2026年广东省深圳市南山区第二外国语学校（集团）九年级中考前适应性训练数学试题

**基本信息** 九年级中考前适应性训练数学试题，以无人机投递、端午节等真实情境为载体，通过函数建模、几何旋转等综合题考查抽象能力、空间观念与模型意识，适配中考三模需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|数轴距离、概率、平行线性质、三角函数|结合春晚机器人表演考平行线性质，体现科技情境| |填空题|5/15|因式分解、一元二次方程、阴影面积、反比例函数|矩形中扇形面积计算，融合几何直观与运算能力| |解答题|7/61|数据分析、方程应用、圆的切线、二次函数建模、矩形旋转|无人机轨迹题（19题）通过二次函数平移与最值考查模型意识；矩形旋转题（20题）综合空间观念与推理能力，贴合中考命题趋势|

九年级中考前适应性训练 数学试题 一、选择题（每小题3分，共8小题，共24分） 1.下列哪个数在数轴上离原点最近（) A.-1 B.2 C.3.14 D.1.6 2.将两本相同的书进行叠放，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是() 从正面看 3.下列计算正确的是( A.m5+m2=m10 B.(-m2)3=m6 C.a3Xa2=a6 D.(-ab)2=a8b2 4.端午节是我国四大传统节日之一，吃棕子是端午节的传统习俗，端午节这天小颗的妈妈买了2只红豆 粽和4只红枣粽，这些粽子除了内部馅料不同外其他均相同.小颖从中随总选一个，她选到红豆粽的概 ※是() A月 c月 0.1 4 5.如图①是2026年春晚的武术节目《武B0T》中某机器人的表演瞬间，图②是其局部示意图.若AB ∥CD∥EF,BC∥DE,∠E=73°，则∠B的度数为() A.73° B.93 C.107° D.127 \B D 50m 24° 图① 图② A 第5题图 第6题图 6.许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长 的自动扶梯).上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，AB的长为50米，AB与 AC的夹角为24°，则高BC是() A.50sin24°米B.50cos24°米 C. 240米 D.50 0r2pn米 第1页 7.随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交 车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离 为8千米.若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为() A.8+15= 8 B.8=8 +15 2.5x x2.5x c是+片 88.1 D. x=2.5x+4 8.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=I20°，AB=6,对角线AC、BD相交于点O,将菱形ABCD沿着 MN折叠，使得点A恰好落在AC上的G点处，与BD相交于点E、F,若CG=2V3,则EF的长为 D () A.V3 B.2 B.C.2√2 D.3 二、填空题（每小题3分，共5小题，共15分） 9.分解因式：2y-4y= 10.一元二次方程2+2x+2a-1=0的一个解为x=-1,则a=」 11.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=2V2,以点A为圆心，AD的长为半径画弧交边BC于点E, 则图中阴影部分的面积是 ·(结果保留π) B D 第11题图 第12题图 第13题图 12.如图，在R1△A0B中，∠A0B=90,且点A在反比例函数y=的图象上，点B在反比例函数y=-是 的图象上，则tanB= I3.如图，在△ABC中，BC=AC,过点A作AF⊥BC于点F,点D是AF延长线上一点，线段BD,AC 的延长线交于点E,若BD=V5,AD=4,tan∠BDA=2,则DE的长为 三、解答题（共7小题，共61分) 14.(6分)计算：-12026+1-2-V4+(1-V2)°. 15.(7分)先化简：1-3)÷，再从-3.0,3中选取一个适当的数代入求值。 第2页 16.(8分)为提升信息素养，学校组织八、九年级开展“AI小达人·校园智创赛”.老师从八、九两个年 级中各抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，分A,B,C,D四个等级，90分及以上为优秀，并评为“校 园智创之星” 【信息整理】 信息1： 等级 A B D 成绩 95≤x≤100 90≤x<95 85≤x<90 x<85 信息2：八年级B,C两组同学的成绩分别为：85,88,89,89,92,92,93,94,94： 九年级C组同学的成绩分别为：89,89,88,88,88,88,88,87,86. 信息3： 八年级抽取学生竞赛成绩的条形统计图九年级抽取学生竞赛成绩的扇形统计图 人数A 8 8 7 6 D 5 20% 20% B % 2 45% B C D等级 【数据分析】八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表如表： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 88 a 95 40% 九年级 88 88 6 35% (1)完成填空：a= ,b= 并补全条形统计图： (2)根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？ 请说明理由（写出一条理由即可）： (3)若该校八年级学生有580人，九年级学生有525人，请估计该校八、九年级成绩为A等级的学生 共有多少人？ 第3页 17.(9分)【问题背贷】 2026年4月23日是第31个“世界谈书日”.为给师生提供更加良好的阅谈环境，某学校决定扩大图书 馆而积，增加减书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍. 【素材呈现】 素材一：有A,B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高100元： 素材二：购买3个A种书架和2个B种书架共需要2300元： 素材三：A种书架的数量不少于B种书架数量的亏 【问题解决】 (1)求A,B两种书架的单价： (2)设购买a个A种书架，购买书架的总数用为w元，试求出总费用最少时的购买方案。 18.(9分)如图，己知⊙O经过A,C,D三点，点D在BA边上，CD⊥AC,∠A=∠BCD （1)求作⊙O:（请保留尺规作图痕迹，不写作法) (2)求证：BC是⊙O的切线： (3)己知BC=6,BD=4,求⊙0的半径长. 第4页 19.(11分)项目背景：深圳某物流公司研发了一款无人机快递投递系统，无人机从仓库起飞，飞行轨迹 近似为抛物线.工程师需优化轨迹设计，确保快递精准送达客户，以仓库为原点，地面（水平方向）为 x轴，垂直于地面的方向（竖直方向）为y轴建立平面直角坐标系. y/m 00 8o 60 50 3 20 H0 0102030405060708090100110x7m 图 2 【任务一：确定投递轨迹方程】 (1)在首次飞行测试中，无人机距离仓库的水平距离和竖直高度的几组数据如下表 水平距离xm 0 10 20 30 40 50 60 70 80 竖直高度ylm 0 35 0 75 80 75 60 35 0 ①直接写出无人机飞行轨迹的二次函数表达式是 ②利用表格中的数据在图2的方格纸中绘制该抛物线的图象（作图时，至少要描绘出表格中的9个点）. 【任务二：调整仓库位置避开高架桥】 (2)因高架桥施工，仓库需向左平移m(m>0)米，并向上平移2米.无人机轨迹形状不变（开口方 向与大小均不变)，调整后的轨迹需经过某小区住户坐标(5,37).为了节约迁移成本，左移距离不能 太长，求满足以上条件且左移距离最短时m的值， 【任务三：优化重型包裹投递路径】 (3)将无人机在水平范围x1≤x≤x2内的飞行高度最大值Vm与最小值Vm之差称为垂直波动量记作 TxI,x2]=Vmx~'mm,当无人机投递重型包裹时，因仓库周边施工，起飞点再次移至新位置，但保持 轨迹顶点与任务二调整后的轨迹顶点相同，同时需要减小抛物线开口以降低晃动，若垂直波动量V[25, 40]=10米，记新抛物线的二次项系数为42（a2<0),求a2的值. 【任务四：评估调整后的投递安全性】 (4)任务二中调整后的轨迹在水平范围5≤x≤n内的垂直波动量V[5,n]=5米.直接写出这时n的 值是 第5页 20.(11分)综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动， 在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AEFG,其中点E,F分 别是点B,C的对应点. G (I)如图1，连接DG,BE,则 的值为 BE (2)如图2，当点E恰好落在边CD上，连接BG交AE于点O,连接BE. ①DE的长度为 ②求证：OG=OB. (3)若直线EB,DG交于点H,当BE=8时，请画出草图并写出对应BH的长， 0 C F C G D E C B G 0 A ⊙ E 图1 图2 备用图 第6页 九年级中考前适应性训练 数学参考答案 一、选择题（每小题3分，共8小题，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 A D D B 1 D B 二、填空题（每小题3分，共5小题，共15分） 205 9.y(+2)(x-2) 10.1 11.42-m 12. 子 13. 19 三、解答题（共7小题） 14.(6分)计第：-12026+|-2-V4+(1-V2)°. 解：原式=-1+2-2+1 …4分 =0. …6分 15.（7分)先化简：1-希g)+29 X+3 ，再从-3,0,3中选取一个适当的数代入求值. 解：1-希g)+2担 X+3 =+3-6.x43 x+3(x-3)2 …1分 =-3.x+3 x+3(x-3)2 …2分 高 …4分 ,当x=-3或3时，原分式无意义， .x=0, …5分 当x=0时，原式=己=-号 …7分 16.(1):a=88+82=88.5,b=88: 2 补全条形图如图：八年级抽取学生弃楼成绒的条形统计图 人数 …………3分 B D醉级 第1页 (2)八年级的学生对当前信息技术的了解情况更好， …4分 理由如下： 两个年级的学生成绩的平均数相同，但八年级的中位数和众数都比九年级的高，故八年级的学生对当前 信息技术的了解情况更好： …6分 3 (3)估计该校八、九年级成绩为A等级的学生共有580×品+525×20%=192（人). …8分 17.解：(1)设A种书架的单价为x元，B种书架的单价为y元，…1分 由题意得： x-y=100 3x+2y=2300' x=500 解得：y=400' ……3分 答：A种书架的单价为500元，B种书架的单价为400元. ……4分 (2)设购买a个A种书架，则购买(20-a)个B种书架， 由题意得：≥号(20-a, 解得：a≥5， …6分 :购买书架的总费用为w元 ,∴.w=500a+400(20-a)=100a+8000, …7分 ,100>0, w随a的增大而增大， ∴.当a=5时，w取得最小值， 此时，20-a=15, 答：总费用最少时的购买方案是购买A种书架5个，B种书架15个， …9分 第2页 18.(1)解：如图，作线段AD的垂直平分线，交AD于点O,再以点O为圆心，OA的长度为半径画 圆，则⊙0即为所求作： …3分 01 A (2)证明：连接OC, .OA=OC, .∠A=∠OCA, ,CD⊥AC, .∠ACD=90°， .∴.∠OCA+∠OCD=∠A+∠OCD=90°， ,∠A=∠BCD ∴.∠BCD+∠OCD=90°， ∴.∠0CB=90°， .OC⊥BC, 0C为⊙0的半径， …6分 .BC是⊙O的切线： (3)解：设OC=x,则OD=x,OB=x+4, 在Rt△OBC中，由勾股定理得：OC2+BC2=OB2, 即x2+62=(x+4)2, 解得：x=2.5, ∴AC=2.5, …9分 ∴.⊙0的半径长为2.5. 第3页 19.解：(1)y=-六x-40)2+80: …2分 ②描点连线绘制函数图形如下： y 10 00700 000010 …4分 102030405060708090100110 (2)平移后的表达式为：=-元(x-40+m)2480+2. 将(5,37)代入上式得：37=-六(5-40+m)2480+2, 解得：m=65(舍去)或5： m的大小为5. ……6分 (3)由(2)知，新抛物线的表达式为y=a2(x-35)2482, 当x=35时，ymar=82,当x=25时，ymim=a2(25-35)2+82=100a2+82, 则82-(100a2+82)=10, 解得：a2=-0 1 …8分 (4)35-20W2. ……11分 (没有舍弃错误答案扣1分)》 第4页 20,解：0月 ………2分 (2)①27 …4分 ②证明：如图1，过点B作BM⊥AE于点M, 由旋转可知，AB=AE, ,∠ABE=∠AEB, ,AB∥CD, ∴，∠ABE=∠CEB, ∴.∠CEB=∠AEB, ∴.BE平分∠AEC 又，∠C=90°，BM⊥AE, ∴.BC=BM. 图1 由旋转可知，AG=AD=BC, ..AG=BM. ,'∠GA0=∠BMO=90°，∠AOG=∠MOB, ∴.△AOG≌△MOB(AAS), ..OG=0B: …7分 D (3) H H G B 图4 E 图3 如图，BH的长分别为3V3-4,3V3+4。 …11分 (每刷图和答案各1分) 第5页 九年级中考前适应性训练 数学试题 一、选择题(每小题3分，共8小题，共24分) 1.下列哪个数在数轴上离原点最近( ) A. - 1 B. 2 C. 3.14 D. 1.6 3.下列计算正确的是 ( ) A. B. C. D. 4.端午节是我国四大传统节日之一，吃粽子是端午节的传统习俗，端午节这天小颖的妈妈买了2只红豆粽和4只红枣粽，这些粽子除了内部馅料不同外其他均相同.小颖从中随意选一个，她选到红豆粽的概率是( ) D. C. B. A. 5.如图①是2026年春晚的武术节目《武BOT》中某机器人的表演瞬间，图②是其局部示意图.若AB∥CD∥EF, BC∥DE, ∠E=73°, 则∠B 的度数为( ) A. 73° B. 93° C. 107° D. 127° 6.许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”(可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯).上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，AB的长为50米，AB与AC 的夹角为24°, 则高BC是( ) A. 50sin24°米 B. 50cos24°米 C. 米D. 米 第1页 学科网（北京）股份有限公司 7.随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米.若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为( ) A. B. C. D. 8. 如图, 在菱形ABCD中, ∠ABC=120°,AB=6, 对角线AC、BD相交于点O, 将菱形ABCD沿着MN折叠，使得点A恰好落在AC上的G点处，与BD相交于点E、F，若 则EF的长为( ) A. B. 2 B. C. 2 D.3 二、填空题(每小题3分，共5小题，共15分) 9.分解因式：x²y-4y= . 10.一元二次方程 的一个解为x=-1, 则a= . 11. 如图, 在矩形ABCD中, AB=2, BC=2 以点A 为圆心，AD的长为半径画弧交边BC 于点 E，则图中阴影部分的面积是 .(结果保留π) 12. 如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,且点A在反比例函数 的图象上，点B 在反比例函数 的图象上, 则tanB= . 13. 如图,在△ABC中,BC=AC,过点A作AF⊥BC于点F, 点 D是AF延长线上一点, 线段BD,AC的延长线交于点 E，若BD = , AD=4, tan∠BDA=2, 则DE的长为 . 三、解答题(共7小题，共61分) 14. (6分) 计算: 15. (7分) 先化简: 再从-3，0，3中选取一个适当的数代入求值. 第2页 学科网（北京）股份有限公司 16.(8分)为提升信息素养，学校组织八、九年级开展“AI小达人·校园智创赛”.老师从八、九两个年级中各抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，分A，B，C，D四个等级，90分及以上为优秀，并评为“校园智创之星”. 【信息整理】 信息1： 等级 A B C D 成绩 95≤x≤100 90≤x<95 85≤x<90 信息2: 八年级B, C两组同学的成绩分别为: 85, 88, 89, 89, 92, 92, 93, 94, 94;九年级C组同学的成绩分别为: 89, 89, 88, 88, 88, 88, 88, 87, 86. 信息3： 八年级抽取学生竞赛成绩的条形统计图 九年级抽取学生竞赛成绩的扇形统计图 【数据分析】八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表如表： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 88 a 95 40% 九年级 88 88 b 35% (1) 完成填空: a= ,b= ,并补全条形统计图; (2)根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好?请说明理由(写出一条理由即可)： (3)若该校八年级学生有580人，九年级学生有525人，请估计该校八、九年级成绩为A等级的学生共有多少人? 第3页 学科网（北京）股份有限公司 17. (9分)【问题背景】 2026年4月23日是第31个“世界读书日”.为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加减书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍. 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高100元； 素材二：购买3个A种书架和2个B种书架共需要2300元； 素材三：A种书架的数量不少于 B种书架数量的 【问题解决】 (1)求A，B两种书架的单价； (2)设购买a个A种书架，购买书架的总费用为w元，试求出总费用最少时的购买方案. 18. (9分)如图,已知⊙O经过A, C, D三点,点D在BA边上,( (1)求作⊙O：(请保留尺规作图痕迹，不写作法) (2)求证: BC是⊙O的切线; (3)已知BC=6,BD=4,求⊙O的半径长. 第4页 学科网（北京）股份有限公司 19. ( 11分) 项目背景： 深圳某物流公司研发了一款无人机快递投递系统.无人机从仓库起飞，飞行轨迹近似为抛物线.工程师需优化轨迹设计，确保快递精准送达客户.以仓库为原点，地面(水平方向)为x轴，垂直于地面的方向 (竖直方向)为y轴建立平面直角坐标系. 【任务一：确定投递轨迹方程】 (1)在首次飞行测试中，无人机距离仓库的水平距离和竖直高度的几组数据如下表 水平距离x/m 0 10 20 30 40 50 60 70 80 竖直高度y/m 0 35 60 75 80 75 60 35 0 ①直接写出无人机飞行轨迹的二次函数表达式是 ； ②利用表格中的数据在图2的方格纸中绘制该抛物线的图象(作图时，至少要描绘出表格中的9个点). 【任务二：调整仓库位置避开高架桥】 (2)因高架桥施工，仓库需向左平移m(m>0)米，并向上平移2米.无人机轨迹形状不变(开口方向与大小均不变)，调整后的轨迹需经过某小区住户坐标(5，37).为了节约迁移成本，左移距离不能太长，求满足以上条件且左移距离最短时m的值. 【任务三：优化重型包裹投递路径】 (3)将无人机在水平范围x₁≤x≤x₂内的飞行高度最大值 Vmax与最小值 Vmin之差称为垂直波动量记作V[x₁, x₂]= Vmax-Vmin.当无人机投递重型包裹时，因仓库周边施工，起飞点再次移至新位置，但保持轨迹顶点与任务二调整后的轨迹顶点相同，同时需要减小抛物线开口以降低晃动.若垂直波动量V[25，40]=10米, 记新抛物线的二次项系数为a₂(a₂<0), 求a₂的值. 【任务四：评估调整后的投递安全性】 (4)任务二中调整后的轨迹在水平范围5≤x≤n内的垂直波动量V[5, n]=5:米.直接写出这时n的值是 . 第5页 学科网（北京）股份有限公司 20. (11分)综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动. 在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,将矩形ABCD绕点A 顺时针旋转得到矩形AEFG,其中点E,F分别是点 B，C的对应点. (1) 如图1, 连接DG, BE,则 的值为 . (2)如图2, 当点E恰好落在边CD上,连接BG交AE于点O,连接BE. ①DE的长度为 . ②求证: OG=OB. (3) 若直线EB, DG交于点H, 当BE=8时，请画出草图并写出对应BH的长. 第6页 学科网（北京）股份有限公司 九年级中考前适应性训练 数学参考答案 一、选择题(每小题3分，共8小题，共24分) 1 2 3 4 5 6 7 8 A D D B C A D B 二、填空题(每小题3分，共5小题，共15分) 9. y (x+2)(x-2) 10. 1 12. 三、解答题(共7小题) 14. (6分) 计算: 解: 原式=-1+2-2+1 4分 =0. 6分 15. (7分) 先化简: 再从-3，0，3中选取一个适当的数代入求值. 解： 1分 2分 4分 ∵当x=-3或3时，原分式无意义， ∴x=0, 5分 当x=0时，原式 7分 补全条形图如图：八年级抽取学生竞赛成绩的条形统计图 3分 第1页 学科网（北京）股份有限公司 (2)八年级的学生对当前信息技术的了解情况更好， 4分 理由如下： 两个年级的学生成绩的平均数相同，但八年级的中位数和众数都比九年级的高，故八年级的学生对当前信息技术的了解情况更好； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分 (3)估计该校八、九年级成绩为A等级的学生共有 (人). 8分 17.解：(1)设A种书架的单价为x元，B种书架的单价为y元， 1分 由题意得： 解得： 3分 答：A种书架的单价为500元，B种书架的单价为400元. 4分 (2)设购买a个A 种书架,则购买(20-a)个B 种书架, 由题意得： 解得: a≥5, 6分 ∵购买书架的总费用为w元 ∴w=500a+400(20-a) =100a+8000, 7分 ∵100>0, ∴w随a的增大而增大， ∴当a=5时，w取得最小值， 此时, 20-a=15, 答：总费用最少时的购买方案是购买A种书架5个，B种书架15个. 9分 第2页 学科网（北京）股份有限公司 18.(1)解：如图，作线段AD的垂直平分线，交AD于点O，再以点O为圆心，OA的长度为半径画圆，则⊙O 即为所求作； 3分 (2)证明:连接OC, ∵OA=OC, ∴∠A=∠OCA, ∵CD⊥AC, ∴∠ACD=90°, ∴∠OCA+∠OCD=∠A+∠OCD=90°, ∵∠A=∠BCD, ∴∠BCD+∠OCD=90°, ∴∠OCB=90°, ∴OC⊥BC, ∵OC为⊙O的半径, 6分∴BC是⊙O的切线; (3)解:设OC=x,则OD=x, OB=x+4,在 Rt△OBC中,由勾股定理得: 即 解得: x=2.5, ∴AC=2.5, 9分 ∴⊙O的半径长为2.5. 第3页 学科网（北京）股份有限公司 19. 解: 2分 ②描点连线绘制函数图形如下： 4分 (2)平移后的表达式为： 将(5, 37) 代入上式得: 解得: m=65(舍去) 或5; m的大小为5. 6分 (3)由(2)知，新抛物线的表达式为 当x=35时, ymax=82, 当x=25时,. 则 解得： ·8分 ⋯1分 (没有舍弃错误答案扣1分) 第4页 学科网（北京）股份有限公司 20. 解: (1) 2分 (2) ①2 4分 ②证明: 如图1,过点B作 BM⊥AE于点M,由旋转可知,AB=AE, ∴∠ABE=∠AEB, ∵AB∥CD, ∴∠ABE=∠CEB, ∴∠CEB=∠AEB, ∴BE平分∠AEC. 又∵∠C=90°, BM⊥AE, ∴BC=BM. 由旋转可知,AG=AD=BC, ∴AG=BM. ∵∠GAO=∠BMO=90°, ∠AOG=∠MOB, ∴△AOG≌△MOB (AAS), ∴OG=OB; 7分 (3) 如图，BH的长分别为 11 分 (每副图和答案各1分) 第5页 学科网（北京）股份有限公司 $