精品解析：2026年广东省广州市西关外国语中学九年级数学中考考前模拟试卷

2025学年第二学期初三毕业班适应性测试（三） 数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，25小题，满分120分，考试用时120分钟．注意事项： 1．开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 每年6月，学校的池塘里开满了荷花，荷花又名“水芙蓉”，其花粉直径约0.000083米，这里“0.000083”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下面立体图形中，从正面、侧面、上面看，都不能看到长方形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知 ，则下列不等式不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 汽车智能随动大灯能实时根据路况转动．如图，一汽车转弯时，车灯照明的中心线会主动转至 ，转动的角度，若的长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（ ） A. 70° B. 65° C. 60° D. 50° 7. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五、直金八两，问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两：2头牛、5只羊，共值金8两，那么每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，列出方程组应为（　　） A. B. C. D. 8. 已知a≠0，函数y＝与y＝ax2﹣a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，在矩形中，E为上一点，交于点F，若 ，矩形的周长为16，且 ，则的长（　　） A. 1 B. C. 2 D. 10. 如图，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③；④若，则；下列选项正确的是（ ） A. ②④ B. ①③ C. ①③④ D. ①②③ 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 将整式分解因式结果正确的是______． 12. 把平面直角坐标系上一点向上平移3个单位，这时它恰好在轴的正半轴上，则_______． 13. 如图，正五边形的边长为10，点、 在上，则的长是_______． 14. 若是方程的两个实数根，则的值为__________． 15. 若直线与双曲线的交点为，，则的值为__________． 16. 如图，菱形，， ，将菱形关于对称，得到菱形，在对角线，上有两个动点 ，，，连接，交于点，连接，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解二元一次方程组：． 18. 如图，点 ，分别在四边形的边，的延长线上，连接，分别交，于点，，，，．求证：． 19. 已知分式． （1）化简分式； （2）若关于的方程 有两个实数根，且为正整数，求分式的值． 20. 某购物商场为促进顾客消费，特设一个可自由转动的转盘．顾客凡购物满500元，即可获得优惠，两种优惠方式任意选择其中一种． 方式一：直接获得25元购物券； 方式二：有机会转动转盘一次，转盘分为多个区域，每个区域对应不同的购物券． 下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 落在20元购物券区域的次数 落在20元购物券区域的频率（结果保留小数点后两位） 请根据上面的图表完成以下问题： （1）________； （2）当转动次数增加到足够大时，落在元购物券区域的频率会逐渐稳定在某个常数附近，由此估计落在元购物券区域的概率是________（结果保留小数点后一位）； （3）小明和他的爸爸这次在此商场购物超过了元，他爸爸对于选择方式一还是方式二，犹豫不决．小明发现：元购物券、元购物券、 元购物券、元购物券所对应的扇形区域的圆心角之比是，通过计算求得转动一次转盘获得购物券数额的平均数，帮助他爸爸做出了更合算的选择．请问小明选择的是哪种方式，说明理由． 21. 已知矩形中，E为边上一点，连接为 上一点，且． （1）如图①，作，满足圆心O在上，且经过点 (要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； （2）在（1）的条件下，如图②，若点B在上，求证：． 22. 某校的研学活动计划租用大容量巴士和舒适型客车两种新能源车辆，两种车型共需18辆，用于接送全校900名师生及若干后勤设备． （1）已知每辆大容量巴士的载客量比每辆舒适型客车多15人；在每辆车均恰好满载的情况下，用大容量巴士运送900名师生，比用舒适型客车运送同样数量的师生少用5辆车．求每辆大容量巴士与每辆舒适型客车的载客量分别为多少人？ （2）已知：大容量巴士的单日租金为3000元/辆；舒适型客车的单日租金为2000元/辆．本次研学活动所租用的大容量巴士的数量不少于舒适型客车数量的2倍．请计算租车的单日最低总费用． 23. 为了监控危险路段的车辆行驶情况，通常会设置电子眼进行区间测速．如图电子眼位于点P处，离地面的铅垂高度PQ为11米；离坡AB的最短距离是11.2米，坡AB的坡比为3：4；电子眼照射在A 处时，电子眼的俯角为30°，电子眼照射在坡角点B处时，电子眼的俯角为70°．（A、B、P、Q在同一平面内） （1）求路段BQ的长；（sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75） （2）求路段AB的长；（≈1.7，结果保留整数） （3）如图的这辆车看成矩形KLNM，车高2米，当PA过M点时开始测速，PB过M点时结束测速，若在这个测速路段车辆所用的时间是1.5秒．该路段限速5米/秒，计算说明该车是否超速？ 24. 如图1，在中，，，点是边上一点（含端点、），过点作垂直于射线，垂足为 ，点在射线上，且，连接、 ， （1）求证：； （2）如图2，连接，点、、分别为线段、、的中点，连接、、．求的度数及的值； （3）在（2）的条件下，若，直接写出面积的最大值． 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点． （1）如图1，若点的坐标为，求抛物线的表达式和点的坐标； （2）过点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记为图形． ①在（1）的条件下，在图形位于轴上方的部分是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； ②如图2，已知点和点是图形上的点．设，当时，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期初三毕业班适应性测试（三） 数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，25小题，满分120分，考试用时120分钟．注意事项： 1．开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 每年6月，学校的池塘里开满了荷花，荷花又名“水芙蓉”，其花粉直径约0.000083米，这里“0.000083”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示形式为，其中，当原数的绝对值小于1时，为负整数，确定和的值，即可求解． 【详解】解：． 2. 下面立体图形中，从正面、侧面、上面看，都不能看到长方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依此找到从正面、左面、上面观察都不可能看到长方形的图形． 【详解】解：A、从正面看为长方形，从左面看为长方形，从上面看为长方形，故本选项错误； B、从正面看为长方形，从左面看为长方形，从上面看为圆，故本选项错误； C、从正面看为等腰三角形，从左面看为等腰三角形，从上面看为圆，从正面、左面、上面观察都不可能看到长方形，故本选项正确； D、从正面看为三角形，从左面看为三角形，从上面看为有对角线的长方形，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题重点考查从不同方向看几何体以及考查学生的空间想象能力． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘除、合并同类项的运算法则，即可判断． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、 ，故选项不符合题意； D、故选项符合题意； 4. 已知 ，则下列不等式不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：已知 ， 不等号两边同时减1，不等号方向不变，得，故A选项不等式正确，不合题意； 不等号两边同时加m，不等号方向不变，得，故B选项不等式正确，不合题意； 不等号两边同时乘以，不等号方向改变，得，故C选项不等式正确，不合题意； 不等号两边同时乘以c时，若则，若则，若 则，故D选项不等式不正确，符合题意． 5. 汽车智能随动大灯能实时根据路况转动．如图，一汽车转弯时，车灯照明的中心线会主动转至 ，转动的角度，若的长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：在中，，，， ∵， ∴． 6. 如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（ ） A. 70° B. 65° C. 60° D. 50° 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行得到，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得： ， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 7. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五、直金八两，问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两：2头牛、5只羊，共值金8两，那么每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，列出方程组应为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，即可得出关于x，y的二元一次方程组． 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：∵5头牛、2只羊，共值金10两， ∴； ∵2头牛、5只羊，共值金8两， ∴． ∴根据题意可列出方程组 ． 故选：A． 8. 已知a≠0，函数y＝与y＝ax2﹣a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分a＞0和a＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项． 【详解】解：当a＞0时，，所以，函数y＝的图象位于二、四象限，y＝ax2﹣a的开口向上，交y轴的负半轴，D选项符合； 当a＜0时，，函数y＝的图象位于一、三象限，y＝ax2﹣a的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据比例系数的符号确定其图象的位置，难度不大． 9. 如图所示，在矩形中，E为上一点，交 于点F，若 ，矩形的周长为16，且 ，则的长（　　） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过同角的余角相等找到全等三角形的对应角，进而证明三角形全等． 利用矩形性质得到 及由 推出结合 证明得到、通过周长关系列方程求出的长，进而计算的长． 【详解】∵四边形是矩形， ∴ ， 矩形的周长为， ∴即． ∵ ∴ ， ∴ ， 又∵在中，， ∴(同角的余角相等)． 在和 中， ∴． ∴． ∵ ∴ ． 设则 ∵且 ∴． 又∵ ∴ 解得 ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③；④若，则；下列选项正确的是（ ） A. ②④ B. ①③ C. ①③④ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图像和性质，逐一进行判断即可. 【详解】解：∵图像与轴交于点，对称轴为直线， ∴图像与轴的另一个交点为， ∴当时，，故正确； 由图像与轴交另一个点为， ∴ ， ∵抛物线对称轴为直线， ∴ ， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴ ， ∴，故错误； ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数的最小值为：， ∴， ∴，故正确； 由得 ，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确， 综上可得：正确． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 将整式分解因式结果正确的是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式法解答即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 把平面直角坐标系上一点向上平移3个单位，这时它恰好在轴的正半轴上，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中点的平移规律，以及坐标轴上点的坐标特征即可求解． 【详解】解：∵点向上平移3个单位， ∴平移后的点的坐标为， ∵平移后的点恰好在轴的正半轴上， ∴ ， ∴ ． 13. 如图，正五边形的边长为10，点、在上，则的长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据五边形是正五边形可得 ，的半径为10，即可求解． 【详解】解：∵五边形是正五边形，边长为10， ∴ ，的半径为10， ∴的长 ． 14. 若是方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义与根与系数的关系，利用方程解的定义和根与系数的关系得到对应关系式，再整体代入所求代数式求解即可． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ， ． 15. 若直线与双曲线的交点为，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数与反比例函数的图象中心对称性，可得两交点关于原点对称，得到两交点坐标的关系，再利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积为定值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵ 直线过原点，且正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称， ∴ 两交点，关于原点对称， ∴， ∵ 点在双曲线上， ∴， 将代入得： ． 16. 如图，菱形， ， ，将菱形关于对称，得到菱形，在对角线，上有两个动点，，，连接，交于点 ，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作的外接圆，圆心为 ，连接、 、、，由菱形的性质和轴对称的性质可证明是等边三角形，则，，进而证明，则，结合等量代换可得．由圆周角定理可得，结合容易证明 是等边三角形，则， ．根据，因此当、 、 三点共线时，取得最小值． 【详解】解：如图，连接，作的外接圆，圆心为 ，连接、 、、， ∵四边形是菱形， ∴，， ， 由轴对称的性质可得，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴优弧圆心角的度数为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ， ∴， ∵， ∴、、 三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴当、 、 三点共线时，取得最小值． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解二元一次方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】，①+②得：3x=9，即x=3，把x=3代入①得：y=2，则方程组的解为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 18. 如图，点，分别在四边形的边，的延长线上，连接，分别交，于点，，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，熟练运用上述性质是解题的关键． 根据得到 ，再利用得到，即可证明； 【详解】证明：， ． ， ， 即， 在 和中， ， ． 19. 已知分式． （1）化简分式 ； （2）若关于的方程 有两个实数根，且为正整数，求分式的 值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据分式的运算法则即可求解； （2）根据一元二次方程有两个实数根可得的取值范围，由为正整数，可得的值，再根据分式有意义的条件确定，即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：∵关于的方程 有两个实数根， ∴ ， 解得 ， ∵为正整数， ∴ ， ∵要使分式有意义， ， ∴当时，原式 ． 20. 某购物商场为促进顾客消费，特设一个可自由转动的转盘．顾客凡购物满500元，即可获得优惠，两种优惠方式任意选择其中一种． 方式一：直接获得25元购物券； 方式二：有机会转动转盘一次，转盘分为多个区域，每个区域对应不同的购物券． 下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 落在20元购物券区域的次数 落在20元购物券区域的频率（结果保留小数点后两位） 请根据上面的图表完成以下问题： （1）________； （2）当转动次数增加到足够大时，落在元购物券区域的频率会逐渐稳定在某个常数附近，由此估计落在元购物券区域的概率是________（结果保留小数点后一位）； （3）小明和他的爸爸这次在此商场购物超过了元，他爸爸对于选择方式一还是方式二，犹豫不决．小明发现：元购物券、元购物券、 元购物券、元购物券所对应的扇形区域的圆心角之比是，通过计算求得转动一次转盘获得购物券数额的平均数，帮助他爸爸做出了更合算的选择．请问小明选择的是哪种方式，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）方式二， 理由如下： 方式一：25元购物券； 方式二：， 转动一次转盘获得购物券数额的平均数为：． ， 选择方式二更合算． 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、加权平均数的计算、概率的应用，熟练掌握频率与概率的关系及加权平均数的计算公式是解题的关键． （1）根据频率的计算公式频率落在‘元购物券’区域的次数 转动转盘的次数，变形为落在‘元购物券’区域的次数转动转盘的次数 频率，代入数据计算即可求出的值． （2）利用频率估计概率，观察表格中频率的变化趋势，当试验次数足够大时，频率稳定在某个数值附近，该数值即为所求概率． （3）先根据圆心角之比求出各购物券对应的概率，再利用加权平均数公式计算出转动转盘获得购物券数额的平均数，最后将平均数与方式一的元比较，判断哪种方式更合算． 【小问1详解】 解：， 故答案为： ． 【小问2详解】 解：∵转动次数分别为25、50、75、100、125、150时，落在20元购物券区域的频率依次为0.36、0.42、0.43、0.40、0.38、0.39， ∴当转动次数足够大时，频率稳定在0.4附近， ∴估计落在20元购物券区域的概率是0.4． 故答案为： ． 【小问3详解】 略 21. 已知矩形中，E为边上一点，连接为 上一点，且． （1）如图①，作，满足圆心O在上，且经过点 (要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； （2）在（1）的条件下，如图②，若点B在上，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用垂径定理知圆心在弦的垂直平分线上，画的垂直平分线即可； （2）先利用直径所对圆周角为直角和矩形的性质，证得，得到对应角相等，再利用平行线的性质得到对应角相等，等量代换后，利用在同一个三角形中，等角对等边求出答案． 【小问1详解】 解：如下图所示，即为所求； ∵圆心在上， ∴是圆上的弦， 则圆心在弦的垂直平分线上， ∴作的垂直平分线交于点 ， 以点 为圆心，为半径画圆， 则为所求圆； 【小问2详解】 证明：如下图所示，连接， ∵是直径， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 某校的研学活动计划租用大容量巴士和舒适型客车两种新能源车辆，两种车型共需18辆，用于接送全校900名师生及若干后勤设备． （1）已知每辆大容量巴士的载客量比每辆舒适型客车多15人；在每辆车均恰好满载的情况下，用大容量巴士运送900名师生，比用舒适型客车运送同样数量的师生少用5辆车．求每辆大容量巴士与每辆舒适型客车的载客量分别为多少人？ （2）已知：大容量巴士的单日租金为3000元/辆；舒适型客车的单日租金为2000元/辆．本次研学活动所租用的大容量巴士的数量不少于舒适型客车数量的2倍．请计算租车的单日最低总费用． 【答案】（1）每辆大容量巴士的载客量为60人，每辆舒适型客车的载客量为45人 （2）最低费用为48000元 【解析】 【分析】（1）可设每辆舒适型客车载客量为人，每辆大容量巴士载客量为人，根据等量关系：租用大容量巴士运送900名师生，比用舒适型客车运送同样数量的师生少用5辆车，列出方程组求解即可； （2）设租设舒适型客车辆，则大容量巴士为，单日总租赁费用为元，根据题意列出不等式，求出的取值范围，进而列出关于的函数关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每辆舒适型客车载客量为人，每辆大容量巴士载客量为人， 依题意得： 解得：，（不合题意，舍去） 经检验，是原方程的解且符合题意， 则每辆大容量巴士载客量为： 答：每辆大容量巴士的载客量为60人，每辆舒适型客车的载客量为45人 【小问2详解】 解：设舒适型客车辆，则大容量巴士为，单日总租赁费用为元，则： 解得： 又有： 随的增大而减小， 当时， （元） 答：当租用舒适型客车6辆，大容量巴士12辆时，租车单日费用最低，最低费用为48000元 23. 为了监控危险路段的车辆行驶情况，通常会设置电子眼进行区间测速．如图电子眼位于点P处，离地面的铅垂高度PQ为11米；离坡AB的最短距离是11.2米，坡AB的坡比为3：4；电子眼照射在A 处时，电子眼的俯角为30°，电子眼照射在坡角点B处时，电子眼的俯角为70°．（A、B、P、Q在同一平面内） （1）求路段BQ的长；（sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75） （2）求路段AB的长；（≈1.7，结果保留整数） （3）如图的这辆车看成矩形KLNM，车高2米，当PA过M点时开始测速，PB过M点时结束测速，若在这个测速路段车辆所用的时间是1.5秒．该路段限速5米/秒，计算说明该车是否超速？ 【答案】（1）4米 （2）8米 （3）不超速，计算过程见详解 【解析】 【分析】（1）先求出的度数，再利用三角函数求BQ的长； （2）通过做辅助线构造直角三角形PAE，结合所给坡度用勾股定理列方程，即可求出路段AB的长； （3）通过做辅助线，构造出和，利用勾股定理求出PB、BD和AD的长，结合题意，再利用三角函数求出测速距离，进而求出车的平均速度，即可判断出是否超速． 【小问1详解】 解：电子眼照射在坡角点B处时的俯角为70°， ， ， ， ， 即路段BQ的长为4米． 【小问2详解】 如图，过点A作，垂足为E， 过点A作QB的垂线段，交QB的延长线于点G， 坡AB的坡比为3：4 设，, 在中，根据勾股定理， ， ， ， ， 电子眼照射在A 处时俯角为30°， 在中， ， ， 即 解得， 即路段AB的长为8米． 【小问3详解】 解：过点P作 ，垂足为D， 在中， ， 在中， ， ， ， 又， ， 车辆测速区间， 该车不超速． 【点睛】本题主要考查了三角函数、勾股定理和求直角三角形等有关知识，是一道实际问题，能正确做出辅助线并结合实际理解问题是做出本题的关键． 24. 如图1，在中，，，点 是边上一点（含端点、），过点作垂直于射线，垂足为，点在射线上，且，连接、， （1）求证：； （2）如图2，连接，点 、 、 分别为线段、、的中点，连接、、．求的度数及的值； （3）在（2）的条件下，若，直接写出面积的最大值． 【答案】（1）见解析 （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可知，，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证结论成立； （2）根据，可得，从而可得，根据中位线定理可得，根据邻补角定义即可求出的度数；根据可得，根据中位线定理可得； （3）过点 作垂直于 的延长线于点，，将相关线段关系转化为 ，可得关系，观察图象，当时，可得最大值． 【小问1详解】 证明：在中，，， ，， ， ， ， ，， ，， 即， ； 【小问2详解】 解：如下图所示，延长交于点， ， ， ， ， 点 、 分别为线段、的中点， 是的中位线， ， ， 点 、 分别为线段、的中点， 是 的中位线， ， ， ； ，， ， 是 的中位线，是的中位线， ，， ； 【小问3详解】 解：如图，过点 作垂直于 的延长线于点， ∴， ∵， （负值舍去）， ， 由（2）知， ∴， ∴， ∴当 取得最大值时，取得最大值， ， 在以的中点为圆心，为直径的圆上运动， 当时， 最大， ∴此时． 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点． （1）如图1，若点的坐标为，求抛物线的表达式和点的坐标； （2）过点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记为图形． ①在（1）的条件下，在图形位于轴上方的部分是否存在点 ，使得？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由； ②如图2，已知点和点是图形上的点．设，当时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）①存在点 的坐标为：或；②的取值范围为． 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，翻折变换的性质，综合性较强，难度较大． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）①根据，可得，，即 ，由翻折得到，分两种情况：当时，当时，根据三角形面积公式建立方程求解即可； ②由，得抛物线的顶点为 ，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，得，分两种情况：当时，当 时，分别求出的范围即可． 【小问1详解】 解：将代入抛物线，得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 令，得， ； 【小问2详解】 解：①存在点 ，使得，理由如下： 如图： 在中，令得：， 解得：，， ，， ， ， 顶点为 ， 过点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分不变，得到， 图象形的函数表达式为， 若轴上方的图形上存在点 ，使得，则， 当时，将 代入 得， 解得（舍去），； ， 当时，将 代入得，解得； ， 综上，存在点 ，使得，点 的坐标为：或； ②在中，令， 得， ， 直线， ， 抛物线的顶点为 ， 将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，得， 点和点是图形上的点， 当时，，， 即点 在轴左侧，点在轴右侧，如图， ，， ， ， ， ； 当 时，，， 即点 、均在轴右侧， ，， ， ， ， ， 此不等式组无解，即 不成立； 综上，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $