课后作业30 函数y＝Asin(ωx＋φ) -2027届高考数学一轮专题复习

**基本信息** 聚焦函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换、参数求解及性质应用，通过高考真题与模拟题构建“概念-方法-应用”逻辑链，渗透数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图象变换|3题|平移伸缩“左加右减、横变系数”，方向与单位换算|从基础变换到复合变换，衔接三角函数图象本质| |参数求解|4题|A(最值)、ω(周期)、φ(点代入)三步法，结合范围取舍|参数与函数性质的关联，体现待定系数法应用| |性质应用|5题|整体代换求对称中心/轴、单调区间，极值点零点转化|性质与图象的互推，强化逻辑推理能力| |实际建模|2题|筒车、矩形框架问题转化为三角函数模型|数学建模解决实际问题，落实应用意识|

课后作业(三十)　函数y＝Asin(ωx＋φ) 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共89分 一、单项选择题 1．(2025·江苏南京二模)把函数y＝cos x图象上所有点的横坐标变为原来的个单位长度，得到函数y＝f (x)的图象，则f (x)＝ (　　) A．cos C．cos 2．(2025·河北石家庄三模)将函数f (x)＝sin个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)图象的一个对称中心是 (　　) A． C． 3．(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin的交点个数为 (　　) A．3 B．4 C．6 D．8 4．(2026·陕西榆林模拟)交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ) 秒时，电流强度是 (　　) A．－5安 B．5安 C．－5 安 5．(2026·广东佛山模拟)将函数f (x)＝4cos个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是 (　　) A．g(x)是奇函数 B．g(x)的图象关于直线x＝对称 C．g(x)在 D．g(x)在上单调递增 6．(2022·全国甲卷)设函数f (x)＝sin在区间(0，π)内恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是 (　　) A． C． 二、多项选择题 7．为得到函数y＝6sin的图象，只需要将函数y＝6sin 2x的图象 (　　) A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 8．已知f (x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则 (　　) A．A＝2 B．f (x)的最小正周期为π C．f (x)在内有3个极值点 D．f (x)在区间 三、填空题 9．将函数f (x)＝sin(2x＋φ)图象上的每个点的横坐标变为原来的个单位长度，所得的图象关于y轴对称，写出一个符合条件的φ的值___________． 10．某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为10 cm和20 cm的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最大值为___________cm． 四、解答题 11．(13分)已知函数f ． (1)求y＝f 图象的一个对称中心； (2)若f ，求φ． 12．(13分)(2025·湖北襄阳二模)已知函数f (x)＝． (1)求f (x)的单调递减区间； (2)将函数y＝f (x)的图象向右平移 上有一个零点时，求k的取值范围． 13．(多选)(2026·广东茂名模拟)如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心O到水面的距离为1 m，筒车的半径是3 m，盛水筒的初始位置为P0，OP0与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度2 rad/min沿逆时针方向转动，t为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点P1所需的时间(单位：min)，则 (　　) A．0<t< C．sin 2t＝－ 14．已知偶函数f 上单调，则ω＝___________． 课后作业(三十) 1．B 2．A　[由题知g(x)＝f ＝sin＋3＝sin＋3． 令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z， ∴函数g(x)图象的对称中心为，k∈Z． ∴当k＝0时，为函数g(x)图象的一个对称中心．故选A．] 3．C 4．D　[由题图得，电流的最大值和最小值分别为10和－10，可得A＝10． 由周期T＝，得ω＝100π， 再将点代入I＝10sin，得sin＝1， 所以＋φ＝＋2kπ，φ＝＋2kπ，k∈Z． 因为0<φ<，所以当k＝0时， φ＝， 所以I＝10sin． 将t＝代入，得I＝10sin＝5．故选D．] 5．C　[由题意知g(x)＝4cos， g(x)不是奇函数，故A错误． g＝4cos＝2≠±4，g(x)的图象不关于直线x＝对称，故B错误． 由x∈，得2x－∈，则4cos∈，故C正确． 当x∈时，2x－∈，而y＝cos x在上不单调， 所以g(x)在上不单调，故D错误．故选C．] 6．C　[依题意可得ω>0，因为x∈(0，π)，所以ωx＋∈，要使函数在区间(0，π)内恰有三个极值点、两个零点，又y＝sin x，x∈的图象如图所示， 则<ωπ＋≤3π，解得<ω≤， 即ω∈．故选C．] 7．ACD 8．ABD　[对于AB，根据函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象知，A＝2， T＝4×＝π，所以ω＝＝2，故AB正确； 对于C，由五点法画图知，×2＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z， 由于0<φ<，所以φ＝，所以f (x)＝2sin， 令2x＋＋kπ，k∈Z，则x＝kπ，k∈Z， 当k＝－2时，x＝－；当k＝－1时，x＝－； 当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝，故f (x)在内有2个极值点，分别为x＝，x＝，故C错误； 对于D，因为x∈， 所以2x＋∈， 故当2x＋，即x＝2π时，f (x)取最大值2sin＝2sin，故D正确．故选ABD．] 9．－(答案不唯一)　[由题意知，所得的图象对应的解析式为g(x)＝sin＝sin，由题意g(x)的图象关于y轴对称，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，解得φ＝kπ－，k∈Z，令k＝0，得φ＝－(答案不唯一)．] 10．60　[如图所示，EF＝10，FG＝20， 令∠AEF＝α，则AF＝10sin α，∠AFE＝－α， 则∠BFG＝α， BF＝20cos α，BG＝20sin α，∠BGF＝－α， 则∠CGH＝α，CG＝10cos α． ∴矩形框架的周长为2AB＋2BC＝ 2(10sin α＋20cos α)＋2(20sin α＋10cos α) ＝60sin α＋60cos α＝60sin ≤60，当α＝时取等号， 即矩形框架周长的最大值为60 cm．] 11．解：(1)因为f 内单调， 且f ＝－f ∈∈， 所以f ＝f ＝0， 所以y＝f ． (2)由题设，f 的最小正周期T≥2×＝π，<， 故ω＝≤2，由ω∈N*，得ω＝1或ω＝2， 由点为f (x)＝sin图象的一个对称中心， 所以ω＋φ＝k1π，k1∈Z，① 因为f ω＋φ＝＋2k2π或ω＋φ＝＋2k3π，k2，k3∈Z． 若ω＋φ＝＋2k2π，k2∈Z，② ①－②得ω＝－π， 即ω＝－2＋6． 不存在整数k1，k2，使得ω＝1或ω＝2． 若ω＋φ＝＋2k3π，k3∈Z，③ ①－③得ω＝－π， 即ω＝－4＋6， 不存在整数k1，k3，使得ω＝1，当k1＝2k3＋1时，ω＝2． 此时φ＝＋2k3π＝＋2k3π，由<，得φ＝． 综上所述，φ＝． 12．解：(1)f (x)＝sincos＝sin， 令＋2kπ≤＋2kπ(k∈Z)， 解得＋4kπ≤x≤＋4kπ(k∈Z)， 所以f (x)的单调递减区间为(k∈Z)． (2)将函数y＝f (x)的图象向右平移个单位长度后，得到函数g(x)＝sin的图象， 则y＝g(x)－k＝sin－k， 因为0≤x≤，所以－≤π， 所以要使函数y＝g(x)－k在上有一个零点，则y＝g(x)的图象与直线y＝k只有一个交点， 结合正弦型函数的图象， 可得当－<0或，即0≤x<或x＝， 即0≤sin<或sin，0≤k<或k＝时，y＝g(x)的图象与直线y＝k只有一个交点， 所以实数k的取值范围为． 13．AD　[设盛水桶在转动中到水面的距离为d，时间为t，由题图可知筒车转动后盛水筒第一次到达入水点P1的角度小于π，又筒车的角速度为2 rad/min， ∴所需的时间0<t<，故A正确； 由题意可得，盛水桶到水面的距离d与时间t的函数关系为d＝3sin＋1， 令d＝0，即3sin＋1＝0， 解得sin＝－， 又0<t<，可得π<2t＋<， ∴cos＝－， ∴cos 2t＝cos ＝coscos＋sinsin ＝－ ＝－，故D正确； ∵0<t<，0<2t<π， ∴sin 2t＝，故C错误； 又cos 2t＝1－2sin2t，解得sin t＝，故B错误． 故选AD．] 14．　[因为偶函数f ＝sin(ωx＋φ)，所以φ＝kπ＋，k∈Z， 即f (x)＝cos ωx或f (x)＝－cos ωx， 又f ＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于点中心对称， 所以cosω＝0，即ω＝kπ＋，k∈Z， 所以ω＝3k＋，k∈Z， 因为当x∈时，函数单调， 所以0≤ωx≤≤π， 即0<ω≤4，所以当k＝0时，ω＝符合条件．] 4/4 学科网（北京）股份有限公司 $