【江苏省无锡市专版】2025-2026学年小升初数学考前最后一卷（名校冲刺）

**基本信息** 立足小升初名校冲刺，融合生活实践与文化传承，通过勾股定理应用、皮克定理探究等分层设计，考查数学抽象、几何直观及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |计算|3题26分|直接写得数、简算、解方程|基础运算与简算技巧结合| |填空|14题28分|圆柱体积、比例尺、经济问题|微信提现手续费等生活情境| |选择|5题5分|屏幕比例、圆形截取|结合科技（沙漏计时）与空间想象| |操作|2题12分|图形旋转、位置方向|发展空间观念与作图能力| |阅读实践|1题8分|皮克定理探究|培养推理意识与创新思维| |解决问题|4题21分|圆锥体积、足球联赛积分|苏超联赛等真实场景建模|

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 绝密★启用前 2025-2026学年无锡市小升初数学考前最后一卷（名校冲刺） 考试分数：100分；考试时间：90分钟 考生须知： 1.本试卷满分100分，考试时间90分钟。 2.答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的 指定位置写上姓名和座位号。 3.必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效，答题方式详见答题纸上的说明。 4.不能使用计算器，如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑。 5.考试结束后，试题卷和答题纸一并上交。 一、看清数据，仔细计算（共3题，共26分） 1．（本题8分）直接写出得数。                                                                       2．（本题12分）计算下面各题，能简算的要简算。 905－（148＋627÷3）             42.5÷2.5×32－44             25×1.6×12.5                                   3．（本题6分）解方程或解比例。 4x－2.4×5＝52                           二、认真思考，谨慎填空（共14题，共28分） 4．（本题2分）江苏省的土地面积是107200平方千米，改写成以“万”作单位的数是( )万平方千米，省略“万”后面的尾数大约是( )万平方千米。 5．（本题4分）。 6．（本题1分）一个圆柱的侧面积与底面积的比是4∶1，把这个圆柱沿底面半径分成若干等份，拼成了一个与圆柱等底等高的近似长方体（如图所示），这个近似长方体的底面周长是16.56厘米，原来圆柱的体积是( )立方厘米。 7．（本题1分）甲、乙两地相距240千米，画在比例尺1∶3000000的地图上，应画( )厘米。一辆汽车从甲地开往乙地，1.2小时后距离乙地的图上距离是4.8厘米，这辆汽车每小时行( )千米。 8．（本题2分）甲、乙两人去超市买菜，假设甲买了m千克的菜，每千克a元；乙买了n元的菜，每千克b元。用含有字母的式子表示：两人一共买了( )千克的菜，一共花了( )元。 9．（本题2分）小明看一本故事书，前3天已经看了全书总页数的，还剩90页没有看。这本书有( )页，小明已经看了( )页。 10．（本题1分）微信零钱提取现金每人累计享有1000元免费额度，超出额度后，按提取现金金额的0.1%收取手续费。一位微信新注册用户，首次从零钱中提取现金8000元，需支付手续费( )元。 11．（本题4分）小明是一位在校大学生，“五一”假期后要回北京上学，他从网上查到了订票的信息（如图所示），按规定：在校学生凭学生证购买高铁二等座车票可享受七五折优惠。请帮小明算一算乘坐这趟高铁从丹阳到北京需要( )时( )分，合( )小时；优惠后一趟的票价是( )元。 12．（本题2分）一个表面涂色的大正方体，用激光把它切割成若干个体积是1立方厘米的小正方体。已知一面涂色的小正方体24个，未涂色的小正方体有( )个，这个大正方体的体积是( )立方厘米。 13．（本题2分）星期天小明去爬山，从山脚到山顶用32分钟，然后原路返回用24分钟，已知下山比上山每分钟多走20米。小明下山每分钟走( )米，爬山走了( )米。 14．（本题1分）“端午”期间，中央商场搞“家电下乡”活动，农民伯伯购买家电时可享受政府补贴13%的优惠政策。张大伯家买了一台电冰箱，只需付1392元，这台冰箱的原价是( )元。 15．（本题1分）一个圆柱只把高减少3厘米，表面积减少94.2平方厘米，体积减少( )立方厘米。 16．（本题1分）小红骑车从甲地去乙地，小明步行从乙地去甲地，两人同时出发。当两人相遇时，小明走了全程的。相遇后两人继续前行，当小红到达乙地时，小明离甲地还有3千米。甲乙两地相距( )千米。 17．（本题4分）阅读下列材料，并解决后面的问题。 ★阅读材料： 我国是历史上较早发现并运用“勾股定理”的国家之一。我国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”，“勾股定理”因此而得名。 勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么。即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。请运用“勾股定理”解决以下问题： (1)如图一，分别以直角三角形的边为边长作正方形，其中平方厘米，平方厘米，则( )平方厘米。 (2)如图二，是一个圆柱形饮料罐，底面半径＝8厘米，高＝15厘米，顶面正中有一个小圆孔，则一条直达底部的直吸管的最大长度是( )厘米。注：罐壁厚度和顶部圆孔直径忽略不计。 (3)如图三，所示的直角三角形中，AB＝6，则的值＝( )。注值取3。 (4)如图四的圆柱，高＝5厘米，底面半径＝4厘米，在圆柱底面A点有一只蚂蚁，它想吃到与A点相对的B点处的食物，需要爬行的路程是多少？小聪是这样思考的： ①将该圆柱的侧面展开后得到一个长方形，如图五所示（A点的位置已经给出），请在图中标出B点的位置，连接AB。 ②小聪认为线段AB的长度是蚂蚁爬行的最短路程，那么蚂蚁爬行的最短路程是（    ）厘米。注：值取3。 (5)如图六，在长方形的底面A点有一只蚂蚁，想吃到上底面与A点相对的B点处的食物，它沿长方形表面爬行的最短路程是( )厘米。 三、反复琢磨，慎重选择（共5题，共5分） 18．（本题1分）沙漏是一种测量时间的装置。常见的沙漏由两个玻璃容器和一个狭窄的连接管道组成。有一种沙漏，流沙从上部玻璃容器全部流入下部玻璃容器需要25分钟，上部玻璃容器共装沙80克，小时可以漏下（    ）克沙。 A．20 B．48 C．54 D．5 19．（本题1分）显示器或屏幕的宽度与高度的比叫屏幕比例，下面关于16∶9和4∶3两种屏幕比例描述正确的是（    ）。 A．屏幕16∶9一定比4∶3大 B．屏幕16∶9的高度一定是4∶3高度的3倍 C．屏幕4∶3更接近正方形 D．屏幕4∶3的宽和高一定分别是40cm和30cm 20．（本题1分）在一块长10分米，宽5分米的长方形铁板上，最多能截取（    ）个直径是2分米的圆形铁板。 A．8 B．9 C．10 D．12 21．（本题1分）不能用算式解决的问题是（    ）。 A．平行四边形的面积是平方厘米，底是厘米，高是多少厘米？ B．洋洋走3千米的步道，用了小时，他的平均速度是多少千米/时？ C．小丽家这个月用了立方米的水，是上个月的，上个月用水多少立方米？ D．一根绸带长3米，制作绸花用了其中的，用了多少米？ 22．（本题1分）图1是一个三角形，沿虚线折叠后得到图2，这个多边形的面积是原三角形面积的。已知图2中阴影部分的面积和为30平方厘米，那么原三角形的面积是（    ）平方厘米。 A．52 B．54 C．60 D．58 四、读懂题意，正确操作（共2题，共12分） 23．（本题6分）下图每个小正方形的边长都是1厘米。 (1)把图中的等腰直角三角形ABC绕AC边旋转一周，得到的立体图形的体积是( )立方厘米。 (2)等腰三角形顶点A点的位置用数对表示是( )，B点在A点的( )偏( )( )方向。 (3)画出把三角形绕B点逆时针旋转后的图形。 (4)按4∶3的比画出三角形ABC放大后的图形。放大后的三角形面积是原来三角形面积的。 24．（本题6分）如图，以校门为观测点，根据下面提供的信息完成图示。 （比例尺：1∶2000） （1）校门正北40米处是一个喷水池。 （2）教学楼在校门北偏西50°，离校门口80米。 （3）市少年宫在校门东南方向，与正南成35°夹角，离校门80米。 五、能力拓展，阅读实践（共1题，共8分） 25．（本题8分）奥地利数学家皮克（Pick）发现，在网格中，顶点均在格点的多边形面积可以由多边形内部格点数和边界格点数计算得到，请你观察下列图形，探索与和之间的关系。 (1)观察图形，将下表补充完整。（每两个格点间的间隔为1厘米。） 图形 ① ② ③ ④ ⑤ 内部格点数（个） 0 2 2 6 边界格点数（个） 6 10 6 6 围成图形的面积（平方厘米） 2 6 4 12 (2)观察①、③、④可以发现，每增加1时，面积增加( )平方厘米。观察②和③，④和⑤可以发现，每增加1时，面积增加( )平方厘米。（填分数） 根据上述发现，可得：( )。（用含和的式子表示） (3)根据你发现的结论计算下边图形的面积。 六、留心生活，解决问题（共4题，共21分） 26．（本题4分）一个圆锥形的沙堆，底面积是36平方米，高0.8米。用这堆沙子去填一个长6米，宽4米的长方体沙坑，沙坑里沙子的厚度约是多少米？ 27．（本题5分）2026年五一假期，淮安里运河文化长廊清江浦主题游园单日入园17000人，活动分三类：非遗体验、游船、文创市集。已知参与游船的人数比非遗体验多3000人，文创市集的参与人数与非遗体验的人数比为。 (1)参与非遗体验的有多少人？ (2)参与文创市集的人数占总人数的几分之几？ 28．（本题6分）赵师傅向下图所示的空容器（由上、下两个圆柱组成）中匀速注油，注满结束。注油过程中，容器中油的高度与所用时间的关系如图所示。 (1)把下面的大圆柱注满需( )分钟。 (2)上面小圆柱高( )厘米。 (3)如果下面的大圆柱底面积是48平方厘米，那么大圆柱的体积是多少立方厘米？上面小圆柱的底面积是多少平方厘米？ 29．（本题6分）2025年最受关注的“苏超”火爆全网，本次江苏省城市足球联赛采用“常规赛十淘汰赛”双阶段赛制，参赛队伍共计13支。常规赛实行主客场循环赛制，每轮比赛安排1支球队轮空。淘汰赛：采用单回合淘汰赛赛制，淘汰赛阶段每场比赛均决出胜负，负者为亚军，第3－8名根据淘汰赛成绩和常规赛排名综合确定名次。 （1）常规赛中积分前8名的球队才能进入淘汰赛，积分前8名的球队总共需要进行（    ）场淘汰赛。（在括号填写答案，不用列式） （2）常规赛中13支球队总共需要进行多少场比赛？ （3）常规赛中，每场比赛胜一场得3分，平一场得1分，淮安队将平3场，淮安在常规赛中想要进入淘汰赛至少需要取得积分21分。按照AI的预测结果，淮安队至少获胜（    ）场才能进入淘汰赛。 第 2 页 共 6 页 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 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【详解】905－（148＋627÷3） ＝905－（148＋209） ＝905－357 ＝548 42.5÷2.5×32－44 ＝17×32－44 ＝544－44 ＝500 25×1.6×12.5 ＝25×0.2×8×12.5 ＝（25×0.2）×（8×12.5） ＝5×100 ＝500 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 3．（本题6分）解方程或解比例。 4x－2.4×5＝52                           【答案】x＝16；x＝；x＝0.08 【分析】先计算出2.4×5＝12，根据等式的性质1，方程两边同时加上12，再根据等式的性质2，两边再同时除以4； 先把方程左边化简为x，根据等式的性质2，两边再同时除以； 根据比例的基本性质，先把比例化为方程：3x＝0.6×0.4，再根据等式的性质2，两边再同时除以3。 【详解】4x－2.4×5＝52 解：4x－12＝52 4x－12＋12＝52＋12 4x＝64 x＝64÷4 x＝16    解：x＝ x＝÷ x＝× x＝ 解：3x＝0.6×0.4 3x＝0.24 x＝0.24÷3 x＝0.08 二、认真思考，谨慎填空（共14题，共28分） 4．（本题2分）江苏省的土地面积是107200平方千米，改写成以“万”作单位的数是( )万平方千米，省略“万”后面的尾数大约是( )万平方千米。 【答案】 10.72 11 【分析】改写成以“万”作单位的数，需要将原数除以10000，得到以“万”为单位的数。省略“万”后面的尾数，需要看千位上的数字，根据四舍五入法求近似数。 【详解】改写成以“万”作单位的数：107200÷10000＝10.72，所以改写成以“万”作单位的数是10.72万平方千米。 省略“万”后面的尾数：107200的千位是7，7 ≥ 5，向万位进1，万位是0，进1后万位变为1，十万位不变，所以省略“万”后面的尾数大约是11万平方千米。 5．（本题4分）。 【答案】10；6；0.5；40 【分析】解答这道题需熟知除法、分数、比三者之间的关系：除法的被除数相当于分数的分子，相当于比的前项；除法的除数相当于分数的分母，相当于比的后项，除法的商相当于分数的分数值，相当于比的比值。商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变；分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数值不变；比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变。小数化百分数的方法：小数化百分数，小数点向右移动两位，添上百分号。先将0.4化成分数形式，再解答填空。 【详解】根据分析： 第一空：因，比的前项由2变成4需要乘2，比的后项5也要乘2，即，所以第一空填10。 第二空：分母5变成15需要乘3，分子2也要乘3，即，所以第二空填6。 第三空：因，被除数2变成0.2需要除以10，除数5也要除以10，即，所以第三空填0.5。 第四空：，所以第四空填40。 综上， 6．（本题1分）一个圆柱的侧面积与底面积的比是4∶1，把这个圆柱沿底面半径分成若干等份，拼成了一个与圆柱等底等高的近似长方体（如图所示），这个近似长方体的底面周长是16.56厘米，原来圆柱的体积是( )立方厘米。 【答案】50.24 【分析】根据题意可知，近似的长方体底面周长比圆柱的底面周长多了2条半径的长度，已知长方体的底面周长是16.56厘米，先求出圆柱的底面半径，可以设底面半径为r，根据圆的周长公式：C＝πd，底面周长＋直径＝长方体的底面周长，据此即可列方程，求出半径；再根据圆的面积公式S＝πr2，求出底面积；已知圆柱的侧面积与底面积的比是4∶1，所以用底面积乘4，即可求出侧面积；圆柱的侧面积＝底面周长×高，因此用侧面积÷底面周长，即可求出圆柱的高，最后根据圆柱的体积＝底面积×高，即可解答。 【详解】解：设圆柱的半径为r厘米。 2×3.14r＋2r＝16.56 6.28r＋2r＝16.56 8.28r＝16.56 r＝16.56÷8.28 r＝2 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 12.56×4＝50.24（平方厘米） 3.14×2×2 ＝6.28×2 ＝12.56（厘米） 50.24÷12.56＝4（厘米） 12.56×4＝50.24（立方厘米） 所以原来圆柱的体积是50.24立方厘米。 7．（本题1分）甲、乙两地相距240千米，画在比例尺1∶3000000的地图上，应画( )厘米。一辆汽车从甲地开往乙地，1.2小时后距离乙地的图上距离是4.8厘米，这辆汽车每小时行( )千米。 【答案】 8 80 【分析】（1）比例尺是图上距离与实际距离的比。题目中的线段比例尺表示图上1厘米代表实际3000000厘米，先根据1千米＝1000米，1米＝100厘米，即1千米＝100000厘米，把240千米换算成240×100000＝24000000厘米；再根据图上距离＝实际距离×比例尺，求得图上应画几厘米。 （2）根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出距离乙地的实际距离，再进行单位换算，然后计算已行驶路程，最后除以时间1.2小时得到速度。 【详解】（1）1千米＝1000米，1米＝100厘米，即1千米＝100000厘米。 240×100000＝24000000（厘米） 24000000×＝8（厘米） 因此，甲、乙两地相距240千米，画在比例尺1∶3000000的地图上，应画8厘米。 （2）4.8÷ ＝4.8×3000000 ＝14400000（厘米） 14400000÷100000＝144（千米） 240－144＝96（千米） 96÷1.2＝80（千米/时） 因此，一辆汽车从甲地开往乙地，1.2小时后距离乙地的图上距离是4.8厘米，这辆汽车每小时行80千米。 8．（本题2分）甲、乙两人去超市买菜，假设甲买了m千克的菜，每千克a元；乙买了n元的菜，每千克b元。用含有字母的式子表示：两人一共买了( )千克的菜，一共花了( )元。 【答案】 am＋n 【分析】甲买了m千克的菜，乙买了n元的菜，每千克b元，则乙买了千克菜，要表示两人一共买了多少千克菜，将甲、乙买菜的重量相加；根据单价×数量＝总价，先求出甲买菜花的钱数，再和乙花的钱数相加即是甲乙一共花的钱数。 【详解】根据分析可知：甲买了m千克的菜，每千克a元；乙买了n元的菜，每千克b元。用含有字母的式子表示：两人一共买了千克的菜，一共花了am＋n元。 【点睛】本题考查用字母表示数，关键是要掌握总价＝单价×数量这一等量关系。 9．（本题2分）小明看一本故事书，前3天已经看了全书总页数的，还剩90页没有看。这本书有( )页，小明已经看了( )页。 【答案】 126 36 【分析】把全书总页数看作单位“1”，前3天已经看了全书总页数的，还剩（1－），再用剩下的90页除以剩下页数占总页数的分率，求出这本书的页数；再用总页数×，求出小明已看的页数，据此解答。 【详解】90÷（1－） ＝90÷ ＝90× ＝126（页） 126×＝36（页） 【点睛】本题考查已知一个数的几分之几是多少，求这个数；以及求一个数的几分之几是多少。 10．（本题1分）微信零钱提取现金每人累计享有1000元免费额度，超出额度后，按提取现金金额的0.1%收取手续费。一位微信新注册用户，首次从零钱中提取现金8000元，需支付手续费( )元。 【答案】7 【分析】先求出超出免费额度的金额，再根据手续费的收取标准计算出手续费。 【详解】8000－1000＝7000（元） 7000×0.1%＝7（元） 11．（本题4分）小明是一位在校大学生，“五一”假期后要回北京上学，他从网上查到了订票的信息（如图所示），按规定：在校学生凭学生证购买高铁二等座车票可享受七五折优惠。请帮小明算一算乘坐这趟高铁从丹阳到北京需要( )时( )分，合( )小时；优惠后一趟的票价是( )元。 【答案】 5 15 5.25// 431.25 【分析】经过时间＝到达时间－出发时间，将经过时间换算为以小时为单位的数；七五折表示现价是原价的75%，代入数据即可求解。 【详解】18时44分－13时29分＝5时15分 1小时＝60分钟，15÷60＝0.25（小时） 5＋0.25＝5.25（小时） 七五折＝75% 575×75%＝431.25（元） 12．（本题2分）一个表面涂色的大正方体，用激光把它切割成若干个体积是1立方厘米的小正方体。已知一面涂色的小正方体24个，未涂色的小正方体有( )个，这个大正方体的体积是( )立方厘米。 【答案】 8 64 【分析】根据正方体涂色问题的规律，一面涂色的小正方体位于大正方体的面上。其数量公式为6×（n－2）2，其中n为大正方体的棱长小正方体个数。因此可以推断出n＝4，根据未涂色的小正方体的个数＝（n－2）³，代入计算即可。大正方体的每条棱上有4个小正方体，说明正方体的棱长是4厘米，再根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，计算出结果。 【详解】24÷6＝4（个） （4－2）×（4－2） ＝2×2 ＝4（个） （4－2）³ ＝2³ ＝8（个） 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 所以，未涂色的小正方体有8个，这个大正方体的体积是64立方厘米。 13．（本题2分）星期天小明去爬山，从山脚到山顶用32分钟，然后原路返回用24分钟，已知下山比上山每分钟多走20米。小明下山每分钟走( )米，爬山走了( )米。 【答案】 80 3840 【分析】根据题目，下山速度比上山速度多20米/分钟，路程相同，因为是原路返回，所以上山路程＝下山路程。设小明上山速度为米/分钟，因为下山比上山每分钟多走20米，所以下山速度为米/分钟。 从山脚到山顶和从山顶返回山脚的路程是相等的，根据路程＝速度×时间，可列方程：，求出上山的速度，进而求出上山走的路程，再乘2即等于爬山的路程，据此即可解答。 【详解】解：设小明上山速度为米/分钟，则下山速度为米/分钟。 60＋20＝80（米）   （米） （米） 因此，小明下山每分钟走80米，爬山走了3840米。 14．（本题1分）“端午”期间，中央商场搞“家电下乡”活动，农民伯伯购买家电时可享受政府补贴13%的优惠政策。张大伯家买了一台电冰箱，只需付1392元，这台冰箱的原价是( )元。 【答案】 1600 【分析】根据农民伯伯购买家电时可享受政府补贴13%的优惠政策，以原价为单位“1”，则农民实际支付的金额是原价的（1−13%），即原价的87%是1392元，已知一个数的百分之几求这个数用除法，因此原价等于实际支付金额除以87%。 【详解】1392÷（1－13%） ＝1392÷87% ＝1392÷0.87 ＝1600（元） 则这台冰箱的原价是1600元。 15．（本题1分）一个圆柱只把高减少3厘米，表面积减少94.2平方厘米，体积减少( )立方厘米。 【答案】235.5 【分析】根据题意可知，减少的表面积就是底面等于原来圆柱的底面，高是3cm的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，底面周长＝侧面积÷高，代入数据，求出底面周长；再根据圆的周长＝π×半径×2，直径＝周长÷π÷2，代入数据，求得底面半径，再根据圆柱的体积＝底面积×高，据此求出高是3厘米的圆柱的体积，也就是减少的体积，即可解答。 【详解】94.2÷3＝31.4（厘米） 31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 3.14×52×3 ＝3.14×25×3 ＝78.5×3 ＝235.5（立方厘米） 一个圆柱只把高减少3厘米，表面积减少94.2平方厘米，体积减少235.5立方厘米。 16．（本题1分）小红骑车从甲地去乙地，小明步行从乙地去甲地，两人同时出发。当两人相遇时，小明走了全程的。相遇后两人继续前行，当小红到达乙地时，小明离甲地还有3千米。甲乙两地相距( )千米。 【答案】4.5 【分析】把甲乙两地的距离看作单位“1”，小明走了全程的，则小红走了全程的1－＝，再用小明走的路程占全程的分率÷小红走的路程占全程的分率，即÷＝，求出小明走的路程是小红的几分之几；相遇后两人继续前行，当小红到达乙地后，说明小红又走了全程的，那么小明走了×＝，小明一共走了全程的（＋）；再用1减去小明走了的路程占全程的分率，求出剩下的路程占全程的分率，对应的是3千米，求单位“1”，用3÷剩下路程占全长的分率。 【详解】 ＝ ＝ ＝ 1－（） ＝1－（） ＝1－ ＝ 3÷ ＝3× ＝ ＝4.5（千米） 甲乙两地相距4.5千米。 17．（本题4分）阅读下列材料，并解决后面的问题。 ★阅读材料： 我国是历史上较早发现并运用“勾股定理”的国家之一。我国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”，“勾股定理”因此而得名。 勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么。即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。请运用“勾股定理”解决以下问题： (1)如图一，分别以直角三角形的边为边长作正方形，其中平方厘米，平方厘米，则( )平方厘米。 (2)如图二，是一个圆柱形饮料罐，底面半径＝8厘米，高＝15厘米，顶面正中有一个小圆孔，则一条直达底部的直吸管的最大长度是( )厘米。注：罐壁厚度和顶部圆孔直径忽略不计。 (3)如图三，所示的直角三角形中，AB＝6，则的值＝( )。注值取3。 (4)如图四的圆柱，高＝5厘米，底面半径＝4厘米，在圆柱底面A点有一只蚂蚁，它想吃到与A点相对的B点处的食物，需要爬行的路程是多少？小聪是这样思考的： ①将该圆柱的侧面展开后得到一个长方形，如图五所示（A点的位置已经给出），请在图中标出B点的位置，连接AB。 ②小聪认为线段AB的长度是蚂蚁爬行的最短路程，那么蚂蚁爬行的最短路程是（    ）厘米。注：值取3。 (5)如图六，在长方形的底面A点有一只蚂蚁，想吃到上底面与A点相对的B点处的食物，它沿长方形表面爬行的最短路程是( )厘米。 【答案】(1)625 (2)17 (3)13.5 (4)①；②13 (5)15 【分析】（1）由“阅读材料”可知，直角三角形两条直角边的平方的和等于斜边的平方。正方形的面积等于边长乘边长。图一中，，，因为，所以，已知，，代入进行计算。 （2）如图，作圆柱的底面半径和高，则圆柱的底面半径、高及吸管组成了一个直角三角形，此时吸管的长度就是这个直角三角形斜边的长，一条直角边是圆柱的底面半径8厘米，一条直角边是圆柱的高15厘米，根据，将两条直角边的长度代入公式求出的值，再求出吸管的长度。 （3）如图，已知AB长的是6，则直角三角形ABC斜边的长为6，根据勾股定理可得，，，，等量代换可得，化简后求出与和后，由半圆的面积公式，可得，将与的和代入进行计算。 （4）如图，圆柱的侧面展开是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，因为A点和B点的位置是相对的，所以将圆柱的侧面展开后，B点在长方形上边的中点处，则红色部分的长度为长方形长的一半，即圆柱底面周长的一半，利用进行计算，蓝色部分为圆柱的高，红色线、蓝色线和AB围成了一个直角三角形，AB是这个直角三角形的斜边，根据勾股定理求出AB的平方后计算AB。 （5）如图：长方体长为9厘米，宽为9厘米，高为3厘米，确定蚂蚁沿长方体表面爬行的最短路程有两种方案。 方案一： 如图：将长方体的前面和右面（或左面和后面）展开后得到一个长方形，连接AB，得到一个直角三角形，两条直角边分别为18厘米和3厘米，根据勾股定理求出斜边AB的平方。 方案二： 如图：将长方体的前面和上面（或下面和后面）展形后得到一个长方形，连接AB，得到一个直角三角形，两条直角边分别为12厘米和9厘米，根据勾股定理求出斜边AB的平方。 最后，将方案一和方案二斜边的平方作比较，斜边的平方越大，斜边越大，据此确定最短路程。 【详解】（1）（平方厘米） （2） （平方厘米） 则吸管的最大长度为17厘米。 （3）， 由可得， 即 由，可得： （4） （厘米） （平方厘米） 所以AB的长度为13厘米。 （5）方案一： （厘米） （平方厘米），即AB长度的平方为333平方厘米。 方案二： （厘米） （平方厘米），即AB长度的平方为225平方厘米。 ，所以方案二的路程最短。 因为，所以蚂蚁爬行的最短路程是15厘米。 三、反复琢磨，慎重选择（共5题，共5分） 18．（本题1分）沙漏是一种测量时间的装置。常见的沙漏由两个玻璃容器和一个狭窄的连接管道组成。有一种沙漏，流沙从上部玻璃容器全部流入下部玻璃容器需要25分钟，上部玻璃容器共装沙80克，小时可以漏下（    ）克沙。 A．20 B．48 C．54 D．5 【答案】B 【分析】用上部玻璃容器共装沙子的总数除以25分钟，即可计算出平均每分钟流下的质量，小时＝15分，再用平均每分钟流下的质量乘15分钟，即可计算出小时可以漏下多少克沙。 【详解】小时＝＝15分 80÷25×15 ＝3.2×15 ＝48（克） 所以小时可以漏下48克沙。 故答案为：B 19．（本题1分）显示器或屏幕的宽度与高度的比叫屏幕比例，下面关于16∶9和4∶3两种屏幕比例描述正确的是（    ）。 A．屏幕16∶9一定比4∶3大 B．屏幕16∶9的高度一定是4∶3高度的3倍 C．屏幕4∶3更接近正方形 D．屏幕4∶3的宽和高一定分别是40cm和30cm 【答案】C 【分析】A．16∶9和4∶3都是指屏幕长与宽的比，不能确定哪个比的屏幕面积大或小。 B．由A分析可知，16∶9和4∶3都是指屏幕长与宽的比，不能确定屏幕16∶9的高度一定是4∶3高度的3倍。 C．分别求出4∶3、16∶9的比值，比值越小，越接近正方形。 D．4∶3的屏幕是指屏幕长与宽的比，比的前、后项不是确定的数值。 【详解】A．16∶9和4∶3都是指屏幕长与宽的比，屏幕比例与屏幕的面积大小无关。选项说法错误。 B．16∶9和4∶3都是指屏幕长与宽的比，屏幕比例与屏幕的高度无关。选项说法错误。 C．4∶3 ＝4÷3 ＝ 16∶9 ＝16÷9 ＝ ＝ ＜ 4∶3的屏幕比16∶9的屏幕更接近正方形。选项说法正确。 D．4∶3的屏幕宽和高可能分别是8cm和6cm，所以屏幕4∶3的宽和高不一定分别是40cm和30cm。选项说法错误。 故答案为：C 20．（本题1分）在一块长10分米，宽5分米的长方形铁板上，最多能截取（    ）个直径是2分米的圆形铁板。 A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据题意，先确定长方形的长可以截取几个圆，宽可以截取几个圆，即长、宽里面各有几个2分米，用除法计算，再把长、宽可以截取的圆的个数相乘即可求解。 【详解】10÷2＝5（个） 5÷2＝2（个）⋯⋯1（分米） 5×2＝10（个） 即最多能截取10个直径是2分米的圆形铁板。 故答案为：C 【点睛】掌握求长方形里最多截取圆的个数的方法是解题的关键。 21．（本题1分）不能用算式解决的问题是（    ）。 A．平行四边形的面积是平方厘米，底是厘米，高是多少厘米？ B．洋洋走3千米的步道，用了小时，他的平均速度是多少千米/时？ C．小丽家这个月用了立方米的水，是上个月的，上个月用水多少立方米？ D．一根绸带长3米，制作绸花用了其中的，用了多少米？ 【答案】D 【分析】A．根据平行四边形的面积＝底×高的逆运算，用除法计算。 B．根据，代入数据计算。 C．把上个月的用水量看作单位“1”，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算。 D．把这根绸带的总长度看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 【详解】A．平行四边形高 ＝ 面积÷底，高＝（厘米），符合算式。 B．速度 ＝ 路程÷时间，速度＝（千米/时），符合算式。 C．上个月用水量＝（立方米），符合算式。 D．用了（米），不符合算式。 22．（本题1分）图1是一个三角形，沿虚线折叠后得到图2，这个多边形的面积是原三角形面积的。已知图2中阴影部分的面积和为30平方厘米，那么原三角形的面积是（    ）平方厘米。 A．52 B．54 C．60 D．58 【答案】B 【分析】原三角形的面积看成1，那么重叠部分的面积为1－，阴影部分的面积为原三角形的面积减去2倍的重叠部分面积，根据数量÷对应占比＝总量，求出原三角形的面积。 【详解】原三角形的面积看成1 1－ 30÷ ＝30÷ ＝30× ＝54（平方厘米） 【点睛】求出重叠部分占原三角形面积的占比为解题关键。 四、读懂题意，正确操作（共2题，共12分） 23．（本题6分）下图每个小正方形的边长都是1厘米。 (1)把图中的等腰直角三角形ABC绕AC边旋转一周，得到的立体图形的体积是( )立方厘米。 (2)等腰三角形顶点A点的位置用数对表示是( )，B点在A点的( )偏( )( )方向。 (3)画出把三角形绕B点逆时针旋转后的图形。 (4)按4∶3的比画出三角形ABC放大后的图形。放大后的三角形面积是原来三角形面积的。 【答案】(1)28.26 (2) （3，9） 南 东 45 (3) (4)； 【分析】（1）图中的等腰直角三角形ABC绕AC边旋转一周，得到的立体图形是圆锥，圆锥的底面半径是3厘米，高是3厘米，根据圆锥的体积＝πr2h，即可解答； （2）根据图可知，A点在第3列第9行，因此用数对（3，9）表示；三角形ABC是等腰三角形，所以∠A＝45°，B点在A点的右下方，所以B点在A点的南偏东45°方向； （3）根据旋转的特征，三角形绕B点逆时针旋转90°，B点的位置不动，其余各部分均绕B点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形； （4）等腰三角形ABC的两条直角边都是3厘米，按4∶3放大后两条直角边都是4厘米，据此画出图形；分别求出放大前后的三角形的面积，再用放大后的三角形面积除以原来三角形面积，即可解答。 【详解】（1）3.14×32×3× ＝3.14×9×3× ＝28.26×3× ＝84.78× ＝28.26（立方厘米） 把图中的等腰直角三角形ABC绕AC边旋转一周，得到的立体图形的体积是28.26立方厘米。 （2）根据分析可知： 等腰三角形顶点A点的位置用数对表示是（3，9），B点在A点的南偏东45方向。 （3）略 （4）3÷3×4 ＝1×4 ＝4（厘米） 3×3÷2 ＝9÷2 ＝4.5（平方厘米） 4×4÷2 ＝16÷2 ＝8（平方厘米） 8÷4.5＝ 放大后的三角形面积是原来三角形面积的。 24．（本题6分）如图，以校门为观测点，根据下面提供的信息完成图示。 （比例尺：1∶2000） （1）校门正北40米处是一个喷水池。 （2）教学楼在校门北偏西50°，离校门口80米。 （3）市少年宫在校门东南方向，与正南成35°夹角，离校门80米。 【答案】（1）、（2）、（3）见详解 【分析】（1）根据地图上的方向，上北下南，左西右东，以校门的位置为观察点，即可确定喷水池位置的方向，根据喷水池到校门的实际距离及图中所标注的比例尺即可求出喷水池与校门的图上距离，据此即可画出喷水池的位置。 （2）同理，以校门的位置为观察点，即可确定教学楼位置的方向，根据教学楼到校门的实际距离及图中所标注的比例尺即可求出教学楼与校门的图上距离，据此即可画出教学楼的位置。 （3）同理，以校门的位置为观察点，即可确定市少年宫位置的方向，根据市少年宫到校门的实际距离及图中所标注的比例尺即可求出市少年宫与校门的图上距离，即可画出市少年宫的位置。 【详解】（1）40米＝4000厘米 4000×＝2（厘米） 即校门正北2厘米处是一个喷水池。 作图如下； （2）80米＝8000厘米 8000×＝4（厘米） 即教学楼在校门北偏西50°，离校门口4厘米。 作图如下； （3）80米＝8000厘米 8000×＝4（厘米） 即市少年宫在校门南偏东35°，离校门口4厘米。 作图如下； 【点睛】此题考查了利用方向与距离在平面图中确定物体位置的方法以及比例尺的灵活应用。 五、能力拓展，阅读实践（共1题，共8分） 25．（本题8分）奥地利数学家皮克（Pick）发现，在网格中，顶点均在格点的多边形面积可以由多边形内部格点数和边界格点数计算得到，请你观察下列图形，探索与和之间的关系。 (1)观察图形，将下表补充完整。（每两个格点间的间隔为1厘米。） 图形 ① ② ③ ④ ⑤ 内部格点数（个） 0 2 2 6 边界格点数（个） 6 10 6 6 围成图形的面积（平方厘米） 2 6 4 12 (2)观察①、③、④可以发现，每增加1时，面积增加( )平方厘米。观察②和③，④和⑤可以发现，每增加1时，面积增加( )平方厘米。（填分数） 根据上述发现，可得：( )。（用含和的式子表示） (3)根据你发现的结论计算下边图形的面积。 【答案】(1) 图形 ① ② ③ ④ ⑤ 内部格点数（个） 0 2 2 6 6 边界格点数（个） 6 10 6 6 14 围成图形的面积（） 2 6 4 8 12 (2) 1 (3)21 【分析】这是一道递推操作题，要读懂题目，看懂规律，再运用规律。 （1）看图数格点。多边形面积可以用皮克定理。先数每个图形的内部格点数和边界格点数，填入表格。面积用已知规律推。 （2）观察给出的数据。比较①和③，内部格点相同，边界格点不同，面积差和边界格点差的关系。比较②和③、④和⑤，边界格点相同，内部格点不同，面积差和内部格点差的关系。总结出皮克定理：面积＝内部格点数＋边界格点数÷2－1。 （3）用皮克定理算新图形的面积，先数内部格点数，再数边界格点数，代入公式计算。 【详解】（1）填表如下： 图形 ① ② ③ ④ ⑤ 内部格点数（个） 0 2 2 6 6 边界格点数（个） 6 10 6 6 14 围成图形的面积（平方厘米） 2 6 4 8 12 （2）①：观察①、③、④可以发现，b不变，i每增加1时，面积也增加1。 ②：图形②和③的内部格点i都是2，b增加4时面积增加2，因此b每增加1，面积增加平方厘米； ③： 根据上述发现，可得： （3）由图可知，： 答：图形的面积为21。 六、留心生活，解决问题（共4题，共21分） 26．（本题4分）一个圆锥形的沙堆，底面积是36平方米，高0.8米。用这堆沙子去填一个长6米，宽4米的长方体沙坑，沙坑里沙子的厚度约是多少米？ 【答案】0.4米 【分析】先根据圆锥体积公式求出沙堆体积，圆锥体积公式为V＝Sh（S是底面积，h是高）。再根据长方体体积公式求出沙坑中沙子厚度，长方体体积公式为V＝a×b×h（a为长，b为宽，h为高），这里沙子体积等于圆锥体积，已知长和宽，求高（即沙子厚度），用沙子体积除以长和宽的乘积。 【详解】×36×0.8 ＝12×0.8 ＝9.6（立方米） 9.6÷（6×4） ＝9.6÷24 ＝0.4（米） 答：沙坑里沙子的厚度约是0.4米。 27．（本题5分）2026年五一假期，淮安里运河文化长廊清江浦主题游园单日入园17000人，活动分三类：非遗体验、游船、文创市集。已知参与游船的人数比非遗体验多3000人，文创市集的参与人数与非遗体验的人数比为。 (1)参与非遗体验的有多少人？ (2)参与文创市集的人数占总人数的几分之几？ 【答案】(1)5000人 (2) 【分析】依据文创市集参与人数与非遗体验的人数比4∶5，将非遗体验的人数设为5份，文创市集的参与人数对应4份，游船的人数比非遗体验多3000人，故游船人数为5份＋3000人，总人数17000人是三部分之和，即文创4份＋非遗5份＋游船（5份＋3000人）＝14份＋3000人＝17000人，先减3000得14份对应14000人，再求每份1000人，最终得非遗体验的5份为5000人；参与文创市集的人数对应4份，即4000人，用文创人数4000人除以总人数17000人，即可求出参与文创市集的人数占总人数的几分之几。 【详解】（1）非遗体验人数为5份，则文创市集人数为4份，游船人数为5份＋3000人； 5份＋（5份＋3000）＋4份＝14份＋3000 每份人数：（17000－3000）÷14＝14000÷14＝1000（人） 非遗体验人数：5×1000＝5000（人） 答：参与非遗体验的有5000人。 （2）参与文创市集的人数：1000×4＝4000（人） 4000÷17000＝ 答：参与文创市集的人数占总人数的。 28．（本题6分）赵师傅向下图所示的空容器（由上、下两个圆柱组成）中匀速注油，注满结束。注油过程中，容器中油的高度与所用时间的关系如图所示。 (1)把下面的大圆柱注满需( )分钟。 (2)上面小圆柱高( )厘米。 (3)如果下面的大圆柱底面积是48平方厘米，那么大圆柱的体积是多少立方厘米？上面小圆柱的底面积是多少平方厘米？ 【答案】(1) (2)30 (3)960立方厘米；16平方厘米 【分析】（1）根据图像的高度判断，两段图像分别对应的是向大圆柱和小圆柱注油的过程；图像发生转折的时间，即为大圆柱注满的时间。 （2）用最终高度减去大圆柱注满的高度，即可求出小圆柱的高； （3）根据圆柱的体积＝底面积×高，求出大圆柱的体积即可。先用大圆柱的体积除以注满大圆柱的时间，计算出注油的速度，即每分钟注油的多少立方厘米；再计算出注满小圆柱所用的时间，二者相乘即可得出小圆柱的体积；最后用小圆柱的体积除以小圆柱的高度，求出小圆柱的底面积。 【详解】（1）由图可知，前一段油的高度较低，所对应的是向大圆柱注油的过程。图像在分钟处发生了转折，即为大圆柱注满的时间。 （2）由图可知，后一段油的高度较高，所对应的是向小圆柱注油的过程。整个容器注满时的高度是50厘米，大圆柱注满的高度是20厘米，所以小圆柱高是50－20＝30（厘米）。 （3）大圆柱的体积：48×20＝960（立方厘米） 小圆柱的底面积： = = =480（立方厘米） 480÷30＝16（平方厘米） 答：大圆柱的体积是960立方厘米，上面小圆柱的底面积是16平方厘米。 【点睛】本题主要考查根据图像获取信息的能力，通过分析图像中油的高度与时间的关系，确定大、小圆柱的高度。难点在于抓住“匀速注油”这一点，通过每分钟注油量，由大圆柱体积计算出小圆柱的体积，进而求出其底面积。 29．（本题6分）2025年最受关注的“苏超”火爆全网，本次江苏省城市足球联赛采用“常规赛十淘汰赛”双阶段赛制，参赛队伍共计13支。常规赛实行主客场循环赛制，每轮比赛安排1支球队轮空。淘汰赛：采用单回合淘汰赛赛制，淘汰赛阶段每场比赛均决出胜负，负者为亚军，第3－8名根据淘汰赛成绩和常规赛排名综合确定名次。 （1）常规赛中积分前8名的球队才能进入淘汰赛，积分前8名的球队总共需要进行（    ）场淘汰赛。（在括号填写答案，不用列式） （2）常规赛中13支球队总共需要进行多少场比赛？ （3）常规赛中，每场比赛胜一场得3分，平一场得1分，淮安队将平3场，淮安在常规赛中想要进入淘汰赛至少需要取得积分21分。按照AI的预测结果，淮安队至少获胜（    ）场才能进入淘汰赛。 【答案】（1）7； （2）156场； （3）6 【分析】（1）淘汰赛每比赛一场淘汰一支队伍，决出冠军需要淘汰8－1＝7（支）队伍，所以需要进行7场比赛。 （2）13支球队进行主客场循环赛，一个完整的主客场循环赛，每支球队都要作为主场和其余（13－1）支球队比赛一次，即每个球队作为主场的比赛有（13－1）次，总共13支球队，所以比赛总场数为13×（13－1），计算即可得常规赛一共比赛多少场次。 （3）设淮安队至少获胜场才能进入淘汰赛，已知平3场，总积分至少21分，可列方程，解这个方程求出的最小值。 【详解】（1）8－1＝7（场） 常规赛中积分前8名的球队才能进入淘汰赛，积分前8名的球队总共需要进行7场淘汰赛。（在括号填写答案，不用列式） （2）13×（13－1） ＝13×12 ＝156（场） 答：常规赛中13支球队总共需要进行156场比赛。 （3）解：设淮安队至少获胜场才能进入淘汰赛。 常规赛中，每场比赛胜一场得3分，平一场得1分，淮安队将平3场，淮安在常规赛中想要进入淘汰赛至少需要取得积分21分。按照AI的预测结果，淮安队至少获胜6场才能进入淘汰赛。 【点睛】解题关键：第一问：关键在于理解淘汰赛赛制，即每场淘汰一支队伍，要决出冠军需淘汰8−1支队伍，从而确定比赛场数。第二问：明确主客场循环赛制规则，先算出每个球队都要作为主场比赛多少次，再依据球队总数算出总场数。第三问：根据积分规则设获胜场数为未知数，通过建立方程求解出满足进入淘汰赛积分要求的最少获胜场数。 第 2 页 共 6 页 第 1 页 共 6 页 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