4.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)【6大考点】专题训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数y=Asin(ωx＋φ)的图象变换、解析式确定及综合应用，构建从基础变换到实际建模的递进式训练体系，培养数学抽象与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图象及变换|6题（含3多选）|判断平移方向与单位，多解变换路径|从基础变换规则到多步骤变换的逆向推理| |求解析式|6题|变换前后解析式互求，结合平移伸缩|参数ω、φ的动态变化对解析式的影响| |图像定解析式|6题（含图像题）|由图像特征求A、ω、φ、B|从图像直观到参数量化的转化| |性质定解析式|6题|利用单调性、最值等性质求参数|函数性质与参数取值的逻辑关联| |综合应用|6题（含多选）|图象与性质的综合判断，零点问题|知识横向整合，提升逻辑推理能力| |模型应用|6题（含实际情境）|摩天轮、潮汐等建模问题|数学建模与实际问题的转化，发展模型意识|

4.6 函数y＝Asin(ωx＋φ) 6大考点汇总 考点01 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换过程 考点02 求图象变化前(后)的解析式 考点03 利用图像确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B的解析式 考点04 根据性质确定函数解析式 考点05 三角函数图象与性质的综合应用 考点06 三角函数模型的应用 题型专练 考点01 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换过程 1．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（     ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 2．（多选）为了得到函数的图象，只需将余弦函数图象上各点（     ） A．横坐标伸长到原来的3倍，再向左平移个单位长度 B．横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度 C．向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的 D．向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的 3．（多选）要得到函数的图像，只需将函数的图像（    ） A．先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大为原来的3倍 B．先向左平移个单位长度，再将横坐标扩大为原来的3倍 C．先将横坐标扩大为原来的3倍，再向左平移个单位长度 D．先将横坐标扩大为原来的3倍，再向右平移个单位长度 4．要得到函数的图像，只需要将函数的图像（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 5．将函数的图象向右平移（）个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（多选）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩小为原来的 B．先向左平移个单位长度，再将横坐标缩小为原来的 C．先将横坐标缩小为原来的，再向左平移个单位长度 D．先将横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位长度 考点02 求图象变化前(后)的解析式 7．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 8．将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象的解析式为（    ） A． B． C． D． 9．将函数的图像向左平移后得到函数的图像，且函数的图像关于直线对称，则________. 10．将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位，得到的图象与下列哪一个函数图象相同（   ） A． B． C． D． 11．把函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 12．将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位，得到的图象与下列哪一个函数图像相同（    ） A． B． C． D． 考点03 利用图像确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B的解析式 13．某函数在一个周期内的图像，此函数的解析式可以是（   ） A． B． C． D． 14．如图为函数的局部图象，其中为函数的一个最高点，为函数与轴的一个交点，则的值为________. 15．已知函数的一部分图象如图所示，如果，，． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数的最大值与最小值，并写出对应的值． 16．函数的部分图像如图所示，则其解析式是______． 17．已知函数的部分图象如图所示，A，C均为其图象上的点，且线段的中点B在x轴上，则（   ） A． B．1 C． D． 18．函数，（，）的部分图像如图所示，则（    ） A．1 B．-1 C． D． 考点04 根据性质确定函数解析式 19．已知函数，若，在上有最大值，且无最小值. (1)求的值及的取值范围； (2)若，求函数图象的对称中心. 20．函数，满足，且的最小值为，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 21．已知函数，对任意的满足且恒成立，若在上单调递增，则当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 22．若函数在区间上单调递增，且，，则的取值是（   ） A． B． C． D． 23．已知函数的图像经过点，其最大值与最小值的差为，且相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式并求其单调递增区间； (2)若函数在区间上有零点，求实数的取值范围． 24．若函数图象过点，的任意两个零点，之间距离的最小值为，则（    ） A． B．0 C． D．1 考点05 三角函数图象与性质的综合应用 25．（多选）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．是的一条对称轴 D．对任意的，都存在，使得 26．已知函数的部分图象如下图所示，若函数的图象上所有点的纵坐标不变，把横坐标扩大到原来的两倍，得到函数的图象． (1)求的解析式； (2)求在上的单调递减区间； (3)若在区间上恰有2026个零点，求的取值范围． 27．（多选）已知函数为常数，且，若函数的最大值等于，则下列选项正确的是（    ） A．若是函数的两个相邻零点，则 B． C．将函数的图象向右平移个单位长度后，图象关于原点对称 D．若函数在区间上恰有3个零点，则 28．（多选）已知函数 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．f(x)的图象关于中心对称 C．f(x)在上有4个零点，则实数a的取值范围是 D．将的图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象 29．已知函数，其中，若对于任意实数，函数在区间上至少有两个零点，至多有5个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 30．已知函数，若将的图象向右平移个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列说法正确的是（   ） A． B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．的图象与的图象在内有4个交点 考点06 三角函数模型的应用 31．摩天轮因节奏舒缓浪漫治愈，寓意圆满幸福，老少皆宜还氛围感十足，深受众人喜爱.国内已建成运营的最大摩天轮是南昌之星，其设置有60个座舱，并在轮面装饰彩灯，当灯全部亮起时可以显示一座巨型彩色时钟.该摩天轮最高点距离地面高度160米，转盘直径为153米，其示意图如图所示（座舱相对于摩天轮来说大小可忽略，因此未在图中画出）.摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，匀速旋转一周需要30分钟.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，旋转一圈后下舱.已知小朱比小毛提前5分钟进入座舱，在小朱运行一周的过程中，设小朱坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米. (1)求关于的表达式； (2)当小朱和小毛距离地面高度相同时，求的值； (3)设，当时，这两人距离地面的高度差恰有1次取到最大值，求的取值范围. 32．（多选）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为60米，转盘直径为50米，设置有24个座舱，摩天轮开启前，距地面最近的点为0号座舱，距地面最远的座舱为12号，座舱逆时针排列且均匀分布，游客甲坐2号舱位，乙坐6号舱位，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要24分钟，游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为米，下列说法正确的是（     ） A．关于的函数解析式为 B．开启后第20分钟这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同 C．开启后第10分钟游客乙距离地面47.5米 D．开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同（上升或下降） 33．海水受日月引力会产生潮汐，以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低，现测得某港口某天不同时间的水深情况如下表所示（3.1时即为凌晨3点06分）： 时间时 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深米 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 根据以上数据，可以用函数（，）来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，则这个函数的解析式为__________．若某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米，根据安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米，这条货船一天中可以在港口中停靠的最长时长为__________． 34．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯视四周景色（如图1）．已知某摩天轮转盘的最低点距离地面的高度为2米，转盘半径为30米，逆时针均匀设置了依次标号为1~12号的12个座舱，开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，转一周需要24分钟．现从1号座舱位于圆周最右端时开始计时（如图2），旋转时间为t分钟． (1)设1号座舱与地面的距离h（单位：米）与时间t的函数关系为，求的解析式； (2)当时，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值； (3)甲、乙两名乘客分别乘坐在1号和5号座舱里，在乘坐摩天轮的过程中，甲、乙两人距离地面的高度差的绝对值为H（单位：米）．当时，求H的最大值． 35．（多选）某摩天轮半径为18米，圆心离地面高度为20米．当时，游客从最低点进舱，此时座舱和座舱与点等高．摩天轮逆时针匀速转动，每转一圈用时36秒．设表示秒时游客距离地面的高度（高度：米），已知，其中，下列说法正确的是（）    A． B．当时，则游客距离地面高度不低于29米的时长为12秒． C．记摩天轮转动一圈过程中游客距离地面的高度不低于米的时长为，则函数的图象关于对称． D．当时，摩天轮逆时针匀速转动过程中座舱的游客和座舱的游客距离地面的高度分别为和，满足的时长为18秒． 36．已知的部分图象如下图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象． ①若的图象正好是某简谐振动的图象，求此简谐振动的初相； ②求在区间上的零点． 37．（多选）水车在古代是灌溉引水的重要工具，是人类的一项古老的智慧发明，也是人类利用自然和改造自然的美好象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从水平面与水斗的交点处出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且10秒后水斗第一次旋转到最高点位置，设经过秒后，水斗旋转到点，设，其纵坐标近似满足关系式，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．当时， D．当时，点到水面的距离的最大值为2 38．（多选）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米（图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点从水中浮现时（图2中点）开始计时，经过秒钟后点距离水面的高度为米，则下列结论正确的是（    ）    A．关于的函数解析式为 B．点第一次到达最高点需用时5秒 C．从计时开始再次接触水面需用时15秒 D．当点运动2.5秒时，距水面的高度为2米 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.6 函数y＝Asin(ωx＋φ) 6大考点汇总 考点01 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换过程 考点02 求图象变化前(后)的解析式 考点03 利用图像确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B的解析式 考点04 根据性质确定函数解析式 考点05 三角函数图象与性质的综合应用 考点06 三角函数模型的应用 题型专练 考点01 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换过程 1．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（     ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【详解】由，只需把函数的图象向右平移个单位长度. 2．（多选）为了得到函数的图象，只需将余弦函数图象上各点（     ） A．横坐标伸长到原来的3倍，再向左平移个单位长度 B．横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度 C．向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的 D．向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的 【答案】BD 【分析】本题考查三角函数图像的平移与伸缩变换，默认初始变换的基础函数为，需要逐个验证选项的变换结果 【详解】选项A,先将横坐标伸长到原来的3倍，得到，再向左平移个单位长度，得到，和目标函数不一致，A错误. 选项B，先将横坐标缩短到原来的，得到，再向右平移个单位长度，得到，和目标函数完全一致，B正确. 选项C，先向右平移个单位长度，得到，再把横坐标缩短到原来的，得到，和目标函数不一致，C错误. 选项D，先向右平移个单位长度，得到，再把横坐标缩短到原来的，得到，和目标函数完全一致，D正确. 3．（多选）要得到函数的图像，只需将函数的图像（    ） A．先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大为原来的3倍 B．先向左平移个单位长度，再将横坐标扩大为原来的3倍 C．先将横坐标扩大为原来的3倍，再向左平移个单位长度 D．先将横坐标扩大为原来的3倍，再向右平移个单位长度 【答案】BC 【分析】利用三角函数的平移伸缩变换即可求解． 【详解】对于A，先向右平移个单位长度，得到， 再将横坐标扩大为原来的3倍得到，故A错误； 对于B，先向左平移个单位长度，得到 ， 再将横坐标扩大为原来的3倍得到，故B正确； 对于C，先将横坐标扩大为原来的3倍，得到， 再向左平移个单位长度得到 ，故C正确． 对于D，先将横坐标扩大为原来的3倍，得到， 再向右平移个单位长度，得到，故D错误． 4．要得到函数的图像，只需要将函数的图像（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【详解】因， 故只需要将的图像向左平移个单位长度即得的图象. 5．将函数的图象向右平移（）个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解析：由题可知，又，所以. 6．（多选）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩小为原来的 B．先向左平移个单位长度，再将横坐标缩小为原来的 C．先将横坐标缩小为原来的，再向左平移个单位长度 D．先将横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位长度 【答案】AD 【分析】由诱导公式得到，再结合平移规则逐项判断即可. 【详解】， 将函数的图象先向右平移个单位长度，得， 再将横坐标缩小为原来的，得，A对，B错， 或将函数的图象横坐标缩小为原来的，得， 再向右平移个单位长度得，C错，D对. 考点02 求图象变化前(后)的解析式 7．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变）， 可得的图象， 令，得，可得， ． 8．将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将的图象向右平移个单位长度，得到， 根据诱导公式可得 . 9．将函数的图像向左平移后得到函数的图像，且函数的图像关于直线对称，则________. 【答案】/ 【分析】由图象的平移变换可得到的表达式，结合其对称轴，即可求得的表达式，即得答案. 【详解】将函数的图象向左平移后得到函数的图象， 所以， 函数的图像关于直线对称，则， 解得，又，所以，. 10．将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位，得到的图象与下列哪一个函数图象相同（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍得到， 再向右平移个单位得到. 11．把函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数， 再把图象向右平移个单位长度得： ． 12．将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位，得到的图象与下列哪一个函数图像相同（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移伸缩得出三角函数解析式. 【详解】将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，得出， 再向右平移个单位，得到. 考点03 利用图像确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B的解析式 13．某函数在一个周期内的图像，此函数的解析式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图像，可得，结合周期公式可求得，代入最高点坐标可求得，即可得函数解析式. 【详解】根据函数图像可知， 周期，所以， 所以，将最高点坐标代入可得 ，所以， 解得， 当时，， 所以. 14．如图为函数的局部图象，其中为函数的一个最高点，为函数与轴的一个交点，则的值为________. 【答案】/ 【分析】由最高点的纵坐标确定，又由两点之间的横坐标之差为，结合周期公式从而确定，将点坐标代入解析式，再结合的范围，即可确定的值. 【详解】由题意可知最高点的纵坐标就是振幅，所以， 又由图象可知两点之间的横坐标之差为，即， 所以，解得，即. 将代入上式，可得，即， 所以，解得. 因为，所以当时，可得. 15．已知函数的一部分图象如图所示，如果，，． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数的最大值与最小值，并写出对应的值． 【答案】(1) (2)最大值为4，此时；最小值为1，此时 【分析】（1）由函数的最大值和最小值求出，，由周期求出，由特殊点求出，即可求得函数解析式； （2）由求出的范围，再求出的取值范围，即可求得函数的取值范围. 【详解】（1）由图象可知，，， 设最小正周期为，，∴， ∴， 又∵，且， ∴，，∴， ∴函数的解析式为. （2）当时，，， 故当，即时，有最小值； 当，即时，有最大值. 16．函数的部分图像如图所示，则其解析式是______． 【答案】 【详解】由图象可知，函数最大值为，所以， 因为，所以，而，，所以， 当时，，所以，， 因为，所以，故. 17．已知函数的部分图象如图所示，A，C均为其图象上的点，且线段的中点B在x轴上，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换化简函数，结合中点坐标性质得到两点函数值互为相反数，推出两点水平距离为半个周期，进而求解. 【详解】由余弦和角公式化简函数解析式，. 由线段的中点在轴上，得，即. 对于余弦型函数，若两点处函数值互为相反数，结合图象的走势特征， 可知两点间水平距离为半个最小正周期. 即，得最小正周期. 由周期公式，代入得，解得. 18．函数，（，）的部分图像如图所示，则（    ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】D 【分析】根据图象求得的解析式，进而求得. 【详解】由函数的图像过点，得，即. 又，故或. 由图象可知，函数在右侧附近单调递增，当时，增大，增大， 减小，函数单调递减，与图象矛盾； 当时，增大，增大，增大， 函数单调递增，与图象相符，故. 由图象过点，且该点为轴右侧第一个零点， ，，相位从增加到， 所以，解得，即. 因此，. 代入，得 . 考点04 根据性质确定函数解析式 19．已知函数，若，在上有最大值，且无最小值. (1)求的值及的取值范围； (2)若，求函数图象的对称中心. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）由求出，根据在上有最大值，且无最小值求出的取值范围. （2）结合（1）得的值，进而得到的解析式，化简得到的解析式进而求出对称中心. 【详解】（1）因为，，所以， 由于，则，即. 由可得， 又因在上有最大值，且无最小值， 根据正弦函数的图象可知， 解得，故的取值范围为. （2）由结合（1）可知，则， 所以 . 令，，解得，， 则函数图象的对称中心为，. 20．函数，满足，且的最小值为，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【详解】由正弦函数的性质可知：任意两个相邻零点之间的距离为半个周期，即：，解得：. 21．已知函数，对任意的满足且恒成立，若在上单调递增，则当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由两个恒成立条件，确定的最小值点和最大值点，据此求出参数、，结合单调区间要求验证参数后，求目标区间内的最小值. 【详解】由题意知，对任意的，恒成立，说明是的最小值， 即，是的零点； 对任意的，恒成立，说明是的最大值，即是的最值点. 两点横坐标差为，零点对应的点到相邻最值点的距离为，则. 对，周期，得. 由得，故 ， 结合，得，. 验证单调性：，当时，则， 由于在单调递增，且，满足在该区间单调递增. 则当时，，在的最小值为， 因此. 22．若函数在区间上单调递增，且，，则的取值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由函数在上单调递增及，结合正弦函数单调性与零点性质，得到的取值范围和的含参表达式；再由推出为对称轴，建立的另一含参表达式；联立两式解出，回代并结合的条件，最终确定． 【详解】因为，在上单调递增，，， 所以且， 所以，， 又，则，故， 所以，解得， 因，则，所以， 又，则当，时，． 23．已知函数的图像经过点，其最大值与最小值的差为，且相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式并求其单调递增区间； (2)若函数在区间上有零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】（1）根据已知条件可知，，分别求出和，再代入求出即可求出函数表达式；根据正弦函数单调递增区间，整体代入即可求出的单调递增区间； （2）将有零点问题转化为两个函数有公共点，即求函数的值域即可解决问题. 【详解】（1）（1）解：由函数最大值与最小值的差为，且， 则，所以， 又因为相邻两条对称轴之间的距离为，即，又，所以， 所以， 又函数图像经过点，则， 所以，因此， 又，所以当时，，所以； 当，，即，， 所以，，即递增区间为，. （2）（2）由在区间上有零点， 令，则，即与在上有交点， 因为，则，所以， 因此，所以的取值范围为. 24．若函数图象过点，的任意两个零点，之间距离的最小值为，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】先利用函数过已知点求解，再根据零点的最小距离求解，最后代入计算函数值. 【详解】因为 图象过点， 所以 ，所以， 因为，所以， 令 ，所以， 所以，或, 解得，或, 相邻零点的最小距离是， 由题意的任意两个零点，之间距离的最小值为， 所以，所以，所以， 所以. 考点05 三角函数图象与性质的综合应用 25．（多选）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．是的一条对称轴 D．对任意的，都存在，使得 【答案】ACD 【分析】由正弦函数与余弦函数的性质求解即可. 【详解】对于A，根据题意得，， 因为的图象与的图象关于轴对称，所以， 即， 可得或， 因,则得，又因，所以，故A正确； 对于B，由A得，所以，故B错误； 对于C，由，可得，当时，，故C正确； 对于D，当时，，此时， 而当时，，此时 所以，故D正确. 26．已知函数的部分图象如下图所示，若函数的图象上所有点的纵坐标不变，把横坐标扩大到原来的两倍，得到函数的图象． (1)求的解析式； (2)求在上的单调递减区间； (3)若在区间上恰有2026个零点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）结合图象先求的解析式，再根据求解即可； （2）利用整体思想，求出函数的所有递减区间，再求出函数在上的单调递减区间； （3）根据函数的周期为4，可得两相邻零点之间的距离为2，求出2026、2028个零点之间最短距离，即可得答案. 【详解】（1）由题意可得，， 所以，解得， 所以， 又因为， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以， 由题意可得； （2）由（1）可知， 令， 解得， 当时，的单调递减区间为， 所以在上的单调递减区间为； （3）因为，最小正周期为4， 所以相邻两个零点之间的距离为2， 又因为在区间上恰有2026个零点， 设第一个零点为，则第2026个零点为， 则2026个零点之间最短距离为， 由2028个零点之间最短距离为， 所以 27．（多选）已知函数为常数，且，若函数的最大值等于，则下列选项正确的是（    ） A．若是函数的两个相邻零点，则 B． C．将函数的图象向右平移个单位长度后，图象关于原点对称 D．若函数在区间上恰有3个零点，则 【答案】BCD 【分析】先利用辅助角公式求出函数的解析式.  A.先求出相邻两个零点，再计算的值作判断； B. 求出与 ，从而得到它们相等；C.求出图像平移后对应的函数解析式，通过奇偶性作出判断； D. 利用零点个数，得到限制条件，从而解出的取值范围. 【详解】设，其中，， 因为函数的最大值等于，所以 ，即 ， 所以，即， 取，由得，则. 对于A，由 ，得 ， 所以，所以， 因为是函数的两个相邻零点，故设 ，， 则， 所以 ， 所以它不恒等于，故A错； 对于B， ， ， 所以，故B对； 对于C，将函数的图象向右平移个单位长度后， 得函数为 ， 它是奇函数，所以它的图象关于原点对称，故C对； 对于D，函数，因为， 所以， 因为函数在区间上恰有3个零点，则， 所以，即，故D对. 28．（多选）已知函数 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．f(x)的图象关于中心对称 C．f(x)在上有4个零点，则实数a的取值范围是 D．将的图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象 【答案】AD 【分析】根据函数图象确定函数表达式，再结合正弦函数的图象与性质，涉及函数的对称性，单调性，零点以及函数图象的平移变换. 【详解】由图象可知，，根据，则，故，得，A正确； 此时，将代入可得，得， 则，因为，所以， 则， 因为，所以B错误； 因为，所以，因为在上有4个零点， 所以，解得，C错误； ，向右平移个单位长度后，得到，D正确. 29．已知函数，其中，若对于任意实数，函数在区间上至少有两个零点，至多有5个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，得的表达式，根据x的范围，可得的范围，根据零点个数，结合正弦函数的图象与性质，分析求解，即可得答案. 【详解】令，得，则，或， 由，得，区间长度为， 由在区间上至少有两个零点， 得区间长度至少为，即，解得， 由至多有5个零点，得区间长度，解得， 所以的取值范围是. 30．已知函数，若将的图象向右平移个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列说法正确的是（   ） A． B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．的图象与的图象在内有4个交点 【答案】D 【分析】根据三角函数变换法则求得判断A；利用结论法求解对称中心判断B；验证法判断对称轴判断C；根据正弦函数性质求解方程即可判断D. 【详解】将函数的图象向右平移个单位后， 再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到函数，A错误； 因为，即的图象关于点，对称， 令，得不是整数，B错误； 因为，函数的图象不关于直线对称，C错误； 令，则， 所以或， 解得或， 因为，所以共4个，D正确． 考点06 三角函数模型的应用 31．摩天轮因节奏舒缓浪漫治愈，寓意圆满幸福，老少皆宜还氛围感十足，深受众人喜爱.国内已建成运营的最大摩天轮是南昌之星，其设置有60个座舱，并在轮面装饰彩灯，当灯全部亮起时可以显示一座巨型彩色时钟.该摩天轮最高点距离地面高度160米，转盘直径为153米，其示意图如图所示（座舱相对于摩天轮来说大小可忽略，因此未在图中画出）.摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，匀速旋转一周需要30分钟.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，旋转一圈后下舱.已知小朱比小毛提前5分钟进入座舱，在小朱运行一周的过程中，设小朱坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米. (1)求关于的表达式； (2)当小朱和小毛距离地面高度相同时，求的值； (3)设，当时，这两人距离地面的高度差恰有1次取到最大值，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）建立适当平面直角坐标系后，可设，，结合题意与三角函数性质计算即可得解； （2）由题意可表示出小毛距离地面高度与的表达式，令其与小朱相等，解出即可得； （3）利用三角恒等变换公式计算即可得. 【详解】（1）如图，设座舱距离地面的最近点为，以摩天轮轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立平面直角坐标系， 设，， 由题得，解得， 又摩天轮匀速旋转一周需要30分钟，所以，所以，. 又当时，小朱位于点，以为终边的角为，所以， 所以，， 即，. （2）设小毛距离地面的高度为，则，， 令，可得，即， 所以，或，（舍去）， 即，，又，当时，. （3）令，则，， 所以， 当，，即，时，. 又当时，这两人距离地面的高度差恰有1次取到最大值， 所以，即的取值范围是. 32．（多选）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为60米，转盘直径为50米，设置有24个座舱，摩天轮开启前，距地面最近的点为0号座舱，距地面最远的座舱为12号，座舱逆时针排列且均匀分布，游客甲坐2号舱位，乙坐6号舱位，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要24分钟，游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为米，下列说法正确的是（     ） A．关于的函数解析式为 B．开启后第20分钟这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同 C．开启后第10分钟游客乙距离地面47.5米 D．开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同（上升或下降） 【答案】BCD 【分析】根据题意建立三角函数模型，然后结合三角函数的图象与性质判断选项即可. 【详解】设游客甲距离地面的高度与时间的函数为， 由题意，，所以， 由摩天轮转一周需要，知座舱转动的角速度约为，故， 则， 又游客甲坐2号舱位，当时，游客甲的位置达到摩天轮最高点，所以， 即，所以，所以， 不妨取，则，故，A错误； 由于摩天轮旋转一周需24分钟，故游客甲和乙第二次距离地面高度相同时， 需经历分钟，B正确； 根据题意游客乙在摩天轮转动过程中距离地面的高度函数为： ， 则开启后第10分钟游客乙距离地面高度为米，C正确； 对于函数， 令得， 所以函数的单调递减区间为， 当时，函数的单调递减区间为， 所以开启后第10分钟至第18分钟游客甲在下降， 对于函数， 令得， 所以函数的单调递减区间为， 当时，函数的单调递减区间为， 所以开启后第10分钟至第18分钟游客乙也在下降， 即开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同，D正确. 33．海水受日月引力会产生潮汐，以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低，现测得某港口某天不同时间的水深情况如下表所示（3.1时即为凌晨3点06分）： 时间时 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深米 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 根据以上数据，可以用函数（，）来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，则这个函数的解析式为__________．若某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米，根据安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米，这条货船一天中可以在港口中停靠的最长时长为__________． 【答案】 【分析】在平面直角坐标系中，先画出散点图，判断出函数的大致走势，再根据函数走势计算出，再根据已知条件计算出货船一天中可以在港口中停靠的最长时长. 【详解】如图所示，作出符合题意的图象， 由函数图象可知，周期， 所以，函数解析式为， 把代入得 ， 而， 所以，函数解析式为； 由于货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米， 安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米， 那么港口水深要不低于米才安全， 则令，得 ， ， 当时，货船停靠的时长为； 当时，， 可得货船停靠的时长为； 当时，不存在符合实际意义的解； 所以货船在一天(小时)内，存在两个这样的区间，可以在港口中停靠的最长时长为. 34．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯视四周景色（如图1）．已知某摩天轮转盘的最低点距离地面的高度为2米，转盘半径为30米，逆时针均匀设置了依次标号为1~12号的12个座舱，开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，转一周需要24分钟．现从1号座舱位于圆周最右端时开始计时（如图2），旋转时间为t分钟． (1)设1号座舱与地面的距离h（单位：米）与时间t的函数关系为，求的解析式； (2)当时，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值； (3)甲、乙两名乘客分别乘坐在1号和5号座舱里，在乘坐摩天轮的过程中，甲、乙两人距离地面的高度差的绝对值为H（单位：米）．当时，求H的最大值． 【答案】(1)； (2)或； (3)米. 【分析】（1）根据给定信息，设出的解析式，再利用待定系数法求解. （2）由（1）及求出值. （3）求出的表达式，并利用和差角的正弦化简，再利用正弦函数性质求出最大值. 【详解】（1）依题意，设， 由，得，由，，得，而， 则，由转一周需要24分钟，得，解得， 所以. （2）由，得，当时，， 解得或，即或， 所以或. （3）依题意，5号座舱在1号座舱前，相隔， 则甲、乙两人距离地面的高度分别为， 因此， 当时，，则当，即时，， 所以H的最大值为米. 35．（多选）某摩天轮半径为18米，圆心离地面高度为20米．当时，游客从最低点进舱，此时座舱和座舱与点等高．摩天轮逆时针匀速转动，每转一圈用时36秒．设表示秒时游客距离地面的高度（高度：米），已知，其中，下列说法正确的是（）    A． B．当时，则游客距离地面高度不低于29米的时长为12秒． C．记摩天轮转动一圈过程中游客距离地面的高度不低于米的时长为，则函数的图象关于对称． D．当时，摩天轮逆时针匀速转动过程中座舱的游客和座舱的游客距离地面的高度分别为和，满足的时长为18秒． 【答案】ABD 【分析】先由摩天轮最高点、最低点高度求出，再由周期求出，由时游客位于最低点求出，判断A；再把高度不低于29米转化为三角不等式，求出满足条件的时间长度，判断B；然后写出关于的表达式，判断其对称中心，判断C；最后根据座舱、座舱与游客座舱的初始相位分别写出高度函数，化简不等式并求时长，判断D． 【详解】由题可知，的最大值与最小值分别为38和2，可得，解得， 每转一圈用时36秒，则的周期为36，可得， 解得，结合的范围解得，故A选项正确； 由A可得， 令．当时，．由，得所以， 在内，满足条件的为， 因此，解得，时长为秒，故B正确； 当时，由，得即， 所以一圈内满足条件的的长度为， 于是， 由此可知， 即函数的图象关于点成中心对称， 而，不是，故C错误； 由图中初始位置可知，时座舱在圆心左侧，座舱在圆心右侧，且二者均与点等高， 令，则， 且游客从最低点进舱，有， 于是， 所以， 由，得， 当时，满足的区间为， 这两个区间的总长度为，对应时间长度为秒，故D正确． 36．已知的部分图象如下图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象． ①若的图象正好是某简谐振动的图象，求此简谐振动的初相； ②求在区间上的零点． 【答案】(1) (2)①；②、 【分析】（1）由图象可得出的值，以及函数的最小正周期的值，结合正弦型函数的周期公式可得出的值，再结合以及的取值范围可得出的值，即可得出函数的解析式； （2）①利用三角函数图象变换得出函数的解析式，结合初相的定义可得结果； ②由可得，再结合可得出的值，即可得解. 【详解】（1）由图象可知，函数的最小正周期， 且，可得，所以， 由图可得，可得， 又因为函数在附近单调递增，则， 所以， 因为，可得，， 所以． （2）①将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）， 可得函数的图象， 再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位， 可得函数的图象，所以对应简谐振动初相为； ②由，可得， 因为，所以，所以或，解得或， 故函数在区间上的零点为、. 37．（多选）水车在古代是灌溉引水的重要工具，是人类的一项古老的智慧发明，也是人类利用自然和改造自然的美好象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从水平面与水斗的交点处出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且10秒后水斗第一次旋转到最高点位置，设经过秒后，水斗旋转到点，设，其纵坐标近似满足关系式，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．当时， D．当时，点到水面的距离的最大值为2 【答案】ACD 【分析】根据题意，先求得水车的半径和周期，进而可求得，得到解析式，再根据三角函数的性质，逐项判断即可. 【详解】由题意，，且，则， 由于从处出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转， 10秒后水斗第一次旋转到最高点位置， 此时转过的角度为，因此转动一周需要30秒，所以， 所以，则， 将代入中， 可得，故， 则，故， 又，所以，因此，故A正确，B错误； 因为，则， 则，所以， 则为水车直径，所以，故C正确； 当时，，， 则，所以点到水面的距离的最大值为2，故D正确. 38．（多选）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米（图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点从水中浮现时（图2中点）开始计时，经过秒钟后点距离水面的高度为米，则下列结论正确的是（    ）    A．关于的函数解析式为 B．点第一次到达最高点需用时5秒 C．从计时开始再次接触水面需用时15秒 D．当点运动2.5秒时，距水面的高度为2米 【答案】ABD 【详解】由题可设函数， 其中，所以， 时，，解得，因为，所以， 所以，A正确； 由A可知，点P第一次到达最高点需用时秒，B正确； 由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C错误； 当时，，点P距水面的高度为2米，D正确． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $