（预习篇）第十一讲 圆的对称性（暑假培优讲义）【思维导图+知识卡片+新知学习+八大题型讲练+难度分层练 共44题】-2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接讲义

null2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『预习篇』 第十一讲 圆的对称性「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•九年级上册（第3章 圆）】 （思维导图+新知学习+八大考点讲练+难度分层练 共44题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材九年级上册内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 圆的对称性 1、 圆的旋转不变性：一个圆绕圆心旋转任意角度后，都能与原来的图形重合. 2、 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心. 3、 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线是它的对称轴. 【要点提示】（1）圆是平面内嗾一具有旋转不变性的图形；（2）圆的对称轴不能说是它的直径，因为直径是线段，可以说成：直径所在的直线是圆的对称轴. 知识点二 圆心角、弧、弦之间的关系 1. 圆心角定义：如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等． 　　在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 【要点提示】(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 【解题技巧点拨】在同圆或等圆中，要证明弧、弦、圆心角中一组量相等，通常将其转化到证明另外两组量中的任意一组量相等，一般方法有多种，而连接半径或作垂直于弦的直径构造等弧、等弦、相等圆心角是常用来作辅助线的方法. 知识点三 垂径定理 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【要点提示】(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论；(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 3垂径定理的拓展：根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1） 平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 【要点提示】在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 【解题技巧点拨】运用垂径定理解题或证明时，常常“连半径，作垂线，构造直角三角形”，通过勾股定理求值或证明. 考点一 利用垂径定理求值 【典例精讲】（2024·四川成都·二模）如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【分析】根据垂径定理得到，在中利用勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴，， ∴在中，， ∴． 【变式训练1】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）的半径为，是的两条弦，，，．则和之间的距离是_____________ ． 【答案】或 【分析】分圆心在弦和的同侧和之间两种情况，分别根据垂径定理和勾股定理求得、，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：当圆心在弦和的同侧，如图：连接、，过作于，且直线交于， ， ， ，， ，， ， 同理， ∴，， ； 如图：圆心在弦和弦之间， 同理可得、， ∴， 所以弦和之间的距离是或． 【变式训练2】（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，在半径为的中，，弦于点，则等于_________． 【答案】5 【分析】根据垂径定理可知的长度，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，, 由垂径定理可知：， ∵, 由勾股定理可得：． 考点二 利用垂径定理求平行弦问题 【典例精讲】（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）已知半径是13，弦，，，则与之间距离为（    ） A．7 B．17 C．7或17 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查圆中两条平行线间的距离，解题的关键是根据勾股定理分别求出两弦的弦心距，分两弦在圆的同侧和异侧进行讨论．由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当在点的两侧，作于M，延长交于N，连接， ，，， 则，   ， ，， ， 此时弦与的距离为17； 当在点O的同侧，作于Q，交于P，连接，   同理， ， ，， ， 此时弦与的距离为7， 弦与的距离为17或7． 故选：C． 【变式训练1】（25-26九年级上·河南新乡·阶段检测）已知的半径为，弦，且，，则与之间的距离为______． 【答案】或 【分析】由于弦，需分两种情况讨论：当与在圆心同侧时，距离为圆心到两弦距离之差；当在圆心两侧时，距离为圆心到两弦距离之和，利用垂径定理和勾股定理求出圆心到各弦的距离． 【详解】过点作于点，则为中点，连接， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 过点作于点，则为中点， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 如图所示，当与在圆心同侧时，与之间的距离为； 如图所示，当与在圆心两侧时，与之间的距离为． 故答案为：或． 【变式训练2】（25-26九年级上·广东广州·期中）若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 由于弦，且直径已知，需考虑两弦在圆心同侧或异侧两种情况，分别计算弦到圆心的距离，再求两弦间距离． 【详解】解：过点作于点，交于点，连接、，如图， ∵， ∴， ∴，， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， 当点在与之间时，如图，； 当点不在与之间时，如图，； 综上所述，的值为或，即AB与CD之间的距离为或， 故选：C． 考点三 利用垂径定理求同心圆问题 【典例精讲】（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作于点，连接，根据垂径定理求出线段的长度，最后利用线段的和差进行求解即可； （2）结合（1）得，根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接， 根据垂径定理得，点为线段和的中点， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图所示，过点作于点，连接， 结合（1）得， 根据勾股定理得， ∴， ∴小圆的半径长为． 【变式训练1】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，过点作于点，连接，由垂径定理可得，由勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 【变式训练2】（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形是解题的关键． 作于点，连接、，根据垂径定理可得，，再利用勾股定理分别求出和的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点，连接、， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 考点四 利用垂径定理求解其他问题 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽黄山·阶段检测）如图，在中，，则___________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查垂径定理，垂直平分线的性质，弦、弧的关系，合理作出辅助线是关键． 如图所示，连接，作交于点，交于点，由垂径定理得到是线段的垂直平分线，由弦、弧的关系等量代换，结合三角形三边数量关系即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，作交于点，交于点， ∴，且， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， 故答案为：． 【变式训练1】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，是的直径，是弦，，则下列结论不一定正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题重点考查垂径定理、线段的垂直平分线的性质等知识，正确理解和应用垂径定理是解题的关键． 由是的直径，是弦，，根据垂径定理得，可判断不符合题意；连接、，因为垂直平分，而但不一定平分，所以，而与不一定相等，可判断B符合题意，不符合题意；由、都是的半径，得，可判断不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：是的直径，是弦，， ， 故A不符合题意； 连接、， 垂直平分，而但不一定平分， ，而与不一定相等， 故B符合题意，不符合题意； 、都是的半径， ， 故C不符合题意， 故选：B． 【变式训练2】（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，在中，弦垂直平分半径． (1)求的度数； (2)若的半径为，求弦的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是垂径定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键． （1）由已知条件得出，证出，得出，证出是等边三角形，即可得出结果； （2）由垂径定理得出，由勾股定理得出方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：弦垂直平分半径． ，， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：的半径为， 垂直平分半径， ，， 在中，， 即， 解得：或（舍去）， 弦的长为． 考点五 垂径定理的推论 【典例精讲】（2026九年级上·四川南充·专题练习）下列说法中，错误的是（   ） A．平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦 B．平分弧的直径垂直于这条弧所对的弦 C．垂直于弦的直线必经过圆心 D．弦的垂直平分线必经过圆心 【答案】C 【分析】根据垂径定理及其推论逐一判断说法正误即可． 【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，说法正确，该选项不符合题意； B、平分弧的直径垂直于这条弧所对的弦，说法正确，该选项不符合题意； C、垂直于弦的直线不一定经过圆心，原说法错误，该选项符合题意； D、弦的垂直平分线必经过圆心，说法正确，该选项不符合题意． 【变式训练1】（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理的推论、勾股定理，熟知垂径定理及其推论是解答的关键． 连接，，，根据垂径定理的推论得到，，，则O、D、C共线，设半径，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，， ∵C，D分别是和弦的中点，， ∴，，， ∴O、D、C共线， 设半径，则， 由勾股定理得，即 解得，故的半径是5， 故答案为：5． 【变式训练2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆的直径是，点和点均是半圆上一点，连接和交于点，若，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理；根据题意可得，进而根据勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：∵圆的直径是，， ∴，， 在中， ∴， 故选：A． 考点六 垂径定理的实际应用 【典例精讲】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图①是某商家的充气拱门广告牌，图②是该广告牌的示意图，拱门可看作同心圆的一部分，其中内跨度米，拱门内部分圆高度米，求该拱门内圆所在圆的半径． 【答案】米 【分析】本题考查圆的知识，解题的关键是掌握垂径定理，勾股定理，进行解答，连接，设圆的半径为，米根据勾股定理，则，即可． 【详解】连接， ∵， ∴米， 设圆的半径为， ∴米， 在中，， ∴，解得：， ∴的半径为米． 【变式训练1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，某学校的石拱门顶部是拱门模型，跨度（弧所对的弦的长）为6米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米，则该拱门模型的半径为（   ） A．米 B．4米 C．米 D．5米 【答案】A 【分析】设拱门的圆心为O，连接，设拱门的半径为r，由垂径定理可得米，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求出拱门的半径r． 【详解】解：如图，设拱门的圆心为O，连接， 设拱门的半径为r， 由题意可得：米，米，点O，D，C三点共线， 米， ， ， ， ． 【变式训练2】（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图1，唐代李皋发明了桨轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，半径于点D，则该桨轮船的轮子半径为________米． 【答案】5 【分析】连接，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，设该桨轮船的轮子半径为，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得． 故该桨轮船的轮子半径为． 考点七 利用弧、弦、圆心角的关系求解 【典例精讲】已知锐角，如图： （1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接； （2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交弧于点，； （3）连接，． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） A． B．若 则 C． D． 【答案】D 【分析】连接，由作法得，则根据圆周角、弧、弦的关系可对A进行判断；当时，为等边三角形，则，于是根据圆周角、弧、弦的关系可对B进行判断；根据圆周角定理直接对C进行判断；根据两点之间线段最短可对D进行判断． 【详解】解：连接， 由作法得， ， 所以A正确； ， 当时，为等边三角形， ， ， 所以B正确； ， ， ， 所以C正确； ， ， 所以D错误． 【变式训练1】（24-25九年级上·北京·期中）如图，在中，点是的中点，，则等于________度． 【答案】 【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，根据等腰三角形性质得出，代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵点是的中点，即， ∴． 【变式训练2】（2026九年级上·四川南充·专题练习）如图，在中，是弦，半径，点是弧的中点，与交于点．若，求弦的长度______． 【答案】 【分析】连接和，根据，可得，结合，可得，． 【详解】解：如图所示，连接和． ∵点是弧的中点， ∴． ∴． 又∵ ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴． 考点八 利用弧、弦、圆心角的关系求证 【典例精讲】（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）如图，与关于直线对称，为圆心，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若为的中点且，求⊙的半径． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】本题考查了圆的垂径定理、轴对称的性质、菱形的判定定理以及勾股定理的应用，关键是结合轴对称性质得到线段的等量关系，利用垂径定理确定弦的中点，再通过设未知数结合勾股定理建立方程求解线段长度． （1）先根据轴对称的性质得到、，再由过圆心且，根据垂径定理推出，进而得到，由此证得四边形的四条边相等，依据四条边相等的四边形是菱形完成证明； （2）先由垂径定理求出的长度，结合为中点设，进而用表示出和半径，再在中根据勾股定理建立关于的方程，求解出的值后，代入计算即可得到⊙的半径． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴，； ∵为的圆心，， ∴， ∴； ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：设⊙的半径为， ∵，， ∴． ∵为的中点， ∴， 设，则． ∵与关于对称， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得， 即，解得． ∴．故⊙的半径为． 【变式训练1】（25-26九年级上·湖北荆州·期末）如图，于点，于点，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、圆心角与弧的关系，证明是解答的关键． 利用定理证明，得到，再根据同圆中圆心角相等则所对的弧相等即可． 【详解】解：连接， ，， ， ， ， ． 【变式训练2】（25-26九年级上·新疆巴州·期末）如图，A，B，C，D是上的四个点，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】该题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，全等三角形的判定． （1）根据得出，再根据等弧所对的圆心角相等即可证明； （2）根据得出，根据得出，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【基础通关能力提升】 1．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，以点为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点P作于D，则A，B两点一定关于对称．即可求解． 【详解】解：过点P作于D， 则D的坐标是． 点的坐标为， ． ． ，B两点一定关于对称， ． ． 则点A的坐标是． 故选∶B． 2．（25-26九年级上·江西赣州·期末）把半径为的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过圆心O作于点，交于点N，连接，根据勾股定理求出，再由垂径定理求解即可． 【详解】解：如图，过圆心O作于点，交于点N，连接， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ∵过圆心O，， ． 3．（2026九年级上·四川南充·专题练习）如图是的直径，弦与相交于点，且，，，则的长为（   ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】连接，过点作于点，先求出半径为，再证明是等腰直角三角形，得到，最后利用勾股定理和垂径定理求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，， 弦， ． 4．（24-25九年级上·山西朔州·期中）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量水杯杯口的直径？学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，，则该水杯杯口的直径为________． 【答案】 【分析】作辅助线构造直角三角形，设圆心到其中一条弦的距离为未知数，利用勾股定理建立方程求出半径，进而求得直径． 【详解】解：如图，设杯口所在圆的圆心为，半径为过点作于点，交于点，连接，， 纸条上下边沿平行，且， ， 由垂径定理可知，为中点，为中点， ， ， 由题意及图形可知，圆心在弦，之间，且为纸条宽度， ，即 ， 设 ，则 ， 在中，，即， 在中，，即， ， 解得， ， 水杯杯口的直径为． 5．（2026·陕西西安·一模）如图，，为的直径，点为的中点，连接，，若，则的度数为_________． 【答案】 【分析】连接，首先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，进而可知，再根据“弧、弦和圆心角的关系”可得，然后在中，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 6．（24-25九年级上·江西上饶·期末）如图，中，，，，以点为圆心，为半径的圆与，分别交于点D，E，则弦的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 作于，则，由勾股定理得，通过，从而求出，然后通过勾股定理得，然后代入即可求出的长． 【详解】解：如图，作于， ∴， 在中，由勾股定理，得 ∵， 得， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，是的直径，弦于点E，连接，若，，则的面积为_______ ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、三角形面积公式等知识，首先根据垂径定理可得，再在中，由勾股定理解得的长度，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵是的直径，，，且， ∴，， ∴在中，， ∴． 故答案为：30． 8．（24-25九年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图是我国古代园林的圆形拱门，它是的一部分，已知拱门的地面宽度，线段是过圆心且垂直于于点M，，求构成该拱门的的半径． 【答案】构成该拱门的的半径为． 【分析】根据垂径定理求出，设的半径为，则，，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，线段是过圆心且， ∴， 设的半径为，则， ∴， 在中，，即， 解得：， ∴构成该拱门的的半径为． 9．（24-25九年级上·北京·期中）如图，是的直径，弦于点E，，若，求的长． 【答案】 【分析】连接，根据是的直径，弦于点E得，根据得，根据得，根据得，在中，根据勾股定理得，计算得，即可得． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径，弦于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，根据勾股定理得， ， ， ， ， ∴． 10．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，拱门的上部是一段圆弧，其圆心O在线段上，点E是弧的中点，下部是宽为，高为的长方形，已知拱门最高处E距离地面的高度为，于点P，连接．求上部圆弧的半径的长． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，由题意得圆心在上，，设，，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：由题意得圆心O在上， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∴上部圆弧的半径是． 【思维拓展拔尖训练】 1．（2025·浙江·二模）如图，内接于为的直径，点D，E分别为上的动点（不与点A，点B，点C重合），且，F为的中点，分别连接，若，则的最大值为（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】如图1，过点作于，以点为圆心，以为半径作圆，由勾股定理得：，为的中位线，当点，在上运动时，点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，根据“两点之间线段最短”得：，如图2：此时，即的最大值为4，由此即可求解． 【详解】解：如图1，过点作于，以点为圆心，以为半径作圆， ∵为的直径， ∴， 在中，，，由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴为的中位线， ∴，即弦的弦心距， ∵点为的中点， ∴为弦的弦心距， ∵， ∴， ∴当点，在上运动时，点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点在的延长线上时，为最大， 如图2：此时，即的最大值为4， 故选：B． 2．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为2的圆与轴交于两点，与轴交于两点，为上一动点，于点，则点在上运动的过程中，线段的长的最小值为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】连接，过点作于点，连接，根据斜边中线得到，根据垂径定理和勾股定理得到，再根据得到当点在的延长线上时，的长最小，最小值为． 【详解】解：连接，过点作于点，连接， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵中， ， ， ， ， ∵， ∴当点在的延长线上时，的长最小，最小值为． 故选C． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，为圆的弦，是弧的中点，连结并延长，是的半径，作，交的延长线于点，连结．给出下列结论：①若，则；②若，则．其中正确的是（） A．①，②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①，②都错 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的判定与性质，平行线的判定，掌握知识点是解题的关键． 连接交于点F，则．由，根据垂径定理得垂直平分，，则，所以，由，得，推导出．若，可证明，则，可判断①正确；若，则，可证明，得，所以可判断②正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接交于点F，如图 则， ∴， ∵C是弧的中点， ∴，垂直平分， ∴，， ∴， ∵，交的延长线于点D， ∴， ∴， 若，则， ∴， ∴， ∴，故①正确； 若， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，故②正确． 故选：A． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，是的外接圆，若，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，算术平方根．作于点，作交的延长线于点，作于点，证明四边形是矩形，设，，证明是等腰直角三角形，求得，利用三角形面积公式，求得，，据此求解即可． 【详解】解：作于点，作交的延长线于点，作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 设，， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴，是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍）， ∴， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图，于点，过，，三点作圆弧，其圆心为，作于点，于点．若，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识．连接，设，，得到，，．根据，，，得到四边形为矩形，，，进而求出，根据勾股定理得到，，进而得到，求出，即可求出． 【详解】解：如图，连接， 设， ∵， ∴， ∴，． ∵，，， ∴，． ∴四边形为矩形，， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 6．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，、，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，以为直径在第一象限作半圆，交线段于、，则线段的最大值为_____． 【答案】// 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、坐标与图形、直角三角形斜边上的中线的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 过的中点G作的垂线与交于点M，过点O作于H，连接，先求出，进而求出，再根据等面积法求出，由直角三角形斜边中线的性质得到，由垂径定理得到，由，可知当最小时，最大，即最大，再由，得到，则，即可得到． 【详解】解：过的中点G作的垂线与交于点M，过点O作于H，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，最大，即最大， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，矩形中，是中点．以为直径的半圆交于，两点，若，，则的长度是______． 【答案】 【分析】设的中点为点，连接、，过点作，，可证四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，根据矩形的性质和垂径定理可以求出，利用三角形中位线定理可以求出，即可证明四边形是正方形，根据正方形的性质可知，利用勾股定理可以求出，即可知，再利用勾股定理可得，根据垂径定理可知． 【详解】解：如下图所示，设的中点为点，连接、，过点作，交于点， 则有，，， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ，，， ， ， ， ∵点是的中点，点为的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·云南昭通·期末）已知和分别是的两条动弦（均不过圆心），圆心到的距离分别为． (1)如图，如果，则___________（填“>”或“=”或“<”）； (2)若的半径为，且满足，请判断线段的长度与的大小关系，并说明理由； (3)若的半径为，连接，求线段长度的取值范围． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，三角形三边关系： （1）连接，根据垂径定理得出，再得出，在中，，在中，，进而可得出； （2）在中，，在中，，再证明，在中，，得出，进而推出，即可得出答案； （3）先求出再得出，，分情况三点共线时，（i）若在圆心的同侧时，取得最小值；（ii）若在圆心的异侧时，取得最大值；情况三点不共线时，在中，根据三角形三边的关系得，进而可得出答案 【详解】（1）解：． 理由如下：如图所示，连接， ， ， ， 又， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ； （2）的半径为， 在中，， 在中，， ， ， ， 在中，， 又， ， ， ， ； （3）， 是的中点，， ， 在中， ， 由勾股定理得， 同理可得， 情况三点共线时， （i）若在圆心的同侧时，取得最小值， 此时的最小值为； （ii）若在圆心的异侧时，取得最大值， 此时的最大值为； 情况三点不共线时， 在中，根据三角形三边的关系得，即有， 综上可知，线段长度的取值范围为． 9．（25-26九年级上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，对于点P、点M和图形G，给出如下定义：在图形G上存在点Q，使得点M是线段的中点（P，Q不重合），则称点P为图形G关于点M的 “映射点”． 已知正方形的顶点为，，，． (1)已知点M的坐标为，在点，，中，正方形关于点M的映射点是_____________； (2)已知点，若x轴上存在正方形关于点M的映射点，直接写出m的取值范围； (3)已知点，点M在半径为1的上，若上存在正方形关于点M的映射点，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)和 (2) (3) 【分析】本题考查了直角坐标系中的图形，正方形和圆的基本性质以及数形结合思想，理解新定义是解题的关键．（1）根据“映射点”的定义，逐一判断即可；（2）根据“映射点”的定义，设映射点，点在正方形内，点为线段的中点，根据中点坐标公式得，再根据，解出不等式即可；（3）根据题意找出与正方形最远时的两种临界状态即可求出t的取值范围． 【详解】（1）解：如图1，∵正方形的顶点为，，，， ∴正方形的的范围是，的范围是． 根据题意，对于点，中点，由中点公式，，得对应点的横坐标为，的纵坐标为， ∴点． ∴点在正方形内，且，因此是映射点． 对于点，中点，由中点公式得对应点的横坐标为，的纵坐标为， ∴点． ∴不在正方形内，因此不是映射点． 对于点，中点，由中点公式得对应点的横坐标为，的纵坐标为， ∴点． ∴点在正方形的边界上，且，因此是映射点． 故答案为：和． （2）解：如图2，设映射点在轴上，坐标为．由定义，存在点在正方形内，使得点为线段的中点． 由中点公式得：， 解得． 因为点在正方形内，所以满足：， 代入，得 解得． 故答案为：． （3）解：的圆心为，半径为．若上存在点是正方形关于点的映射点，则存在点在正方形内，使得点为线段的中点，且点、均在上． 由中点公式得，． ∵、在上，∴． ∴的最大值为2，∴的最大值为2， 如图3，此时的点离正方形左边最远，即，上存在正方形关于点M的映射点， 如图4，此时的点离正方形右边最远，即，上存在正方形关于点M的映射点， 综上，的取值范围是． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，以为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点、、、． (1)求证：； (2)连接、，如果，，，求小圆半径的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）过点作于点，由垂径定理得，，进而即可求证； （）连接、，可得，，即得，设，则，，利用勾股定理求出的值进而即可求解； 本题考查了垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， 即； （2）解：如图，连接、， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设，则，， 在中，∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 即小圆半径的值为． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『预习篇』 第十一讲 圆的对称性「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•九年级上册（第3章 圆）】 （思维导图+新知学习+八大考点讲练+难度分层练 共44题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材九年级上册内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 圆的对称性 1、 圆的旋转不变性：一个圆绕圆心旋转任意角度后，都能与原来的图形重合. 2、 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心. 3、 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线是它的对称轴. 【要点提示】（1）圆是平面内嗾一具有旋转不变性的图形；（2）圆的对称轴不能说是它的直径，因为直径是线段，可以说成：直径所在的直线是圆的对称轴. 知识点二 圆心角、弧、弦之间的关系 1. 圆心角定义：如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等． 　　在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 【要点提示】(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 【解题技巧点拨】在同圆或等圆中，要证明弧、弦、圆心角中一组量相等，通常将其转化到证明另外两组量中的任意一组量相等，一般方法有多种，而连接半径或作垂直于弦的直径构造等弧、等弦、相等圆心角是常用来作辅助线的方法. 知识点三 垂径定理 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【要点提示】(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论；(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 3垂径定理的拓展：根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1） 平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 【要点提示】在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 【解题技巧点拨】运用垂径定理解题或证明时，常常“连半径，作垂线，构造直角三角形”，通过勾股定理求值或证明. 考点一 利用垂径定理求值 【典例精讲】（2024·四川成都·二模）如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【变式训练1】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）的半径为，是的两条弦，，，．则和之间的距离是_____________ ． 【变式训练2】（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，在半径为的中，，弦于点，则等于_________． 考点二 利用垂径定理求平行弦问题 【典例精讲】（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）已知半径是13，弦，，，则与之间距离为（    ） A．7 B．17 C．7或17 D．无法计算 【变式训练1】（25-26九年级上·河南新乡·阶段检测）已知的半径为，弦，且，，则与之间的距离为______． 【变式训练2】（25-26九年级上·广东广州·期中）若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 考点三 利用垂径定理求同心圆问题 【典例精讲】（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【变式训练1】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 【变式训练2】（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 考点四 利用垂径定理求解其他问题 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽黄山·阶段检测）如图，在中，，则___________．（填“”“”或“”） 【变式训练1】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，是的直径，是弦，，则下列结论不一定正确的是( ) A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，在中，弦垂直平分半径． (1)求的度数； (2)若的半径为，求弦的长． 考点五 垂径定理的推论 【典例精讲】（2026九年级上·四川南充·专题练习）下列说法中，错误的是（   ） A．平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦 B．平分弧的直径垂直于这条弧所对的弦 C．垂直于弦的直线必经过圆心 D．弦的垂直平分线必经过圆心 【变式训练1】（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 【变式训练2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆的直径是，点和点均是半圆上一点，连接和交于点，若，则（    ） A．2 B．3 C． D． 考点六 垂径定理的实际应用 【典例精讲】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图①是某商家的充气拱门广告牌，图②是该广告牌的示意图，拱门可看作同心圆的一部分，其中内跨度米，拱门内部分圆高度米，求该拱门内圆所在圆的半径． 【变式训练1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，某学校的石拱门顶部是拱门模型，跨度（弧所对的弦的长）为6米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米，则该拱门模型的半径为（   ） A．米 B．4米 C．米 D．5米 【变式训练2】（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图1，唐代李皋发明了桨轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，半径于点D，则该桨轮船的轮子半径为________米． 考点七 利用弧、弦、圆心角的关系求解 【典例精讲】已知锐角，如图： （1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接； （2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交弧于点，； （3）连接，． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） A． B．若 则 C． D． 【变式训练1】（24-25九年级上·北京·期中）如图，在中，点是的中点，，则等于________度． 【变式训练2】（2026九年级上·四川南充·专题练习）如图，在中，是弦，半径，点是弧的中点，与交于点．若，求弦的长度______． 考点八 利用弧、弦、圆心角的关系求证 【典例精讲】（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）如图，与关于直线对称，为圆心，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若为的中点且，求⊙的半径． 【变式训练1】（25-26九年级上·湖北荆州·期末）如图，于点，于点，若，求证：． 【变式训练2】（25-26九年级上·新疆巴州·期末）如图，A，B，C，D是上的四个点，且．求证： (1)； (2)． 【基础通关能力提升】 1．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，以点为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江西赣州·期末）把半径为的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（2026九年级上·四川南充·专题练习）如图是的直径，弦与相交于点，且，，，则的长为（   ） A． B． C．6 D． 4．（24-25九年级上·山西朔州·期中）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量水杯杯口的直径？学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，，则该水杯杯口的直径为________． 5．（2026·陕西西安·一模）如图，，为的直径，点为的中点，连接，，若，则的度数为_________． 6．（24-25九年级上·江西上饶·期末）如图，中，，，，以点为圆心，为半径的圆与，分别交于点D，E，则弦的长为________． 7．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，是的直径，弦于点E，连接，若，，则的面积为_______ ． 8．（24-25九年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图是我国古代园林的圆形拱门，它是的一部分，已知拱门的地面宽度，线段是过圆心且垂直于于点M，，求构成该拱门的的半径． 9．（24-25九年级上·北京·期中）如图，是的直径，弦于点E，，若，求的长． 10．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，拱门的上部是一段圆弧，其圆心O在线段上，点E是弧的中点，下部是宽为，高为的长方形，已知拱门最高处E距离地面的高度为，于点P，连接．求上部圆弧的半径的长． 【思维拓展拔尖训练】 1．（2025·浙江·二模）如图，内接于为的直径，点D，E分别为上的动点（不与点A，点B，点C重合），且，F为的中点，分别连接，若，则的最大值为（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．5 2．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为2的圆与轴交于两点，与轴交于两点，为上一动点，于点，则点在上运动的过程中，线段的长的最小值为（　　） A． B．1 C． D． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，为圆的弦，是弧的中点，连结并延长，是的半径，作，交的延长线于点，连结．给出下列结论：①若，则；②若，则．其中正确的是（） A．①，②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①，②都错 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，是的外接圆，若，，，则______． 5．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图，于点，过，，三点作圆弧，其圆心为，作于点，于点．若，则的值为__________． 6．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，、，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，以为直径在第一象限作半圆，交线段于、，则线段的最大值为_____． 7．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，矩形中，是中点．以为直径的半圆交于，两点，若，，则的长度是______． 8．（25-26九年级上·云南昭通·期末）已知和分别是的两条动弦（均不过圆心），圆心到的距离分别为． (1)如图，如果，则___________（填“>”或“=”或“<”）； (2)若的半径为，且满足，请判断线段的长度与的大小关系，并说明理由； (3)若的半径为，连接，求线段长度的取值范围． 9．（25-26九年级上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，对于点P、点M和图形G，给出如下定义：在图形G上存在点Q，使得点M是线段的中点（P，Q不重合），则称点P为图形G关于点M的 “映射点”． 已知正方形的顶点为，，，． (1)已知点M的坐标为，在点，，中，正方形关于点M的映射点是_____________； (2)已知点，若x轴上存在正方形关于点M的映射点，直接写出m的取值范围； (3)已知点，点M在半径为1的上，若上存在正方形关于点M的映射点，直接写出t的取值范围． 10．（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，以为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点、、、． (1)求证：； (2)连接、，如果，，，求小圆半径的值． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $