第十章 复数（高效培优单元自测·强化卷）数学人教B版高一必修第四册

第十章 复数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．设复数，，则（   ） A．i B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知复数，则的虚部是（   ） A． B． C． D． 4．已知复数满足，则（    ） A． B． C．2 D． 5．已知复数，满足，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 6．若（）为纯虚数，则（   ） A． B．2 C． D．4 7．已知复数，则（    ） A． B． C．5 D．6 8．设是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．设复数z满足（i为虚数单位），记为z的共轭复数，则（   ） A． B．复数z的虚部为 C． D．复数z在复平面内对应的点在第一象限 10．若复数，为虚数单位，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．若复数满足，则的最小值为 11．已知复数，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则的最小值为 D．若为实数，则也为实数 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．设i是虚数单位，计算：______． 13．如图，在复平面内，复数和对应的点分别是和，则____________． 14．下列说法中正确的是_____________．（填序号）①若，其中，，则必有，②；③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；④若一个数是实数，则其虚部不存在；⑤若，则对应的点在复平面内的第一象限． 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）在复平面内，若复数对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上，分别求实数的取值范围． 16．（15分）已知复数 (1)若 ，求角θ； (2)复数对应的向量分别是，若与的夹角为锐角，求θ的取值范围. 17．（15分）已知复数． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若为实数，求的值； (3)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 18．（17分）已知复数． (1)若，求； (2)若，且，求． 19．（17分）已知复数满足，且. (1)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求； (2)在第（1）问条件下，若复数，且复数在复平面内对应点在第三象限，求实数的取值范围； (3)在（1）问条件下，求的值. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 复数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．设复数，，则（   ） A．i B． C． D． 【答案】A 【详解】. 2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】由题意知，，则， 在复平面内对应的点为，在第一象限. 3．已知复数，则的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以的虚部是. 4．已知复数满足，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 由共轭复数的性质得，可得， 由模长公式得. 5．已知复数，满足，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】在复平面中，设，分别与向量，对应， 由题意可得，， 因为， 即， 解得，即． 6．若（）为纯虚数，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】， 因为为纯虚数， 所以，且， 所以. 7．已知复数，则（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【详解】， 故. 8．设是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若满足，此时，不为纯虚数， “”不是“复数为纯虚数”的充分条件， ， 若复数为纯虚数，则， ， “”是“复数为纯虚数”的必要条件． “”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件，故选B． 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．设复数z满足（i为虚数单位），记为z的共轭复数，则（   ） A． B．复数z的虚部为 C． D．复数z在复平面内对应的点在第一象限 【答案】AC 【详解】因为，所以， 对于A：，A正确； 对于B：因为复数，所以复数的虚部为，B错误； 对于C：因为，所以，所以， 又，所以，C正确； 对于D：因为复数，所以复数在复平面内对应的点坐标为，在 第四象限，D错误； 故选：AC. 10．若复数，为虚数单位，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．若复数满足，则的最小值为 【答案】BCD 【详解】 . 对于A：，A错误. 对于B：，B正确. 对于C：在复平面内对应的点为，位于第四象限，C正确. 对于D：表示复数在复平面内对应单位圆上的点，表示单位圆上的点到点的距离. 点到原点的距离为，所以单位圆上的点到点的最小距离为，D正确. 11．已知复数，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则的最小值为 D．若为实数，则也为实数 【答案】ABD 【详解】设， 若，则，则， 则， 则， 故，故A正确； ，故B正确； 表示点，两点间的距离， 因为，当时有最小值， 则的最小值为，故C错误； 因为，为实数，所以为实数，故D正确. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．设i是虚数单位，计算：______． 【答案】 【详解】， 所以. 13．如图，在复平面内，复数和对应的点分别是和，则____________． 【答案】 【详解】由题意得，复数，， 则． 故答案为： 14．下列说法中正确的是_____________．（填序号）①若，其中，，则必有，②；③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；④若一个数是实数，则其虚部不存在；⑤若，则对应的点在复平面内的第一象限． 【答案】⑤ 【详解】对于①，由知y是虚数，则不成立，故①错误； 对于②，两个不全为实数的复数不能比较大小，故②错误； 对于③，原点也在虚轴上，表示实数0，故③错误； 对于④，实数的虚部为0，故④错误； 对于⑤，，对应点在第一象限，⑤正确． 故答案为：⑤. 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）在复平面内，若复数对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上，分别求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4) 【分析】 【详解】（1）复数的实部为，虚部为, 由题意可得，解得或； （2）由题意可得，解得； （3）由题意可得， 或； （4）由题意可得，解得． 16．（15分）已知复数 (1)若 ，求角θ； (2)复数对应的向量分别是，若与的夹角为锐角，求θ的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为 , 所以， 又， 所以. （2）由题意，， 若与的夹角为锐角， 则， 因为，所以， 所以，即， 当时，，即， 解得，此时与的夹角为， 综上，θ的取值范围 17．（15分）已知复数． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若为实数，求的值； (3)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）由复数，因为复数为纯虚数，可得，解得． （2）由复数为实数，可得， 解得或． （3）由复数在复平面内对应的点位于第二象限，则满足， 解得，即的取值范围为． 18．（17分）已知复数． (1)若，求； (2)若，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为， ， （或） 所以，所以． （2）， 所以，因为，所以， ， 所以. 19．（17分）已知复数满足，且. (1)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求； (2)在第（1）问条件下，若复数，且复数在复平面内对应点在第三象限，求实数的取值范围； (3)在（1）问条件下，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）设， ，即， 由，得，则， 又，则，解得， 又复数在复平面内对应的点在第二象限，， 所以. （2）由（1）知， 所以， 因为复数在复平面内对应点在第三象限，所以，解得. （3）由（1）知， . 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $