第05讲 图形的轴对称（暑假预习讲义）新八年级数学新教材浙教版

第05讲 图形的轴对称 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 轴对称图形的识别 题型2 根据成轴对称图形的特征进行判断 题型3 根据成轴对称图形的特征进行求解 题型4 求对称轴条数 题型5 台球桌面上的轴对称问题 题型6 轴对称中的光线反射问题 题型7 折叠问题 题型8 车牌号码/钟面/电子表的镜面对称 题型9 画轴对称图形 题型10 设计轴对称图案 题型11 最短路径问题.... 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 轴对称图形 两个图形成轴对称 对称轴 对应点 对应线段 对应角 1.学生能准确说出轴对称图形、两个图形成轴对称的定义，能清晰区分两个概念，准确找出常见平面图形的对称轴。 2.理解并掌握轴对称的核心性质：成轴对称的两个图形全等；对称轴垂直平分任意一组对应点的连线；轴对称图形中对应线段相等、对应角相等。 3.能够运用轴对称的性质解决简单几何问题，如证明线段相等、角度相等，以及线段长度、角度大小相关计算。 4.能根据轴对称的特征，画出一个图形关于某条直线的轴对称图形，会找已知点、线段、多边形的对称对应点。 学习重点： (1) 轴对称图形与两个图形成轴对称概念的区分，牢牢掌握轴对称两条核心性质：成轴对称的图形全等；对称轴垂直平分对应点的连线，对应线段、对应角分别相等。 (2) 能够熟练运用轴对称的性质，完成线段相等、角度相等类几何证明，以及边长、角度相关计算类题目。 (3) 掌握作已知图形轴对称图形的规范步骤，准确画出点、线段、三角形等简单图形的对称图形。 学习难点： (1) 区分轴对称图形（单一图形自身具备对称特征）与两个图形成轴对称（两个独立图形的对称位置关系），做题时容易混淆二者概念。 (2) 灵活运用 “对称轴垂直平分对应点连线” 这条性质，结合图形推理线段垂直、平分等量关系，容易忽略对应点连线与对称轴的垂直平分关系。 (3) 绘制复杂多边形轴对称图形时，容易遗漏顶点对称点、对称线段长短、角度出现偏差。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意： 1. 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2. 轴对称图形是1个图形， 3. 有些对称图形的对称轴有无数条。 ⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴. ⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这 条线段的垂直平分线. 即时即练 1．下列银行标志的图形中是轴对称图形的是（     ） A．    B． C． D． 【答案】A 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 知识点02 轴对称的性质 ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 即时即练 1．如图，直线m是多边形的对称轴，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称的性质， 掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称的性质，得到，即可解答． 【详解】解：∵直线m是多边形的对称轴，若， ∴． 故选C． 2．如图，在中，，E，F分别在边上，将沿着折叠，得到，与交于G．当时，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和为180度，求出的度数，平行线的性质求出的度数，平角的定义结合三角形的内角和为180度，求出的度数即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴． 3．小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质，掌握镜面对称的性质是解决本题的关键． 根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，与成轴对称， ∴此时实际时刻为． 故选D． 4．如图所示，与关于直线成轴对称，则线段与直线的关系正确的是（    ） A．直线被线段垂直平分 B．线段被直线垂直平分 C．直线经过线段中点，但不垂直 D．直线与线段垂直，但不经过线段中点 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，如果把两个图形沿着某条直线折叠后，两个图形能完全重合，这两个图形关于这条直线轴对称，这条直线是对称轴，对称轴是对应点连线段的垂直平分线． 【详解】解： 与关于直线成轴对称， 是对称轴，点和点是对应点， 是线段的垂直平分线， 故A选项错误，不符合题意； 是线段的垂直平分线， 线段被直线垂直平分， 故B选项正确，符合题意； 是线段的垂直平分线， 直线经过线段的中点，且垂直于线段， 故C选项错误，不符合题意； 是线段的垂直平分线， 直线与线段垂直，且经过线段的中点， 故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 知识点03 画轴对称图形 （1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点； （2）同理分别作出其它关键点的对称点； （3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形. 即时即练 1．如图是由3个相同的小正方形组成的图形，若再补画一个相同的小正方形，使补画后的图形是轴对称图形，则不同的补画方法一共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】C 【分析】首先正确理解轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形；然后再结合所给图示分别补画一个同样大小的正方形，找出各自的对称轴，使之成为轴对称图形即可． 【详解】解：如图，要使补画后的图形是轴对称图形，补画的小正方形的位置有①，②，③，④，共4种． 题型1 轴对称图形的识别 【例1】我县为践行健康第一教育理念，促进学生全面发展，要求全县所有学校从2024年秋季学期开始必须保障学生每天两个小时体育活动时间．郁南县实验中学为贯彻落实该项政策组织了九年级学生开展以“坚持运动，践行健康”为主题的体育运动项目图标设计比赛．下列是一些同学设计的关于体育运动项目图标，其中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的定义解题即可． 【详解】解：A：不是轴对称图形，故该选项不合题意； B：不是轴对称图形，故该选项不合题意； C：不是轴对称图形，故该选项不合题意； D：是轴对称图形，故该选项符合题意． 【变式1-1】下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对每个选项中的图案，尝试寻找是否存在这样的一条直线，使得沿该直线折叠后图案的黑白棋子能完全重合．逐一验证每个选项是否满足折叠后重合的条件． 【详解】解：A、存在一条对称轴，沿该直线折叠后直线两旁部分可以完全重合，是轴对称图形； B、找不到满足条件的对称轴，折叠后无法重合，不是轴对称图形； C、找不到满足条件的对称轴，折叠后无法重合，不是轴对称图形． D、找不到满足条件的对称轴，折叠后无法重合，不是轴对称图形． 【变式1-2】下列运动图形是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 【变式1-3】下列图形：①角；②直角三角形；③等边三角形；④线段；⑤等腰三角形；⑥平行四边形．其中一定是轴对称图形的有_____ 个． 【答案】 4 【分析】根据轴对称图形的概念，对各图形逐一分析判断，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：①角，沿角平分线所在直线折叠可重合，一定是轴对称图形； ②直角三角形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，普通直角三角形不是轴对称图形，因此不一定是轴对称图形； ③等边三角形，一定是轴对称图形，有三条对称轴； ④线段，沿过中点的垂线折叠可重合，一定是轴对称图形； ⑤等腰三角形，沿底边上的高所在直线折叠可重合，一定是轴对称图形； ⑥平行四边形，普通平行四边形不是轴对称图形，只有特殊的平行四边形才是轴对称图形，因此不一定是轴对称图形； 综上，一定是轴对称图形的共4个． 题型2 根据成轴对称图形的特征进行判断 【典例2】如图，将一正方形纸片沿图1中的对角线对折一次得图2，再沿图2中的斜边上的中线对折一次得图3，然后用剪刀沿图3中的虚线剪去一个角得图4，将图4展开铺平后的平面图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由折叠可知，图3中剪去的切口是斜向的，且没有经过折叠的顶点（即正方形的中心）．由于剪裁的斜线不是垂直或平行于折痕的，展开后的四边形是菱形，不会是正方形，将图4展开铺平后的平面图形是一个正方形中间有一个倾斜的菱形空洞．而且剪下的菱形的对角线与正方形的对角线共线，只有选项C符合． 【变式2-1】如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解；轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 【详解】解： 与关于直线对称， ， ， ，故A、C、D选项正确， 不一定成立，故B选项错误， 所以，不一定正确的是B． 【变式2-2】如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，，，故A、B、C选项正确， 不一定成立，故D选项错误， 所以，不一定正确的是D． 【变式2-3】已知与分别在直线l的两侧且关于直线l对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线l的对称点，下列线段被直线l垂直平分的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的基本性质，根据对称点的连线被对称轴垂直平分即可判断求解． 【详解】解：∵ 点与点是关于直线的对称点， ∴ 线段被直线垂直平分． 题型3根据成轴对称图形的特征进行求解 【例3】如图，直线l是长方形的对称轴，点E是直线l上的点，若，，则图中阴影部分的面积是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：由轴对称的性质可知，，， ． 【变式3-1】如图，在中，直线交于点，点关于直线对称的点恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（     ） A．13 B．15 C．17 D．23 【答案】B 【分析】先根据轴对称的性质得出，，再得出的长，进而得出结论． 【详解】解：∵点A关于直线对称的点E恰好在线段上，，，， ∴，， ， ∴的周长． 【变式3-2】如图，与关于直线l对称，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称性质可得，从而，再利用三角形内角和，即可求出 ． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴． 【变式3-3】如图，内有一点，，分别是关于，的对称点，连接交于点，交于点．若的周长是，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质得到，再由三角形周长计算公式推出，据此可得答案． 【详解】解：由轴对称的性质可得， ∵的周长是， ∴， ∴，即， 故选：C． 题型4 求对称轴条数 【例4】如图，图中雪花的对称轴条数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴． 【详解】解：依据轴对称图形的意义，沿着对称轴所在的直线对折，对折后的两部分能够完全重合， 雪花有6条对称轴． 故选C． 【变式4-1】图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．10 【答案】C 【分析】根据对称轴的定义解题即可． 【详解】解：如图，对称轴一共有5条． 【变式4-2】下列图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此结合图形找到四个图形的所有对称轴即可得到答案． 【详解】解：A选项中的图形有1条对称轴，B选项中的图形有5条对称轴，C选项中的图形有1条对称轴，D选项中的图形有3条对称轴， ∴对称轴条数最多的是B选项中的图形． 【变式4-3】图中圆与正方形的四条边都相切，则该图有（   ）条对称轴． A．2 B．4 C．5 D．无数 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的定义，分别找出题干中的图形的所有对称轴条数，即可进行判断，． 【详解】解：圆有无数条对称轴，正方形有4条对称轴，且都过该图形中圆的圆心， 则该图有4条对称轴． 故选：B． 题型5 台球桌面上的轴对称问题 【例5】如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时 ，且，若，则（   ） A． B． C．53° D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，结合求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式5-1】如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 则球最后落入的球袋是2号袋． 故选：B． 【变式5-2】如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】A 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2022除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点P， ∵2022÷6=337， ∴当点P第2022次碰到矩形的边时为第337个循环组的最后一次反弹， ∴第2022次碰到矩形的边时的点为图中的点P， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 【变式5-3】如图，桌球的桌面上有两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则四个点中，可以反弹击中球的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称，掌握相关知识点是解题的关键． 过直线作点N的对称点，连接，根据图形，即可求解． 【详解】解：根据题意可知球的两段运动轨迹与直线的夹角相等， 如图，过直线作点N的对称点，连接， 根据图形可知经过点C，且，， 符合题目要求， 反弹击中球的是点C． 故选：C． 题型6 轴对称中的光线反射问题 【例6】如图，一束光线从上的点发出，经过平面镜上的点反射后，其反射光线与平行，若测得，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质得出，结合反射性质，再利用三角形外角性质建立方程求解即可． 【详解】解：， （两直线平行，同位角相等）， 由光的反射性质可知， ， 是的外角， ， ， ， ． 【变式6-1】如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上．若，则度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据反射定律得到，再利用直角三角形的内角和，算出． 【详解】解：根据题意可知，， ， ， ， ． 【变式6-2】小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的度数为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束与天花板所形成的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，证明，结合平行线的性质可得，，进而解得的值，再由镜面反射的特性，可知，即可求得的值，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：根据题意，可知，，， 如下图，过点作， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由镜面反射的特性，可知， ∴， ∴． 【变式6-3】如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了判断反射光线． 根据入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角判断即可． 【详解】∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角， ∴其反射光线为， 故选：C． 题型7 折叠问题 【例7】如图，在中，，点F、G是边上的两点，分别以线段、为折痕进行折叠，点B、点C的对应点分别为点、点，若线段、在同一条直线上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由折叠的性质可知，，， ， ． 【变式7-1】将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形．若 ，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质和翻折的性质解答即可． 【详解】解：如图所示： 将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形， ，， ，， ， ， ． 【变式7-2】如图，将长方形纸片的两个直角和分别沿直线，折叠，点A落到上方的点处，与边相交于点，点恰好落到上的处．已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠可得，即可得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：根据折叠可得， ∴， 又∵四边形是长方形， ∴， ∴． 【变式7-3】如图，现有一张长方形纸条，将纸条沿折叠，点C落在处，点D落在处．再将纸条沿继续折叠，点A落在处，点B落在处．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠得，，，设，然后根据建立方程求解，最后根据求解即可． 【详解】解：由折叠得，，， 设， ∵ ∴， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型8 车牌号码/钟面/电子表的镜面对称 【例8】小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质，解题的关键是正确将镜像号码进行水平翻转并转换对应字符．把镜子中的号码水平翻转（左右镜像），同时转换每个字符的镜像对应，得到实际号码． 【详解】 解：镜面对称为水平翻转（左右镜像），将镜子里的号码进行水平翻转后，字符的镜像对应为，即组合得到实际号码为3265． 故选：D． 【变式8-1】如图所示的是驾驶员在后视镜中看到的后面一辆汽车的车牌号码，则后面汽车的车牌号码是（   ） A．TB209 B．902BT C．209TB D．TB902 【答案】B 【分析】本题考查了镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，作出对称图形即可得出答案． 【详解】解：根据镜面对称的性质可得：实际车牌号应从右向左读， 后面汽车的车牌号码是． 故选：B． 【变式8-2】小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查镜面对称，根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称． 【详解】解：实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点， 那么8点的时钟在镜子中看来应该是4点的样子， 所以应该是A或D答案之一，这两个答案中更接近八点的应该是第四个图形． 故选：D． 【变式8-3】电子钟示数“”在平面镜中的像为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平面镜成像左右颠倒，但上下不变；对于电子钟数字，需考虑每个数字在七段数码管中的镜像映射，其中0、1、8映射为自身，2和5互映射，其他数字类似；然后整体顺序左右反转． 【详解】解：∵ 电子钟示数“”的数字序列为0、1、0、5， 数“”的字符顺序左右反转为“” ∵镜像映射：“0”的镜像是“0”，“1”的镜像是“1”，“0”的镜像是“0”，“5”的镜像是“2”； ∴ 电子钟示数“”在平面镜中的像为“”， 故选：B． 题型9 画轴对称图形 【例9】如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，在格纸中能画出与成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括本身），这样的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【详解】如图所示，对称轴有五种位置，与成轴对称的格点三角形有5个． 【变式9-1】如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题考查轴对称的性质，解题关键在于根据题意画出图形． 根据轴对称的性质，结合网格结构，分横向和纵向两种情况确定出不同的对称轴的位置，然后作出与成轴对称的格点三角形，从而得解． 【详解】解：如图所示，对称轴有四种位置，与成轴对称的格点三角形有4个． 故选：C． 【变式9-2】如图，在的正方形网格中，图中的为格点三角形，在图中与成轴对称的格点三角形可以画出（   ） A．16个 B．12个 C．10个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴． 根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解． 【详解】解：如图，最多能画出6个格点三角形与成轴对称． 故选：D 【变式9-3】如图是由全等的小等边三角形组成的网格，其中有3个小三角形被涂成了黑色（用阴影表示）．若平移其中1个阴影三角形到空白网格中，使阴影部分构成的图形为轴对称图形，则平移的方法共有（    ）    A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的定义，画出图形即可． 【详解】如图所示，共有4种平移方法．    故选：C 【点睛】本题考查利用轴对称图形设计图案，解题的关键是连接轴对称图形的定义． 题型10 设计轴对称图案 【变式10】某中学八年级（1）班同学在学习了《利用轴对称设计图案》一课后，一小组设计了如图所示的轴对称图案，某同学大胆提议，从a，b，c，d四个方格中选一方格进行阴影填涂，使得填涂后的整个阴影部分依然是轴对称图形，则应选取的方格是（   ） A．a B．b C．c D．d 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的定义，即可求解． 【详解】解：如图，当把a方格填涂上阴影，填涂后的整个阴影部分依然是轴对称图形． 【变式10-1】如图，一个大正方形被平均分成9个小正方形，其中有3个小正方形已经被涂上阴影，在剩余的6个白色小正方形中任选一个涂上阴影，使图中涂上阴影的四个小正方形组成轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题主要考查了轴对称图形，直接利用轴对称图形的性质得出答案．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，正确把握轴对称图形的定义是解题关键． 【详解】解：如图所示：在剩余的6个白色小正方形中任选一个涂上阴影，使图中涂上阴影的四个小正方形组成轴对称图形，符合题意的有：1，2，3，4共4个， 故选：C． 【变式10-2】如图，在的正方形网格中，有两个小正方形已被涂上阴影，再将图中剩余小正方形中任意一个涂上阴影，那么能使整个图案构成一个轴对称图形的涂法有（    ） A．5种 B．6种 C．4种 D．7种 【答案】A 【分析】正方形网格中，对称轴的位置有三种情况：水平的，竖直的，沿对角线的．按此分类逐个尝试即可． 【详解】解：对称轴水平时，涂法如图（1）；对称轴竖直时，涂法如图（2）；对称轴沿对角线时，涂法如图（3）（4）（5）． 答案：A． 【点睛】本题考查了的是利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 题型11 最短路径问题 【例11】如图，在中，，点O为内一点，过点O分别作，的垂线，垂足分别为点M，N，点P，Q分别为，上的动点，连接，，，当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称解决最短路线问题，其中涉及三角形内角，三角形外角性质等知识，作出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键； 作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，根据轴对称——最短路线问题，当点，点P，点Q，点四点共线时，的周长最小，作出相应的图形，再结合三角形内角和、三角形一个外角等于不相邻两个内角和定理等知识解题即可． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，如图： ， ∵，，，， ∴，， ∴，， 当点，点P，点Q，点四点共线时， 的周长最小，即， 此时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：C； 【变式11-1】如图，直线是一条河，点是两个村庄．欲在直线上的某处修建一个水泵站，向C，D两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于． 根据两点之间，线段最短，可知选项铺设的管道，所需管道最短． 故选：D． 【变式11-2】如图，在中，，，，．如果点D、E分别为边、上的动点，那么的最小值是（ ） A．8 B．9.6 C．10 D．10.8 【答案】B 【分析】如图所示，作点A关于的对称点，作点E，交于点D，连接、，则，故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当时，最小，根据三角形的面积即可求得的最小值． 【详解】解：作点A关于的对称点，作点E，交于点D，连接、，如图： 则， ∴． 即的最小值为． ∵，，，， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为9.6． 故选：B． 【点睛】此题考查了利用轴对称解决最短路径问题，垂线段的性质，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 【变式11-3】如图，正方形的边长为4，M是中点，N是中点，P是对角线上一个动点，则的最小值为______． 【答案】4 【分析】本题考查的是轴对称的性质和正方形的性质，根据题意作出对称后的图形是解题的关键．作M关于的对称点E，结合正方形性质确定其为的中点，当E、P、N三点共线时，的值最小值． 【详解】解：作M关于的对称点E，连接， 又∵四边形为正方形， ∴，点E为的中点， ∵， ∴当E、P、N三点共线时，最短， ∵N是中点，点E为的中点， ∴． ∴的最小值为4． 故答案为：4． 1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项A能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 2．数学活动课上，小晨用一张等宽的纸条折叠成如图所示的图案，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对顶角相等得到，根据平行线的性质得到，根据折叠的性质作答即可． 【详解】解：如图， 由题意可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴． 3．如图，与交于点，与关于直线对称，点，的对称点分别是，，交于点．下列说法中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由轴对称的性质求解即可． 【详解】解：由轴对称的性质可得，，，， ∴， 故说法中不一定正确的是． 4．如图，在正方形网格中找线段（，在格点上），使它与线段，组成轴对称图形，线段的位置有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的特征进行作图即可． 【详解】解：线段如图所示： ①② ∴线段的位置共有2个． 5．如图，在村庄附近有一个生态保护区，现要在公路边修建一个垃圾站，使它到，两村庄的路程之和最短，且从村庄到公路不能穿过生态保护区，则下列四种修建方案中，符合条件的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，从村庄到公路不能穿过生态保护区，结合图形可知到的最短路径需经过生态保护区的右下角顶点，将问题转化为求两点之间线段最短的问题求解即可 ． 【详解】解：设生态保护区右下角的顶点为， 从村庄到公路不能穿过生态保护区， 到的最短路径需经过点，即路径为， 总路程为， 为定值， 要使总路程最短，只需最短， 点在直线上方，点在直线下方， 根据“两点之间，线段最短”，连接交直线于点，此时最小， 即三点共线 观察图形，选项A符合共线且与相连的特征． 6．如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点、分别在边、上，将沿着折叠压平使与重合，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由折叠的性质得，再由平角的定义得，再根据三角形内角和定理得，代入即可求解． 【详解】解：由折叠可知，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 则． 7．如图，在四边形中，，，、分别是边、上的动点，当的周长最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接，则当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小，可得的大小． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接， 由对称性知：， ∴， ∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小； ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 此时． 8．如图，该轴对称图形有______________条对称轴． 【答案】 【详解】解：如图，该轴对称图形共有条对称轴． 9．图1，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图2，在井口放置一面平面镜可改变光路，，当太阳光线与地面所成的角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则平面镜与地面所成的角的度数为_____． 【答案】/度 【分析】根据垂直的定义得出，利用角的和差关系求出的度数，再根据平角的定义和已知条件 求出的度数，最后利用角的和差关系求出的度数． 【详解】解：由题意知， ， ， ， ， 平面镜是一条直线， ， ， ， ， 10．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 【答案】 【分析】实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，据此解答即可． 【详解】解：根据实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称可知： 时间应该是． 11．如图1是长方形纸带，，先将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的度数为___． 【答案】96度/ 【分析】由得出，然后结合折叠的性质求解． 【详解】解：四边形为长方形， ， ． 由翻折的性质得，图2中，， ∵ ∴， ∴， ∴图3中，． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 图形的轴对称 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 轴对称图形的识别 题型2 根据成轴对称图形的特征进行判断 题型3 根据成轴对称图形的特征进行求解 题型4 求对称轴条数 题型5 台球桌面上的轴对称问题 题型6 轴对称中的光线反射问题 题型7 折叠问题 题型8 车牌号码/钟面/电子表的镜面对称 题型9 画轴对称图形 题型10 设计轴对称图案 题型11 最短路径问题.... 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 轴对称图形 两个图形成轴对称 对称轴 对应点 对应线段 对应角 1.学生能准确说出轴对称图形、两个图形成轴对称的定义，能清晰区分两个概念，准确找出常见平面图形的对称轴。 2.理解并掌握轴对称的核心性质：成轴对称的两个图形全等；对称轴垂直平分任意一组对应点的连线；轴对称图形中对应线段相等、对应角相等。 3.能够运用轴对称的性质解决简单几何问题，如证明线段相等、角度相等，以及线段长度、角度大小相关计算。 4.能根据轴对称的特征，画出一个图形关于某条直线的轴对称图形，会找已知点、线段、多边形的对称对应点。 学习重点： (1) 轴对称图形与两个图形成轴对称概念的区分，牢牢掌握轴对称两条核心性质：成轴对称的图形全等；对称轴垂直平分对应点的连线，对应线段、对应角分别相等。 (2) 能够熟练运用轴对称的性质，完成线段相等、角度相等类几何证明，以及边长、角度相关计算类题目。 (3) 掌握作已知图形轴对称图形的规范步骤，准确画出点、线段、三角形等简单图形的对称图形。 学习难点： (1) 区分轴对称图形（单一图形自身具备对称特征）与两个图形成轴对称（两个独立图形的对称位置关系），做题时容易混淆二者概念。 (2) 灵活运用 “对称轴垂直平分对应点连线” 这条性质，结合图形推理线段垂直、平分等量关系，容易忽略对应点连线与对称轴的垂直平分关系。 (3) 绘制复杂多边形轴对称图形时，容易遗漏顶点对称点、对称线段长短、角度出现偏差。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意： 1. 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2. 轴对称图形是1个图形， 3. 有些对称图形的对称轴有无数条。 ⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴. ⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这 条线段的垂直平分线. 即时即练 1．下列银行标志的图形中是轴对称图形的是（     ） A．    B． C． D． 知识点02 轴对称的性质 ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 即时即练 1．如图，直线m是多边形的对称轴，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，E，F分别在边上，将沿着折叠，得到，与交于G．当时，的度数是（   ） A． B． C． D． 3．小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（    ） A． B． C． D． 4．如图所示，与关于直线成轴对称，则线段与直线的关系正确的是（    ） A．直线被线段垂直平分 B．线段被直线垂直平分 C．直线经过线段中点，但不垂直 D．直线与线段垂直，但不经过线段中点 知识点03 画轴对称图形 （1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点； （2）同理分别作出其它关键点的对称点； （3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形. 即时即练 1．如图是由3个相同的小正方形组成的图形，若再补画一个相同的小正方形，使补画后的图形是轴对称图形，则不同的补画方法一共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 题型1 轴对称图形的识别 【例1】我县为践行健康第一教育理念，促进学生全面发展，要求全县所有学校从2024年秋季学期开始必须保障学生每天两个小时体育活动时间．郁南县实验中学为贯彻落实该项政策组织了九年级学生开展以“坚持运动，践行健康”为主题的体育运动项目图标设计比赛．下列是一些同学设计的关于体育运动项目图标，其中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列运动图形是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列图形：①角；②直角三角形；③等边三角形；④线段；⑤等腰三角形；⑥平行四边形．其中一定是轴对称图形的有_____ 个． 题型2 根据成轴对称图形的特征进行判断 【典例2】如图，将一正方形纸片沿图1中的对角线对折一次得图2，再沿图2中的斜边上的中线对折一次得图3，然后用剪刀沿图3中的虚线剪去一个角得图4，将图4展开铺平后的平面图形是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知与分别在直线l的两侧且关于直线l对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线l的对称点，下列线段被直线l垂直平分的是（　　） A． B． C． D． 题型3根据成轴对称图形的特征进行求解 【例3】如图，直线l是长方形的对称轴，点E是直线l上的点，若，，则图中阴影部分的面积是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式3-1】如图，在中，直线交于点，点关于直线对称的点恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（     ） A．13 B．15 C．17 D．23 【变式3-2】如图，与关于直线l对称，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，内有一点，，分别是关于，的对称点，连接交于点，交于点．若的周长是，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型4 求对称轴条数 【例4】如图，图中雪花的对称轴条数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【变式4-1】图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．10 【变式4-2】下列图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】图中圆与正方形的四条边都相切，则该图有（   ）条对称轴． A．2 B．4 C．5 D．无数 题型5 台球桌面上的轴对称问题 【例5】如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时 ，且，若，则（   ） A． B． C．53° D． 【变式5-1】如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【变式5-2】如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【变式5-3】如图，桌球的桌面上有两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则四个点中，可以反弹击中球的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 题型6 轴对称中的光线反射问题 【例6】如图，一束光线从上的点发出，经过平面镜上的点反射后，其反射光线与平行，若测得，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上．若，则度数为（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的度数为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束与天花板所形成的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（    ） A． B． C． D． 题型7 折叠问题 【例7】如图，在中，，点F、G是边上的两点，分别以线段、为折痕进行折叠，点B、点C的对应点分别为点、点，若线段、在同一条直线上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形．若 ，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，将长方形纸片的两个直角和分别沿直线，折叠，点A落到上方的点处，与边相交于点，点恰好落到上的处．已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，现有一张长方形纸条，将纸条沿折叠，点C落在处，点D落在处．再将纸条沿继续折叠，点A落在处，点B落在处．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型8 车牌号码/钟面/电子表的镜面对称 【例8】小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 【变式8-1】如图所示的是驾驶员在后视镜中看到的后面一辆汽车的车牌号码，则后面汽车的车牌号码是（   ） A．TB209 B．902BT C．209TB D．TB902 【变式8-2】小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（　　） A． B． C． D． 【变式8-3】电子钟示数“”在平面镜中的像为（    ） A． B． C． D． 题型9 画轴对称图形 【例9】如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，在格纸中能画出与成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括本身），这样的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式9-1】如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式9-2】如图，在的正方形网格中，图中的为格点三角形，在图中与成轴对称的格点三角形可以画出（   ） A．16个 B．12个 C．10个 D．6个 【变式9-3】如图是由全等的小等边三角形组成的网格，其中有3个小三角形被涂成了黑色（用阴影表示）．若平移其中1个阴影三角形到空白网格中，使阴影部分构成的图形为轴对称图形，则平移的方法共有（    ）    A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 题型10 设计轴对称图案 【变式10】某中学八年级（1）班同学在学习了《利用轴对称设计图案》一课后，一小组设计了如图所示的轴对称图案，某同学大胆提议，从a，b，c，d四个方格中选一方格进行阴影填涂，使得填涂后的整个阴影部分依然是轴对称图形，则应选取的方格是（   ） A．a B．b C．c D．d 【变式10-1】如图，一个大正方形被平均分成9个小正方形，其中有3个小正方形已经被涂上阴影，在剩余的6个白色小正方形中任选一个涂上阴影，使图中涂上阴影的四个小正方形组成轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式10-2】如图，在的正方形网格中，有两个小正方形已被涂上阴影，再将图中剩余小正方形中任意一个涂上阴影，那么能使整个图案构成一个轴对称图形的涂法有（    ） A．5种 B．6种 C．4种 D．7种 题型11 最短路径问题 【例11】如图，在中，，点O为内一点，过点O分别作，的垂线，垂足分别为点M，N，点P，Q分别为，上的动点，连接，，，当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】如图，直线是一条河，点是两个村庄．欲在直线上的某处修建一个水泵站，向C，D两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　） A． B． C． D． 【变式11-2】如图，在中，，，，．如果点D、E分别为边、上的动点，那么的最小值是（ ） A．8 B．9.6 C．10 D．10.8 【变式11-3】如图，正方形的边长为4，M是中点，N是中点，P是对角线上一个动点，则的最小值为______． 1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．数学活动课上，小晨用一张等宽的纸条折叠成如图所示的图案，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，与交于点，与关于直线对称，点，的对称点分别是，，交于点．下列说法中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在正方形网格中找线段（，在格点上），使它与线段，组成轴对称图形，线段的位置有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在村庄附近有一个生态保护区，现要在公路边修建一个垃圾站，使它到，两村庄的路程之和最短，且从村庄到公路不能穿过生态保护区，则下列四种修建方案中，符合条件的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点、分别在边、上，将沿着折叠压平使与重合，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在四边形中，，，、分别是边、上的动点，当的周长最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 8．如图，该轴对称图形有______________条对称轴． 9．图1，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图2，在井口放置一面平面镜可改变光路，，当太阳光线与地面所成的角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则平面镜与地面所成的角的度数为_____． 10．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 11．如图1是长方形纸带，，先将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的度数为___． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $