（预习篇）第十五讲 扇形（暑假培优讲义）【思维导图+知识卡片+新知学习+八大题型讲练+难度分层练 共44题】-2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接讲义

2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『预习篇』 第十五讲 扇形「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•九年级上册（第3章 圆）】 （思维导图+新知学习+八大考点讲练+难度分层练 共44题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材九年级上册内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 弧长公式 在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所对的弧长是，即，于是的圆心角所对的弧长为，弧长为l的弧所对的圆心角为度． 知识点二 扇形的面积公式 1. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． 2. 扇形面积公式：在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是，于是圆心角为的扇形面积是，还可以用弧长表示扇形面积，其中l为扇形的弧长． 知识点三 与圆锥相关的概念 1、圆锥：圆锥是一个底面和一个侧面围成的几何体.圆锥还可以看成由一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形. 2、圆锥的母线：我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线SA，SB 等叫做圆锥的母线．圆锥有无数条母线，它们都相等． 3、圆锥的高：从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高． 4、重要的数量关系 如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高线长, l表示圆锥的母线长,那么r、h、l 之间数量关系是：由勾股定理得：r2+h2= l2,利用这一关系，已知任意两个量，可以求出第三个量． 、 知识点四 ：圆锥的侧面积和全面积 1、圆锥其侧面展开图扇形的半径=母线的长l 侧面展开图扇形的弧长=底面周长 2、圆锥的侧面积计算公式：S侧•2πr•l＝π r l 3、圆锥的全面积计算公式：S全＝S底+S侧＝πr2+π r l 考点一 求弧长 【典例精讲】（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，的夹角为，半径，则弧的长为________． 【答案】/平方厘米 【详解】解：外侧两竹条，的夹角为，半径， ． 【变式训练1】如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为6，则勒洛三角形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，勒洛三角形的三条边长相等，为圆心角为60度，半径为6的弧长，根据弧长公式求出弧长即可． 【详解】解：由题意，勒洛三角形的边长为， 故勒洛三角形的周长为． 【变式训练2】如图，为内接于的直径，，为上一点，，劣弧的长为______ ． 【答案】 【分析】如图，连接，求出圆心角，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， 是直径，， ， ， ， 的长． 考点二 求扇形半径 【典例精讲】（25-26九年级下·四川广安·开学考试）一个扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据扇形面积公式求出扇形的半径，再利用弧长公式求出圆心角的度数，即可得到正确答案． 【详解】解：设扇形半径为，圆心角度数为， ∵扇形弧长，面积， ∵， 解得 ∵， ∴， 即圆心角为． 【变式训练1】（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，曲边三角形的周长为，它可以按下面的方法作出：作一个正三角形，分别以正三角形的各个顶点为圆心、以边长为半径作弧，使弧经过另外两个顶点．然后擦去正三角形，三段圆弧所围成的图形就是一个曲边三角形，则的周长为_____． 【答案】9 【分析】本题考查了与圆有关的计算，等边三角形的性质，通过曲边三角形的周长求出对应扇形的半径是解题关键． 由题意可知曲边三角形的三边为以对应顶点为圆心的扇形的弧，圆心角为，求出对应的半径，即为正三角形的边长，即可求解． 【详解】解：由题意，得，，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为： 9． 【变式训练2】（25-26九年级上·江西赣州·期末）《九章算术》中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周九尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为9尺，米堆的高为5尺，若取3，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（    ） A．30平方尺 B．35平方尺 C．40平方尺 D．45平方尺 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥底面半径的计算以及弧长的计算． 设圆锥的底面半径为尺，根据米堆底部的弧长为9尺求出底面半径，再由这个米堆遮挡的墙面面积为两个三角形的面积和计算即可得出答案． 【详解】解：设圆锥的底面半径为尺， 由米堆底部的弧长为9尺，可得， 解得：， （平方尺）， 这个米堆遮挡的墙面面积为平方尺． 故选：A． 考点三 求圆心角 【典例精讲】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）半径为2的扇形，弧长为，则该扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形的圆心角，掌握弧长公式是解题的关键． 根据扇形的弧长公式，代入已知的弧长与半径，即可求解． 【详解】解：扇形弧长公式为（其中为弧长，为圆心角度数，为半径） 当，时，则， 解得，即该扇形的圆心角为． 故选：D． 【变式训练1】（25-26九年级上·四川广安·期末）一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了扇形面积的计算以及弧长的计算．利用扇形的弧长与面积公式确定出所求圆心角即可． 【详解】解：设这个扇形的半径为r，圆心角是n，面积为S，弧长为l， 由题意得：，即， 解得：， 又由可得：， 解得：， 故选：D． 【变式训练2】（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）已知时钟的分针长10cm，初始时刻为14：00整，如图所示，若经过一段时间后，分针的针尖走过的路程为，则经过一段时间后的时刻为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长公式，钟面角， 先根据弧长公式求出分针转动的角度，再根据分针1分钟转动可得答案． 【详解】解：设分针走过的角度为， 由题意可知，， 解得， ∵分针1分钟转动， ∴， 所以分针走了10分钟，即． 故答案为：． 考点四 求某点的弧形运动路径长度 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在平面直角坐标系中，绕原点O顺时针旋转得到（点，分别是点A，B的对应点）．已知点，． (1)在坐标系中画出旋转后的； (2)直接写出点，的坐标； (3)在这个旋转过程中，求点B经过的路径的长． 【答案】(1) 如图，为所作图形； ； (2)点的坐标为，点的坐标为； (3) 【分析】本题考查了作图，旋转作图，坐标点，弧长公式等知识，准确作图是解题关键． （1）利用网格特点和旋转的性质画出对应点，从而得到旋转后的图形； （2）根据图形写出点，的坐标即可； （3）先计算出的长，然后利用弧长公式计算即可； 【详解】（1）略 （2）解：点的坐标为，点的坐标为； （3）解：， 点经过的路径的长为． 【变式训练1】（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，将绕点B顺时针旋转得到，点C的对应点E恰好落在的延长线上，连接． (1)求的度数； (2)若，点M为的中点，求点M在旋转过程中所经过的路径长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、弧长公式，证明是等边三角形是解答的关键 （1）证明是等边三角形，即可求解； （2）利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：由旋转性质得，， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：∵，点M为的中点， ∴，又， ∴点M在旋转过程中所经过的路径长为． 【变式训练2】（25-26九年级上·河南开封·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点B旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）． 【答案】(1)图见解析，点的坐标为； (2)图见解析，点的坐标为 (3) 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据题意画出即可；关于y轴对称点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变； （2）根据网格结构找出点、、以点为旋转中心逆时针旋转后的对应点，然后顺次连接即可； （3）先求出，再由旋转角等于，利用弧长公式即可求出． 【详解】（1）解：如图，为所求；点的坐标为， （2）如图，为所求；， （3）， 点B旋转到点的过程中所经过的路径长． 考点五 求扇形面积 【典例精讲】（2025·山西·一模）如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画弧与交于点F，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据圆面积，扇形面积的计算方法以及图形中各个部分面积之间的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图， 空白①的面积为， 空白部分②的面积为， 所以阴影部分的面积为 ． 【变式训练1】（2025·河南驻马店·三模）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，交于点，连接，若是的中点，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由圆周角定理可得，，证明是等腰三角形，从而得到，．根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可计算出，利用扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是半圆的直径， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式训练2】（25-26九年级上·吉林白山·期末）如图，正方形的边长为2，以为直径的半圆O与对角线相交于点E，则图中阴影部分的面积为________（结果保留π）． 【答案】 【分析】根据题意，可证出，然后依次求出、扇形、的面积，由组合图形的面积公式求出答案． 【详解】解：连接， ∵正方形的边长为2， ∴，， ∴， ∵为直径的半圆O， ∴， ∴， ∴， ∴，扇形的面积， ∴可得阴影部分的面积． 故答案为：． 考点六 求图形旋转后扫过的面积 【典例精讲】如图，已知点、的坐标分别是，将绕点按逆时针方向旋转后得到． (1)画出（不要求写出作法； (2)求旋转过程中线段所扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点即可； （2）根据扇形的面积公式计算． 【详解】（1）解：如图，即为所作； ； （2）解：∵，， ∴线段所扫过的面积． 【变式训练1】如图，将绕点顺时针旋转得到，已知，，则线段扫过的图形（阴影部分）的面积为_______． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了旋转的性质、扇形的面积公式，由旋转可知，整个图形的面积为：，，根据即可求出结果． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ， 整个图形的面积为：， 扫过的图形的面积为：， 由旋转可知， ， ． 【变式训练2】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为 ， ，． (1)画出关于y轴对称的； (2)画出绕点O逆时针旋转后的； (3)在（2）的条件下，直接写出线段扫过的面积（结果保留π）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （3）利用线段扫过的面积扇形的面积﹣扇形的面积． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：由旋转知，，， ∴， ∴， ∴， ∴线段扫过的面积 扇形的面积﹣扇形的面积 扇形的面积﹣扇形的面积， ∵，， ∴线段扫过的面积． 考点七 求弓形面积 【典例精讲】（25-26九年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点F，连接，过点D作于点E． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，切线的判定和性质，垂径定理，扇形面积的计算等知识． （1）如图，连接，结合题意得到，，根据切线的判定即可求解； （2）根据题意得到，，由此即可求解； （3）如图，连接，记与的交点为I，可得，，，结合即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， 又为的半径， 是的切线． （2）证明：是的直径， ． 又， ， ， ， ． （3）解：如图，连接，记与的交点为I， ， ， ， ， ， ， ， ． 在中，， 则， ， ． 【变式训练1】（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，点，，为上的三个点，，． (1)求的长； (2)求弦和它所对的劣弧围成的弓形面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了扇形面积、勾股定理，圆周角定理，垂径定理等知识，熟练掌握圆的相关性质定理是解题的关键． （1）作于，根据圆周角定理得到，根据等边对等角求出 ，在中，，由勾股定理求出，根据垂径定理即可得到的长； （2）根据进行解答即可． 【详解】（1）解：作于， ， ， ， ， 在中，， ，     ，过圆心， ； （2）由（1）得到，     ， ． 【变式训练2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，所在圆的半径，则和弦围成的图形面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理，求扇形面积，设圆心为，连接，过点作于点，得出是等边三角形，进而根据扇形面积减去等边三角形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，设圆心为，连接，过点作于点， ∵，即 ∴是等边三角形 ∴， 在中， ∴和弦围成的图形面积是 故选：C． 考点八 求其他不规则图形的面积 【典例精讲】（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，在直角三角形中，，是的直径，点M是线段的中点，与交于点N． (1)求证：是的切线； (2)已知，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，，易得为直角三角形，斜边上的中线得到，证明，得到，即可得证； （2）用四边形的面积减去扇形的面积即可． 【详解】（1）证明：连接，，， 是直径， ，即为直角三角形． ∵点为中点， ． ，， ． ， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 在直角三角形中，， ∴ ， ， ． 【变式训练1】（25-26九年级上·云南西双版纳·期末）如图，四边形内接于，是直径，，． (1)连接，求证：四边形是菱形； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆内接四边形的性质求出，利用圆周角定理可得，，证明和是等边三角形，易得四边形是菱形； （2）设与交于点E，证明是等边三角形，求出的半径，然后利用菱形的性质和勾股定理求出、，再根据列式计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴和是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，设与交于点E， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， 在菱形中，，， ∴， ∴， ∴ ． 【变式训练2】（25-26九年级上·河南周口·期末）关于扇形面积的计算方法，早在我国古代的数学著作《九章算术》中就有研究，对于扇形其卷一《方田》中记载：“宛田面积术曰：以径乘周，四而一”．如图是学习扇形的面积时遇到的一个数学题，已知等边三角形的边长是3，分别以三个顶点为圆心，3为半径作弧，则计算图中由三条弧所围成的几何图形的面积是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，勾股定理，等边三角形的性质，过A作于点D，利用等边三角形的性质和勾股定理求出的长，进而求出的面积，求出扇形的面积，再结合图形可得答案． 【详解】解：过A作于点D，    ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， ∵，， ∴图中由三条弧所围成的几何图形的面积是． 故答案为：． 【基础通关能力提升】 1．（25-26九年级上·广东中山·期末）如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若，则劣弧的长和图中阴影部分的面积分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据折叠可知，根据勾股定理可知的长度，即可求弧长和面积． 【详解】解：连接，且直线与交于点，如图所示， ∵扇形中，， ∴， ∵点与圆心重合， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 则, ∵ ，， ∴． 2．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将绕点O顺时针旋转得到，则扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由扫过的部分为：扇形与，再进一步求解即可. 【详解】解：将绕点O顺时针旋转得到，则扫过的部分为：扇形与， ∴扫过的面积为：. 3．（2026·贵州遵义·一模）如图，，是的弦，延长，相交于点P．连接，，已知，，的半径为9，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，由三角形外角的定义及性质得出，结合圆内接四边形的性质得出，由圆周角定理可得，最后由弧长公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图：连接、， ， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长为． 4．（25-26七年级上·四川达州·期末）如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图．通过测量得到扇形的圆心角为，点C，D分别为，的中点，则花窗的面积为________（结果保留） 【答案】/ 【分析】用扇形的面积减去的面积即可解答． 【详解】解：∵，点，分别为，的中点， ∴，， ∴，， ∴花窗的面积为． 5．（23-24九年级上·重庆巴南·期末）如图，为半圆的直径，点为半圆上的一点，，垂足为点，延长与半圆交于点．若，，则图中阴影部分的面积为 _________ ． 【答案】 【分析】连接，由等腰三角形的性质得到，即可求出，由含30度角的直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，由垂径定理得到，求出的面积，扇形的面积，然后根据阴影的面积求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ， ， ∵， ， ∵，， ， ， ∵， ， 的面积， ∵， 阴影的面积． 6．（25-26九年级上·河南漯河·期末）如图，点A、B、C、D在上，，，，若的半径为2，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【分析】利用平行线的性质，等腰三角形的性质和圆周角定理得出是等边三角形，再利用等边三角形的性质求出，最后利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作，连接，   ∵，， ∴，   ∵，   ∴，   ∵， ∴，   ∴，   ∴，   ∵，   ∴是等边三角形，   ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积是 ． 7．（25-26九年级上·河南许昌·期末）如图，半径为3的扇形中，，C是上一点，于D，于E，连接，若，图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】连接，根据矩形的性质得出圆心角的度数和阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴四边形为矩形，， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 8．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图是网格，网格中每个小正方形的边长均为，的顶点都在格点上． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出； (2)在（1）中，求线段扫过部分的面积． 【答案】(1)如图，即为所求； (2) 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点、，再顺次连接即可； （2）利用勾股定理求出的长，再根据列式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意可得：， 由旋转可得，， 线段扫过部分的面积为： ． 9．（25-26九年级上·广东韶关·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)将绕原点O顺时针旋转90°得到，点A、B、C的对应点分别为、、； (2)作关于原点O的中心对称图形（A、B、C的对应点分别为D、E、F）； (3)在（1）的条件下，连接点和，求线段扫过的图形的面积（结果保留）． 【答案】(1)将绕原点O顺时针旋转90°得到，如图即为所求； (2)如图，即为所求； (3) 【分析】（1）将的三个顶点A、B、C分别绕原点O顺时针旋转90°得到、、，顺次连接得到； （2）作的三个顶点A、B、C关于原点O中心对称的对称点D、E、F，顺次连接得到； （3）线段扫过的图形是扇形，根据扇形面积公式求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）线段扫过的图形是圆心角为90°的扇形， ∵， ∴根据勾股定理得，，即扇形半径， 线段扫过的图形面积为：． 10．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）如图所示，与点O在的网格中的位置如图所示，设每个小正方形的边长为1 (1)画出绕点O逆时针旋转后的图形； (2)画出的外接圆，圆心为点M； (3)若，求长度． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3) 【分析】（1）根据旋转画图即可； （2）先利用网格作的垂直平分线，得到圆心，再画圆即可； （3）由圆周角定理得到，再由弧长公式计算即可． 【详解】（1）如图：即为所求， （2）如图：圆即为所求， （3）解： ， ，又， ． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，已知为外一点，连接交于，为的切线，为切点，，，则阴影的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，设的半径为，则，通过勾股定理求得，然后证明是等边三角形，则，最后由求解即可． 【详解】解：连接，， ∵为的切线， ∴， ∴， 设的半径为，则， 由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，为的弦，，，D为上一点，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，弧长公式，解题的关键是掌握以上性质． 根据垂径定理和圆周角定理得出，然后根据弧长公式进行求解即可． 【详解】解：∵，且为的弦， ∴， ∴的长度为， 故选：B． 3．（25-26九年级上·湖北荆门·阶段检测）如图，的直径长为4，垂直平分圆内的线段，，，以点为圆心，为半径画扇形，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、扇形面积公式；过点作垂足为点，可以判断，，可得；根据勾股定理可以求出，所以；根据扇形的面积公式可以求出阴影部分的面积． 【详解】解：如下图所示，过点作垂足为点， 垂直平分圆内的线段， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， 故选：C． 4．（25-26九年级上·广东中山·期末）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得， 将线段绕点逆时针旋转后得线段，分别以为圆心，长为半径画弧和弧，连接，则图中阴影部分的面积是_____． 【答案】 【分析】作于，由勾股定理可得，由旋转的性质可得：，，，，，证明，得出，再由，进行计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：作于， 在中，，，， ， 由旋转的性质可得：，，，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 5．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，菱形，，，以点为圆心为半径画弧，点是弧上的动点，在线段上取一点，，连接、，则边、与弧围成的面积是_____，的最小值是_____． 【答案】 【分析】如图所示，过点A作交于点H，求出，，求出扇形的面积，，求出菱形的面积，进而求解即可； 如图所示，连接，过点D作交的延长线于点M，证明出，得到，由推出当点D，E，H三点共线时，取得最小值，即的长度，然后利用矩形和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作交于点H， ∵菱形，，， ∴，， ∴扇形的面积， ∴ ∴ ∴， ∴菱形的面积 ∴边、与弧围成的面积是菱形的面积扇形的面积； 如图所示，连接，过点D作交的延长线于点M ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴当点D，E，H三点共线时，取得最小值，即的长度 ∵， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形 ∴， ∴ ∴的最小值是． 6．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，为的直径，点在上，点O在上，连接，已知，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算，根据等边三角形的判定和性质求出，，根据进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点 ， ∵， ∴是正三角形， ∴，， ∴, ∴， ∴ ． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在矩形中，，以为圆心，长为半径画弧交边于点，连结，则图中阴影部分的面积为_________．（结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积，矩形的性质，勾股定理，特殊角的三角函数，掌握知识点是解题的关键． 先推导出，得到，则，再根据求解即可． 【详解】解：在矩形中，， ， 由题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，是的直径，点在上，为的中点，连接，，，与相交于点H，过点作直线，交的延长线于点G． (1)求证：是的切线． (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点，由点D为的中点，得垂直平分，因为，所以，即可证明是的切线； （2）连接，，由是的直径，得，则，可证明四边形是矩形，所以，由，得，则和都是等边三角形，求得，则，，由，得，由，求得，由即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，交于点， ∵为的中点， 垂直平分， ∵， ， 是的半径，且， 是的切线； （2）解：如图，连接，，则，设交于点H， 是的直径， ， ， ∴四边形是矩形， ， ∵，D为的中点， ， ， 和都是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积是． 9．（2025·湖北武汉·三模）如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作交于点，连接． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)是的切线，理由见解析 (2)面积为 【分析】（1）连接，证明得到，从而由切线的判定即可得证； （2）数形结合得到图中阴影部分的面积，分别求出和，代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：是的切线， 理由如下： 连接，如图所示： ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又是圆的半径， 是的切线； （2）解：， ， ， ，， ∴， ∴， ， ∴， ∴图中阴影部分的面积 ． 10．（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图1，四边形内接于，为直径，过点C作于点E，连接． (1)求证：； (2)若是的切线，，连接，如图2． ①证明四边形是菱形； ②当时，求与围成阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)①四边形是菱形，理由见解析；② 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，然后根据等角的余角相等解题即可； （2）①根据圆周角定理得到，然后利用两组对边平行推导四边形是平行四边形，然后利用，得到结论； ②阴影部分的面积为，再利用扇形的面积公式和三角形面积公式求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形； ②由①知，四边形是菱形， ∴， ∴， 由①知，， 在中，， ∴， ∴与围成阴影部分的面积为 ． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『预习篇』 第十五讲 扇形「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•九年级上册（第3章 圆）】 （思维导图+新知学习+八大考点讲练+难度分层练 共44题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材九年级上册内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 弧长公式 在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所对的弧长是，即，于是的圆心角所对的弧长为，弧长为l的弧所对的圆心角为度． 知识点二 扇形的面积公式 1. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． 2. 扇形面积公式：在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是，于是圆心角为的扇形面积是，还可以用弧长表示扇形面积，其中l为扇形的弧长． 知识点三 与圆锥相关的概念 1、圆锥：圆锥是一个底面和一个侧面围成的几何体.圆锥还可以看成由一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形. 2、圆锥的母线：我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线SA，SB 等叫做圆锥的母线．圆锥有无数条母线，它们都相等． 3、圆锥的高：从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高． 4、重要的数量关系 如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高线长, l表示圆锥的母线长,那么r、h、l 之间数量关系是：由勾股定理得：r2+h2= l2,利用这一关系，已知任意两个量，可以求出第三个量． 、 知识点四 ：圆锥的侧面积和全面积 1、圆锥其侧面展开图扇形的半径=母线的长l 侧面展开图扇形的弧长=底面周长 2、圆锥的侧面积计算公式：S侧•2πr•l＝π r l 3、圆锥的全面积计算公式：S全＝S底+S侧＝πr2+π r l 考点一 求弧长 【典例精讲】（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，的夹角为，半径，则弧的长为________． 【变式训练1】如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为6，则勒洛三角形的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】如图，为内接于的直径，，为上一点，，劣弧的长为______ ． 考点二 求扇形半径 【典例精讲】（25-26九年级下·四川广安·开学考试）一个扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，曲边三角形的周长为，它可以按下面的方法作出：作一个正三角形，分别以正三角形的各个顶点为圆心、以边长为半径作弧，使弧经过另外两个顶点．然后擦去正三角形，三段圆弧所围成的图形就是一个曲边三角形，则的周长为_____． 【变式训练2】（25-26九年级上·江西赣州·期末）《九章算术》中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周九尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为9尺，米堆的高为5尺，若取3，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（    ） A．30平方尺 B．35平方尺 C．40平方尺 D．45平方尺 考点三 求圆心角 【典例精讲】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）半径为2的扇形，弧长为，则该扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26九年级上·四川广安·期末）一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）已知时钟的分针长10cm，初始时刻为14：00整，如图所示，若经过一段时间后，分针的针尖走过的路程为，则经过一段时间后的时刻为___________． 考点四 求某点的弧形运动路径长度 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在平面直角坐标系中，绕原点O顺时针旋转得到（点，分别是点A，B的对应点）．已知点，． (1)在坐标系中画出旋转后的； (2)直接写出点，的坐标； (3)在这个旋转过程中，求点B经过的路径的长． 【变式训练1】（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，将绕点B顺时针旋转得到，点C的对应点E恰好落在的延长线上，连接． (1)求的度数； (2)若，点M为的中点，求点M在旋转过程中所经过的路径长． 【变式训练2】（25-26九年级上·河南开封·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点B旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）． 考点五 求扇形面积 【典例精讲】（2025·山西·一模）如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画弧与交于点F，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D． 【变式训练1】（2025·河南驻马店·三模）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，交于点，连接，若是的中点，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26九年级上·吉林白山·期末）如图，正方形的边长为2，以为直径的半圆O与对角线相交于点E，则图中阴影部分的面积为________（结果保留π）． 考点六 求图形旋转后扫过的面积 【典例精讲】如图，已知点、的坐标分别是，将绕点按逆时针方向旋转后得到． (1)画出（不要求写出作法； (2)求旋转过程中线段所扫过的面积． 【变式训练1】如图，将绕点顺时针旋转得到，已知，，则线段扫过的图形（阴影部分）的面积为_______． 【变式训练2】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为 ， ，． (1)画出关于y轴对称的； (2)画出绕点O逆时针旋转后的； (3)在（2）的条件下，直接写出线段扫过的面积（结果保留π）． 考点七 求弓形面积 【典例精讲】（25-26九年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点F，连接，过点D作于点E． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，求阴影部分的面积． 【变式训练1】（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，点，，为上的三个点，，． (1)求的长； (2)求弦和它所对的劣弧围成的弓形面积． 【变式训练2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，所在圆的半径，则和弦围成的图形面积是（    ） A． B． C． D． 考点八 求其他不规则图形的面积 【典例精讲】（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，在直角三角形中，，是的直径，点M是线段的中点，与交于点N． (1)求证：是的切线； (2)已知，，求阴影部分的面积． 【变式训练1】（25-26九年级上·云南西双版纳·期末）如图，四边形内接于，是直径，，． (1)连接，求证：四边形是菱形； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【变式训练2】（25-26九年级上·河南周口·期末）关于扇形面积的计算方法，早在我国古代的数学著作《九章算术》中就有研究，对于扇形其卷一《方田》中记载：“宛田面积术曰：以径乘周，四而一”．如图是学习扇形的面积时遇到的一个数学题，已知等边三角形的边长是3，分别以三个顶点为圆心，3为半径作弧，则计算图中由三条弧所围成的几何图形的面积是______． 【基础通关能力提升】 1．（25-26九年级上·广东中山·期末）如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若，则劣弧的长和图中阴影部分的面积分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将绕点O顺时针旋转得到，则扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·贵州遵义·一模）如图，，是的弦，延长，相交于点P．连接，，已知，，的半径为9，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·四川达州·期末）如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图．通过测量得到扇形的圆心角为，点C，D分别为，的中点，则花窗的面积为________（结果保留） 5．（23-24九年级上·重庆巴南·期末）如图，为半圆的直径，点为半圆上的一点，，垂足为点，延长与半圆交于点．若，，则图中阴影部分的面积为 _________ ． 6．（25-26九年级上·河南漯河·期末）如图，点A、B、C、D在上，，，，若的半径为2，则图中阴影部分的面积是________． 7．（25-26九年级上·河南许昌·期末）如图，半径为3的扇形中，，C是上一点，于D，于E，连接，若，图中阴影部分的面积为________． 8．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图是网格，网格中每个小正方形的边长均为，的顶点都在格点上． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出； (2)在（1）中，求线段扫过部分的面积． 9．（25-26九年级上·广东韶关·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)将绕原点O顺时针旋转90°得到，点A、B、C的对应点分别为、、； (2)作关于原点O的中心对称图形（A、B、C的对应点分别为D、E、F）； (3)在（1）的条件下，连接点和，求线段扫过的图形的面积（结果保留）． 10．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）如图所示，与点O在的网格中的位置如图所示，设每个小正方形的边长为1 (1)画出绕点O逆时针旋转后的图形； (2)画出的外接圆，圆心为点M； (3)若，求长度． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，已知为外一点，连接交于，为的切线，为切点，，，则阴影的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，为的弦，，，D为上一点，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·湖北荆门·阶段检测）如图，的直径长为4，垂直平分圆内的线段，，，以点为圆心，为半径画扇形，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·广东中山·期末）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得， 将线段绕点逆时针旋转后得线段，分别以为圆心，长为半径画弧和弧，连接，则图中阴影部分的面积是_____． 5．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，菱形，，，以点为圆心为半径画弧，点是弧上的动点，在线段上取一点，，连接、，则边、与弧围成的面积是_____，的最小值是_____． 6．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，为的直径，点在上，点O在上，连接，已知，则阴影部分的面积为________． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在矩形中，，以为圆心，长为半径画弧交边于点，连结，则图中阴影部分的面积为_________．（结果保留）． 8．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，是的直径，点在上，为的中点，连接，，，与相交于点H，过点作直线，交的延长线于点G． (1)求证：是的切线． (2)若，，求阴影部分的面积． 9．（2025·湖北武汉·三模）如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作交于点，连接． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求图中阴影部分的面积． 10．（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图1，四边形内接于，为直径，过点C作于点E，连接． (1)求证：； (2)若是的切线，，连接，如图2． ①证明四边形是菱形； ②当时，求与围成阴影部分的面积． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $