专题15 复数（压轴题专项训练）高一数学苏教版必修第二册

专题15 复数 （七类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、复数的概念及几何意义 类型二、复数的综合运算 类型三、复数中的含参问题 类型四、复数中的最值与范围问题 类型五、实系数一元二次方程的解 类型六、复数与其他章节融合 压轴专练 类型一、复数的概念及几何意义 1.复数的有关概念 （1）复数的定义:形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,且. （2）复数集:全体复数构成的集合叫做复数集. （3）复数的表示:,其中叫做复数的实部,叫做复数的虚部. 2.复数相等 若,则复数与相等的充要条件是且. 3.复数的分类 （1）对于复数,当且仅当时,它是实数;当且仅当时,它是实数0;当时,它叫做虚数;当且时,它叫做纯虚数. 这样,复数可以分类如下: 4.复数的几何意义及复数的模 实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数都与平面直角坐标系上的点一一对应，将这个平面称为复平面.横坐标代表复数的实部，纵坐标代表复数的虚部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴. ①复数的几何意义： ②复数的模：向量的模叫做复数的模，记作或，即 5.共轭复数 （1）定义:一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. （2）表示:复数的共轭复数表示为,即若,则. （3）性质:①两个共轭复数的对应点关于实轴对称；②实数的共轭复数是它本身,即. 【技巧方法】 利用复数与点的对应解题的步骤： （1）找对应关系:复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示,是解决此类问题的根据. （2）列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解. 例1．已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数为实数及不等关系列不等式，解一元二次不等式即可. 【解析】由题，所以为实数，即， 则有，解得，即a的取值范围为. 故选：A 变式1-1．如图，在复平面内，复数z对应的点为P，则复数的虚部为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对应点坐标写出复数，再应用复数的乘除运算化简，即可得答案. 【解析】由图得，则， 所以，虚部为. 故选：C 变式1-2．已知，若（为虚数单位）是实数，则（  ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据实数的定义即可得出结论. 【解析】由题意可知复数的虚部为，即. 故选：B. 变式1-3．（多选）设复数，其中i是虚数单位，下列判断中正确的是（  ） A． B． C．z是方程的一个根 D．满足最小正整数n为3 【答案】ACD 【分析】由复数的概念逐项判断即可. 【解析】由题设，，则，， 所以A正确，B错误； 由的根为，故z是该方程的一个根，C正确； 由，则，故最小正整数n为3时，，正确. 故选：ACD 变式1-4．已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由复数的几何意义可得，从而求出a的取值范围． 【解析】∵复数在复平面内对应的点在第四象限， ∴，解得， 即实数a的取值范围是． 故答案为：． 类型二、复数的综合运算 1.复数的四则运算： 设是任意两个复数 运算 计算公式 加法 减法 乘法 除法 2.复数加减法的几何意义： （1）复数加法的几何意义： 如图,设复数 对应的向量分别为,四边形为平行四边形,则与对应的向量是. （2）向量减法的几何意义： 如图所示,设分别与复数对应,且不共线,则这两个复数的差与向量（即对应. 3.复数的加法运算律，乘法运算律 对于任意，有 加法运算律 交换律 结合律 乘法运算律 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 【技巧方法】 复数运算的几个重要结论： （1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)；（2）·z＝|z|2＝||2 （3）若z为虚数，则|z|2≠z2；（4）(1±i)2＝±2i；（5）＝i；＝－i 例2．若复数满足（为虚数单位），则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数的除法运算及共轭复数概念，再由模长公式即可求解. 【解析】， ， 所以， 所以， 所以， 故选：C 变式2-1．若复数与都是纯虚数，则是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设复数，利用复数的乘方运算，结合纯虚数与共轭复数的概念求解即得． 【解析】因为复数是纯虚数，所以设复数， 则， 因为是纯虚数，所以，解得， 所以，． 故选：B． 变式2-2．（多选）已知复数的共轭复数为，则下列命题正确的是（  ） A． B．为纯虚数 C． D． 【答案】ACD 【分析】设复数，即可得其共轭复数，根据复数的加减运算，即可判断A，B；根据复数模的计算可判断C；根据复数的乘方运算可判断D. 【解析】设复数，则，故，A正确； ，当时，为实数，B错误； ，则，C正确； ， ，故， 则，D正确， 故选：ACD 变式2-3．（多选）已知复数，，均不为0，则下列说法正确的是（  ） A．若复数满足，且，则 B．若复数满足，则 C．若，则 D．若复数，满足，则 【答案】ABD 【分析】根据复数的乘方运算结合复数概念判断A；根据复数的除法运算判断B；举反例判断C；根据复数的共轭复数概念以及复数的乘法运算可判断D. 【解析】对于A选项，令，a，，则， 因为，且，所以，则，故，故A正确； 对于B选项，令，则由，得， 所以，故B正确； 对于C选项，令，，此时，，，故C错误； 对于D选项，令，， 则，所以， ，故D正确. 故选：ABD 类型三、复数中的含参问题 复数的模长： （1）定义：向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值； （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|； （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 【技巧方法】 利用复数相等的充要条件以及复数的模公式等求参数 例3．已知复数. (1)若是实数，求的值； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围； (3)若，求的值. 【答案】(1).；(2).；(3)或. 【分析】（1）先算出表达式，实数虚部是，让虚部对应式子为求. （2）已知形式，按条件列不等式组，分别解不等式，取交集得范围. （3）由模的值列等式，两边平方去掉根号，展开合并得方程，因式分解求解. 【解析】（1）， 因为是实数，所以，解得. （2）因为，所以 解得，即的取值范围为. （3）因为，所以， 化简得， 解得或. 变式3-1．已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（  ） A．4 B． C．6 D．或6 【答案】B 【分析】根据复数相等联立方程求得的值. 【解析】由得，即， 根据复数相等的充要条件可得，解得. 故选：B. 变式3-2．已知，复数 在复平面内对应的点位于第一象限，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义得到不等式组，求解即可． 【解析】由， 则在复平面内对应的点为，且位于第一象限， 所以，解得， 所以的取值范围为． 故选：A． 变式3-3．已知复数满足，则（  ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据复数模的公式求解. 【解析】由题意可得， 所以，解得. 故选：B． 变式3-4．已知复数，，如果，那么实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据，利用模的计算公式列不等式求解实数a的取值范围. 【解析】，， 又因为，所以，解得. 故答案为： 变式3-5．已知复数. (1)若是实数，求的值； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围； (3)若，求的值. 【答案】(1).；(2).；(3)或. 【分析】（1）先算出表达式，实数虚部是，让虚部对应式子为求. （2）已知形式，按条件列不等式组，分别解不等式，取交集得范围. （3）由模的值列等式，两边平方去掉根号，展开合并得方程，因式分解求解. 【解析】（1）， 因为是实数，所以，解得. （2）因为，所以 解得，即的取值范围为. （3）因为，所以， 化简得， 解得或. 类型四、复数中的最值与范围问题 1、复数的模的几何意义 （1）复数的模就是复数在复平面内对应的点到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义． （2）复数在复平面内对应的点为，表示一个大于0的常数，则满足条件的点组成的集合是以原点为圆心，为半径的圆，表示圆的内部，表示圆的外部． 2、两个复数差的模的几何意义 （1）表示复数，对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式． （2）表示以对应的点为圆心，为半径的圆． 【技巧方法】 涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解． 例4．若为虚数单位，复数满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用复数的几何意义知复数对应的点到点的距离满足，表示复数对应的点到点的距离，数形结合可求得结果. 【解析】复数满足，即 即复数对应的点到点的距离满足 设，表示复数对应的点到点的距离 数形结合可知的最大值 故答案为： 变式4-1．已知复数满足，当的虚部取最大值时，（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，令，由条件可得，代入计算，即可得到结果. 【解析】令，，则，，∴，∴，，∴， 故选：B. 变式4-2．设复数z满足条件|z|＝1，那么取最大值时的复数z为（  ） A．+i B．+i C．i D．i 【答案】A 【分析】复数的模转化为距离，是单位圆上的点，是单位圆上点与的距离的最大值，可求解答案． 【解析】复数满足条件，它是复平面上的单位圆，那么表示单位圆上的点到的距离， 要使此距离取最大值的复数，就是和连线和单位圆在第一象限的交点． 点到原点距离是2．单位圆半径是1，又，所以． 故对应的复数为． 故选：A 变式4-3．已知设，则，则的最小值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】由，可得，再利用复数模的公式求解。 【解析】由，可得，可令， 则 （为锐角，且） 由，可得 则的最小值为3. 故选：A 变式4-4．已知复数满足，则的最小值为_________ . 【答案】 【分析】利用复数的几何意义知表示复平面内点到与的距离和，进而求解 【解析】设，因为，所以，所以或，因为，所以的轨迹为，根据复数的几何意义可知表示复平面内点到与的距离和； 显然当，即时， 故答案为： 变式4-5．已知复数，其中为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若是关于的实系数方程的一个复数根，求实数的值. (3)若，另有复数，满足，求的最小值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）根据纯虚数的概念列不等式求解即可； （2）利用实系数方程的根性质可得也是关于的实系数方程的一个复数根，结合韦达定理即可求得的值，从而得所求； （3）设复数，结合复数模长公式可得的值，由二次函数的性质从而求得的最小值. 【解析】（1）若是纯虚数，则，解得； （2） 是关于的实系数方程的一个复数根， 则也是关于的实系数方程的一个复数根， 所以，即， 故； （3）若，则， 设复数，则 因为，所以，则，解得， 所以，当时等号成立， 所以的最小值为. 类型五、实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 1、实系数一元二次方程中的为根的判别式，那么 （1）方程有两个不相等的实根； （2）方程有两个相等的实根； （3）方程有两个共轭虚根， 2、实系数一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） （1）当时，方程的两个实根满足韦达定理 ，。 （2）当时，方程的两个共轭虚数根、，则 ， 。 综上所述，无论方程的判别式的符号如何，韦达定理都成立，于是韦达定理能被推广到复数根的情况，即实系数一元二次方程（、、且）的两个根与系数满足关系 ， 【技巧方法】 求解复数集上的方程的方法： ①设化归为实数方程来解决． ②把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形． ③对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式． 例5．已知是实系数一元二次方程的一个复数根，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入已知方程中，利用复数的四则运算化简，根据复数相等的条件列式求解，即可求解. 【解析】将代入方程可得， 即，故，解得，故. 故选：B. 变式5-1．若复数，实数满足，则（  ） A． B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】法一：利用复数运算法则得到，从而得到方程组，求出，得到答案； 法二：变形得到，是的根，故是方程的另一个根，由韦达定理得到，求出答案. 【解析】法一：因为， 所以， 所以，解得，故； 法二：，故， 因为是的根，故是方程的另一个根， 由韦达定理得，， 故，所以. 故选：D 变式5-2．已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由求出的范围，再利用一元二次方程的求根公式求出，结合列方程求出的值. 【解析】由关于的一元二次方程有两个虚根， 得，即，解得或， 则，， 整理得，解得或，则， 所以实数的值为3. 故选：B. 变式5-3．已知，为实数，（i为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（  ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】由是关于的方程的一个根，则是关于的方程的一个根，结合根与系数的关系求解即可. 【解析】由是关于的方程的一个根， 则是关于的方程的一个根， 则，， 即，，则， 故选：D. 变式5-4．已知关于的实系数一元二次方程. (1)若（是虚数单位）是此方程的一个根.求、的值； (2)若是此方程的两个虚根，且满足，，求、的值. 【答案】(1)；(2)，. 【分析】（1）利用方程根的定义列式，再利用复数为0求得答案. （2）求出方程的两个高根，再利用复数模的意义求解. 【解析】（1）由是的一个根，得， 整理得，而，则， 所以. （2）依题意，设， 由，得，即， 又，所以，则， 代入，得， 根据韦达定理，， 当时，；当时，，都满足， 所以. 类型六、复数与其他章节融合 复数常常与常用逻辑用语、不等式、平面向量、三角函数等章节融合。 例6．已知复数的实部为2，其中，为实数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得. 【解析】∵复数的实部为2， ∴，即． 则， 当且仅当，即，时取等号， ∴所求最小值为． 故答案为：． 变式6-1．已知复数（为虚数单位），则“为纯虚数”是“”的（  ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】由复数为纯虚数，求出，判断即可. 【解析】复数为纯虚数，则， 解得，或， 所以若为纯虚数不一定得到，但是由一定能得到为纯虚数， 故“为纯虚数”是“”的必要非充分条件， 故选：B 变式6-2．已知复数，且，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数相等可得和三角函数的平方关系可得，再根据正弦函数的取值范围与二次函数的性质可得的取值范围. 【解析】复数，且， 所以，则 因为，所以，当时，，当时， 所以的取值范围是. 故选：B. 变式6-3．（多选）的实部与虚部互为相反数，则的取值可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由实部和虚部互为相反数，结合二倍角公式可构造关于的一元二次方程，解方程求得，根据特殊角三角函数值和的范围可求得结果. 【解析】由题意得：，， 解得：或，，或或， 故选：ACD. 变式6-4．（多选）已知复数，（）在复平面内对应的向量分别为，（其中为原点），则下列命题正确的是（  ） A．若，则 B．若，则的最小值为3 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】利用复数的几何意义、复数的模的公式及向量知识求解。 【解析】对于A，若，则复平面内以有向线段和为邻边的平行四边形是矩形， 根据矩形的对角线相等和复数加减法的几何意义可知，选项A正确； 对于B，若，则点的轨迹是以为圆心，以5为半径的圆， 设， 则， 因为，可得，故B正确； 对于C， ，取，显然，但，故C错误； 对于D，两个复数当且仅当它们同为实数时才能比较大小，故D错误. 故选：AB. 变式6-5．已知复数，（，），（），若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用复数相等条件列式求解. 【解析】复数，，，， 则，化简整理可得，， 当时，取得最小值为1， 当时，取得最大值为5， 故的取值范围为． 故答案为：． 变式6-6．已知复数，， (1)若，求角； (2)复数对应的向量分别是，其中为坐标原点，求的取值范围； (3)复数对应的向量分别是、，存在使等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)角；(2)；(3) 【分析】(1)利用复数相等的性质和特殊角的三角函数值，结合角度的范围即可求解 (2)由向量的数量积运算结合两角差的正弦整理，再由角度的范围求出相位范围后即可求出的取值范围 (3)利用向量数量积的坐标运算进行化简等式，转化为和三角函数的表达式，求出三角函数的整体范围后再计算表达式的范围，进而求出最后结果 【解析】（1），，由，得，， 又， （2）由复数的坐标表示得，，， 则，又， ，当时，取最大值为4， 当时，取最小值为， 所以的取值范围为 （3）由题意得，，，， 又，， 化简得，，由小问2的结论可得，， 当，得 恒成立， 当，得，或， 综合所述，的取值范围为 1.在复平面内，若是虚数单位，复数与关于虚轴对称，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义以及复数的运算，求解即可． 【解析】∵， 由复数与对应的点关于虚轴对称， ∴． 故选：C. 2. 复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】设（），由条件等式，应用复数相等求，得到复数. 【解析】设（），则，， 因为，所以， 所以解得 即． 故选：D. 3.已知复数z满足，则的最小值为（  ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的几何意义知点到点和的距离相等，表示点到点的距离，进而问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值。 【解析】设复数z在复平面内对应的点为Z， 因为复数z满足，所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等， 所以在复平面内点的轨迹为轴， 又表示点到点的距离， 所以问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值， 所以的最小值为2， 故选：B. 4.复数满足条件，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的模的公式及基本不等式求解。 【解析】由且，得， ∴，整理得， ∴， 当且仅当，即，时，取得最小值. 故选：C 5.已知复数，．若， 则的最大值为（  ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】（1）由复数的几何意义，列不等式，即可求解； （2）有复数模的公式，得到，再结合基本不等式，即可求解的最大值. 【解析】（1）由题意知， 解得， 故实数的范围为 ． （2）， 所以， 所以， 故． 当且仅当， 所求最大值为． 故选：A 6.复数的模为1，其中为虚数单位，，则这样的一共有（  ）个. A．9 B．10 C．11 D．无数 【答案】C 【分析】先根据复数的模为1及复数模的运算公式，求得即，接下来分与两种情况进行求解，结合，求出的个数. 【解析】，其中，所以，即，，当时，①，，所以，，因为，所以或；②，，所以，，因为，所以，，，，或；当时，①，，即，，因为，所以，②，，即，，因为，所以，，，，，综上：，，一共有11个. 故选：C 7.（多选）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则下列说法正确的有（  ） A．若则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】由复数不能比较大小，即可判断A，由复数的模长公式即可判断BC，举出反例即可判断D. 【解析】，如，，此时与无大小关系，A错． ，，，，，B对． ，，， 即， 则，，C对． 设，，此时但，D错， 故选：BC． 8.（多选）已知复数为虚数单位在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（  ） A．点的坐标为 B． C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】利用复数的几何意义即可逐项判断。 【解析】A：因为复数为虚数单位在复平面内对应的点为，所以点的坐标为，因此本选项结论正确； B：因为，所以，因此本选项结论正确； C，D：设，在复平面内对应的点为，设 因为，所以点到点的距离为1，因此点是在以为圆心，1为半径的圆，表示圆上的点到点距离， 因此， ，所以选项C的结论正确，选项D的结论不正确， 故选：ABC 9.（多选）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是（  ） A．复数为实数 B．对应的点位于第一象限 C．若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为 D． 【答案】BD 【分析】由欧拉公式及复数的相关概念计算逐项计算判断即可. 【解析】对于A：，则复数为纯虚数，故A错误； 对于B：，因为，所以，， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B正确； 对于C：，， ，， 因此的面积为， 因为， 所以面积的最大值为，故C错误； 对于D： ， 所以 ，故D正确. 故选：BD 10.已知复数，若，则 ． 【答案】 【分析】根据复数的乘方运算可得，再由除法运算计算可得结果. 【解析】易知， 所以由可得， 所以. 故答案为： 11.若是关于的实系数方程的一个复数根，则___________. 【答案】3 【分析】由题知与其共轭复数均为方程根，进而由韦达定理即可得答案. 【解析】∵实系数一元二次方程的一个虚根为， ∴其共轭复数也是方程的根. 由根与系数的关系知，， ∴ ，. 故答案为： 12.复数，满足，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，利用复数模的意义求出在复平面内对应点的轨迹，再结合复数的几何意义及圆的性质求出最小值. 【解析】设，则，由，得， 整理得，即在复平面内对应点的轨迹为直线， 由，得在复平面内对应点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 过点作于点，线段交圆于，则为等腰直角三角形，， 而表示在复平面内复数对应点的距离， 所以的最小值为. 故答案为：. 13.已知为复数，和均为实数，其中i是虚数单位. (1)求； (2)若复数是方程的一个解，求的值. (3)若在第四象限，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）设，依据题设，建立方程求出，即可求得z； （2）代入可得，求得，进而得到答案； （3）先求出，再根据题意建立不等式组求解即可. 【解析】（1）设，则为实数，所以. 为实数，所以， 所以. （2）因为复数是方程的一个解， 代入可得， 整理可得，解得，， 所以. （3）， 由在第四象限，得， 解得或， 故的取值范围为. 14.已知关于的方程有实数根. (1)求实数的值； (2)若复数满足，求当为何值时，有最小值，并求出的最小值. 【答案】(1)；(2)当时，有最小值为 【分析】（1）根据复数相等的条件列式可求出结果； （2）设，代入可得复数对应的点的轨迹是圆，根据复数的模的几何意义可求出结果. 【解析】（1）因为是方程的实数根， 所以，即， 所以，解得， （2）设，由，得， 得，整理得， 所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图所示，    当复数对应的点在的延长线上时，取最小值， 因为，圆的半径，所以的最小值为. 此时复数对应的点与关于原点对称，则. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 复数 （六类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、复数的概念及几何意义 类型二、复数的综合运算 类型三、复数中的含参问题 类型四、复数中的最值与范围问题 类型五、实系数一元二次方程的解 类型六、复数与其他章节融合 压轴专练 类型一、复数的概念及几何意义 1.复数的有关概念 （1）复数的定义:形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,且. （2）复数集:全体复数构成的集合叫做复数集. （3）复数的表示:,其中叫做复数的实部,叫做复数的虚部. 2.复数相等 若,则复数与相等的充要条件是且. 3.复数的分类 （1）对于复数,当且仅当时,它是实数;当且仅当时,它是实数0;当时,它叫做虚数;当且时,它叫做纯虚数. 这样,复数可以分类如下: 4.复数的几何意义及复数的模 实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数都与平面直角坐标系上的点一一对应，将这个平面称为复平面.横坐标代表复数的实部，纵坐标代表复数的虚部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴. ①复数的几何意义： ②复数的模：向量的模叫做复数的模，记作或，即 5.共轭复数 （1）定义:一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. （2）表示:复数的共轭复数表示为,即若,则. （3）性质:①两个共轭复数的对应点关于实轴对称；②实数的共轭复数是它本身,即. 【技巧方法】 利用复数与点的对应解题的步骤： （1）找对应关系:复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示,是解决此类问题的根据. （2）列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解. 例1．已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 变式1-1．如图，在复平面内，复数z对应的点为P，则复数的虚部为（  ） A． B． C． D． 变式1-2．已知，若（为虚数单位）是实数，则（  ） A． B． C．2 D．3 变式1-3．（多选）设复数，其中i是虚数单位，下列判断中正确的是（  ） A． B． C．z是方程的一个根 D．满足最小正整数n为3 变式1-4．已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是 ． 类型二、复数的综合运算 1.复数的四则运算： 设是任意两个复数 运算 计算公式 加法 减法 乘法 除法 2.复数加减法的几何意义： （1）复数加法的几何意义： 如图,设复数 对应的向量分别为,四边形为平行四边形,则与对应的向量是. （2）向量减法的几何意义： 如图所示,设分别与复数对应,且不共线,则这两个复数的差与向量（即对应. 3.复数的加法运算律，乘法运算律 对于任意，有 加法运算律 交换律 结合律 乘法运算律 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 【技巧方法】 复数运算的几个重要结论： （1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)；（2）·z＝|z|2＝||2 （3）若z为虚数，则|z|2≠z2；（4）(1±i)2＝±2i；（5）＝i；＝－i 例2．若复数满足（为虚数单位），则（  ） A． B． C． D． 变式2-1．若复数与都是纯虚数，则是（  ） A． B． C． D． 变式2-2．（多选）已知复数的共轭复数为，则下列命题正确的是（  ） A． B．为纯虚数 C． D． 变式2-3．（多选）已知复数，，均不为0，则下列说法正确的是（  ） A．若复数满足，且，则 B．若复数满足，则 C．若，则 D．若复数，满足，则 类型三、复数中的含参问题 复数的模长： （1）定义：向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值； （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|； （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 【技巧方法】 利用复数相等的充要条件以及复数的模公式等求参数 例3．已知复数. (1)若是实数，求的值； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围； (3)若，求的值. 变式3-1．已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（  ） A．4 B． C．6 D．或6 变式3-2．已知，复数 在复平面内对应的点位于第一象限，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 变式3-3．已知复数满足，则（  ） A． B． C．2 D．4 变式3-4．已知复数，，如果，那么实数a的取值范围是 . 类型四、复数中的最值与范围问题 1、复数的模的几何意义 （1）复数的模就是复数在复平面内对应的点到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义． （2）复数在复平面内对应的点为，表示一个大于0的常数，则满足条件的点组成的集合是以原点为圆心，为半径的圆，表示圆的内部，表示圆的外部． 2、两个复数差的模的几何意义 （1）表示复数，对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式． （2）表示以对应的点为圆心，为半径的圆． 【技巧方法】 涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解． 例4．若为虚数单位，复数满足，则的最大值为 . 变式4-1．已知复数满足，当的虚部取最大值时，（  ） A． B． C． D． 变式4-2．设复数z满足条件|z|＝1，那么取最大值时的复数z为（  ） A．+i B．+i C．i D．i 变式4-3．已知设，则，则的最小值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式4-4．已知复数满足，则的最小值为_________ . 变式4-5．已知复数，其中为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若是关于的实系数方程的一个复数根，求实数的值. (3)若，另有复数，满足，求的最小值. 类型五、实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 1、实系数一元二次方程中的为根的判别式，那么 （1）方程有两个不相等的实根； （2）方程有两个相等的实根； （3）方程有两个共轭虚根， 2、实系数一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） （1）当时，方程的两个实根满足韦达定理 ，。 （2）当时，方程的两个共轭虚数根、，则 ， 。 综上所述，无论方程的判别式的符号如何，韦达定理都成立，于是韦达定理能被推广到复数根的情况，即实系数一元二次方程（、、且）的两个根与系数满足关系 ， 【技巧方法】 求解复数集上的方程的方法： ①设化归为实数方程来解决． ②把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形． ③对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式． 例5．已知是实系数一元二次方程的一个复数根，则（  ） A． B． C． D． 变式5-1．若复数，实数满足，则（  ） A． B． C．1 D．4 变式5-2．已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为（　　） 变式5-3．已知，为实数，（i为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（  ） A．0 B．1 C．2 D．4 变式5-4．已知关于的实系数一元二次方程. (1)若（是虚数单位）是此方程的一个根.求、的值； (2)若是此方程的两个虚根，且满足，，求、的值. 类型六、复数与其他章节融合 复数常常与常用逻辑用语、不等式、平面向量、三角函数等章节融合。 例6．已知复数的实部为2，其中，为实数，则的最小值为 ． 变式6-1．已知复数（为虚数单位），则“为纯虚数”是“”的（  ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 变式6-2．已知复数，且，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式6-3．（多选）的实部与虚部互为相反数，则的取值可能是（  ） A． B． C． D． 变式6-4．（多选）已知复数，（）在复平面内对应的向量分别为，（其中为原点），则下列命题正确的是（  ） A．若，则 B．若，则的最小值为3 C．若，则 D．若，则 变式6-5．已知复数，（，），（），若，则的取值范围为 ． 变式6-6．已知复数，， (1)若，求角； (2)复数对应的向量分别是，其中为坐标原点，求的取值范围； (3)复数对应的向量分别是、，存在使等式成立，求实数的取值范围． 1.在复平面内，若是虚数单位，复数与关于虚轴对称，则（  ） A． B． C． D． 2. 复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3.已知复数z满足，则的最小值为（  ） A．1 B．2 C． D． 4.复数满足条件，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 5.已知复数，．若， 则的最大值为（  ） A． B． C．1 D． 6.复数的模为1，其中为虚数单位，，则这样的一共有（  ）个. A．9 B．10 C．11 D．无数 7.（多选）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则下列说法正确的有（  ） A．若则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8.（多选）已知复数为虚数单位在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（  ） A．点的坐标为 B． C．的最大值为 D．的最小值为 9.（多选）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是（  ） A．复数为实数 B．对应的点位于第一象限 C．若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为 D． 10.已知复数，若，则 ． 11.若是关于的实系数方程的一个复数根，则___________. 12.复数，满足，，则的最小值为 . 13.已知为复数，和均为实数，其中i是虚数单位. (1)求； (2)若复数是方程的一个解，求的值. (3)若在第四象限，求的取值范围. 14.已知关于的方程有实数根. (1)求实数的值； (2)若复数满足，求当为何值时，有最小值，并求出的最小值. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $