（预习篇）第九讲 圆的相关概念（暑假培优讲义）【思维导图+知识卡片+新知学习+十一大题型讲练+难度分层练 共42题】-2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接讲义

nullnull2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『预习篇』 第九讲 圆的相关概念「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•九年级上册（第3章 圆）】 （思维导图+新知学习+十一大考点讲练+难度分层练 共42题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材九年级上册内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 圆的定义 1. 圆的描述概念 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 　　　　　　　　 要点： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. 2.圆的集合概念 圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点. 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合. 要点：①定点为圆心，定长为半径； 　　 ②圆指的是圆周，而不是圆面； 　　 ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 知识点二 点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外. 若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么： 点P在圆内 d ＜ r ；点P在圆上 d = r ；点P在圆外 d ＞r. “”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 要点：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上； 知识点三 与圆有关的概念 1. 弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点： 　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 　　为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. 　　　　　　　　 证明：连结OC、OD 　　　　　　 　 　　　　　∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) 　　　　　∴直径AB是⊙O中最长的弦. 2. 弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 要点：①半圆是弧，而弧不一定是半圆； 　　 ②无特殊说明时，弧指的是劣弧. 3.等弧 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 要点：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； ②圆中两平行弦所夹的弧相等. 4.同心圆与等圆 　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆. 要点：同圆或等圆的半径相等. 5.圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角. 要点：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立. 知识点四 确定圆的条件 （1）经过一个已知点能作无数个圆； （2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上； (3）不在同一直线上的三个点确定一个圆. (4)(后面还会学习到)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形. 如图：⊙O是△ABC的外接圆， △ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心. 外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等. 要点： （1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”. （2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定. 考点一 圆的基本概念辨析 【典例精讲】（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．任意两点之间的部分叫做弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧 D．圆上任意两点之间的部分叫做弧 【答案】D 【分析】本题考查圆的弦、弧、等弧的概念辨析，需根据各概念的定义逐一判断选项正误． 【详解】解：A、弦的定义是连接圆上任意两点的线段，A选项中“任意两点之间的部分”表述不符合弦的定义，故此选项错误，不符合题意； B、等弧的定义是在同圆或等圆中能够互相重合的弧，长度相等的弧不一定在同圆或等圆中，也不一定能重合，故此选项错误，不符合题意； C、只有在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧与优弧、劣弧与劣弧才是等弧，两条弦不一定相等，即使相等所对的弧也可能一条是优弧一条是劣弧，故此选项错误，不符合题意； D、弧的定义是圆上任意两点之间的部分，与D选项表述一致，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式训练】（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）如图，正方形的四个顶点在直径为4的大圆圆周上，四条边与小圆都相切，过圆心，且，则图中阴影部分的面积是________．（结果保留） 【答案】 【分析】由于圆是中心对称图形，则阴影部分的面积等于大圆的四分之一，利用圆的面积公式即可求解．本题主要考查了圆的对称性，圆的面积公式，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 【详解】解：由于圆是中心对称图形，阴影部分的面积可以移动到一起，等于大圆的四分之一， 故阴影部分的面积为． 故答案为：． 考点二 求圆中弦的条数 【典例精讲】如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的有关概念，由连接圆上任意两点的线段叫做弦，即可判断得出答案，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】解：圆中的弦有：、，共两条， 故选：． 【变式训练】如图，图中⊙O的弦共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据弦的定义即可求解． 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一个圆里最长的弦． 【详解】解：图中有弦共3条， 故选C． 考点三 求过圆内一点的最长弦 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为作，直线交于、两点，若，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了圆中直径是最长的弦，待定系数法求一次函数解析式，因为弦，所以是圆的直径，从而过点，将，代入得， 【详解】解：，的半径为， 是的直径， 直线过点， 将，代入得，． 故答案为：． 【变式训练】（25-26九年级上·四川成都·期中）已知，等腰三角形中，底角，边，取底边上的一个动点D，连接．将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接、和．当线段取得最小值时，在直线上取一点M，连接，将沿直线翻折，得到，点A的对应点为H，则线段的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形内角和，三角函数． 根据将等腰三角形绕着点A逆时针旋转得到等腰三角形，旋转的定义得到在上运动，则当时，取得最小值，根据三角形内角和得到，即当时，G为与交点，由题意得到点H在以G为圆心，AG为半径的圆上运动，连接，可知此时线段有最小值，根据含30度直角三角形性质及勾股定理求出相关数据即可． 【详解】解：如图，将等腰三角形绕着点A逆时针旋转得到等腰三角形， ∵取底边上的一个动点D，连接．将线段绕着点A逆时针旋转得到线段， ∴在上运动， 即当时，取得最小值， ∵将等腰三角形绕着点A逆时针旋转得到等腰三角形， ∴，， ∴， 即当时，G为与交点， ∵直线上取一点M，连接，将沿直线翻折，得到，点A的对应点为H， ∴点H在以G为圆心，为半径的圆上运动， 连接，可知此时线段有最小值， ∵， ∴， 即， ∵ ∴， ∴， 作，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 考点四 求一点到圆上点距离的最值 【典例精讲】（23-24九年级上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，已知圆和图形，将图形关于直线对称得到图形，为上任意一点，为圆上任意一点，将的最大值称为图形关于的“对称长度”． (1)若圆半径为； ①在，，这三个点中，______关于直线的“对称长度”为； ②已知直线：，点，，，，，，则在线段，，中，关于的“对称长度”为的是______； (2)圆半径为，已知点，，，，，，点在点的左侧，直线从开始，绕点顺时针旋转到，在旋转过程中，求正方形关于的“对称长度”的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据题意，分别作关于的对称点，，进而根据题意可得点到圆上的距离的最大值为，即可求解； ②同①的方法，分别作出线段，，关于的对称图形，观察图形，找到关于的“对称长度”为的线段，即可求解． （2）根据题意，得出正方形关于的对称图形的轨迹，进而根据一点到圆上的距离的最值方法，即可求解． 【详解】（1）解：①如图所示，分别作关于的对称点，，观察图形可得，到的最大距离为，符合题意，即关于直线的“对称长度”为； 故答案为：． ②如图所示，观察图形可得关于的对称图形，到的最大距离为，即， 故答案为：． （2）解：如图所示，点在点的左侧，直线从开始，绕点顺时针旋转到，在旋转过程中，正方形关于的对称点所在轨迹如图所示， ∵， ∴的解析式为 当关于的对称点为时，此时正方形关于的“对称长度”取得最小值， ∵，设，则，即① ， ∴② 由①②得（舍去）或， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】阅读理解： 小明热爱数学，在课外数学资料上看到平行四边形一个性质定理：任意平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和．如图1，在平行四边形中，．由此，他探究得到三角形的一个性质：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍． (1)说理证明： 如图2，在中，若点为的中点，则有：．请你证明小明得到的三角形性质的正确性． (2)理解运用： ①在中，点为C的中点，，，，则　　； ②如图3，的半径为，点在圆内，且 ，点和点在上，且，点、分别为、的中点，则的长为 　　； (3)拓展延伸：如图4，已知的半径为2，以为直角顶点的的另两个顶点，都在上，为的中点，则长的最大值为 　　． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3)3 【分析】（1）过点作于点，设，由，，可得，即得； （2）解：①由可得，故 ；②连接，由是的中线，是的中线，可得，而，可推得，故 ； （3）连接，取的中点，连接，，由(2)的②可知：，有，当，，共线时，长的最大值为． 【详解】（1）证明：过点作于点，如图， 设， 在中，， 同理可得：， ∴， ∵， ∴； （2）解：①由(1)知， ∵点为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 故答案为：； ②连接，，，，如图， ∵是的中线，是的中线， ∴， ∴， ∵，是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ (负值已经舍弃)， 故答案为 ； （3）解：连接，取的中点，连接，，如图： ∵， ∴， 由(2)的②可知：， ∴， 在中，， ∴当，，共线时，长的最大值为，如图： 故答案为：． 考点五 圆的周长和面积问题 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，用一根绳子紧密贴合一个球体的大圆绕一圈（绳长等于球体大圆的周长），然后将绳长增加1米，并将绳子均匀地悬浮在球体周围，形成一个与球体同心的圆，此时绳子与球体表面之间出现均匀的空隙．假设对篮球（半径约0.12米）和地球（半径约6371千米）分别进行上述操作．那么，绳子与球体表面之间的空隙距离（   ） A．地球的空隙更大 B．篮球的空隙更大 C．一样大 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查圆的周长公式的应用．根据圆的周长公式分别表示出绳子绕球体大圆一圈时的周长和绳子增加1米后的周长，进而求出绳子与球体表面之间的空隙距离，再比较篮球和地球的空隙距离大小即可． 【详解】解：设球体的半径为，原绳长等于球体周长，即； 当绳子增长1米后，新绳长为， 设此时绳子围成的圆的半径为R，则有， ∴ ∴空隙距离为， ∴绳子与球体表面之间的空隙距离一样大， 故选：C． 【变式训练】（25-26七年级上·湖南长沙·自主招生）钟面上分针长4厘米，1小时它的尖端经过_____厘米（取3.14）． 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长公式，根据分针经过1小时正好走了一周，形成一个半径为4厘米圆，求圆的周长即可． 【详解】解：∵分针经过1小时正好走了一周，形成一个半径为4厘米圆， ∴（厘米）． 故答案为：． 考点六 判断点与圆的位置关系 【典例精讲】（24-25九年级上·云南德宏·期末）若的直径为，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在外 B．点P在上 C．点P在内 D．不能确定 【答案】A 【分析】先根据的直径求出半径，再比较点P到圆心的距离和半径的大小，根据点与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为． ∵，且，即点P到圆心的距离大于圆的半径， ∴点P在外． 【变式训练】（25-26九年级上·甘肃定西·期末）若的半径为5，，且点P在外，则m的取值范围为________ ． 【答案】 【分析】根据点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，即可求出m的取值范围． 【详解】解：的半径为5，，且点P在外， ，即． 考点七 利用点与圆的位置关系求半径 【典例精讲】（25-26九年级上·江西九江·期末）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是关键．点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，且圆的半径为正数即可求解． 【详解】解：点P在圆O外， 点P到圆心O的距离大于圆O的半径r， 点P到圆心O的距离为，且圆的半径， ． 故选：A． 【变式训练】（25-26九年级上·甘肃定西·阶段检测）若点到上的点的最小距离是4，最大距离是6，则的半径为________ ． 【答案】5或1 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，利用分类讨论的思想求解是解题的关键，根据点与圆的位置关系解答即可． 【详解】解：点到上的点的最小距离是4，最大距离是6， 当点在圆内时，的半径； 当点在圆外时，的半径， 综上所述，的半径为5或1． 故答案为：5或1． 考点八 已知半径和圆上两点作圆 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏徐州·期末）已知线段，且，则经过两点且半径为3的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了确定圆心的位置，一个圆的圆心一定在该圆的一条弦的垂直平分线上，那么作线段的垂直平分线，以A为圆心，3为半径作弧，该弧与线段的垂直平分线的交点个数即为圆的个数，据此作图求解即可． 【详解】解：作线段的垂直平分线，以A为圆心，3为半径作弧， ∵， ∴该弧与线段的垂直平分线有两个交点， ∴经过两点且半径为3的圆有2个， 故选：C． 【变式训练】（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为_____． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，如图，连接， 取的中点， 连接，， ，，，，利用三角形中位线定理求出，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，设，则 ，求出 的最大值，可得结论，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会利用参数解决问题，熟练掌握知识点的应用． 【详解】如图， 连接， 取的中点， 连接，， ，，，， ∵点、， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设，则， ∵， ∴最大时，的值最大， ∵， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 考点九 点与圆上一点的最值问题 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，点、分别是、边上的动点，且，垂足为，连接．若正方形的边长为1．则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，首先根据得到点P的轨迹，从而得到最小时点P的位置，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵交于点P，且，则点P的轨迹为以为直径的半圆上，连接，交于点，此时，的值最小， ∵， ∴， ∴， 当、、三点共线时，最小， ∴CP的最小值， 故选：B． 【变式训练】（25-26九年级上·山西阳泉·期末）已知正方形的边长为4，动点满足，将点绕点按逆时针方向旋转得到点，连接，则的最大值是______． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，点与圆上一点的最值问题，找到取得最值的条件是解题的关键． 由题意可知，点P在以点C为圆心，半径为3的上运动，以C为圆心，以为半径画圆，连接，以A为圆心，以为半径画圆，延长交于E．根据正方形的性质得到，根据旋转的性质得到，进而证明，得到，根据P是上任意一点可知点Q在上移动，根据求出的最大值即可． 【详解】解：∵动点满足， ∴点P在以点C为圆心，半径为3的上运动， 如下图所示，以C为圆心，以为半径画圆，连接，以A为圆心，以为半径画圆，延长交于E． ∵正方形的边长为4，的半径为3， ． ∵点P绕点D按逆时针方向旋转，得到点Q， ， ， ∴，即， ∴， ， ． ∵P是上任意一点， ∴点Q在上移动， ∴， ∴当点Q与点E重合时，取得最大值为， ． 故答案为：． 考点十 圆心角概念辨析及简单运算 【典例精讲】（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角的定义，根据圆心角的定义，角的两边是两条从圆心出发的射线，它们必须与圆周相交于两点，顶点在圆心的角叫做圆心角，即可求解． 【详解】解：图中是圆心角 故选：A． 【变式训练】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）小兰从正面观察三星堆青铜太阳轮（如图所示），发现它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的，图中的度数为 _______． 【答案】 【分析】本题考查了周角的定义，等分图形的角度计算方法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 题目中明确青铜太阳轮的正面图形是将圆五等分，因此要求的角就是把周角平均分成份后每份的角度，即可得出的度数为． 【详解】解：由题意得正面图形是将圆五等分， ． 故答案为：． 考点十一 求圆弧的度数 【典例精讲】（23-24九年级上·全国·单元测试）已知，是的直径，弦，，则的度数是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了考查了圆的有关性质，等腰三角形的有关性质，平行线的性质，根据题意画图分情况分析即可，熟练掌握知识点的应是解题的关键． 【详解】如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵弦， ∴ ， ∴ ∴的度数是； 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵弦， ∴ ， ∴ ∴的度数是； 综上可知：的度数是或， 故选：． 【变式训练】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是_______ 【答案】/150度 【分析】本题考查了求弧的角度，连接，过点O作于点E，设圆的半径为，根据题意可得，进而得，根据得，即可求解； 【详解】解：如图所示：连接，过点O作于点E， 设圆的半径为， 由题意可得：， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴弧的度数是 故答案为： 【基础通关能力提升】 1．（25-26九年级上·广东韶关·期末）如图，A，B，C是小区内的三栋楼，现准备在B，C的中点D处建造一个基站，若其覆盖范围是一个半径为的圆，则这三栋楼在该基站覆盖范围内的是（     ） A．只有B B．只有A、B C．只有B、C D．A、B、C 【答案】C 【分析】由题意画出图形，根据勾股定理的逆定理求出，再利用勾股定理求出，进一步即可得出答案． 【详解】解：如图，点O是的中点， ∴， ∵，，， 而， ∴， 在中，，， ∴ 即， 又∵， ∴点B、点C在圆的内部，点A在圆的外部． 2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，直径，是弦，，点P在上移动，点Q在上移动，且，长度的最大值是（ ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】连接，则是直角三角形，越长，则越短，当时，取得最小值，使用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ， 当最小时，最大， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， ， ， ， 3．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，在矩形中，，点是边上一点，连接，将沿直线折叠得到，连接交于点，连接，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题目主要考查矩形的性质，折叠的性质，圆周角定理，勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅助线是解题关键． 根据题意得出点F在以为直径的半圆O上运动，确定当点在一条直线上时，CF的长度最小，即，然后利用勾股定理结合图形求解即可． 【详解】解：如图所示： 由沿折叠得到， ， ， ∴点F在以为直径的半圆O上运动， ∴当点在一条直线上时，CF的长度最小，即， ∵矩形，， ， ∴在中，， ． 故选：A． 4．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，是的直径，点B、D在上，，，则的度数是________． 【答案】/35度 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关判定与性质是解题的关键，先证明得出，再利用圆的半径相等和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·西藏日喀则·期末）如图，在矩形中，，．以点为圆心作，且使点、、中至少有一个点在内，同时至少有一个点在外，则的半径应满足的条件是________． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出的长，进而得出点，，与的位置关系，即可得出半径的取值范围． 【详解】如图，连接， ，， ， 以点为圆心作，使点、、中至少有一个点在内，同时至少有一个点在外， 的半径的取值范围是：． 6．（25-26九年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点．如图，，都是整点．若以整点为圆心的经过，两点，的坐标可以是___．（写出一个符合题意的即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了坐标与图形、圆的性质、勾股定理等知识，正确理解题意是解题关键． 通过计算点，的中点坐标，即可获得答案． 【详解】解：∵经过，两点， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵，， 又∵，， ∴线段的中点坐标为， 可取的坐标为， 此时，， ∴，符合题意，即的坐标可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 7．（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，已知，是的两条直径，弦的度数为，则的度数为___． 【答案】55 【分析】连接，由求得，根据，得到，再利用对顶角相等，即可得到的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·山西朔州·期中）完成下列各题 (1)用适当的方法解方程：； (2)如图，在矩形中，，．若以点为圆心，为半径作，直接写出点与的位置关系． 【答案】(1)或 (2)点在内；点在外；点在上 【分析】（1）先移项、再将系数化为1，直接开平方求解即可得到答案； （2）作出，连接，由勾股定理求出，由点与圆心的距离和半径大小比较即可得出点与的位置关系． 【详解】（1）解：， ， ， 则， 或； （2）解：连接，如图所示： 在矩形中，，，则由勾股定理可得， 的半径为，，，， 则， 点在内；点在外；点在上． 9．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，四边形是矩形．求证：四点在同一个圆上． 【答案】证明见解析 【分析】连接矩形的两条对角线，利用矩形对角线相等且互相平分的性质，推导出四个顶点到对角线交点的距离相等，再根据“到定点的距离等于定长的点在同一个圆上”的圆的定义，即可证明四点共圆． 【详解】证明：如图，连接矩形的对角线、，交于点． ∵四边形是矩形， ∴，，． ∴． ∴点、、、四点在以为圆心，为半径的同一个圆上． 10．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E．若，求的度数． 【答案】 【分析】连接，利用半径相等和等腰三角形的性质求得，从而利用三角形的外角的性质求解． 【详解】解：如图，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，是半的直径，点在半圆周上，连接，，垂足为， ，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质； 连接，作于F，设，则，利用勾股定理求出，可得，然后证明，可得，进而可得答案． 【详解】解：连接， ∵ ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得：，（舍去）， ∴， 作于F， ∵， ∴，， ∵， ∴ ∵ ， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（25-26九年级上·山东聊城·期末）已知正方形边长为2，分别以顶点A，B，C，D为圆心作四个等圆，若这四个等圆能完全覆盖正方形，则所作等圆的最小半径是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质及圆的覆盖问题，要确定能完全覆盖正方形的四个等圆的最小半径，需找到正方形内到四个顶点距离最大的点，该点到顶点的距离即为最小半径，此点为正方形的中心，利用勾股定理计算中心到顶点的距离即可． 【详解】解：设正方形的中心为点O， ∵正方形边长为2， ∴由勾股定理得，对角线的长度为， ∵正方形的中心O是对角线的中点， ∴， ∵要使四个等圆完全覆盖正方形，圆的半径必须大于或等于正方形内任意一点到其最近顶点距离的最大值， ∴正方形内任意一点到四个顶点的距离最大值为中心点O到顶点的距离为， ∴当等圆半径为时，四个等圆可完全覆盖正方形，且此为最小半径， 故选：B． 3．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）如图，在矩形中，是边上的一动点（不与端点重合）．将沿直线对折，得到，连接并延长，交线段于点，连接，，则下列结论错误的是（   ） A．的面积为定值 B．的最小值为 C．的最大值为5 D．的最大值为 【答案】C 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，全等三角形的判定和性质，得到点N的运动轨迹是解题的关键． 根据三角形的面积公式判断选项A；根据折叠得到点在以点为圆心，为半径的圆上运动，即可得到当三点共线时，最小，根据勾股定理判断选项B；当与相切时，的值最大，即最大；先根据得到，即可得到，然后根据勾股定理计算判断选项C；点与点重合时，最大，求出值判断选项D解答即可． 【详解】解：，为定值，故选项A正确； 根据折叠的性质，， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动． 当三点共线时，最小，此时 ， 的最小值为，故选项B正确； ， ∴当最大时，最大．如图， 当与相切时，的值最大，此时点重合， ∵是矩形， ∴，， ∴，， 根据折叠可知，， ∴，， ∴， ∴， 的最大值为， 的最大值为，故选项C错误； 当点与点重合时，最大，最大值为，故选项D正确， 故选：C． 4．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，在中，，，，是内一点，，则长的最小值是______． 【答案】2 【分析】根据，可知点在以为直径的上，连接交于点，此时最小，利用勾股定理得到，此时的最小值为． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， 点在以为直径的上， 连接交于点，此时最小， 在中，，，， ， ， 线段长的最小值为． 5．（24-25九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，已知矩形，点N是边上一点，且，将矩形绕A顺时针旋转α（），得到矩形，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F，点D的对应点是点G，连接．点M是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值为____________________ ． 【答案】/ 【分析】如图，连接交于点O，连接，可证，得点M在以O为圆心，以为半径的圆上运动，进而根据点到圆上的距离即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O，连接，过点O作于点T，连接， ∵是矩形， ∴, ∵点M是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴点M在以O为圆心，以为半径的圆上运动， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴, 在中，， ∴线段的最大值为． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·山东威海·自主招生）如图，已知三个等圆，，，为圆心，每个圆的圆心都在另外两个圆的圆周上，若的面积为300，则阴影部分的面积为____． 【答案】320 【分析】如图，连接，由题意可得，可证点H是的中点，点D是的中点，，由重心的性质可求，由线段的数量关系可求，进而完成解答． 【详解】解：如图，连接， ∵每个圆的圆心都在另外两个圆的圆周上， ∴， ∴与互相垂直平分，与互相垂直平分，和是等边三角形， ∴点H是的中点，点D是的中点，， ∴与是的中线，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， ∵点H是的中点，点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， 同理可得∶， ∴． 7．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，半圆的直径，点在半径上且，点为半圆上的一动点，将线段绕点逆时针旋转得到，点是半圆的中点，连接，若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，圆的基本性质，勾股定理．将绕点C逆时针旋转得，则，延长，作于点T，延长交于点M、交于点N，连接，证明四边形为矩形，求得，，由勾股定理可得，再证明，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将绕点C逆时针旋转得，则，延长，作于点T，延长交于点M、交于点N，连接，如图所示， ∵D为半圆中点， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵半圆的直径，， ∴，， 由旋转可得， ∴，，， ∴即，， 连接，由勾股定理可得， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·河南漯河·期末）如图，在中，，以的中点为圆心，长为半径作交于点，连接． (1)尺规作图：作出的平分线，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下． ①求证：． ②若，则线段的长为___________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②． 【分析】（1）利用尺规作图作角平分线的基本作图方法，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，过该点与点作射线，交于，连接即可． （2）①先根据等腰三角形性质得到，再结合角平分线定义推出，通过证明得到，进而推出，从而证得． ②先利用勾股定理求出的长度，再结合全等三角形求解即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：①∵，是的中点， ∴，， ∵平分， ∴， 在和中 ， ∴（）， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ②∵在中，，， ∴， ∵， ∴． 9．（25-26九年级上·重庆铜梁·期末）如图，在中，将边绕点顺时针旋转得到，． (1)如图，当时，连接，，若，，，求线段的长； (2)如图，当时，过点作边上的高，在上截取，连接交于点，猜想，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)，，连接，若，当点与所在直线的距离最大时，作点关于的对称点，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）过点作于点，根据旋转的性质可得，，得到四边形是矩形，从而根据矩形的性质结合勾股定理解直角三角形即可得解； （2）过点作于点，通过旋转的性质先证明，得到，，再证明，通过线段的等量代换即可得证； （3）点的运动轨迹为以点为圆心，长为半径的半圆，当时，点与所在直线的距离最大，从而确定点的位置，作点关于的对称点，与相交于，过点作于，交于，过点作交延长线于，通过对称的性质，三角形内角和定理证明四边形是矩形，是等边三角形，得到，，通过勾股定理解直角三角形表示出，，，进而计算出的值，即可得到． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，，， ， 将边绕点顺时针旋转得到，， ，， 四边形是矩形， ，， ， 在中，； （2）解：， 证明：过点作于点， 是边上的高， ， ， 将边绕点顺时针旋转得到，， ，， ， ，，， ， ，， ， ，，即， ，，， ， ， ； （3）解：如图所示，点的运动轨迹为以点为圆心，长为半径的半圆，当时，点与所在直线的距离最大， 根据旋转可得，此时，是等腰直角三角形， ， 作点关于的对称点，与相交于，过点作于，交于，过点作交延长线于， ，， ，， ，， ， 根据对称可得，，， ，， ，， 四边形是矩形，是等边三角形， ，， ， ，， ， ， ， ，即， ， ， ， ． 10．（25-26九年级上·陕西西安·期末）【问题提出】 （1）如图①，在中，，，则与的数量关系为________． 【问题探究】 （2）如图②，已知，请用尺规作图法，在直线上求作一点D，使得，． 【问题解决】 （3）如图③，为庆祝被誉为“中国最美公路”的独库公路通车，路政工作人员将公路与市区干道交汇处的不规则空地用鲜花进行布置，不同品种的鲜花之间需要用隐形花挡，，进行区分，经测量米，米，，弧形公路的圆心角为，在大方美观的基础上，为控制成本，试计算说明至少需要多少米的隐形花挡才能完成布置． 【答案】（1）； （2）作图见解析； （3）至少需要米的隐形花挡． 【分析】本题全面考查了等腰三角形的性质与判定、含角的直角三角形性质、勾股定理、尺规作图(作垂线)、点圆最值问题、轴对称最值问题等核心几何知识点，利用轴对称的性质，将线段转化到同一条线段上是解决问题的关键． （1）在中，，，作于，则．在中，，由勾股定理得，因此； （2）已知，要使且，只需过作的垂线(垂足为)即可； （3）作点关于、的对称点、，根据轴对称性质，因此，根据“两点之间线段最短”，当、落在上时，，即为最小值；由对称性质得到是顶角为的等腰三角形，由（1）；在弧上，因此是“圆外一点到圆上点的距离”．根据圆的性质：圆外一点到圆上点的最小距离=点到圆心的距离圆的半径，由此求得的最小值，最后得到的最小值． 【详解】（1）解：，， ． 如图，作于，则，． 在中，，由勾股定理得， ． 故答案为：； （2）解：如图，过点作，则点即为所求： ①以为圆心，适当长为半径画弧，交直线于、两点； ②分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； ③作直线，交直线于． ∵在中，， ∴，即； （3）解：如图，作关于、的对称点、，连接，、，，设弧的圆心为，连接，，，，则是等边三角形． ∵作关于、的对称点、， ∴，， ∴， ∴，当、在上时取等号． ∵，，， ∴，即是顶角为的等腰三角形， 由（1）． 由（2）知为直角三角形，，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴(米)； 在弧上，且点在圆外， 的最小值为米， ∴的最小值为米． 答：至少需要米的隐形花挡． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『预习篇』 第九讲 圆的相关概念「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•九年级上册（第3章 圆）】 （思维导图+新知学习+十一大考点讲练+难度分层练 共42题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材九年级上册内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 圆的定义 1. 圆的描述概念 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 　　　　　　　　 要点： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. 2.圆的集合概念 圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点. 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合. 要点：①定点为圆心，定长为半径； 　　 ②圆指的是圆周，而不是圆面； 　　 ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 知识点二 点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外. 若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么： 点P在圆内 d ＜ r ；点P在圆上 d = r ；点P在圆外 d ＞r. “”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 要点：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上； 知识点三 与圆有关的概念 1. 弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点： 　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 　　为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. 　　　　　　　　 证明：连结OC、OD 　　　　　　 　 　　　　　∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) 　　　　　∴直径AB是⊙O中最长的弦. 2. 弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 要点：①半圆是弧，而弧不一定是半圆； 　　 ②无特殊说明时，弧指的是劣弧. 3.等弧 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 要点：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； ②圆中两平行弦所夹的弧相等. 4.同心圆与等圆 　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆. 要点：同圆或等圆的半径相等. 5.圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角. 要点：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立. 知识点四 确定圆的条件 （1）经过一个已知点能作无数个圆； （2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上； (3）不在同一直线上的三个点确定一个圆. (4)(后面还会学习到)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形. 如图：⊙O是△ABC的外接圆， △ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心. 外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等. 要点： （1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”. （2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定. 考点一 圆的基本概念辨析 【典例精讲】（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．任意两点之间的部分叫做弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧 D．圆上任意两点之间的部分叫做弧 【变式训练】（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）如图，正方形的四个顶点在直径为4的大圆圆周上，四条边与小圆都相切，过圆心，且，则图中阴影部分的面积是________．（结果保留） 考点二 求圆中弦的条数 【典例精讲】如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】如图，图中⊙O的弦共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 考点三 求过圆内一点的最长弦 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为作，直线交于、两点，若，则的值为__________． 【变式训练】（25-26九年级上·四川成都·期中）已知，等腰三角形中，底角，边，取底边上的一个动点D，连接．将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接、和．当线段取得最小值时，在直线上取一点M，连接，将沿直线翻折，得到，点A的对应点为H，则线段的最小值为_______． 考点四 求一点到圆上点距离的最值 【典例精讲】（23-24九年级上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，已知圆和图形，将图形关于直线对称得到图形，为上任意一点，为圆上任意一点，将的最大值称为图形关于的“对称长度”． (1)若圆半径为； ①在，，这三个点中，______关于直线的“对称长度”为； ②已知直线：，点，，，，，，则在线段，，中，关于的“对称长度”为的是______； (2)圆半径为，已知点，，，，，，点在点的左侧，直线从开始，绕点顺时针旋转到，在旋转过程中，求正方形关于的“对称长度”的取值范围． 【变式训练】阅读理解： 小明热爱数学，在课外数学资料上看到平行四边形一个性质定理：任意平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和．如图1，在平行四边形中，．由此，他探究得到三角形的一个性质：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍． (1)说理证明： 如图2，在中，若点为的中点，则有：．请你证明小明得到的三角形性质的正确性． (2)理解运用： ①在中，点为C的中点，，，，则　　； ②如图3，的半径为，点在圆内，且 ，点和点在上，且，点、分别为、的中点，则的长为 　　； (3)拓展延伸：如图4，已知的半径为2，以为直角顶点的的另两个顶点，都在上，为的中点，则长的最大值为 　　． 考点五 圆的周长和面积问题 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，用一根绳子紧密贴合一个球体的大圆绕一圈（绳长等于球体大圆的周长），然后将绳长增加1米，并将绳子均匀地悬浮在球体周围，形成一个与球体同心的圆，此时绳子与球体表面之间出现均匀的空隙．假设对篮球（半径约0.12米）和地球（半径约6371千米）分别进行上述操作．那么，绳子与球体表面之间的空隙距离（   ） A．地球的空隙更大 B．篮球的空隙更大 C．一样大 D．无法确定 【变式训练】（25-26七年级上·湖南长沙·自主招生）钟面上分针长4厘米，1小时它的尖端经过_____厘米（取3.14）． 考点六 判断点与圆的位置关系 【典例精讲】（24-25九年级上·云南德宏·期末）若的直径为，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在外 B．点P在上 C．点P在内 D．不能确定 【变式训练】（25-26九年级上·甘肃定西·期末）若的半径为5，，且点P在外，则m的取值范围为________ ． 考点七 利用点与圆的位置关系求半径 【典例精讲】（25-26九年级上·江西九江·期末）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·甘肃定西·阶段检测）若点到上的点的最小距离是4，最大距离是6，则的半径为________ ． 考点八 已知半径和圆上两点作圆 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏徐州·期末）已知线段，且，则经过两点且半径为3的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式训练】（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为_____． 考点九 点与圆上一点的最值问题 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，点、分别是、边上的动点，且，垂足为，连接．若正方形的边长为1．则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·山西阳泉·期末）已知正方形的边长为4，动点满足，将点绕点按逆时针方向旋转得到点，连接，则的最大值是______． 考点十 圆心角概念辨析及简单运算 【典例精讲】（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）小兰从正面观察三星堆青铜太阳轮（如图所示），发现它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的，图中的度数为 _______． 考点十一 求圆弧的度数 【典例精讲】（23-24九年级上·全国·单元测试）已知，是的直径，弦，，则的度数是（   ） A． B． C． D．或 【变式训练】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是_______ 【基础通关能力提升】 1．（25-26九年级上·广东韶关·期末）如图，A，B，C是小区内的三栋楼，现准备在B，C的中点D处建造一个基站，若其覆盖范围是一个半径为的圆，则这三栋楼在该基站覆盖范围内的是（     ） A．只有B B．只有A、B C．只有B、C D．A、B、C 2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，直径，是弦，，点P在上移动，点Q在上移动，且，长度的最大值是（ ） A．4 B．2 C． D． 3．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，在矩形中，，点是边上一点，连接，将沿直线折叠得到，连接交于点，连接，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，是的直径，点B、D在上，，，则的度数是________． 5．（25-26九年级上·西藏日喀则·期末）如图，在矩形中，，．以点为圆心作，且使点、、中至少有一个点在内，同时至少有一个点在外，则的半径应满足的条件是________． 6．（25-26九年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点．如图，，都是整点．若以整点为圆心的经过，两点，的坐标可以是___．（写出一个符合题意的即可） 7．（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，已知，是的两条直径，弦的度数为，则的度数为___． 8．（24-25九年级上·山西朔州·期中）完成下列各题 (1)用适当的方法解方程：； (2)如图，在矩形中，，．若以点为圆心，为半径作，直接写出点与的位置关系． 9．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，四边形是矩形．求证：四点在同一个圆上． 10．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E．若，求的度数． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，是半的直径，点在半圆周上，连接，，垂足为， ，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（25-26九年级上·山东聊城·期末）已知正方形边长为2，分别以顶点A，B，C，D为圆心作四个等圆，若这四个等圆能完全覆盖正方形，则所作等圆的最小半径是（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）如图，在矩形中，是边上的一动点（不与端点重合）．将沿直线对折，得到，连接并延长，交线段于点，连接，，则下列结论错误的是（   ） A．的面积为定值 B．的最小值为 C．的最大值为5 D．的最大值为 4．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，在中，，，，是内一点，，则长的最小值是______． 5．（24-25九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，已知矩形，点N是边上一点，且，将矩形绕A顺时针旋转α（），得到矩形，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F，点D的对应点是点G，连接．点M是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值为____________________ ． 6．（25-26九年级上·山东威海·自主招生）如图，已知三个等圆，，，为圆心，每个圆的圆心都在另外两个圆的圆周上，若的面积为300，则阴影部分的面积为____． 7．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，半圆的直径，点在半径上且，点为半圆上的一动点，将线段绕点逆时针旋转得到，点是半圆的中点，连接，若，则_____． 8．（25-26九年级上·河南漯河·期末）如图，在中，，以的中点为圆心，长为半径作交于点，连接． (1)尺规作图：作出的平分线，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下． ①求证：． ②若，则线段的长为___________． 9．（25-26九年级上·重庆铜梁·期末）如图，在中，将边绕点顺时针旋转得到，． (1)如图，当时，连接，，若，，，求线段的长； (2)如图，当时，过点作边上的高，在上截取，连接交于点，猜想，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)，，连接，若，当点与所在直线的距离最大时，作点关于的对称点，请直接写出的值． 10．（25-26九年级上·陕西西安·期末）【问题提出】 （1）如图①，在中，，，则与的数量关系为________． 【问题探究】 （2）如图②，已知，请用尺规作图法，在直线上求作一点D，使得，． 【问题解决】 （3）如图③，为庆祝被誉为“中国最美公路”的独库公路通车，路政工作人员将公路与市区干道交汇处的不规则空地用鲜花进行布置，不同品种的鲜花之间需要用隐形花挡，，进行区分，经测量米，米，，弧形公路的圆心角为，在大方美观的基础上，为控制成本，试计算说明至少需要多少米的隐形花挡才能完成布置． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $