，图①可证明勾股定理， 故答案为：①； （3） ， ， ，， ； （4）证明：图3中梯形的面积可表示为，也可表示为， 因此可得 ∴． 【变式6-3】阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长之间的一个重要结论：． (1)如图1，已知：．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：四个直角三角形全等，且， 正方形的边长为　　　　　， ，且（等面积法）， 　　　　　+　　　　　 ． (2)如图2，四边形是直角梯形，，其中．求证：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积． 【答案】(1)、、 (2)见解析 (3)97 【分析】（1）依据题意得，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）先根据角度关系，证出，随后根据“”证明即可； （3）根据题意，先得出，设，则，根据勾股定理得，代入求出的值，最终可求出风车图案的面积． 【详解】（1）证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为， ∵，且（等面积法）， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ， ∴， 又∵，， ∴； （3）解：解：由题意，如下图： ∵外围轮廓的总长度为， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 将，代入可得， ， 解得， ∴小正方形的边长为， ∴风车的面积为：． 题型7 勾股定理的应用 【例7】如图，是一架长米的梯子，斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子底端点离墙的距离的长为米． (1)此时梯子顶端点离地面的距离是多少米？ (2)若梯子顶端从点下滑至点的距离是米，那么梯子底端将向左滑动的距离是多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）使用勾股定理直接计算即可； （2）先求出的长，再使用勾股定理求出，最后求出即可． 【详解】（1）解：在中，（米）； （2）解：（米）， ∵滑动不会改变梯子的长度， ∴米， 在中，（米）， ∴（米）． 答：梯子底端将向左滑动的距离是米． 【变式7-1】如图，大风把一棵树刮断，已知被刮断前树高，倒下后树干顶部离根部距，求树折断处与地面的距离（即的长）． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用问题，根据已知条件可列勾股定理，通过设未知数，解方程即可， 【详解】解：设树折断处与地面的距离， ∵树原高， ∴折断部分的长度， 由图可知是直角三角形，，， ∴根据勾股定理， ∴ 解得， ∴树折断处与地面的距离为． 【变式7-2】云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米．如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为24米． (1)求B处与地面的距离； (2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方6米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)21米 (2)6米 【分析】（1）在中，由勾股定理得；再加上消防车自身高度，即可得处到地面的距离； （2）先根据题意求出竖直高度，在中，由勾股定理得水平距离；则可得到消防车靠近的距离． 【详解】（1）解：根据题意可得，米，米，米， ∴在中，（米）， （米）， 答：B处与地面的距离是21米； （2）解：由题意得米． 米，（米）， （米）， （米）， 答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为6米． 【变式7-3】如图，在一条东西走向的公路l的一侧有一村庄P ，村庄P与公路l原来由两条笔直小路，相连接，其中，由于某种原因， 由村庄P到A的小路无法通行，现为方便村民运输农产品与出行，新建了一条公路（A， C， B在同一条直线上） ，测得， ，． (1)问是否为从村庄P到公路l的最近路线？请通过计算加以说明： (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是；理由见解析 (2)原来的路线的长为 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理先证明是直角三角形，得出，根据垂线段最短，即可得出结论； （2）设，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：是；理由如下： 在中， ∵，， ， 是直角三角形， ， ∵垂线段最短， ∴是从村庄P到l的最近路线； （2）解：设，则， 在中，∵， ∴， 解得：， 答：原来的路线的长为． 题型8 判断三边能否构成直角三角形 【例8】下列各组数据中，能组成直角三角形的是（     ） A．5，12，13 B．4，4，5 C．5，7，11 D．，，2 【答案】A 【分析】根据勾股定理逆定理，若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形是直角三角形，据此逐项计算验证即可． 【详解】解：A.∵，， ∴，能构成直角三角形； B.∵，， ∴，不能构成直角三角形； C.∵，， ∴，不能构成直角三角形； D.∵，， ∴，不能构成直角三角形． 【变式8-1】以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据勾股定理逆定理验证：各选项计算两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否组成直角三角形． 【详解】A、，，，不能组成直角三角形； B、，，，不能组成直角三角形； C、，，，不能组成直角三角形； D、，，，能组成直角三角形． 【变式8-2】的三边长分别为，由下列条件能判断为直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合要求； B、，，，不能构成直角三角形，不符合要求； C、，，能构成直角三角形，符合要求； D、，，，不能构成直角三角形，不符合要求． 【变式8-3】已知，，是的三边长，且满足关系，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】先利用非负数的性质求出三角形三边长，再根据勾股定理的逆定理判断三角形形状即可． 【详解】解：∵平方、绝对值、算术平方根都是非负数，且 ∴，，， 解得：，，， 又∵，， ∴， 根据勾股定理的逆定理可得，是直角三角形． 题型9 在网格中判断直角三角形 【例9】如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出___________，___________，___________； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出边上的高为___________． 【答案】(1)，5， (2)是直角三角形，见解析 (3)2 【分析】（1）利用勾股定理，进行计算即可解答； （2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答； （3）利用等积法，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：，， ， ，，， 故答案为：，5，； （2）解：是直角三角形， 理由：，， ， 是直角三角形； （3）解：设边上的高为， 的面积， ， ． 【变式9-1】如图，网格中的每个小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上． (1)直接写出 ， ， ； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理求出线段长即可； （2）根据勾股定理的逆定理求出结论即可； 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）可知中，，． ，且， ∴ ∴是直角三角形． 【变式9-2】如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)求线段和的长． (2)是直角吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理解答即可； （2）根据勾股定理逆定理即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ； （2）解：是直角，理由如下： 如图，连接， 根据题意得：， ∴， ∴为直角三角形，且， 即是直角． 【变式9-3】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是网格中的三个格点（即小正方形的顶点）． (1)线段的长为 ， 线段的长为 ； (2)判断线段 与线段 之间的位置关系． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解本题的关键． （1）利用网格及勾股定理求解即可； （2）连接，利用勾股定理逆定理得出，即可求解． 【详解】（1）解：由网格得：， 故答案为：； （2）如图：连接，则， ∴， ∴， ∴ ∴． 题型10 利用勾股定理的逆定理求解 【例10】如图，连接四边形的对角线，已知，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）直接根据勾股定理即可求解； （）先证明是直角三角形，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴的长为； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴ ， ∴四边形的面积为． 【变式10-1】已知如图，在四边形中，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】连接，先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， 在中，， ∴是直角三角形， ∴． 【变式10-2】如图，劳动课时，小星将的空地种上两种不同品种的花卉，中间用小路隔开，经测量，，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若空地种植花卉的费用为50元/，则需花费多少元？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)需花费2700元 【分析】本题考查了勾股定理及其应用，掌握勾股定理及其应用是解本题的关键． （1）由题意可得，即可证得是直角三角形，进而证得； （2）由勾股定理证得，再由“种植花卉的费用为50元/”即可解出． 【详解】（1）解：． 理由：在中， ，，， ， 即， 是直角三角形， ． （2）由（1）得， 为直角三角形， ，， ， ， （元） 答：需花费2700元． 【变式10-3】如图，孙师傅在三角形铁片中剪下，且，，． (1)求的长； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)的长为 (2)图中阴影部分的面积为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用．熟练掌握勾股定理及其逆定理的应用是解题的关键． （1）根据勾股定理计算即可； （2）先通过勾股定理逆定理证明是直角三角形，然后分别计算出和即可求解． 【详解】（1）解：在，，，， 根据勾股定理有， 的长为． （2）解：在中，， ，， ， 是直角三角形， ， 又， 图中阴影部分的面积． 题型11 勾股定理逆定理的实际应用 【例11】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ 【答案】(1)证明：∵，，， ∴． ∴是直角三角形， ∴； (2)解：海港C受台风影响．理由如下： 如图，过点C作于D． ∵， ∴． ∵， ∴海港C受到台风影响． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，即可求解； （2）过点C作于D．根据直角三角形的面积，可得，即可求解． 【详解】（1）略； （2）略． 【变式11-1】某小区的两个喷泉，的位置如图所示，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． (1)____________； (2)求供水点到喷泉的距离； (3)请求出喷泉到小路的最短距离． 【答案】(1)9 (2) (3) 【分析】（1）在中利用勾股定理即可求解； （2）在中利用勾股定理即可求解； （3）利用勾股定理的逆定理证明，则，再根据点到直线的距离即可解答． 【详解】（1）解：∵是点到的距离， ∴， ∴， 在中，， ∴； （2）解：∵的长为， ∴， 在中，， ∴， 答：供水点到喷泉的距离为； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴喷泉到小路的最短距离为的长，即， 答：喷泉到小路的最短距离为． 【变式11-2】如图，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为和，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析 (2)2小时 【分析】（1）过点作于点，先利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，再利用三角形的面积公式求出的长，由此即可得； （2）当时，台风正好影响海港，利用勾股定理求出的长，从而可得的长，再利用除以台风的速度即可得． 【详解】（1）解：海港C受台风影响，理由如下： 如图，过点作于点， ， ． 是直角三角形，且， ， ， 即， ， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受到台风影响； （2）解：当时，正好影响海港， ， ， 由勾股定理得：， ， 台风的速度为， （小时）， 答：台风影响该海港持续的时间有2小时． 【变式11-3】项目化学习 项目主题：办公区绿化规划． 项目背景：在城市生态环境建设中，办公区绿化不仅能美化环境，还能改善气候．某占地面积为的办公区准备建一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化． 设计方案：如图是该办公区的规划示意图．已知，，，，． 问题解决： (1)为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条直道，则这条直道的长度为________m； (2)若规划时，要求绿化区的面积大于办公区面积的，请通过计算判断上述设计方案是否符合规划要求． 【答案】(1)15 (2)设计方案不符合规划要求 【分析】（1）利用勾股定理解答即可； （2）利用勾股定理逆定理可得，可求出绿化区的面积，即可求解． 【详解】（1）解：因为，，， 所以． 答：这条直道的长度为． （2）解：因为，，， 所以． 所以． 所以绿化区的面积为． ． 因为， 所以设计方案不符合规划要求． 1．下列给出的三条线段的长，能组成直角三角形的是（   ） A．1、2、3 B．6、7、8 C．、、 D． 【答案】D 【分析】若三角形三边长满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形是直角三角形，依次验证各选项即可得到结果． 【详解】解：A选项：，1、2、3不可能组成三角形，更不可能组成直角三角形，故A不符合题意； B选项：，，，不能组成直角三角形，故B不符合题意； C选项：，，，不能组成直角三角形，故C不符合题意； D选项：，，，能组成直角三角形，故D符合题意． 2．如图，一棵垂直于地面的树在离地面处断裂，树的顶部落在离底部的地面上，则这棵树折断前的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】垂直于地面的树断裂后与地面形成一个直角三角形，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图， ，，， ∴， ， ∴这棵树折断前的高度为． 3．如图，数轴上的点A所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用勾股定理求出斜边长，再加上即可． 【详解】解：点A所表示的数是． 4．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．勾股定理描述：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图，以直角三角形三边为边作三个正方形，正方形的面积为（   ） A．5 B．13 C．20 D．25 【答案】B 【详解】解：依题意，正方形的面积为． 5．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．若，则正方形的面积为（　　） A．2 B．1 C．8 D．12 【答案】B 【分析】利用勾股定理求解，再进一步求解即可. 【详解】解：∵正方形，， ∴， ， 小正方形的面积是． 6．现有一个可调节角度的平板支架放在桌面上，如图所示，其支撑臂长度固定，当点A到桌面的高度时，；当压低支撑臂到的位置时，点到桌面高度，则此时的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，，， 在中，， ， 在中，． 7．如图所示，一轮船以6海里/时的速度从港口出发向东北方向航行，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（   ） A．20海里 B．10海里 C．30海里 D．25海里 【答案】A 【分析】如图（见解析），先求出，的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，设向东北方向航行的轮船到达地为处，向东南方向航行的轮船到达地为处，连接， 由题意得：，（海里），（海里）， ∴， ∴在中，海里， 即两船相距20海里． 8．如图是《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（1丈10尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．若设竹子折断处离地面x尺，则根据题意，方程可列为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则折断处离抵地处尺， 根据勾股定理可得． 9．如图，在中， ，，， D 为斜边中点，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】先根据勾股定理求出的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， 点为的中点， ． 10．如图，在中， ，，，将沿所在直线折叠（点、分别在上），使点与的中点重合，则线段的长为_____． 【答案】4 【分析】设，则由折叠可得，，再对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设，则， 由折叠可得， ∵，点D为的中点， ∴， ∵， ∴ ∴ 解得， ∴线段的长为． 11．机械狗可用于开展水质监测工作，如图，机械狗从A点出发，计划沿与河岸垂直的方向到达B处，由于受水流的影响，实际上岸地点C与目的地B处相差50米，机械狗实际行走的路程为130米，则的长为_______米． 【答案】 【分析】由题意可得：米，再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：由题意可得：，为130米 在中，（米）． 12．渭河是黄河的最大支流，流经陕西省关中平原的宝鸡、咸阳、西安、渭南等地．如图，渭河一侧有一村庄，河边原有两个观景台A，B，其中，现建设美丽乡村，决定在渭河边新建一个观景台（点A，D，B在同一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)通过计算说明，是从村庄到渭河边最短的路线； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)见解析 (2)原来的路线的长为 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由勾股定理逆定理得出是直角三角形，即，即可得出结果； （2）设，则在中，，，，最后结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：在中，，，， ，， ∴， 是直角三角形，即， 是从村庄到渭河边的最短路线； （2）解：设， 在中，，，， 由勾股定理，得，即， 解这个方程，得， ∴原来的路线的长为． 13．在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离，物体C到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体C升高至处，求滑块B向左滑动至处的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． （2）解：由题意得，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 14．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】绳索的长为 【分析】本题考查了勾股定理的应用．设，则，在中，利用勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】解：由题意可得，，，， ， 设，则， 在中，，，，， 由勾股定理得， 即， 解得， 故绳索的长为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $