（预习篇）第十二讲 圆周角（暑假培优讲义）【思维导图+知识卡片+新知学习+七大题型讲练+难度分层练 共41题】-2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接讲义

2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『预习篇』 第十二讲 圆周角「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•九年级上册（第3章 圆）】 （思维导图+新知学习+七大考点讲练+难度分层练 共41题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材九年级上册内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 圆周角的定义 1、顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 2、圆心角与圆周角的区别与联系 知识点二 圆周角定理及其推论 1、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 2、推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. （2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. （3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图） 3、推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 4、推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 5、圆内接四边形：一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.如右图：四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O是四边形的外接圆. 6、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补. 如右图：∵四边形 ABCD 为⊙O的内接四边形， ∴ ∠A +∠C = 180°，∠B +∠D = 180°. 7、如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 推论①：圆的内接四边形的对角互补. 推论②：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角. 注意：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据． 知识点三 解题方法与技巧 1.在解答圆周角有关问题时，如果题目中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形结合勾股定理来求解相关角度，长度等问题. 2.解决圆周角和圆心角的计算和证明问题时,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理. 3.圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，所以掌握相对应的性质是解题的关键！． 4.圆内接四边形的对角互补性质在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化，比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等． 5.学习圆心角和圆周角后要学会相关辅助线的做法，比如见直径要想到构造圆周角等 考点一 圆周角的概念辨析及简单运算 【典例精讲】（25-26九年级上·北京房山·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点，则∠ABC的大小为____；若坐标轴上存在点F（F与C不重合），使得，则点F的坐标为_____． 【变式训练1】（25-26九年级上·福建厦门·期中）下列图形中的角是圆周角的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2023·福建厦门·模拟预测）如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 考点二 圆周角定理 【典例精讲】（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2026·陕西渭南·一模）如图，、、都是的半径，连接、．若，，则的度数为______°． 【变式训练2】（25-26九年级上·湖南株洲·期末）如图，点在中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 考点三 同弧或等弧所对的圆周角相等 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·阶段检测）为的外接圆，，为的直径，若，则为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26九年级上·广西钦州·期末）如图，是的内接三角形，点在上，若，则的度数为_____． 【变式训练2】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，已知为的直径，，为上两点，且平分，连接，，若，则的度数为________． 考点四 半圆(直径)所对的圆周角是直角 【典例精讲】（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，是的直径，，是的弦，点在上，且．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，是的直径，弦交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26九年级上·山东滨州·期末）如图，为的直径，，点是上的两点，则的大小为（    ） A． B． C． D． 考点五 90度的圆周角所对的弦是直径 【典例精讲】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，经过原点，且与轴交于点，点、在上，已知，，则的半径为__________． 【变式训练1】（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，是边长为6的正方形内一动点，且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点是的中点，连接，则的最大值为___________． 【变式训练2】（25-26九年级上·北京顺义·期末）如图，是的直径，，是上的两点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 考点六 已知圆内接四边形求角度 【典例精讲】（24-25九年级上·山西朔州·期中）如图，为四边形的外接圆，E为延长线上一点．若，则的度数为________． 【变式训练1】（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，、是锐角的高，连接．求证：请用隐圆解决问题 【变式训练2】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，四边形是的内接四边形，已知，则______． 考点七 求四边形外接圆的直径 【典例精讲】（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，四边形的四个顶点均在上，，若是的中点，且，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26九年级上·浙江·阶段检测）如图，在正方形内有一折线段，其中，，并且，，，求正方形的外接圆半径． 【变式训练2】（25-26九年级上·福建莆田·期中）如图，在四边形中，，，，求的最大值为______． 【基础通关能力提升】 1．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，四边形内接于的半径为，则弦的长为（     ） A．3 B． C． D．4 2．（2026·山东淄博·一模）如图，四边形的顶点在上，点在的延长线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）如图，是的直径，、是上的两点，连接，，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·广东中山·阶段检测）如图，内接于，连接，，作交于点，若，则的度数为________ 5．（25-26九年级上·山东菏泽·期末）如图，四边形内接于，若，则的度数是_______． 6．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，P是扇形内部的一点(不含边界)，连接．若，则的取值范围是__________________． 7．（2025·北京密云·一模）如图，为直径，为的一条弦，于E，连接，．，则的大小为 _______ °． 8．（25-26九年级上·广东中山·期末）如图，在中，为的直径，C为上一点，为的平分线交于点D，连接交于点E，过点A作的切线交延长线于点F，过点D作，交于点G． (1)求证：； (2)连接，若，请判断四边形的形状，并证明你的结论； (3)若，，求的长． 9．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，是的直径，点C，D是上的点，且，与相交于点E，连接． (1)求证：． (2)若，求的长． 10．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）已知：如图，四边形是的内接四边形，，求证：（不允许用全等来证明） 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26九年级上·安徽池州·期末）如图，是的一条弦，连接，交于点C，连接，若，度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，是的直径，等腰三角形的底边、腰分别交于点，，其中弦．连接，，设度，度，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，等腰直角内接于半圆是上一点，沿弦翻折后与弦相交于点．若是的中点，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图，是的直径，，点C在上，，D为弧的中点，P是直径上一动点，则的最小值为 ______． 5．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在矩形中，为上一动点，为的中点，于点，连接，则的最小值为_____． 6．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，是的直径，点B，C在上，，，若，则的长为________． 7．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，内接于，为的直径，，，，为上的动点（不与点，，重合），且，为的中点，分别连接，，则的最小值为_________． 8．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，若所在平面内有一点D，满足，，利用尺规求作点D（不写画法，保留作图痕迹，作图痕迹加粗加黑） 9．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，四边形内接于，是的直径，点C为的中点，连接．已知，． (1)求证：； (2)求弦的长． 10．（25-26九年级上·四川广元·期末）如图，在图中，，于点． 初步探究：（1）求的长． 尝试提升：（2）以为边向上作等腰直角，，求线段的长． 拓展提升：（3）点在过，，的圆上，且位于直线的下方，试探究，，之间的数量关系． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『预习篇』 第十二讲 圆周角「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•九年级上册（第3章 圆）】 （思维导图+新知学习+七大考点讲练+难度分层练 共41题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材九年级上册内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 圆周角的定义 1、顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 2、圆心角与圆周角的区别与联系 知识点二 圆周角定理及其推论 1、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 2、推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. （2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. （3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图） 3、推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 4、推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 5、圆内接四边形：一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.如右图：四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O是四边形的外接圆. 6、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补. 如右图：∵四边形 ABCD 为⊙O的内接四边形， ∴ ∠A +∠C = 180°，∠B +∠D = 180°. 7、如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 推论①：圆的内接四边形的对角互补. 推论②：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角. 注意：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据． 知识点三 解题方法与技巧 1.在解答圆周角有关问题时，如果题目中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形结合勾股定理来求解相关角度，长度等问题. 2.解决圆周角和圆心角的计算和证明问题时,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理. 3.圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，所以掌握相对应的性质是解题的关键！． 4.圆内接四边形的对角互补性质在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化，比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等． 5.学习圆心角和圆周角后要学会相关辅助线的做法，比如见直径要想到构造圆周角等 考点一 圆周角的概念辨析及简单运算 【典例精讲】（25-26九年级上·北京房山·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点，则∠ABC的大小为____；若坐标轴上存在点F（F与C不重合），使得，则点F的坐标为_____． 【答案】 90 或或 【分析】由勾股定理及其逆定理可得；先说明点A、B、C、F四点共圆，然后分三种情况求解即可． 【详解】解：由题可得，，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形，； ∵， ∴点A、B、C、F四点共圆， 如图：作的外接圆， ， 为直径，此时， 设的中点为K，则， ∵ ∴，即， 当点F在x轴上时，设， 则，解得或（与点B重合，舍去）， ； 当点F在y轴上时，设， 则， 解得或（与点C重合，舍去）， ； 当F不在圆上时，在点B右侧也有一点F满足题意，即，此时为等腰三角形， ． 综上，点F坐标为或或． 【变式训练1】（25-26九年级上·福建厦门·期中）下列图形中的角是圆周角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角的定义，圆周角是指顶点在圆上，并且两条边都与圆相交的角，据此断即可． 【详解】解：根据圆周角的定义可知，选项B的角是圆周角， 故选：B． 【变式训练2】（2023·福建厦门·模拟预测）如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆周角的定义，根据圆周角的定义解答即可，熟知顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角是解题的关键． 【详解】解：所对的圆周角是与， 故选：D． 考点二 圆周角定理 【典例精讲】（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，．求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，， 是正五边形， ， ． 【变式训练1】（2026·陕西渭南·一模）如图，、、都是的半径，连接、．若，，则的度数为______°． 【答案】 80 【详解】解：， . ， ． 【变式训练2】（25-26九年级上·湖南株洲·期末）如图，点在中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴． 考点三 同弧或等弧所对的圆周角相等 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·阶段检测）为的外接圆，，为的直径，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，等弦对等弧，根据直径所对的圆周角为直角，得到，三角形的内角和求出，等弦对等弧，得到，进而得到，进而求出，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【变式训练1】（25-26九年级上·广西钦州·期末）如图，是的内接三角形，点在上，若，则的度数为_____． 【答案】/62度 【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 【变式训练2】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，已知为的直径，，为上两点，且平分，连接，，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】由直径所对的圆周角是直角得，由同弧所对的圆周角相等得，由直角三角形两锐角互余得，由平分得，最后由同弧所对的圆周角相等得． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 考点四 半圆(直径)所对的圆周角是直角 【典例精讲】（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，是的直径，，是的弦，点在上，且．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆周角定理得，则，然后由平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． 【变式训练1】（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，是的直径，弦交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据对顶角相等得出，已知，利用三角形内角和定理求出的度数，连接，因为是的直径，由圆周角定理可知，故可得出的度数，进而得出结论． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 【变式训练2】（25-26九年级上·山东滨州·期末）如图，为的直径，，点是上的两点，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直径所对的圆周角是得出，根据直角三角形的两个锐角互余，结合圆周角定理计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，为的直径， ， ， ． 考点五 90度的圆周角所对的弦是直径 【典例精讲】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，经过原点，且与轴交于点，点、在上，已知，，则的半径为__________． 【答案】 【分析】先根据圆内接四边形的性质得出，再利用三角形的内角和定理得出，进一步得出，最后利用勾股定理求值即可． 【详解】解： 经过原点，且与轴交于点， ． 四边形是圆内接四边形， ． ， ，为的直径， ， ． 在中， ，且为的直径， 的半径为． 【变式训练1】（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，是边长为6的正方形内一动点，且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点是的中点，连接，则的最大值为___________． 【答案】/ 【分析】连接，证明，则，则点F在以为直径的圆H上，当G、H、F共线时，最大，即可求解． 【详解】解：连接，取的中点H， 由旋转的性质知，， ∵， ∴， ∴， 则点F在以为直径的圆H上，连接、， 当G、H、F共线时，最大， 则，， 则的最大值为． 【变式训练2】（25-26九年级上·北京顺义·期末）如图，是的直径，，是上的两点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据是直径得出，然后利用圆周角定理的推论得出，最后利用直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】∵是的直径， ． ∵和都是所对的圆周角， ∴， ． 考点六 已知圆内接四边形求角度 【典例精讲】（24-25九年级上·山西朔州·期中）如图，为四边形的外接圆，E为延长线上一点．若，则的度数为________． 【答案】/80度 【详解】解：∵为四边形的外接圆， ∴， ∵， ∴． 【变式训练1】（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，、是锐角的高，连接．求证：请用隐圆解决问题 【答案】见解析 【分析】取的中点M，连接、，只要证明B、C、D、E四点共圆，可得，，即可推出．解答本题的关键是学会证明四点共圆，利用圆的性质解决有关问题． 【详解】证明：取的中点M，连接、，如图， 、是锐角的高， ， 在中，M是中点， ， 在中，， ， 四点共圆， ， ， ． 【变式训练2】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，四边形是的内接四边形，已知，则______． 【答案】125 【分析】由圆内接四边形的性质，即圆内接四边形的对角互补，由此求解即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴． 考点七 求四边形外接圆的直径 【典例精讲】（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，四边形的四个顶点均在上，，若是的中点，且，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，利用方程解决问题，熟练掌握相关知识是解题的关键；连接，设的半径为，根据垂径定理得，列关于半径的方程求解即可． 【详解】解：连接，设的半径为， 则，， ，， ， 是的中点， ， ， 在中，， 解得， 即的半径为， 故选：C． 【变式训练1】（25-26九年级上·浙江·阶段检测）如图，在正方形内有一折线段，其中，，并且，，，求正方形的外接圆半径． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，外接圆的特点，以及勾股定理的应用，通过平移线段构造矩形，将正方形外接圆直径转化为直角三角形的斜边是解题关键． 通过平移线段构造矩形，将分散线段整合为直角三角形的边，用勾股定理求出正方形对角线，再结合正方形外接圆直径与对角线的关系，得到外接圆半径． 【详解】解：如图，平移至，连接，， 、， ， ，且， 四边形是矩形， ，，，， 在中，，即正方形对角线， 正方形的外接圆直径等于其对角线长， 正方形外接圆半径为：． 【变式训练2】（25-26九年级上·福建莆田·期中）如图，在四边形中，，，，求的最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查四点共圆的性质、垂径定理等性质，解题的关键是判断出四点共圆以及圆内最长的弦为直径． 根据角度关系判断出四点共圆，而为圆周角，为圆周角所对的弦，根据垂径定理等性质可求出圆的半径，最终求出的最大值． 【详解】解：在四边形中，，， ∴， ∴四点共圆，设圆心为O，过点O作交于点E，连接、如图： ∵圆周角， ∴圆心角， ∴为顶角的等腰三角形， ∴为锐角的直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴，由勾股定理可得方程，解得， 为圆内的弦，而圆内长度最大的弦为直径，故． 故答案为：． 【基础通关能力提升】 1．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，四边形内接于的半径为，则弦的长为（     ） A．3 B． C． D．4 【答案】A 【分析】连接，先由圆内接四边形对角互补求出，再由圆周角定理求出圆心角，再由径、弦、弧关系得出，然后借助圆的半径相等证得是等边三角形，得到弦的长等于圆的半径即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形内接于， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形，则， 的半径为， ． 2．（2026·山东淄博·一模）如图，四边形的顶点在上，点在的延长线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在优弧上取点D，连接，得，即得的度数． 【详解】解：在优弧上取点D，连接， ∵，且， ∴ ， ∴． 3．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）如图，是的直径，、是上的两点，连接，，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用同弧所对的圆周角相等，求出的度数；再根据直径的性质得到是直角三角形，最后通过直角三角形两锐角互余计算出的度数． 【详解】解：如图，连接C． ∵和都是中弧所对的圆周角， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴在中，． 4．（25-26九年级上·广东中山·阶段检测）如图，内接于，连接，，作交于点，若，则的度数为________ 【答案】/24度 【分析】先由圆周角定理得到，再由等边对等角和三角形内角和定理得到，根据平行线的性质求解． 【详解】解；∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 5．（25-26九年级上·山东菏泽·期末）如图，四边形内接于，若，则的度数是_______． 【答案】/度 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴ 6．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，P是扇形内部的一点(不含边界)，连接．若，则的取值范围是__________________． 【答案】 【分析】延长交于，根据圆周角定理，根据三角形的外角的性质可得，得出，当点在上时，得出，即可求解． 【详解】解：如图1，延长交于，连接， ， ， ， ， 如图，当点在上时， ∵， ∴ ∵P是扇形内部的一点(不含边界)， ∴ ， 的取值范围是， 故答案为：． 7．（2025·北京密云·一模）如图，为直径，为的一条弦，于E，连接，．，则的大小为 _______ °． 【答案】70 【分析】连接，根据圆周角定理求出的度数，由可得，可得，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 8．（25-26九年级上·广东中山·期末）如图，在中，为的直径，C为上一点，为的平分线交于点D，连接交于点E，过点A作的切线交延长线于点F，过点D作，交于点G． (1)求证：； (2)连接，若，请判断四边形的形状，并证明你的结论； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形ACDO为菱形，证明见解析 (3)4 【分析】（1）因为为的平分线，所以；又因为，所以，进而可得，根据内错角相等两直线平行，可证． （2）根据，得为的平分线，得，根据直径证明，可得，得，得四边形为平行四边形，由，得平行四边形为菱形； （3）设的半径长为r，根据切线性质得，可得，，证明，得，由勾股定理得，得，解得，即得的长为4． 【详解】（1）证明：∵在中，为的直径，点D是圆上一点， ∴， ∴， 又∵为的平分线， ∴， ∴， ∴； （2）解：四边形为菱形， 证明：∵，为的平分线， ∴， 又∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形； （3）解：设的半径长为r， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ， （舍）或， ∴． 答：的长为4． 9．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，是的直径，点C，D是上的点，且，与相交于点E，连接． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，再根据垂径定理证明； （2）根据勾股定理列出方程，解方程求出的半径，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算得到答案． 【详解】（1）证明：是直径， ， ， ∴， ， ∵为半径， ； （2）解：，， ， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：． 10．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）已知：如图，四边形是的内接四边形，，求证：（不允许用全等来证明） 【答案】见解析 【分析】根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，根据已知易得：，从而根据等弧所对的圆周角，然后利用平行线的判定，即可解答． 【详解】证明：连接， ， ， ， 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26九年级上·安徽池州·期末）如图，是的一条弦，连接，交于点C，连接，若，度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，等边对等角，平行线的性质．连接，先由圆周角定理得到，再由等边对等角得到，进一步由平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，是的直径，等腰三角形的底边、腰分别交于点，，其中弦．连接，，设度，度，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，则，，所以，由，根据垂径定理得，则，可证明，则，所以，由，且度，度，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、，则，， ∴， ∵是的直径，且弦， ∴， ∴， ∵等腰三角形的底边为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且度，度， ∴， 故选：D． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，等腰直角内接于半圆是上一点，沿弦翻折后与弦相交于点．若是的中点，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，圆中的折叠问题，含30度角的直角三角形的性质，连接，作，根据等弧对等弦，圆周角定理，推出，进而得到为的三等分点，进而得到，推出，即，即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，点为的三等分点， ∵等腰直角内接于半圆， ∴， ∴的度数为， ∴的度数为， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴； 故选：A． 4．（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图，是的直径，，点C在上，，D为弧的中点，P是直径上一动点，则的最小值为 ______． 【答案】 【分析】作关于的对称点，连接，，，，．则的最小值就是的长度，在中根据边角关系即可求解． 【详解】作关于的对称点，连接，，，，． 则， ∴时， 当共线时，取得最小值时， 点在上，，为弧的中点，即， ． ． ． 则是等腰直角三角形． ， ． 5．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在矩形中，为上一动点，为的中点，于点，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】根据，得出在以为直径的的一段圆弧上运动，进而根据中位线的性质求得，当在上时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图，设的中点为， ∵ ∴在以为直径的的一段圆弧上运动， ∵，则的半径为 ∵为的中点， ∴ ∴当在上时，取得最小值为． 6．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，是的直径，点B，C在上，，，若，则的长为________． 【答案】 【分析】根据已知条件证得四边形是平行四边形，得到，，，再由可得出，从而利用等腰三角形的性质得到，根据圆内接四边形的性质得到，得出，证得是等边三角形，据此得出结论． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 7．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，内接于，为的直径，，，，为上的动点（不与点，，重合），且，为的中点，分别连接，，则的最小值为_________． 【答案】2 【分析】本题主要考查圆的基础知识，垂径定理，弦心距的计算，线段最大值的计算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，根据垂径定理和勾股定理计算得出的长度，由此判断点的运动轨迹，故可得出的最小值． 【详解】解：连接，如下图所示： ∵为直径， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∵为的中点， ∴，， 在中，由勾股定理可得， ∴点在以为圆心，半径为的圆上， ∴的最小值为． 8．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，若所在平面内有一点D，满足，，利用尺规求作点D（不写画法，保留作图痕迹，作图痕迹加粗加黑） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图，复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．先作和的垂直平分线，它们相交于点O，再以O点为圆心，为半径作，然后以B点为圆心，为半径画弧交于点D，根据圆周角定理得到． 【详解】解：如图，点D为所作． 9．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，四边形内接于，是的直径，点C为的中点，连接．已知，． (1)求证：； (2)求弦的长． 【答案】(1)见解析 (2)弦的长为． 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理和勾股定理． （1）连接，利用圆周角定理和垂径定理即可证明； （2）利用圆周角定理得到，则利用勾股定理可计算出，再根据垂径定理得到，，接着计算出得到，然后利用勾股定理可计算出的长． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵点C为的中点， ∴， ∴； （2）解：设与的交点为， 为直径， ， 在中，， 点是中点． ， ， ， ， 在中，． 10．（25-26九年级上·四川广元·期末）如图，在图中，，于点． 初步探究：（1）求的长． 尝试提升：（2）以为边向上作等腰直角，，求线段的长． 拓展提升：（3）点在过，，的圆上，且位于直线的下方，试探究，，之间的数量关系． 【答案】（1）1；（2）；（3）． 【分析】（）由直角三角形的性质可得出答案； （）过点作轴于点，过点作轴于点，证明，得出，，证得是等腰直角三角形，则，可得出是等腰直角三角形，则可求出的长； （）延长至，使，连接，过作于点，则，通过圆内接四边形的性质可得，然后证明，得出，，再由勾股定理，直角三角形的性质即可得出． 【详解】（）解：∵， ∴， ∵，， ∴； （）解：如图，过点作于点，交于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 在中，， 同理可得：，， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴，， ∴在中，； （）解：如图，延长至，使，连接，过作于点，则， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull