精品解析：江西上饶市余干县私立蓝天中学2025-2026学年高二下学期第二次月考数学试题

2025-2026学年第二学期第二次月考（高二数学） 考试时间：120分钟 满分：150分 供题人：郑战辉 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知数列的通项公式为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 2. 设函数的导数为，且函数，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 3. 数列 满足，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 1 4. 已知函数在处的切线方程为，则 的值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 5. 在等差数列中，若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 6. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在处取得极小值 D. 在处取得极大值 7. 设等比数列满足，则 （ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 8. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ） A. 是的极值点 B. 是的极大值点 C. 的单调递减区间是 D. 10. 已知等差数列中，，，前项和为，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数有最大值 B. 若函数图象的对称中心为，则 C. 函数在 上一定存在减区间 D. 函数可能有2个零点 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知等比数列的各项均为正数，若，则______． 13. 函数在区间上的最大值为_________． 14. 已知数列满足 ，，则数列的前项的和为________. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数在上的最大值与最小值. 16. 已知等差数列满足，. （1）求数列的通项公式 （2）求 17. 函数在点处的切线斜率为． （1）求实数a的值； （2）求的极值． 18. 设数列的前项和为， 且． （1）证明为等比数列； （2）若，求数列的前项和为． 19. 已知函数，其中. （1）当时， （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求函数的单调区间； （2）若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期第二次月考（高二数学） 考试时间：120分钟 满分：150分 供题人：郑战辉 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知数列的通项公式为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列的通项公式的意义求解即可. 【详解】因为数列的通项公式为，所以. 2. 设函数的导数为，且函数，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 取，得，则， 所以. 3. 数列 满足，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】由递推公式，将代入，得． 4. 已知函数在处的切线方程为，则 的值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】， ， 又函数在处的切线方程为， ，解得，则， ， 将点代入切线方程得，即， ． 5. 在等差数列中，若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【详解】在等差数列中，若，则，解得： 6. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在处取得极小值 D. 在处取得极大值 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象判断的单调性和正负，再根据的单调性与的正负的关系判断的单调性及极值可得答案. 【详解】由图可知， 当时， ，所以在区间上单调递减，故AC错误； 根据图象，在区间上单调递增，B错误； 在区间上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，D正确； 故选：D. 7. 设等比数列满足，则 （ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 【答案】C 【解析】 【详解】由等比数列的性质可得，， 所以. 方法二：设等比数列的公比为， 由题可得，，解得. 所以. 8. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将的大小比较转化为比较，构造函数，即比较，求导分析函数的单调性可得结果. 【详解】依题意，，，， 令，，则，所以当时， ， 当时， ，所以在上单调递增，在上单调递减. 因为，所以，即，即. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ） A. 是的极值点 B. 是的极大值点 C. 的单调递减区间是 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据导函数的图象，求出原函数的单调区间，结合极值点的意义判断. 【详解】由导函数图象可知， 当 或 时， ，当 时， ， 所以函数的单调递增区间为和， 单调递减区间为，选项C正确； 是的极大值点，选项B正确； 在的左右两边导数符号不变， 所以不是的极值点，选项A错误； 在上单调递增，所以，选项D错误. 10. 已知等差数列中，，，前项和为，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A利用等差数列的下标和性质求；列方程组求出首项和公差即可逐一判断BCD选项. 【详解】由于，A正确； 设等差数列的公差为， 则，解得，则，故B错误； 又， 所以，C正确； ，D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数有最大值 B. 若函数图象的对称中心为，则 C. 函数在 上一定存在减区间 D. 函数可能有2个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，求导根据函数的单调性判断即可；对于B，二阶导数求对称中心横坐标或利用对称中心定义判断即可；对于C，求导，结合判别式大于零解出减区间即可判断；对于D，因式分解，结合判别式大于零进行判断即可. 【详解】对于A，当时，， 当 时，在上单调递增， 当无限趋于正无穷大时，也无限趋于正无穷大，所以没有最大值，故A错误； 对于B，法一：，令，则， 结合三次函数对称性可知，，所以 ，故B正确； 法二：若函数图象的对称中心为，则对任意实数，恒有， 代入化简得，解得 ，故B正确； 对于C，，令， 解得或， 当时，所以在上单调递减，故C正确； 对于D，， 令，又， 所以 有两个不为0的根，所以有3个零点，故D错误. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知等比数列的各项均为正数，若，则______． 【答案】 【解析】 【详解】在等比数列中， ， 已知 ，所以， 又因为数列各项均为正数，所以． 13. 函数在区间上的最大值为_________． 【答案】2 【解析】 【详解】∵ ，， ∴ 对 求导得. 令，解得， ，均属于区间. 分别计算 在区间端点和极值点处的函数值： 当 时，. 当 时，. 当时，. 当时，. 比较上述函数值大小：， ∴ 函数 在区间上的最大值为. 14. 已知数列满足 ，，则数列的前项的和为________. 【答案】 【解析】 【分析】先由通过累加法求通项得，再通过裂项相消求和可得. 【详解】由题意可知，满足 ， ， 当时，， ，以上各式累加得， ， 当时， ，也满足上式，，则. ∴数列的前项和为， . 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数在上的最大值与最小值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程； （2）利用导数求出函数的单调区间和极值，再求出端点的函数值，比较大小可得结果. 【小问1详解】 函数的定义域为，且， ，且， 所以所求切线方程为，即. 【小问2详解】 令，有， . 当变化时，，变化如下 1 3 + 0 - 0 + ↗ 3 ↘ ↗ 19 所以函数在单调递减，在，上单调递增， 而，， 所以，. 16. 已知等差数列满足，. （1）求数列的通项公式 （2）求 【答案】（1） （2）60 【解析】 【分析】（1）将条件转化为关于和的等式组，联立后结合等差数列通项公式即可求解； （2）将问题化为关于和的式子，并结合（1）中求得的值即可求解. 【小问1详解】 设为 的公差，由题意得，解得， 故. 【小问2详解】 由题意得 . 17. 函数在点处的切线斜率为． （1）求实数a的值； （2）求的极值． 【答案】（1） （2）极小值为，没有极大值. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可； （2）根据极值的定义，结合导数的性质进行求解即可. 【小问1详解】 ， 因为函数在点处的切线斜率为， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知：， 令，解得，所以函数在上单调递增， 令，解得，所以函数在上单调递减， 所以函数只有极小值. 18. 设数列的前项和为， 且． （1）证明为等比数列； （2）若，求数列的前项和为． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用数列前项和与通项的关系推导递推公式，结合等比数列定义完成证明； （2）先求出的通项，将拆分为等比数列和等差数列分别求和后相加得到. 【小问1详解】 已知 且． 当时，，， 当且时，①，又因为②， ②式减①式得，即， 又，，∴，满足上述递推关系且，， 因此对于任意都有. 故数列是以 为首项，2为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）可得，所以， 所以. 19. 已知函数，其中. （1）当时， （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求函数的单调区间； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）在上单调递减，在上单调递增. （2）. 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）根据导数的几何意义求切线方程； （ⅱ）根据导数的正负求函数的单调区间； （2）首先确定，再根据导数求函数的最小值，根据最小值，结合极值点化简不等式，求和的取值范围. 【小问1详解】 当时， ，. （ⅰ）因，，所以切线方程为. （ⅱ）由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 当时，，不满足题意. 所以，此时. 显然是上的增函数，且时，，时，， 所以存在唯一正实数使得，即. 此时在上单调递减，在上单调递增. 由题意. 将代入上式整理得：，解得：. 此时，代入后. 化简得：，解得：. 令，其中. 则，所以是区间上的增函数. 所以，代入得到的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $