第16讲导数概念与求导公式、法则（知识清单+7典例精讲+5方法技巧+分层训练）-2027届高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦导数概念、求导公式与法则核心考点，按导数定义、基本公式、四则运算、复合函数的逻辑层次构建知识体系，通过知识清单梳理、7类典例精讲、5大方法技巧总结及分层训练，帮助学生系统突破导数运算难点。 资料以数学思维培养为核心，创新设计导数定义极限式变形、复合函数逐层求导等解题大招，通过近3年真题情境化训练，提升学生运算推理与问题转化能力。分层训练含基础过关、拔高选练及错题复盘，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考技能。

第16讲导数概念与求导公式、法则 （知识清单+7典例精讲+5方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 导数四则运算、幂函数求导，考查 基础公式运算求值 填空题 5分 综合考查四则运算法则、复合函数求导 ，为导数大题基础运算环节 解答题 12分 导数定义辨析、基础求导公式判断，考查 公式正误辨析 多选题 6分 乘法求导法则应用 ，求函数在定点的导数值 填空题 5分 乘法求导法则应用 ，求函数在定点的导数值 解答题 12分 平均变化率公式 计算与导数瞬时变化率辨析 单选题 5分 除法求导法则 综合辨析判断 多选题 6分 【知识点01】导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f'(x0)或y'. f'(x0)＝. (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数) f'(x)＝y'＝. 【例1】求函数在区间上的平均变化率。 【知识点02】基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f'(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f'(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f'(x)＝cos x f(x)＝cos x f'(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f'(x)＝axln a f(x)＝ex f'(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f'(x)＝ f(x)＝ln x f'(x)＝ 【例2】求函数的导数。 【知识点03】导数的运算法则 若f'(x)，g'(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]'＝f'(x)±g'(x)； [f(x)g(x)]'＝f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)； '＝(g(x)≠0)； [cf(x)]'＝cf'(x). 【例3】求函数的导数。 【知识点04】复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y'x＝y'u·u'x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 【例4】求函数的导数。 【题型一】瞬时变化率与导数的概念 【例1】（2026·广东梅州·一模）某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：cm）与时间（单位：s）之间的关系为，则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为（    ）. A． B． C． D． 【变式1】（多选）（2025·广东湛江·一模）设定义在R上的函数和，记的导函数为，且满足，，若为奇函数，则下列结论一定成立的有（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（多选）（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为R，若是奇函数，，且对任意，，则（    ） A． B． C．是周期为3的函数 D． 【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知符号“”代表极限的意思，现给出两个重要极限公式：①；②，则依据两个公式，类比求_____； ________. 【题型二】基本初等函数的导数公式 【例1】（2025·云南·模拟预测）已知斜率为2的直线与曲线相交，交点依次为，，，且，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·陕西咸阳·三模）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．该公式也称为麦克劳林公式．根据该公式估算的值为（）（精确到小数点后两位） 注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，即为的导数．表示的阶乘，即． A．0.85 B．0.88 C．0.91 D．0.95 【变式2】（多选）（2025·四川成都·模拟预测）设，，.若与分别是与的导函数，则（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【变式3】已知函数，设，则__________． 【题型三】导数的运算法则 【例3】（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则___________ 【变式1】（2026·河北·模拟预测）已知函数 则（    ） A．0 B．1 C． D． 【变式2】（2025·四川巴中·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且函数也是偶函数，其中表示函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数，若，则___________． 【题型四】简单复合函数的导数 【例4】（2026·福建泉州·三模）定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·重庆·三模）设函数的定义域为，是的导函数.若是奇函数，则的图象（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 【变式2】（2025·河北·模拟预测）函数的极小值点为__________. 【变式3】（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数，及其导函数的定义域均为，若，，且，则______． 【题型五】导数的加减法 【例5】（2025·甘肃白银·三模）若函数的导函数为偶函数，则的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数，若，则（    ） A．36 B．12 C．4 D．2 【变式2】已知函数，则函数___________. 【变式3】（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数． (1)当时，若直线与曲线相切，求； (2)若直线与曲线恰有两个公共点，求． 【题型六】导数的乘除法 【例6】（2026·广东广州·一模）函数在区间上的极值点个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】（多选）（2024·黑龙江大庆·一模）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则____________. 【变式3】求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)． 【题型七】求某点处的导数值 【例7】（2026·河南新乡·三模）已知函数，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式1】（2025·河北·模拟预测）若函数与函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B．1 C．ln3 D． 【变式2】（2026·湖南·模拟预测）已知函数，则______． 【变式3】（2026·辽宁大连·模拟预测）已知函数. (1)若，求实数的值； (2)若在上有且仅有两个不同极值点，求实数的取值范围. 【解题大招01】平均变化率快速求解技巧 方法核心：无需化简原函数，直接套固定公式，代入区间端点函数值即可，是导数最基础秒杀方法。 万能公式 解题步骤：求端点函数值→作差→作商，三步直接出结果。 【例1】求函数 在区间 上的平均变化率。 【解题大招02】导数定义极限式解题技巧 方法核心：抓住导数定义式结构，极限增量无限趋近于0，统一变形为标准定义式求解，无需复杂极限运算。 标准定义式 【例2】利用导数定义求 在 处的导数。 【解题大招03】基础初等函数求导秒杀技巧 方法核心：熟记8大基础求导公式，幂函数降次、对数取倒数、指数不变、正余互换符号，直接口算求导。 高频速记公式 【例3】求函数 的导数。 【解题大招04】四则运算求导避错技巧 方法核心：和差直接分项求导；乘法“前导后不导+前不导后导”；除法“上导下不导减上不导下导”，顺序绝对不能颠倒。 核心公式 乘法： 除法： 【例4】求 的导数。 【解题大招05】复合函数逐层求导技巧 方法核心：由外到内、逐层求导、层层相乘，绝不遗漏内层导数，多层复合重复使用法则。 核心法则 【例5】求 的导数。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2024·湖北·一模）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃白银·三模）如果质点按规律（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（    ） A．8 m/s B．7m/s C．6 m/s D．5 m/s 3．（2025·云南昆明·模拟预测）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2024·海南·模拟预测）已知，若函数的图象在点处的切线与轴平行，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2024·江苏南通·二模）已知，当时，_________. 6．（2024·湖北黄石·三模）已知函数，则______. 四、解答题 7．（2026·安徽黄山·一模）已知是正项数列的前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)若为函数的导函数，记，求数列的前项和． 8．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·河南南阳·二模）若是函数的极值点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏盐城·三模）若，则（    ） A．0 B．2 C．－2 D．－4 3．（2026·山东青岛·二模）部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量与时间之间满足关系式，其中是臭氧的初始含量，则（    ） A．随着时间的增加，臭氧含量在增加 B．当从1变化到2时，臭氧含量减少 C．当从0变化到2时，臭氧含量的平均变化率为 D．当时，臭氧含量的瞬时变化率为 二、多选题 4．（2026·吉林通化·模拟预测）已知定义域为的奇函数满足，，使得，为函数的导函数且的定义域为，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2025·广西柳州·一模）已知定义在上的函数，为的导函数，定义域也是，满足，则______． 四、解答题 6．（2024·四川德阳·模拟预测）记数列的前项和为. (1)设，若，求的通项公式； (2)记，设，求. 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）若，则（    ） A．−10 B．0 C．10 D．20 2．（2023·安徽亳州·模拟预测）狄利克雷（1805~1859）Dirichlet，PeterGustavLejeune德国数学家.对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.他提出了著名的狄利克雷函数，狄利克雷函数是数学分析中典型的病态函数.则关于有以下结论中不正确的是（    ） A． B． C．存在使得以点为顶点的三角形是等腰直角三角形 D．设函数，则 二、多选题 3．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知定义在上的偶函数满足，，设在上的导函数为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 4．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知数列的通项公式为，函数，求________. 四、解答题 5．（2025·安徽·一模）已知函数为函数的导函数. (1)证明：； (2)若函数，请判断在区间上的零点个数，并说明理由； (3)若函数，证明：当时，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲导数概念与求导公式、法则 （知识清单+7典例精讲+5方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 导数四则运算、幂函数求导，考查 基础公式运算求值 填空题 5分 综合考查四则运算法则、复合函数求导 ，为导数大题基础运算环节 解答题 12分 导数定义辨析、基础求导公式判断，考查 公式正误辨析 多选题 6分 乘法求导法则应用 ，求函数在定点的导数值 填空题 5分 乘法求导法则应用 ，求函数在定点的导数值 解答题 12分 平均变化率公式 计算与导数瞬时变化率辨析 单选题 5分 除法求导法则 综合辨析判断 多选题 6分 【知识点01】导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f'(x0)或y'. f'(x0)＝. (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数) f'(x)＝y'＝. 【例1】求函数在区间上的平均变化率。 解析：. 【知识点02】基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f'(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f'(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f'(x)＝cos x f(x)＝cos x f'(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f'(x)＝axln a f(x)＝ex f'(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f'(x)＝ f(x)＝ln x f'(x)＝ 【例2】求函数的导数。 解析： . 【知识点03】导数的运算法则 若f'(x)，g'(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]'＝f'(x)±g'(x)； [f(x)g(x)]'＝f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)； '＝(g(x)≠0)； [cf(x)]'＝cf'(x). 【例3】求函数的导数。 解析： 【知识点04】复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y'x＝y'u·u'x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 【例4】求函数的导数。 解析： . 【题型一】瞬时变化率与导数的概念 【例1】（2026·广东梅州·一模）某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：cm）与时间（单位：s）之间的关系为，则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义求解即可得答案. 【详解】由题可得瞬时速度, 当位移时，可得，解得：,所以, 所以, 则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为， 故选：A 【变式1】（多选）（2025·广东湛江·一模）设定义在R上的函数和，记的导函数为，且满足，，若为奇函数，则下列结论一定成立的有（   ）． A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用已知得出的图象关于对称，又得出是偶函数，从而它的周期性，然后通过的值计算出相应的值，判断各选项． 【详解】由得． 又，所以，即， 所以关于对称，． 又因为是奇函数，故是偶函数，所以满足条件． 对于选项A，因为，所以， 所以，选项A正确； ，选项B正确； 因为，所以， 所以，选项C正确； 对于选项D，，但不一定为0，选项D错误． 故选：ABC． 【变式2】（多选）（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为R，若是奇函数，，且对任意，，则（    ） A． B． C．是周期为3的函数 D． 【答案】ACD 【分析】根据函数的性质和导函数的运算法则，结合赋值法可得相关结论. 【详解】对于A：令，得， 因为，所以，A正确； 对于B：令，得 ①， 所以， 因为是奇函数，， 所以，即是偶函数， 所以②， 由①②，得， 即， 所以， 所以，是周期为3的函数， 所以，所以B错误，C正确； 对于D：因为， 在①中令得，， 所以，， 所以D正确． 故选：ACD． 【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知符号“”代表极限的意思，现给出两个重要极限公式：①；②，则依据两个公式，类比求_____； ________. 【答案】 【分析】根据题意，结合极限的运算法则，准确计算，即可求解. 【详解】由极限的定义知：①；②， 因为，，可得， 则； 又因为，令，可得， 所以. 故答案为：；. 【题型二】基本初等函数的导数公式 【例1】（2025·云南·模拟预测）已知斜率为2的直线与曲线相交，交点依次为，，，且，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过导数的对称轴求得曲线的对称中心，由题意求得点坐标，即可求得直线方程. 【详解】由得， 导数关于对称， 令，此时， 由三次函数的对称性可知曲线的对称中心为， 由知，点、关于点对称，即， 故直线过点，斜率为2，其方程为， 故选：B. 【变式1】（2025·陕西咸阳·三模）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．该公式也称为麦克劳林公式．根据该公式估算的值为（）（精确到小数点后两位） 注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，即为的导数．表示的阶乘，即． A．0.85 B．0.88 C．0.91 D．0.95 【答案】C 【分析】根据麦克劳林公式，求出，令即可求解． 【详解】在处n阶可导， 求出，令， 故选：C. 【变式2】（多选）（2025·四川成都·模拟预测）设，，.若与分别是与的导函数，则（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据余弦函数的特殊值求角判断A；应用导函数结合复合函数计算判断B；应用等比数列求和公式计算判断C，D. 【详解】对于A，由可得，，即，所以，所以，，故A正确； 对于B，因为，所以，所以， 所以，所以，所以，故B错误； 对于C，由于，故C正确； 对于D，由于，取，则， 从而， 当时，，故D正确. 故选：ACD. 【变式3】已知函数，设，则__________． 【答案】 【分析】先令，可求出，然后对等式两边同时求导，并赋值即可. 【详解】由，取，得到； 等式两边同时求导，得到，取，得到. 于是. 故答案为： 【题型三】导数的运算法则 【例3】（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则___________ 【答案】 【分析】由题意得即可求解，再代入即可求解. 【详解】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 【变式1】（2026·河北·模拟预测）已知函数 则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由求导法则计算可得答案. 【详解】求导得： 令，得： ， 解得：， 因此， 令，得： . 故 选：A 【变式2】（2025·四川巴中·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且函数也是偶函数，其中表示函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合导数的运算法则，偶函数的定义逐一判断各个选项即可求解. 【详解】设， 对于A，，函数的定义域为，关于原点对称，且， 所以是偶函数， 若，则，c是常数，的定义域为，且，所以也是偶函数，故A正确； 对于B，若，则，c是常数，所以不成立，故B错误； 对于C，是非奇非偶函数，故C错误； 对于D，若，则，c是常数，所以不成立，故D错误. 故选：A. 【变式3】（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数，若，则___________． 【答案】 【分析】根据导函数的奇偶性，代入求值即可. 【详解】由，得， 又， 所以为奇函数，所以. 故答案为：. 【题型四】简单复合函数的导数 【例4】（2026·福建泉州·三模）定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数定义，两边取导数可得，据此求解即可. 【详解】因为定义在上的奇函数，所以， 两边取导数可得，即， 所以， 因为时，，所以时，， 所以. 【变式1】（2025·重庆·三模）设函数的定义域为，是的导函数.若是奇函数，则的图象（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 【答案】B 【分析】由题意得，求导得，即可求解. 【详解】因为是奇函数，所以，即， 对其求导，则有，所以关于直线对称. 故选：B 【点睛】结论点睛：本题考查对称性，一般根据以下结论进行判断： （1）对于，若，则函数周期为； （2）对于，若，则函数关于直线对称； （3）对于，若，则函数关于点对称. 【变式2】（2025·河北·模拟预测）函数的极小值点为__________. 【答案】/ 【分析】先将函数进行变形得到，再利用复合函数的求导法则进行求导，然后判断函数的单调性即可. 【详解】因，则， 令，则， 则 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则的极小值点为. 故答案为： 【变式3】（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数，及其导函数的定义域均为，若，，且，则______． 【答案】5 【分析】根据给定条件，变形并求导，再探讨函数的特征，进而赋值求解. 【详解】函数的定义域均，由，得， 求导得，则，又，因此； 由，得，由，得， 因此，解得，所以. 故答案为：5 【题型五】导数的加减法 【例5】（2025·甘肃白银·三模）若函数的导函数为偶函数，则的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐一判断各选项中导函数的奇偶性即可. 【详解】对于选项A，为奇函数，A错误； 对于选项B，为非奇非偶函数，B错误； 对于选项C，，且，，， 则不是偶函数，C错误； 对于选项D，为偶函数，D正确. 故选：D. 【变式1】已知函数，若，则（    ） A．36 B．12 C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据函数在处的导数的定义将变形为即可求解. 【详解】解：根据题意，，则，则， 若，则 ， 则有，即， 故选：C. 【变式2】已知函数，则函数___________. 【答案】 【分析】由导数的运算法则与赋值法求解 【详解】由题意得，且， 令，得，故 故答案为： 【变式3】（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数． (1)当时，若直线与曲线相切，求； (2)若直线与曲线恰有两个公共点，求． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）此类问题，通过设切点坐标，求导数，利用切点处的导数等于切线斜率，以及切点在切线上也在曲线上，解联立方程组即可； （2）由已知问题等价于方程，即方程有两个不等实根，显然是方程的一个根，所以当时，方程可化为（*），它还有不等于的唯一根，根据一元二次方程的根的性质即可解决问题． 【详解】（1）当时，，， 因为直线与曲线相切， 设切点为，则切线斜率， 可得，解得或， 所以或． （2）因为直线与曲线恰有两个公共点， 所以方程， 即方程有两个不等实根， 因为是方程的一个根； 当时，方程可化为（*）， 依题意，方程（*）有不等于的唯一根， 因为，若，则（*）即，，满足条件； 若，则由，解得：． 综上所述，或． 【题型六】导数的乘除法 【例6】（2026·广东广州·一模）函数在区间上的极值点个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据题意，求得，令，求得或，结合正弦函数的性质，以及函数极值点的定义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，即，可得或， 因为，可得， 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增， 所以在上递增，在上递减，在上递增， 在上递增，在上递减，在上递增， 其中两侧函数的单调性相同，可得不是函数的极值点， 所以在区间的极值点为，共有4个. 故选：A. 【变式1】（多选）（2024·黑龙江大庆·一模）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用辅助角公式将函数化简，再由诱导公式判断A、B；求出函数的导函数，即可判断C；根据正弦函数的性质判断D. 【详解】因为， 则，故A错误； ，故B正确； 又，当，则， 所以， 所以，即，故C正确； 当，则，所以， 所以，故不使得，故D错误. 故选：BC 【变式2】已知，则____________. 【答案】24 【分析】令，根据导数的运算可得，代入可得，即可求解. 【详解】令， 则， 所以， 所以. 故答案为：24. 【变式3】求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用导数的求导法则以及基本初等函数的导数公式逐个求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以； （2）因为， 所以， 所以； （3）因为， 所以， 所以. 【题型七】求某点处的导数值 【例7】（2026·河南新乡·三模）已知函数，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先求出导函数，再应用赋值法计算求解. 【详解】函数， 则， 令，则， 则； 【变式1】（2025·河北·模拟预测）若函数与函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B．1 C．ln3 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出函数及导数，进而求出导数值. 【详解】由函数与函数的图象关于直线对称，得， 求导得，所以. 故选：D 【变式2】（2026·湖南·模拟预测）已知函数，则______． 【答案】0 【分析】借助导数运算法则计算即可得解. 【详解】，则，故. 【变式3】（2026·辽宁大连·模拟预测）已知函数. (1)若，求实数的值； (2)若在上有且仅有两个不同极值点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，代入即可求解， （2）求导，将问题转化为在上仅有一个不为1的，实数根构造函数由导数求解函数的单调性，进而求解最值得解. 【详解】（1）， ，故 （2）令，则在上有且仅有两个实数根， 由于，所以在上仅有一个实数根，则在上仅有一个不为1的实数根， 令则， 当时， 在上单调递增， 当时， 在上单调递减， 且 而故 【解题大招01】平均变化率快速求解技巧 方法核心：无需化简原函数，直接套固定公式，代入区间端点函数值即可，是导数最基础秒杀方法。 万能公式 解题步骤：求端点函数值→作差→作商，三步直接出结果。 【例1】求函数 在区间 上的平均变化率。 解析： 【解题大招02】导数定义极限式解题技巧 方法核心：抓住导数定义式结构，极限增量无限趋近于0，统一变形为标准定义式求解，无需复杂极限运算。 标准定义式 【例2】利用导数定义求 在 处的导数。 解析： 【解题大招03】基础初等函数求导秒杀技巧 方法核心：熟记8大基础求导公式，幂函数降次、对数取倒数、指数不变、正余互换符号，直接口算求导。 高频速记公式 【例3】求函数 的导数。 解析： 【解题大招04】四则运算求导避错技巧 方法核心：和差直接分项求导；乘法“前导后不导+前不导后导”；除法“上导下不导减上不导下导”，顺序绝对不能颠倒。 核心公式 乘法： 除法： 【例4】求 的导数。 解析： 【解题大招05】复合函数逐层求导技巧 方法核心：由外到内、逐层求导、层层相乘，绝不遗漏内层导数，多层复合重复使用法则。 核心法则 【例5】求 的导数。 解析： 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2024·湖北·一模）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对求导，再令求得，进而得到与，再依次求即可得解. 【详解】因为，所以， 则，得，故B错误； 所以，， 则，， ，故AD错误，C正确. 故选：C. 2．（2025·甘肃白银·三模）如果质点按规律（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（    ） A．8 m/s B．7m/s C．6 m/s D．5 m/s 【答案】B 【分析】利用瞬时变化率的定义即可求得该质点在2s末的瞬时速度. 【详解】， 则质点在2s末的瞬时速度为7m/s. 故选：B 3．（2025·云南昆明·模拟预测）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合奇函数的定义可得，求导代入运算求解即可. 【详解】因为是奇函数， 则， 可得，即， 则，， 可得，解得. 故选：B. 二、多选题 4．（2024·海南·模拟预测）已知，若函数的图象在点处的切线与轴平行，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】求导，由题意得到，再结合放缩，逐项判断. 【详解】解：，由题意知. 对于A，因为，，所以，所以，故A正确； 对于B，同理，所以，故B错误； 对于C，若，，，则，故C错误； 对于D，由，得， 由，得，所以，故D正确. 故选：AD 三、填空题 5．（2024·江苏南通·二模）已知，当时，_________. 【答案】1 【分析】根据导数的定义即可直接求解. 【详解】由导数的定义知，， 由，得， 所以. 故答案为：1 6．（2024·湖北黄石·三模）已知函数，则______. 【答案】 【分析】借助导数公式与导数定义计算即可得. 【详解】，则. 故答案为：. 四、解答题 7．（2026·安徽黄山·一模）已知是正项数列的前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)若为函数的导函数，记，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用前项和与通项关系式，可化简得到，从而可利用等差数列通项公式即可求解； （2）利用导数，代入通项公式化简，再利用裂项法求和即可. 【详解】（1）当时，，因为正项数列，所以， 由，得， 两式相减得，即， 因为，所以， 故是一个以1为公差的等差数列， 即． （2）由题意，则， 所以， 即． 8．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论； （2）先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论. 【详解】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·河南南阳·二模）若是函数的极值点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干条件先求出导函数，再求出未知参数，最后代入计算函数值. 【详解】由题意得， 因为为极值点，所以， 即，解得， 所以，此时是函数的极小值点，符合题意， 因此. 2．（2025·江苏盐城·三模）若，则（    ） A．0 B．2 C．－2 D．－4 【答案】C 【分析】根据复合函数导数及极限求解导数的定义即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 则. 故选：C. 3．（2026·山东青岛·二模）部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量与时间之间满足关系式，其中是臭氧的初始含量，则（    ） A．随着时间的增加，臭氧含量在增加 B．当从1变化到2时，臭氧含量减少 C．当从0变化到2时，臭氧含量的平均变化率为 D．当时，臭氧含量的瞬时变化率为 【答案】D 【详解】臭氧含量与时间之间满足关系式为， 因为是臭氧的初始含量，所以，所以是减函数，所以A错误； 当从1变化到2时，臭氧含量减少，所以B错误； 当从0变化到2时，臭氧含量的平均变化率为，所以C错误； 对于，， 所以当时，臭氧含量的瞬时变化率为，所以D正确. 二、多选题 4．（2026·吉林通化·模拟预测）已知定义域为的奇函数满足，，使得，为函数的导函数且的定义域为，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A：赋值并结合奇函数性质可得答案；对于B：反证法可判断；对于C：利用复合函数的求导法则对等式两边求导可得答案；对于D：先证明周期性，利用周期可得答案. 【详解】令，代入到中， 得：，即：， 令，得， 而是定义域为的奇函数，所以， 所以，故A正确； 假设成立，又因为， 所以，所以为偶函数， 又已知是定义域为的奇函数， 所以对，， 与，使得矛盾，故B错误； ， 两边求导数，得， 即，故C正确； 因为是定义域为的奇函数， 所以， 两边求导得：， 又， 所以， ， 在中令，得，故D正确． 三、填空题 5．（2025·广西柳州·一模）已知定义在上的函数，为的导函数，定义域也是，满足，则______． 【答案】 【分析】对条件等式左右求导可判断出的对称中心，然后根据对称性可计算出结果. 【详解】因为，所以， 所以的对称中心为， 又因为， 所以， 所以 ， 故答案为：. 四、解答题 6．（2024·四川德阳·模拟预测）记数列的前项和为. (1)设，若，求的通项公式； (2)记，设，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，的关系即可求解， （2）通过求导确定通项公式，再由错位相减法、等比数列求和公式即可求解； 【详解】（1）当时， ，整理得，当时，有. 数列是以为公比，以为首项的等比数列， 所以． （2）当时， ， 所以， 所以， 令，其前项和为， ∴① ∴② 得： . ∴. 令，其前项和易知为：， 所以 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）若，则（    ） A．−10 B．0 C．10 D．20 【答案】B 【分析】利用求导思想，结合赋值法即可求解. 【详解】对原等式两边求导得： ， 再令代入上式：， 又中一次项的系数为：， 所以. 2．（2023·安徽亳州·模拟预测）狄利克雷（1805~1859）Dirichlet，PeterGustavLejeune德国数学家.对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.他提出了著名的狄利克雷函数，狄利克雷函数是数学分析中典型的病态函数.则关于有以下结论中不正确的是（    ） A． B． C．存在使得以点为顶点的三角形是等腰直角三角形 D．设函数，则 【答案】C 【分析】结合定义，根据选项，讨论的情况，即可判断选项. 【详解】A.若为有理数，则都是有理数，则， 若是无理数，则都是无理数，则，故A正确； B.若为有理数，，则都是有理数，则，若为无理数，，则都是无理数，则，故B正确； .设①当在轴上，则为无理数，且，则为无理数，矛盾②当不在轴上，则和为有理数，则为无理数，矛盾，均不存在，故C错误；   .，故，故D正确. 故选：C 二、多选题 3．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知定义在上的偶函数满足，，设在上的导函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】结合奇偶性和对称性性质、求导运算依次求出是奇函数、、函数和是周期为6的函数即可依次分析判断ABC，由题设求出，由，得到，依次求出，即可判断D． 【详解】因为为偶函数，所以，所以，即， 所以为奇函数，故. 又，所以，即， 所以，所以，即函数是周期为6的函数. 所以函数也是周期为6的函数，即. 由求导得，，即. 对于A：由，，令，得， 令，得，令，得 又，所以. 又，即，故无法确定的值. 而，故无法确定，A错误. 对于B：由，得，故B正确. 对于C：由，，无法确定的值，C错误. 对于D：由，得，，， 所以. 又， 所以，D正确. 三、填空题 4．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知数列的通项公式为，函数，求________. 【答案】 【分析】由得，再利用裂项求和的方法求解即可. 【详解】因为，， 所以 所以 故答案为： 四、解答题 5．（2025·安徽·一模）已知函数为函数的导函数. (1)证明：； (2)若函数，请判断在区间上的零点个数，并说明理由； (3)若函数，证明：当时，. 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先求出的导数，再分别计算和，通过三角函数的两角和公式展开化简，证明二者相等； （2）先求出的导数，根据导数判断函数单调性，再结合零点存在定理确定在上的零点个数； （3）令，再求的值，利用积化和差转换即可证明. 【详解】（1）证明：由题可得， ， . 故. （2），故， ，设，则， 当时，，故单调递增， 所以，故函数单调递减，， 故函数在上无零点； 当时，， 设，则， 设，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 且， 故存在，使， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 因为， 故，又因为， 故函数在上有1个零点. 综上所述，在区间内的零点个数为2. （3）证明：令， 所以 ， 当且仅当时，上式取得等号，但不可能成立， 所以当时，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $