（预习篇）第十讲 确定圆的条件（暑假培优讲义）【思维导图+知识卡片+新知学习+九大题型讲练+难度分层练 共47题】-2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接讲义

null2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『预习篇』 第十讲 确定圆的条件「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•九年级上册（第3章 圆）】 （思维导图+新知学习+九大考点讲练+难度分层练 共47题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材九年级上册内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 确定圆的条件 条件 作圆的个数 图例 经过一个点作圆 无数个 经过两个点作圆 无数个 经过不在同一条直线上的三个点作圆 一个 知识点二 作图法画圆 如图，作AB和AC的垂直平分线OD和OF，证：点O在BC的垂直平分线上。 ∵OD垂直平分AB，OF垂直平分 ∴OA=OB，OA=OC ∴OB=OC ∴点O在BC的垂直平分线上 因此，不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 知识点三 外接圆与外心的概念与性质 如上图，三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。 外心的性质： （1）外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等； （2）三角形的外接圆有且只有一个，对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，且这些三角形的外心重合。 知识点四 三角形外接圆的作法 已知三角形ABC 作法：（1）分别作边AB、BC的垂直平分线l1，l2，两条线交于点O； （2）以O为圆心，OA为半径作圆，圆O就是所作的圆。 知识点五 不同三角形的外心位置 类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 位置 外心在三角形的内部 外心在直角三角形斜边的中点 外心在三角形的外部 考点一 判断确定圆的条件 【典例精讲】（25-26九年级上·宁夏固原·期中）下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径． 确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 【变式训练1】（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查圆的确定，根据圆的确定方法：不在同一直线上的三个点确定一个圆，进行判断即可． 【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任作两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而确定圆即可． 故选：A． 【变式训练2】（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是_____ ． 【答案】② 【分析】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．只要有一段弧． 所以带到店去的一块玻璃碎片应该是②． 故答案为：②． 考点二 确定圆心(尺规作图) 【典例精讲】（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）如图，在围成新月形的两条弧（和）中，哪一条弧的半径较大？分别作出它们所在的圆，验证你的猜想． 【答案】的半径较大，作图和验证见解析 【详解】解：的半径较大． 如图，作的垂直平分线交于点C，交于点D，再作的垂直平分线交直线于点，作的垂直平分线交直线于O点，则点为所在圆的圆心，点O为所在圆的圆心， 连接， 因为， 所以的半径较大． 【变式训练1】（25-26九年级上·陕西商洛·阶段检测）如图，已知，请用尺规作图法，求作一，使经过三点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作三角形的外接圆，作的垂直平分线交于点，以为半径作圆，即可求解． 【详解】解：如图所示，即为所求 【变式训练2】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，过格点A、B、C作一圆弧，则圆弧所在圆的半径是__________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，先利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为E点，利用垂径定理的推论可判断点E为该圆弧所在圆的圆心，连接，利用勾股定理计算出即可． 【详解】解：作和的垂直平分线，它们的交点为E点，则点E为该圆弧所在圆的圆心， 连接， 由勾股定理得，， 即圆弧所在圆的半径是， 故答案为：． 考点三 求能确定的圆的个数 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏镇江·期末）已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记圆心的确定方法是解题的关键． 经过两点、的圆的圆心在线段的垂直平分线上，且圆心到、的距离等于半径，利用勾股定理计算圆心到中点的距离，判断是否存在这样的圆． 【详解】解：如图， 分别以、为圆心、5为半径作圆，两圆相交于点C、D， 然后分别以C、D为圆心，5为半径作圆，则和为所求． 故选：C． 【变式训练1】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查作图-复杂作图、确定圆的条件，熟练掌握与圆有关的性质是解答本题的关键．连接，作线段的垂直平分线，以点（或）为圆心，线段的长为半径画弧，交线段的垂直平分线于点，分别以为圆心，线段的长为半径画圆即可． 【详解】解：如图，满足题意． 这样的圆可以作2个． 故选：B． 【变式训练2】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知，过，两点画半径为的圆，则能画的圆的个数为______． 【答案】个 【分析】本题考查了圆的性质、确定圆心的方法，关键是找到满足题意的圆心的位置； 圆心在线段的垂直平分线上，且与的距离为，根据勾股定理求出圆心到中点的距离，就可得到圆心的个数． 【详解】解：设的中点为，圆心为， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴在线段的垂直平分线上到的距离等于的点有两个， 故答案为：个． 考点四 画圆(尺规作图) 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，点A为直线l外一点，分别作出满足下列条件的． (1)过点A，与l相切且半径最小； (2)过点A，与l相切于点P，的度数为． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图，过点A作直线l于点D，以为直径作即可； （2）如图，过点A作直线l于点D，以为边作等边三角形，延长交直线l于点P，以为边在的右侧构造等边三角形，以O为圆心，为半径作即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 理由：由垂线段最短可知：所有过点A，与l相切的圆中，是最短的直径， 所以，半径最小； （2）解：如图，过点A作直线l于点D，以为边作等边三角形， 所以，， 延长交直线l于点P，则, 以为边在的右侧构造等边三角形，以O为圆心，为半径作， 所以，, 所以，，即， 所以直线是的切线，此时的度数为． 【变式训练1】（25-26九年级上·陕西·期末）如图，在中，，点为边的中点，请用尺规作图法，求作一个，使该圆经过点，，．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了作一个三角形的外接圆，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．先作出线段的垂直平分线，得出的中点O，再以点O为圆心，为半径作圆即可． 【详解】解：如图，即为所求作的圆．    连接，， ∵，点为边的中点， ∴， ∴为直角三角形， ∵为的中点， ∴， ∴过点A、B、D． 【变式训练2】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，已知等腰，，请用尺规作图的方法在上方作点C，使得以点为圆心的经过A、B、C三点，且点C在的垂直平分线上．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，圆的基本性质，先作线段的垂直平分线，再以O为圆心，的长为半径画弧，交线段的垂直平分线于点C，则点C即为所求． 【详解】解：如图所示，点C即为所求． 考点五 三角形外接圆的概念辨析 【典例精讲】（2025·江苏南京·中考真题）下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】A 【分析】本题考查了外接圆．外接圆是指多边形的所有顶点都在同一个圆上．三角形一定有外接圆，因为三角形的三条垂直平分线交于一点（外心），该点到各顶点距离相等，四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵任何三角形的三条垂直平分线都交于一点（外心）,且外心到三个顶点的距离相等， ∴ 三角形一定有外接圆， 四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有， 故选：A 【变式训练1】（25-26九年级上·上海·阶段检测）等腰三角形的底边长24，它内接于半径为13的中，腰长为__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查三角形外接圆的性质，等腰三角形的性质及垂径定理，熟练掌握三角形外接圆的性质，等腰三角形的性质及垂径定理是解题的关键．根据等腰三角形内接于圆，圆心在底边垂直平分线上，利用垂径定理和勾股定理求得，从而求得，最后再结合勾股定理求腰长即可． 【详解】解：设圆心为，且在该等腰三角形内部时，取底边中点为，连接，如图所示： 由题意得：， ∵，底边中点为， ∴， ∴圆心在线段上， ∴， ∴， ∴； 当圆心在该等腰三角形外部时，如图， 同理可得：，， 故答案为：或． 【变式训练2】（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）对于三角形的外心，下列说法正确的是（　　） A．它到三角形三边的距离相等 B．它是三角形三条高的交点 C．它一定在该三角形的内部 D．它到三角形三个顶点的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外心的定义．根据三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，据此即可求得答案． 【详解】解：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，故A、B错误；D正确；锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部，故C错误． 故选：D． 考点六 求三角形外心坐标 【典例精讲】（2026九年级上·山东青岛·专题练习）如图中外接圆的圆心坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查三角形外心的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，即外心是三角形三边中垂线的交点． 【详解】解：和的垂直平分线的交点即为的外接圆的圆心，由图知．     故答案为：． 【变式训练1】（25-26九年级上·北京大兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________．    【答案】 【分析】本题主要考查三角形外接圆的相关知识点，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；因此此题可分别作出线段的垂直平分线，然后问题可求解． 【详解】解：分别作线段的垂直平分线，如图所示：      ∴由坐标系可知：的外接圆的圆心坐标为； 故答案为． 【变式训练2】（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点，然后根据两点之间的距离公式可知每段线段的大小，根据线段的等量关系求解． 本题考查了三角形的外接圆，平面直角坐标系以及两点之间的距离公式，知道三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点是解题关键． 【详解】 解： 设外接圆的圆心为点, 外接圆的圆心为三角形三条边中垂线的交点， 由题可知，,, 则作的中垂线交于, 作的中垂线交于, , 设点的坐标为， , ， ， ， 则点的坐标为． 故选: ． 考点七 求特殊三角形外接圆的半径 【典例精讲】（25-26九年级上·云南昭通·期末）是以为斜边的直角三角形，其外接圆半径，则斜边的长度为___________． 【答案】 【分析】直角三角形的外接圆中，斜边是外接圆的直径，即斜边长度等于外接圆半径的2倍．先根据直角三角形外接圆的性质确定斜边与外接圆直径的关系，再结合已知半径计算斜边长度． 【详解】解：∵是以为斜边的直角三角形， ∴斜边是其外接圆的直径， ∴． 【变式训练1】边长为的等边三角形的外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等边三角形外心的性质，结合勾股定理即可求解. 【详解】解：设等边边长为，为其外接圆圆心，连接，过作于点， ∵是等边三角形，外接圆圆心在三角形的高上， ∴，. 设外接圆半径，在中，. ∵， ∴， 由勾股定理得 ， 代入得 ， 整理得 ， ， ∵， ∴. 【变式训练2】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）中，，，则的外接圆的半径为______． 【答案】5 【分析】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长是圆的直径．已知中，，，斜边是外接圆的直径，因而外接圆的半径等于5． 【详解】解：，， 外接圆的半径等于5． 故答案为5. 考点八 已知外心的位置判断三角形的形状 【典例精讲】（2023九年级·全国·专题练习）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为（　　）    A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到，从而确定B、C的位置． 【详解】解：∵的外心为O， ∴， ∵， ∴， ∵B、C是方格纸格线的交点， ∴B、C的位置如图所示，    ∴． 故选：D． 【变式训练1】（23-24九年级上·浙江温州·期中）如果三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，掌握外心的形成和性质是本题突破的关键，根据外心的形成和性质直接判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，外心的性质是到三角形三个顶点的距离相等，如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于，那么这个三角形一定是钝角三角形， 故选：C． 【变式训练2】（23-24九年级上·河南新乡·阶段检测）如图，点E是的外心，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点F，G，再分别以F，G为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点H；以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点K．作射线BH，射线，与交于点D．连接，连接，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作角平分线，等腰三角形性质，三角形内角和定理，根据作图得出平分，平分，进而得到平分，根据三角形外心得出，结合等腰三角形性质求出，利用三角形内角和定理即可求出最后结果． 【详解】解：如图，连接，， 根据作图可知，平分，平分， 平分， ， ， 点E是的外心， ， ，，， ， ， ， 故选：B． 考点九 判断三角形外接圆的圆心位置 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）下列三角形的外心一定在该三角形外部的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的外心，掌握相关知识是解题的关键．根据锐角三角形的外心在三角形内部，如果一个三角形的外心在它的一边的中点上，则该三角形是直角三角形，如果一个三角形的外心在它的外部，则该三角形是钝角三角形，即可判断． 【详解】解：因为钝角三角形的外心在它的外部， 由题意得知，只有D选项为钝角， 故选：D． 【变式训练1】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G都在小正方形的顶点上，则的外心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外心，熟练掌握三角形的外心的定义是解题关键．根据三角形的外心：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，结合网格特点画出的垂直平分线，由此即可得． 【详解】解：结合网格，画出的垂直平分线如图所示： 则的外心是点． 故选：A． 【变式训练2】（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角度数是______． 【答案】/90度 【分析】本题考查了圆心角的求解、勾股定理及其逆定理．找到圆心是解题关键． 连接，分别作的垂直平分线，即可得到圆心．分别求出，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：连接，分别作的垂直平分线，即可得到圆心，    由图可得：，， ∴， 故， 即所对的圆心角为． 故答案为： 【基础通关能力提升】 1．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）下列说法：①三点确定一个圆；②三角形的外心是各边垂直平分线的交点；③圆的对称轴是直径；④平分弦的直径，平分这条弦所对的弧．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了圆的基本概念辨析，判断确定圆的条件，三角形外接圆的概念辨析，垂径定理的推论等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据圆的相关概念，包括确定圆的条件、三角形外心的定义、圆的对称轴以及垂径定理的推论，需逐一分析每个说法的正误． 【详解】解：不在同一直线上的三点才能确定一个圆， 故①错误； 三角形的外心是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等， 而各边垂直平分线的交点到三个顶点距离相等， 故②正确； 对称轴是直线，直径是线段，圆的对称轴是直径所在的直线， 故③错误； 平分弦（非直径）的直径，才平分这条弦所对的弧， 当弦为直径时该结论不成立， 故④错误； 综上所述，正确的只有1个， 故选：A． 2．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，由边长相同的小正方形组成的网格，点都在小正方形的顶点上，则点是的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外心，勾股定理与网格，连接，由网格可得，然后根据三角形的外心的定义即可判断，熟练掌握三角形的外心的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由网格可得， ∴点是的外心， 故选：． 3．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）下列命题中，真命题有（   ）个 ①三点确定一个圆；②长度相等的两条弧是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；⑤三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据确定圆的条件、等弧的定义、圆心角与弧的关系、垂径定理、三角形外心的性质，逐一判断命题真假，统计真命题的个数． 【详解】解：①∵不在同一直线上的三点才能确定一个圆，∴“三点确定一个圆”是假命题． ②∵等弧是指在同圆或等圆中能够完全重合的弧，长度相等的弧不一定能重合，∴“长度相等的两条弧是等弧”是假命题． ③∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，∴“相等的圆心角所对的弧相等”是假命题． ④∵平分弦（弦不是直径）的直径才垂直于弦且平分弦所对的弧，若弦为直径，两条直径互相平分但不一定垂直，∴该命题是假命题． ⑤∵三角形的外心是三边垂直平分线的交点，垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，∴三角形外心到三个顶点距离相等，该命题是真命题． 综上，真命题只有1个． 故选：A． 4．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，外接圆的圆心坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，作线段、线段的垂直平分线相交于点，点即为外接圆的圆心，结合图象即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作线段、线段的垂直平分线相交于点， 由垂径定理可得，点即为外接圆的圆心， 由图象可得，点的坐标为， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，正方形网格中，三点均在格点上，那么的外接圆圆心是点__________． 【答案】G 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，圆的定义，根据线段垂直平分线的性质确定圆心的位置是解题的关键．连接，作线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点G， 则点G即为所求作的点． 【详解】解：如图，点G即为所求作的点． 故答案为：G． 6．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是、、是的外接圆，则的半径为_____． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外心，正方形的性质，一次函数解析式，熟练掌握三角形外心的概念是解题的关键．过点作于，作于，连接，作的垂直平分线，垂足为，交于，则，即点的横坐标为1，再证四边形为正方形，则垂直平分，则点是的外心，求出直线的解析式为，把代入求得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，作于，连接，作的垂直平分线，垂足为，交于，连接． ∴四边形为正方形， ∴垂直平分， 又∵垂直平分， ∴和的交点即为的外心M， ， ， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴的半径为， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）点是平面直角坐标系上一点，以点为圆心，长为半径作圆并与坐标轴交于不与原点重合的、两点，则的长为___________． 【答案】20 【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，由点A坐标求长作为半径，则，设与x轴交于点，与y轴交于点，则，，即可求出b、c，在中利用勾股定理求的长即可． 【详解】解：点到原点O的距离， 故圆的半径为10， ∴， 设与x轴交于点，与y轴交于点， ∴，， ∵、两点不与原点重合，即，， ∴，， ∴在中，，，由勾股定理得， 则． 故答案为：20． 8．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，中， (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的外接圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图，复杂作图、等腰三角形的性质、三角形的外接圆与外心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得的外接圆． （2）连接并延长，交于点D，连接，可得，即可得，，在中，根据勾股定理得，，设的外接圆的半径为x，则，，在中，根据勾股定理得，，代入求出x的值即可． 【详解】（1）解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆， 则即为所求． （2）解：连接并延长，交于点D，连接， 得， ， 在中，根据勾股定理得，， 设的外接圆的半径为x， 则，， 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得 的外接圆的半径为． 9．（2025·陕西西安·一模）如图，在中，请用尺规作图法求作，使圆心在上，且圆经过点，与交于点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图—作圆，解题的关键是确定圆心的位置． 根据经过A，B两点，且圆心在上，得到圆心O为线段的中点，作线段的中垂线，垂足为O，以为圆心，的长为半径，画圆即可． 【详解】解：如图，即为所求． 10．（25-26九年级上·福建南平·期末）在中，，． (1)求作：的外接圆O（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求的半径． 【答案】(1)作图见详解 (2) 【分析】本题考查了三角形外接圆的作图，等腰三角形的性质，勾股定理及圆的半径求解． （1）分别作出，，的垂直平分线，三条垂直平分线交于一点，则该点为的外心，即为外接圆的圆心O，以为半径画出，的外接圆O即为所求； （2）作的垂直平分线，交于点D，连接，由为的垂直平分线，得出点D为的中点，求得，再利用勾股定理求得的长度，设，则，利用勾股定理和线段的和差关系列出方程求解x的值，再将x代入即可求得的半径． 【详解】（1）解：如图所示，的外接圆O即为所求， （2）解：如图，作的垂直平分线，交于点D，连接， ∵，， ∴为等腰三角形， ∵为的垂直平分线， ∴点D为的中点， ∴， 在中，， 设，则， 在中，，即， 又∵， ∴， 将代入得：， 解得：， ∴． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图是一个含有个正方形的相框，其中，，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，作线段的中垂线和线段的中垂线交于点，连接，则点三点刚好在以点为圆心，为半径的圆上，然后由等腰直角三角形的性质求得的长，再结合勾股定理求得半径的长． 【详解】解：连接，由个正方形的相框的位置关系，可知均在上，作线段的中垂线和线段的中垂线交于点，交于点，交于点，连接，如图所示： 是圆形的金属框的两条弦， 点三点刚好在以点为圆心，为半径的圆上， ， 由勾股定理可得，，， ， 则， ∴点为线段的中点， 即线段的中垂线过点， ， ， 是等腰直角三角形， 则， 是线段的中垂线，，， ，， 则， 在中，，，，则由勾股定理可得， 故选：B． 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在矩形中，，，为矩形的边上的一动点，点P从点B运动到点C，的外接圆的圆心运动的路径长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，交于点，当点为的中点，即时，连接，并延长交于点，设此时的外接圆的圆心为点，先求出点从点运动到点，的外接圆的圆心运动的路径是从点运动到点，再从点运动到点，其路径长是，再利用勾股定理求出，的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∴点在的边的垂直平分线上， 当点与点或重合时，的外接圆的圆心为点， 当点为的中点，即时，连接，并延长交于点，设此时的外接圆的圆心为点，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴此时点在的边的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵的外接圆的圆心一定在边的垂直平分线上， ∴点一定在上， ∴点从点运动到点，的外接圆的圆心运动的路径是从点运动到点，再从点运动到点，其路径长是， 在中，， ， ∴， 又∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，垂直平分， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， 即点从点运动到点，的外接圆的圆心运动的路径长为， 故选：B． 3．（23-24九年级下·河北石家庄·开学考试）如图，在中，点是斜边的中点，以为边作正方形，下列三角形中，外心不是点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，连接，根据点是斜边的中点，得到，得到点是的外心，根据正方形的性质得到，求得，得到点是的外心，点是的外心，由于，得到点不是的外心，证得，是解题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 在中，点是斜边的中点， ， 点是的外心， 四边形是正方形， ， ， 点是的外心，点是的外心， 在等腰中，，则由勾股定理可得， ， 点不是的外心， 故选：C． 4．（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，经过格点，，． （1）的度数是______； （2）请用无刻度的直尺在图中画出圆心，并简要说明是如何找到的（不要求证明）______ 【答案】 图见解析；为直径，故圆心必在上，再做的中垂线，其与交点便为圆心 【分析】本题考查了作图，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，可求出、、的长度，可得其恰好符合勾股定理，得出的度数； （2）因为点，，是圆上三点，故作的外心（即边长中垂线的交点）即可确定圆心； 【详解】解：（1）连接，如下图： 可得，，， ∵，故为直角三角形， ∴， 故答案为：． （2）解：作的中垂线，与的交点即为的外心，故为的圆心，见下图： 由（1）可判断为直径，故圆心必在上，再作的中垂线，其与交点便为圆心． 5．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，．点P沿着折线段运动，若点P在运动的过程中，的外心O在的边上，则符合条件的点P有_____个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了三角形外心的定义，直角三角形的性质．作线段的垂直平分线，分别交、于点F、E，根据的外心一定在直线上，得出当的外心O在的边上时，直线与、的交点F、E就是外心，点P在以点F为圆心，为半径的圆上，或以点E为圆心，为半径的圆上，画图得出答案即可． 【详解】解：作线段的垂直平分线，分别交、于点F、E，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的外心一定在直线上， ∴当的外心O在的边上时，直线与、的交点F、E就是的外心， ∴点P在以点F为圆心，为半径的圆上，或以点E为圆心，为半径的圆上， ∴如图，，与、、的交点即为点P的位置， ∵， ∴点在上， ∴符合条件的点P有4个， 故答案为：4． 6．（2025·山东淄博·二模）如图，有一菱形场地，小明给该场地设计了一种花卉种植方案：在对角线上取动点（点E在点F的左边），并修建小路，四条小路围成的阴影区域用来种植某种花卉．已知米，米，且，为使种植该种花卉的费用最低，需阴影区域的面积最小，则的长应为________米． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、定角定高的三角形面积的最值问题，解题关键是构造辅助圆，得出， 作的外接圆，过点作，垂足为，设半径为，即：，由已知证明是等边三角形，得出，进而求出，根据垂线段最短可得，即，由此求出的最小值． 【详解】解：作的外接圆， 连接、、，，过点作，垂足为，设半径为，即：， ∵在菱形中，， ，， ∴ ∵所在直线是菱形的对称轴， ∴，， ∴阴影区域的面积， ∴阴影区域的面积 ∴当最小时，阴影区域的面积最小，种植该种花卉的费用最低． ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴当时，阴影区域的面积最小，种植该种花卉的费用最低， 故答案为： ． 7．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，边上的高，则周长的最小值为 ____________________． 【答案】/ 【分析】延长到E，使得，延长到F，使得，连接，作的外接圆，过点O作于点J，交于点T．求出的最小值，可得结论． 【详解】解：如图，延长到E，使得，延长到F，使得，连接，作的外接圆，连接，过点O作于点J，交于点T． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴最小时，的周长最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图是小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度直尺在给定网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图1，将绕点O逆时针旋转得，画出； (2)如图2，请用尺规画出这个圆的圆心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分别取格点，，，使，顺次连接即可； （2）取弦，分别作它们的垂直平分线，交于点，则点为这个圆的圆心． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如图，点即为这个圆的圆心． 9．（25-26九年级上·陕西西安·期末）已知，如图，在中，，的角平分线交边于D．以边上一点O为圆心，过A，D两点作（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】如图：作线段的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作即可． 【详解】解：如图，⊙O即为所求． 10．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆．爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由：如果不是，请求出该三角形的最小覆盖圆的直径． 【答案】(1)见解析 (2)不是． 【分析】本题考查的是作三角形的外接圆，直角三角形的性质，勾股定理的应用，熟练的作三角形的外接圆是解本题的关键． （1）先作和的垂直平分线，相交于点，再以为半径作圆即可； （2）作交的延长线于点，在中，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，再在中，利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求． ； （2）解：不是． 如图：作交的延长线于点， ，， ． 在中，，， 则． 在中，． 这个三角形最小覆盖圆的直径为． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『预习篇』 第十讲 确定圆的条件「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•九年级上册（第3章 圆）】 （思维导图+新知学习+九大考点讲练+难度分层练 共47题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材九年级上册内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 确定圆的条件 条件 作圆的个数 图例 经过一个点作圆 无数个 经过两个点作圆 无数个 经过不在同一条直线上的三个点作圆 一个 知识点二 作图法画圆 如图，作AB和AC的垂直平分线OD和OF，证：点O在BC的垂直平分线上。 ∵OD垂直平分AB，OF垂直平分 ∴OA=OB，OA=OC ∴OB=OC ∴点O在BC的垂直平分线上 因此，不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 知识点三 外接圆与外心的概念与性质 如上图，三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。 外心的性质： （1）外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等； （2）三角形的外接圆有且只有一个，对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，且这些三角形的外心重合。 知识点四 三角形外接圆的作法 已知三角形ABC 作法：（1）分别作边AB、BC的垂直平分线l1，l2，两条线交于点O； （2）以O为圆心，OA为半径作圆，圆O就是所作的圆。 知识点五 不同三角形的外心位置 类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 位置 外心在三角形的内部 外心在直角三角形斜边的中点 外心在三角形的外部 考点一 判断确定圆的条件 【典例精讲】（25-26九年级上·宁夏固原·期中）下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 【变式训练1】（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式训练2】（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是_____ ． 考点二 确定圆心(尺规作图) 【典例精讲】（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）如图，在围成新月形的两条弧（和）中，哪一条弧的半径较大？分别作出它们所在的圆，验证你的猜想． 【变式训练1】（25-26九年级上·陕西商洛·阶段检测）如图，已知，请用尺规作图法，求作一，使经过三点．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式训练2】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，过格点A、B、C作一圆弧，则圆弧所在圆的半径是__________． 考点三 求能确定的圆的个数 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏镇江·期末）已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【变式训练1】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【变式训练2】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知，过，两点画半径为的圆，则能画的圆的个数为______． 考点四 画圆(尺规作图) 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，点A为直线l外一点，分别作出满足下列条件的． (1)过点A，与l相切且半径最小； (2)过点A，与l相切于点P，的度数为． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【变式训练1】（25-26九年级上·陕西·期末）如图，在中，，点为边的中点，请用尺规作图法，求作一个，使该圆经过点，，．（保留作图痕迹，不写作法）    【变式训练2】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，已知等腰，，请用尺规作图的方法在上方作点C，使得以点为圆心的经过A、B、C三点，且点C在的垂直平分线上．（不写作法，保留作图痕迹） 考点五 三角形外接圆的概念辨析 【典例精讲】（2025·江苏南京·中考真题）下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【变式训练1】（25-26九年级上·上海·阶段检测）等腰三角形的底边长24，它内接于半径为13的中，腰长为__________． 【变式训练2】（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）对于三角形的外心，下列说法正确的是（　　） A．它到三角形三边的距离相等 B．它是三角形三条高的交点 C．它一定在该三角形的内部 D．它到三角形三个顶点的距离相等 考点六 求三角形外心坐标 【典例精讲】（2026九年级上·山东青岛·专题练习）如图中外接圆的圆心坐标是______． 【变式训练1】（25-26九年级上·北京大兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________．    【变式训练2】（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心的是（   ） A． B． C． D． 考点七 求特殊三角形外接圆的半径 【典例精讲】（25-26九年级上·云南昭通·期末）是以为斜边的直角三角形，其外接圆半径，则斜边的长度为___________． 【变式训练1】边长为的等边三角形的外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）中，，，则的外接圆的半径为______． 考点八 已知外心的位置判断三角形的形状 【典例精讲】（2023九年级·全国·专题练习）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为（　　）    A．4 B．5 C． D． 【变式训练1】（23-24九年级上·浙江温州·期中）如果三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【变式训练2】（23-24九年级上·河南新乡·阶段检测）如图，点E是的外心，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点F，G，再分别以F，G为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点H；以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点K．作射线BH，射线，与交于点D．连接，连接，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 考点九 判断三角形外接圆的圆心位置 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）下列三角形的外心一定在该三角形外部的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G都在小正方形的顶点上，则的外心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【变式训练2】（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角度数是______． 【基础通关能力提升】 1．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）下列说法：①三点确定一个圆；②三角形的外心是各边垂直平分线的交点；③圆的对称轴是直径；④平分弦的直径，平分这条弦所对的弧．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，由边长相同的小正方形组成的网格，点都在小正方形的顶点上，则点是的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．无法确定 3．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）下列命题中，真命题有（   ）个 ①三点确定一个圆；②长度相等的两条弧是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；⑤三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，外接圆的圆心坐标为______． 5．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，正方形网格中，三点均在格点上，那么的外接圆圆心是点__________． 6．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是、、是的外接圆，则的半径为_____． 7．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）点是平面直角坐标系上一点，以点为圆心，长为半径作圆并与坐标轴交于不与原点重合的、两点，则的长为___________． 8．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，中， (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的外接圆的半径． 9．（2025·陕西西安·一模）如图，在中，请用尺规作图法求作，使圆心在上，且圆经过点，与交于点．（保留作图痕迹，不写作法） 10．（25-26九年级上·福建南平·期末）在中，，． (1)求作：的外接圆O（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求的半径． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图是一个含有个正方形的相框，其中，，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在矩形中，，，为矩形的边上的一动点，点P从点B运动到点C，的外接圆的圆心运动的路径长为（ ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·河北石家庄·开学考试）如图，在中，点是斜边的中点，以为边作正方形，下列三角形中，外心不是点的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，经过格点，，． （1）的度数是______； （2）请用无刻度的直尺在图中画出圆心，并简要说明是如何找到的（不要求证明）______ 5．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，．点P沿着折线段运动，若点P在运动的过程中，的外心O在的边上，则符合条件的点P有_____个． 6．（2025·山东淄博·二模）如图，有一菱形场地，小明给该场地设计了一种花卉种植方案：在对角线上取动点（点E在点F的左边），并修建小路，四条小路围成的阴影区域用来种植某种花卉．已知米，米，且，为使种植该种花卉的费用最低，需阴影区域的面积最小，则的长应为________米． 7．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，边上的高，则周长的最小值为 ____________________． 8．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图是小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度直尺在给定网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图1，将绕点O逆时针旋转得，画出； (2)如图2，请用尺规画出这个圆的圆心． 9．（25-26九年级上·陕西西安·期末）已知，如图，在中，，的角平分线交边于D．以边上一点O为圆心，过A，D两点作（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 10．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆．爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由：如果不是，请求出该三角形的最小覆盖圆的直径． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null