2026年广东省深圳市南山区北京师范大学南山附属学校初中部九年级阶段自测 数学试卷

北京师范大学南山附属学校初中部 2025-2026学年第二学期九年级三模考试数学试卷参考答案 一．选择题（共8小题，每题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C C C D B A C 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9．  10．180  11．  12．． 三．解答题（共7小题，第14题6分，第15题6分，第16题8分，第17题10分，第18题9分，第19题11分，第20题11分，共61分） 14．【答案】解： 4分 ． 6分 15．【答案】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：． 4分 整数解为：，，，0，1，2 ∴整数解之和为：． 6分 16．【答案】（1）100 1分 补全条形统计图如下： ……………………………………………………………2分 （2）解：（名）， 答：估计其中大约有150名学生喜爱“阅读类”社团活动； 4分 （3）解：列表如下： 男 男 女 男 （男，男） （男，女） 男 （男，男） （男，女） 女 （女，男） （女，男） 6分 共有6种等可能的结果，其中选中的2名学生恰好为1名男生和1名女生的结果有4种， ∴选中的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率为． 8分 17．【答案】（1）解：设购买一个乙种机器人需万元，则购买一台甲种机器人需万元，根据题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：购买一台甲种机器人需60万元，一台乙种机器人需65万元； 5分 （2）解：设该公司购进甲种机器人台，总花费为万元， 根据题意，得：， 解得，， ， ， 随的增大而减小， ，为整数， 当时，取得最小值， 此时（万元）， 答：购进26台甲种机器人花费最少，最少费用是2470万元．……………………10分 18．【答案】（1）证明：连接，则， ． ， ． ，，且， ， ， ． 是的半径， 是的切线．4分 （2）解：作于点，则， ， ， ． 设，，则， 在中，，即：， ， ， 的半径为5．……………………………………………………………………………………………9分 19．【答案】（1）解：设直线上的“双倍点”的坐标， ， 解得， ， 直线上的“双倍点”的坐标．2分 （2）解：不存在“双倍点”，理由如下： 设在反比例函数图象上， ，此方程无实数解， 在反比例函数图象上不存在“双倍点”．………………………………………………………4分 （3）解：二次函数解析式为， 当时，， 函数的图象与轴的交点坐标是， 函数的图象与轴的交点是“双倍点”， ， ， 顶点坐标为， 该二次函数是“双倍二次函数”， ， 解得或， 二次函数的解析式为或．………………………………………………………8分 （4）解：设“双倍二次函数”， 为“双倍点”， ， ， 解得或， 当时，顶点为，不合题意，舍去； 时，这个“双倍二次函数”为， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，在对称轴左侧，随的增大而减小， 当时，函数有最小值7，即， 解得或（舍去）； 当时，时，函数的最小值为4，不存在满足条件的值； 当时，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大， 当时，函数有最小值7，即， 解得或（舍去）， 综上所述，的值为或．……………………………………………………………………11分 20．【答案】（1）…………………………………………………………………………………………3分 （2）………………………………………………………………………………………………………5分 ②证明：如图1，过点作于点，由旋转可知，， ． ， ， ， 平分． 又， ， 由旋转可知，， ． ，， ， ；……………………………………8分 （3）解：的长为或，理由如下， 由旋转得，，， ． ， ． 在四边形中，， ． ， 为等边三角形． 同理为等边三角形． 如图2，令与的交点为， ， ， ． 如图3，同理可得， 综上所述，的长为或．………………………………………………………………11分 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师范大学南山附属学校初中部 2025−2026学年第二学期九年级三模考试数学试卷 【时间：90分钟 总分：100分】 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（ ） A． B． C． D． 2．武术是我国传统的体育项目．下列武术动作图形中，可以近似看成轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 5．如图，平行四边形，根据尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 6．如图，在水平桌面上的两个均垂直于桌面，，，在一条直线上．若，．①号的测试距离，则②号的测试距离为（ ） A． B． C． D． 7．广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年月产值达到万元，预计月产值将增至万元．设该公司，两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ） A． B． C． D． 8．如图①，在中，是对角线，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止．若点的运动速度为，设点的运动时间为（），的面积为，与的函数图象如图②所示．当恰好平分时，的长为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．若分式有意义，则实数的取值范围是________． 10．某科技小组用无人机测量一池塘水面两端，的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面的处，测得处的俯角为，处的俯角为，则，之间的距离是________．（取） 11．黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比，即矩形的短边为长边的倍．如图，用黄金矩形框住整个蜗牛壳，之后作正方形，得到黄金矩形，再作正方形，得到黄金矩形…，这样作下去，我们以每个小正方形边长为半径画弧线，然后连接起来，就是黄金螺旋．已知，则阴影部分的面积为____． 12．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，反比例函数的图象与相交于点，与相交于点，若点的坐标为，四边形的面积是，则的值为____． 13．如图，在中，，．平分，为延长线上一点，且，那么的值为____． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14．计算：． 15．解不等式组，并求出它的所有整数解之和． 16．为丰富学生的校园生活，提升学生的综合素质，某校计划开设丰富多彩的社团活动．为了解全校学生对各类社团活动的喜爱情况，该校随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生必选且只选一类），并根据调查结果制成如下统计图（不完整）、结合调查信息，回答下列问题： （1）本次问卷共调查了__________名学生，请补全条形统计图； （2）若该校有名学生，请估计其中大约有多少名学生喜爱“阅读类”社团活动？ （3）某班有名男生和名女生参加“体育类”社团中“追风篮球社”的选拔，名学生被选中，请用列表法或画树状图法求选中的名学生恰好为名男生和名女生的概率． 17．年春晚舞台上，人形机器人表演再次惊艳全球，展现了“中国智造”的无限活力和广阔未来，点燃了全世界对人形机器人赛道的憧憬，向全世界传递了中国科技自立自强的最强声音．某公司计划采购甲、乙两种机器人，已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少万元，花费万元购进甲种机器人的数量是花费万元购进乙种机器人数量的倍． （1）求甲种机器人和乙种机器人的单价分别是多少万元？ （2）该公司计划购进甲，乙两种机器人共台，且甲种机器人的购买数量不超过乙种机器人购买数量的倍，该公司购进甲种机器人多少台时花费最少？最少费用是多少万元？ 18．如图，是的弦，直径，垂足为点，为弧上的一点，连接，交线段于点，作，交延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 19．在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是其横坐标的倍，我们称这个点为“双倍点”，例如就是“双倍点”．若二次函数图象的顶点为“双倍点”，则我们称这个二次函数为“双倍二次函数”，例如二次函数就是“双倍二次函数”． （1）求直线上的“双倍点”的坐标； （2）反比例函数图象上否存在“双倍点”？如存在，求出其坐标；如不存在，说明理由； （3）已知二次函数（，是常数）是“双倍二次函数”，且函数图象与轴的交点是“双倍点”，求二次函数的解析式； （4）若“双倍二次函数”（，是常数）的图象过除顶点外的另一个“双倍点”，并当时，函数最小值为，求的值． 20．综合与实践 老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，其中点，分别是点，的对应点． （1）如图，连接，，则的值为________． （2）如图，当点恰好落在边上，连接交于点，连接． ①的长度为________．②求证： （3）若直线，交于点，当时，请直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $