精品解析：江西省上饶市余干县私立蓝天中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

2024-2025学年度下学期高二数学第一次月考试卷 一、单选题（每小题5分共40分） 1. 数列的第9项是（ ） A. B. 19 C. D. 17 2. 已知数列通项公式为，则146是该数列的（ ） A. 第10项 B. 第11项 C. 第12项 D. 第13项 3. 已知等差数列中，，则（ ） A. 13 B. 16 C. 15 D. 14 4. 已知等比数列首项为1，公比为，则数列的前5项和为（ ） A. 11 B. 16 C. D. 5. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 52 B. 104 C. 112 D. 120 6. 已知等比数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 7. 在数列中，，点在直线上，则（     ） A. B. C. D. 8. 已知函数，数列满足，且为正整数）．则（ ） A －1 B. 1 C. D. 二、多选题（每小题6分共18分） 9. 已知数列的前项为、、、、，则的通项公式可能为（ ） A. B. C. D. 10. 若为等差数列，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是数列中的项 C. 数列单调递减 D. 数列前7项和最大 11. 设数列的前项和为的前项和为，满足，且且，则（ ） A. 是等差数列 B. 时，的最大值为26 C. 若，则数列是递增数列 D. 若，则 三、填空题（每小题5分共15分） 12. 数列是以2为首项，3为公差的等差数列，则__________． 13. 用数学归纳法证明等式，时，由到时，等式左边应添加的项是_______________． 14. 小明用数列记录某地区2023年8月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记，当第k天没下过雨时，记，他用数列记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记，当预报第k天没有雨时，记记录完毕后，小明计算出，那么该月气象台预报准确的总天数为________. 四、解答题 15. 已知等差数列的前项和为，满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求． 16. 已知等比数列满足，，为数列的前项和． （1）求数列的通项公式； （2）若，求的值． 17. 已知数列中，，，． （1）求，的值； （2）求的前2021项和． 18. 设数列的前项和为，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列前项和. 19. 数列中，，.前项和满足. （1）求（用表示）； （2）求证：数列等比数列； （3）若，现按如下方法构造项数为的有穷数列，当时，；当时，.记数列的前项和，试问：是否能取整数？若能，请求出的取值集合：若不能，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度下学期高二数学第一次月考试卷 一、单选题（每小题5分共40分） 1. 数列的第9项是（ ） A. B. 19 C. D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】利用观察法得到数列的一个通项公式，再代入计算即可得解. 【详解】观察数列，可得其通项公式可以为， 所以. 故选：D. 2. 已知数列的通项公式为，则146是该数列的（ ） A. 第10项 B. 第11项 C. 第12项 D. 第13项 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的通项公式，列式求出值即可. 【详解】依题意，，而，解得， 所以146是该数列的第12项. 故选：C 3. 已知等差数列中，，则（ ） A 13 B. 16 C. 15 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件，结合等差数列的通项公式，可求得公差，再代入通项公式，即可求得. 【详解】由，得，故， 所以. 故选：D. 4. 已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前5项和为（ ） A. 11 B. 16 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列前n项和公式求解. 【详解】根据题意，. 故选：A 5. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 52 B. 104 C. 112 D. 120 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式和下标和性质即可得到答案. 【详解】. 故选：A. 6. 已知等比数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列片段和的性质可求的值. 【详解】因为为等比数列，其前n项和为， 故为等比数列，故为等比数列， 故，故， 故选：B. 7. 在数列中，，点在直线上，则（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可知数列是以首项为1，公差为2的等差数列，结合等差中项运算求解. 【详解】因为，点在直线上， 则，即， 可知数列是以首项为1，公差为2的等差数列， 所以. 故选：C. 8. 已知函数，数列满足，且为正整数）．则（ ） A. －1 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 分析】将进行整理，可以求出其通项公式，再代入可得答案. 【详解】由， ， 故选：C 二、多选题（每小题6分共18分） 9. 已知数列的前项为、、、、，则的通项公式可能为（ ） A B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用观察法可得出数列的通项公式. 【详解】观察数列的前项可知，的通项公式可能为， 因为，故， 若，则，不合乎题意. 故选：ABC. 10. 若为等差数列，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是数列中的项 C. 数列单调递减 D. 数列前7项和最大 【答案】ACD 【解析】 【分析】由为等差数列，列方程组求得首项与公差，就可得到通项公式，然后对选项逐一判断即可. 【详解】因为数列为等差数列，且，则，解得，，故A选项正确， 由，得，故B错误， 因为，所以数列单调递减，故C正确， 由数列通项公式可知，前7项均为正数，，所以前7项和最大,故D正确. 故选：ACD 11. 设数列的前项和为的前项和为，满足，且且，则（ ） A. 是等差数列 B. 时，的最大值为26 C. 若，则数列是递增数列 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，首先得，根据之间的关系得，由此即可判断；对于B，令，解不等式即可判断；对于C，由举出反例即可判断；对于D，代入即可验算. 【详解】对于A，由题意，解得， 所以，， 当时，， 当时，有，故，故A正确； 对于B， 令，解得，故B正确； 对于C，若，则，故C错误； 对于D，若，则，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（每小题5分共15分） 12. 数列是以2为首项，3为公差的等差数列，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式计算推理即得. 【详解】依题意，， 故得. 故答案为：. 13. 用数学归纳法证明等式，时，由到时，等式左边应添加的项是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】写出和时的两个式子，作差（或比较）可得． 【详解】因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由到时，等式左边增加了 ， 故答案为：． 14. 小明用数列记录某地区2023年8月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记，当第k天没下过雨时，记，他用数列记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记，当预报第k天没有雨时，记记录完毕后，小明计算出，那么该月气象台预报准确的总天数为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，气象台预报准确时，不准确时，从而得到从而得到最终得结果. 【详解】由题意可知，气象台预报准确时，不准确时，， 设其中有天准确，即等式左边有个，个，则，解得， 所以准确天数为. 故答案为： 四、解答题 15. 已知等差数列的前项和为，满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求． 【答案】（1） （2）20 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； （2）由并项求和法代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意可得，解得，所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以. 16. 已知等比数列满足，，为数列的前项和． （1）求数列通项公式； （2）若，求值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列通项公式可构造方程求得公比，进而得到； （2）利用等比数列求和公式可直接构造方程求得结果． 【小问1详解】 设等比数列的公比为，则， 解得：， ． 【小问2详解】 ， ， 解得：． 17. 已知数列中，，，． （1）求，的值； （2）求的前2021项和． 【答案】（1）；；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据递推公式，利用代入法进行求解即可； （2）根据递推公式可以求出数列的周期，利用数列的周期性进行求解即可. 【详解】（1）当时，，所以； 当时，，所以； （2）当时，，所以； 由知：，所以，故数列是以4为周期的周期数列， 即，，，， 所以． 18. 设数列的前项和为，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由，得（，且），两式相减得，得是以为公比的等比数列，且，即可得结果； （2）由= ， 得 ，由裂项相消法求和即可. 【详解】（1）因为，所以（，且）， 则（，且）. 即（，且）. 因为，所以，即. 所以是以为首项，为公比的等比数列. 故. （2），所以. 所以， 故 . 【点睛】本题考查了求等比数列的通项公式和裂项相消法求数列和的问题，属于基础题. 19. 数列中，，.前项和满足. （1）求（用表示）； （2）求证：数列是等比数列； （3）若，现按如下方法构造项数为的有穷数列，当时，；当时，.记数列的前项和，试问：是否能取整数？若能，请求出的取值集合：若不能，请说明理由. 【答案】（1） （2）证明见详解. （3）能取整数,此时的取值集合为. 【解析】 【分析】（1）利用递推关系式,令,通过,求出即可. （2）递推关系式转化为：,化简推出数列是等比数列. （3）由,求出,求出,得到通项公式,然后求解的分母与分子,讨论要使取整数,需为整数,推出的取值集合为时,取整数 【详解】解：（1）令,则, 将,代入,有. 解得：. （2）由 得, 化简得,又, 是等比数列. （3）由,, 又是等比数列, , , ①当时, 依次为, . ②当时, , , , 要使取整数,需为整数, 令,, ,要么都为整数,要么都不是整数, 又 所以当且仅当为奇数时,为整数, 即的取值集合为时,取整数. 【点睛】本题主要考查利用递推公式结合,为判断等比数列,考查数列前项和的比的问题的转化与化归思想的综合性解题能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$