第04讲 常用逻辑用语（知识详解+8典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义（沪教版必修第一册）

第04讲 常用逻辑用语（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：命题 知识点02：充分条件，必要条件、充要条件 知识点03：反证法 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：判断命题的真假 题型02：指出命题的条件和结论 题型03：判断命题的充分不必要条件 题型04：根据充分不必要条件求参数 题型05：判断命题的必要不充分条件 题型06：根据必要不充分条件求参数 题型07：充要条件的证明 题型08：反证法 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】命题 1.定义：能判断真假的、不带有变元的陈述句，叫做命题（proposition）. 判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题. 例如，“10是2的倍数”是真命题，“11是偶数”是假命题. 说明：①命题必定由条件与结论两部分组成； ②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可，一票否决）； 【注意】构造反例有时候不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段. ③真命题的确定：直接法和反证法. 说明：反证法既是一种重要的数学思想，也是命题证明的一种方法，后面会有赘述. 2. 推出关系： 如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则. 它是逻辑推理的基础. 【例1】判断下列语句是否为命题，若是命题，判断真假，将真命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题。 ①今天天气真好啊！ ②对顶角相等； ③x>2。 解：① 感叹句，不是命题，无法判断真假； ② 是陈述句，可判断真假，是真命题； 改写为若p则q形式：若两个角是对顶角，则这两个角相等。 逆命题：若两个角相等，则这两个角是对顶角（假命题）； 否命题：若两个角不是对顶角，则这两个角不相等（假命题）； 逆否命题：若两个角不相等，则这两个角不是对顶角（真命题）。 ③ 无法判断x的取值范围，不能判断真假，不是命题。 【知识点02】充分条件，必要条件、充要条件 1.充分条件、必要条件：对于两个陈述句与，如果，就称是的充分条件，亦称是的必要条件. 2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件． 【方法点拨】 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． 判断充要条件的方法是： ①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件； ④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件． ⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系． 【例2】已知p：，q：，判断p是q的什么条件，q是p的什么条件。 解：第一步：判断是否成立 若，一定满足，故成立； 第二步：判断是否成立 若，不一定满足（例如x=2），故不成立； 第三步：结合定义下结论 p能推出q，q不能推出p，因此： p是q的充分不必要条件； q是p的必要不充分条件。 【知识点03】反证法 要判断一个命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行；但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足的对象都满足结论，但有时直接验证这一点并不是一件容易的事. 我们可以首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出的与已知条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的，这样的证明方法叫反证法. 【思路点拨】 用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的方法，其次注意反证法是在条件较少，不易入手时常用的方法，尤其有否定词或含“至多”“至少”等词的问题中常用．使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等． 1．证明思路：肯定条件，否定结论→推出矛盾→推翻假设，肯定结论 2．反证法的一般步骤： （1）分清命题的条件和结论； （2）作出与命题结论相矛盾的假设； （3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； （4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真． 【例3】用反证法证明：在同一平面内，两条直线相交，只有一个交点。 解：第一步：反设 假设该命题不成立，即假设同一平面内，两条相交直线至少有两个交点，不妨设两条直线为，存在两个不同交点A、B。 第二步：归谬（推导矛盾） 根据基本公理：两点确定一条直线。 经过A、B两点有且只有一条直线，与我们假设的两条不同直线相互矛盾。 第三步：存真 因此假设不成立，故原命题成立，即：同一平面内，两条直线相交，只有一个交点。 【题型01】判断命题的真假 【典例1-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中是真命题的是（    ） A．等边三角形都全等 B．若，则 C．对顶角相等 D．所有偶数都是合数 【答案】C 【分析】A，根据等边三角形和全等的定义作出判断；B，解不等式得到B错误；C，由对顶角定义判断；D，可举出反例. 【详解】A选项，等边三角形的边长不一定相等，故不一定全等，A错误； B选项，若，则或，B错误； C选项，对顶角相等，C正确； D选项，2为偶数，但2为质数，D错误. 故选：C 【变式1-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 【答案】D 【分析】由集合的运算及基本关系求解． 【详解】解：对于A项，若，则对，有，则，则A项正确； 对于B项，若，则对，则，则B项正确； 对于C项，对，有，对，有， 所以，集合的所有元素相同，即，则C项正确； 对于D项，如，显然，故D项错误， 故选：D 【变式1-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）命题“若 ，则 ”为 ________命题．（填真、假） 【答案】真 【分析】由集合的关系进行求解． 【详解】由，等价于，由，等价于， 则命题“若 ，则 ”为真命题， 故答案为：真 【变式1-3】判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，，则； (2)若a、，则关于x的方程的解为． 【答案】(1)真命题，理由见解析； (2)假命题，理由见解析. 【分析】（1）推出为的真子集，则得到； （2）举出反例即可. 【详解】（1），则为的真子集， 故，故其为真命题. （2）当时，该方程的解为，故其为假命题. 【题型02】指出命题的条件和结论 【典例2-1】将“等腰三角形两底角必是锐角”改写为“若…则…”形式___________. 【答案】若两个角是等腰三角形的两个底角，则它们是锐角． 【分析】确定命题的条件和结论，然后改写． 【详解】命题中条件是：“两个角是等腰三角形的两底角”，结论是“角是锐角”，改写为： 若两个角是等腰三角形的两个底角，则它们是锐角． 故答案为：若两个角是等腰三角形的两个底角，则它们是锐角． 【变式2-1】把下列命题改写成“若，则”的形式： （1），函数的值随值的增加而增加； （2）当两圆相切时，连心线过两圆的切点． 【答案】（1）时，若的值增加，则函数的值也随着增加． （2）当两圆相切时，若一直线过两圆心，则必过两圆的切点． 【分析】合理断句分出，，改写成“若，则”的形式． 【详解】（1）时，若的值增加，则函数的值也随着增加． （2）当两圆相切时，若一直线过两圆心，则必过两圆的切点． 【点睛】本题考查命题的形式，属于基础题. 【变式2-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)已知，为正整数，当时，且． 【答案】(1)答案见解析，真命题． (2)答案见解析，真命题． (3)答案见解析，假命题． 【分析】（1）（2）（3）按给定条件改写命题，再判断真假. 【详解】（1）若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题． （2）若，则，是真命题． （3）已知、为正整数，若，则且，是假命题． 【变式2-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列各组中陈述句，的推出关系： (1)：是能被4整除的自然数，：是偶数； (2)：实数满足方程，：或； (3)：实数满足方程，：． 【答案】(1)，但 (2) (3)，但． 【分析】对于（1），可举例分析判断；对于（2），（3）解出方程，结合举反例判断. 【详解】（1）是能被4整除的自然数，即，所以是偶数．即， 但．反例：是偶数，但不能被4整除． （2）实数满足方程，可得或，即； 同样，如果或，则有，即． （3）若，必有，即． 但满足，而不满足，即． 【题型03】判断命题的充分不必要条件 【典例3-1】（25-26高一上·上海·期末）“”是“”成立的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】根据集合的包含关系判断即可求解. 【详解】因为集合是集合的真子集， 所以“”是“”成立的充分非必要条件. 故选：A 【变式3-1】（25-26高一上·上海浦东新·期末）命题“”是命题“”的（   ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【分析】解不等式，根据充分非必要条件的定义即可求解. 【详解】不等式可化为， 即，解得或， 因为是的真子集， 所以命题“”是命题“”的充分非必要条件. 故选：A. 【变式3-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）“a = 1，b = 2”是“a + b = 3”的______条件. 【答案】充分不必要 【分析】根据充分、必要条件的定义判断. 【详解】若，则，所以“”是“”的充分条件； 若则不一定有，比如，所以“”不是“”的必要条件； 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 【变式3-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，证明：“”的充分非必要条件是“”. 【答案】证明见解析 【分析】根据充分条件、必要条件的定义及集合元素的特征证明即可. 【详解】集合，则恒有， ∴，即一切奇数都属于集合，即是的充分条件； 又，而，即由推不出，即必要性不成立； ∴“”的充分非必要条件是“”. 【题型04】根据充分不必要条件求参数 【典例4-1】（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得出集合的包含关系，即可得出实数的取值范围. 【详解】已知，，若是的充分不必要条件， 则，所以，. 故选：B. 【变式4-1】（24-25高一上·上海·阶段检测）设，陈述句：，陈述句：.若使得是的充分条件，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】是的充分条件，说明由可以推出，可得对应集合是对应集合的子集，由此建立不等关系，可以得出实数的取值范围． 【详解】由：，即：， 由：，即：， 又是的充分条件，则， 因此可得， 故选：B. 【变式4-2】（25-26高一上·上海·期中）设命题，，如果是的充分非必要条件，则的取值范围 是______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用充分非必要条件的定义列式求解. 【详解】命题，，由是的充分非必要条件，得，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式4-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知全集，集合，． (1)求，求：的取值范围； (2)若是的充分非必要条件，求：的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出集合，由可得，结合描述法、子集、补集的定义可得的范围； （2）由若是的充分非必要条件可得，则，结合描述法、真子集、补集的定义可得的范围. 【详解】（1）移项通分得， 则， 则集合， 由得，， 由可得，对任意，， 则. （2）若是的充分非必要条件,则，则， 则由可得，对任意，， 则. 【题型05】判断命题的必要不充分条件 【典例5-1】（25-26高一上·上海闵行·期中）”匈奴未灭，何以家为”是西汉名将霍去病在抗击匈奴获胜后，拒绝汉武帝赏赐府第时所说的豪言壮语．体现出在千百年前中华儿女就明白一个道理，没有一个强大的国家，就没有百姓安定的生活．没有“大国崛起”，就没有“小民尊严”．请问“大国崛起”是“小民尊严”的（　　）条件． A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 【答案】C 【分析】由充分、必要条件概念即可判断. 【详解】​​没有“大国崛起”，就没有“小民尊严”​​， 这等价于：如果有“小民尊严”，则一定有“大国崛起”. 也就是说：“大国崛起”是“小民尊严”的​​必要条件. 条件中没有说“大国崛起”一定导致“小民尊严”，所以不充分. 因此，“大国崛起”是“小民尊严”的​​必要不充分条件​​.​​ 故选：C​ 【变式5-1】（25-26高一上·上海虹口·期末）“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】讨论的范围，去绝对值，判断等式是否成立，进而根据充分条件、必要条件的定义判断结果. 【详解】因为，所以 当时，等式左边为，等式右边为，原等式成立； 当时，等式左边为，等式右边为，原等式成立； 当时，等式左边为，由 解得 或 ， 均不符合 ，故此情况下原等式不成立； 综上，或. 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：B. 【变式5-2】（25-26高一上·上海·期中）“”是“”的________ 条件（用“充分非必要”或“必要非充分”或“充要”或“既不充分也不必要”填空）． 【答案】必要非充分 【分析】由，求得，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由，可得，所以是的必要非充分. 故答案为：必要非充分. 【变式5-3】（24-25高一上·上海·课后作业）设是方程的两个实根，试分析，是两根均大于1的什么条件？ 【答案】必要非充分条件 【分析】利用韦达定理结合不等式的性质证明必要性，举反例否定充分性即可. 【详解】由韦达定理，， 判定条件结论 （注意条件中，、需满足） ①由得，，所以． ②为了证明，可以举出反例 取，，满足，，但不成立． 综上可知，是两根均大于1的必要非充分条件． 【题型06】根据必要不充分条件求参数 【典例6-1】（24-25高一上·上海宝山·阶段检测）设：，：，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据必要非充分条件，列式运算即可求解. 【详解】因为是的必要非充分条件，即是的真子集， 则，即实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式6-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，非空集合，且是的必要非充分条件，则实数的取值范围是_____ 【答案】 【分析】由题意得到是的非空真子集，再根据包含关系列出不等式组即可求解. 【详解】因为是的必要非充分条件，所以是的非空真子集， 由于无解,则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式6-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，设，且是的必要非充分条件，则的取值范围是________ 【答案】 【分析】将条件转化为对应集合，，利用必要非充分条件与集合包含关系的转化，得是的真子集，所进而列出不等式求解即可. 【详解】令集合，集合，由是的必要非充分条件，可得是 的真子集，所以，解得. 故答案为：. 【变式6-3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】利用给定条件将问题转化为子集问题求解即可. 【详解】因为是的充分非必要条件， 所以， 所以，即. 【题型07】充要条件的证明 【典例7-1】（2025高一·上海·专题练习）设为全集，、为非空集合，下面四个条件，（1）；（2）；（3）；（4）.其中是的充要条件个数有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】结合韦恩图可直接判断集合间的关系. 【详解】U为全集，A、B为非空集合 对于（1）； 对于（2）； 对于（3）； 对于（4）. 故选：D 【变式7-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）其身正， 不令而行； 其身不正， 虽令不从”出自《论语·子路》. 其数学含义可以理解为：“身正”是“令行”的_____条件. 【答案】充要 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意，“其身正，不令而行”，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分条件；“其身不正，虽令不从”的逆否命题是“若令行，则身正”，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要条件．综上可知，“身正”是“令行”的充要条件. 故答案为：充要 【变式7-2】（2025高一上·上海·专题练习）已知，证明：“”是“”的充要条件. 【答案】证明见解析 【分析】分别证明充分性和必要性即可. 【详解】先证充分性： 由得，则，因此； 再证必要性： 由，得，由，得， 因此，则 所以“是“”的充要条件. 【变式7-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知是实数，集合，．求证：“”是“”的充要条件． 【答案】证明见解析 【分析】利用充分性和必要性的定义求解即可. 【详解】充分性：当时，， 则； 必要性：若，则， 所以，即； 综上，“”是“”的充要条件． 【题型08】反证法 【典例8-1】（24-25高一上·上海·期中）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数都不是偶数”的正确假设应为（   ） A．自然数不都是偶数 B．自然数都不是奇数 C．自然数都是奇数 D．自然数至少有一个是偶数 【答案】D 【分析】假设结论的反面成立即可． 【详解】自然数都不是偶数的反面为自然数至少有一个是偶数. 故选：D 【变式8-1】（25-26高一上·上海·期中）已知x，y是实数，要用反证法证明“若，则或”这个命题，首先要假设结论不成立，也就是假设____________________. 【答案】且 【分析】根据反证法步骤,要证明命题结论成立，先假设结论的否定成立即可. 【详解】由题意，应假设且， 故答案为：且 【变式8-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）用反证法证明：若、、，且，，，则中至少有一个不小于0． 【答案】证明见解析 【分析】假设、、都小于0，根据题意结合配方法可得，得出矛盾即可. 【详解】假设、、都小于0，即，则， 因为、、，且，，， 则， 当且仅当时，等号成立， 这与矛盾， 可知假设不成立，所以、、中至少有一个不小于0. 【变式8-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）求证: (1)若整数满足能被3整除，则也能被3整除； (2)是无理数； (3)是无理数. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】利用反证法，即可证明结论. 【详解】（1）反证法：假设不能被3整除，则， 故，则不能被3整除， 与“能被3整除”矛盾， 故假设不成立，原命题成立，即整数满足能被3整除，则也能被3整除； （2）反证：假设为有理数，即，（互质）， 则，即能被3整除， 故由（1）得，代回到得， 同理有，即均能被3整除，与“互质”矛盾， 故假设不成立，则是无理数； （3）反证：假设为有理数，则， 而，故， 又有理数集关于四则运算封闭，故，与“为无理数”矛盾， 故假设不成立，则为无理数. 知识点01 命题 1. 命题核心定义 命题：可以判断真假的陈述句。 真命题：判断为正确的语句 假命题：判断为错误的语句 非命题：疑问句、祈使句、感叹句、含变量无法判定真假的语句 2. 命题标准形式 统一格式：若p，则q 其中：p为命题条件，q为命题结论 3. 四种命题转化关系（必背） 命题类型 表达式 改写规则 原命题 若p，则q 原式不变 逆命题 若q，则p 条件、结论互换 否命题 若非p，则非q 条件、结论同时否定 逆否命题 若非q，则非p 互换+同时否定 4. 真假性等价规律（秒杀结论） 原命题 ⇔ 逆否命题：同真同假 逆命题 ⇔ 否命题：同真同假 高频易错点：否命题是条件结论双否定；命题的否定只否定结论，二者切勿混淆 知识点02 充分条件、必要条件、充要条件 1. 核心推导关系（设两个命题p、q） ：p是q的充分不必要条件 ：p是q的必要不充分条件 ：p是q的充要条件（充分必要条件） 互相不可推出：既不充分也不必要条件 2. 集合秒杀口诀（区间/集合题型通用） 小范围 ⇒ 大范围，小充分，大必要 小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件。 3. 解题通用步骤 第一步：判断p能否推出q 第二步：判断q能否推出p 第三步：结合双向推出关系，判定条件类型 知识点03 反证法 1. 方法定义 间接证明方法：不直接证明原命题成立，而是否定原命题结论，经过严谨推理，推出矛盾，从而证明原命题正确。 2. 考试标准三步答题模板（必背） ①反设：假设原命题的结论不成立（写出结论的反面） ②归谬：依托已知条件和假设，正确推理，推出矛盾（与已知、公理、定理、定义矛盾均可） ③存真：否定假设，肯定原命题成立 3. 适用题型 正面证明难度大、思路复杂的题型 题干含关键词：至多、至少、唯一、不存在、至多一个 4. 核心易错：常见词语否定对照表 原词语 否定词（反设写法） 至多一个 至少两个 至少一个 一个都没有 都是 不都是 平行 相交 知识点04本节全局易错点汇总（预习避坑） 命题判断：切记疑问句、无法定真假的式子不是命题 四种命题：否命题必须同时否定条件和结论，缺一不可 条件判断：看清设问，分清是p是q的条件，还是q是p的条件 反证法：反设不能写错，推理过程必须严谨，不可凭空造矛盾 一、填空题 1．（24-25高一上·上海·期中）“若且，则且”是_____命题.（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】直接取特殊值验证即可. 【详解】当时，且；此时不满足且，故该命题为假命题. 故答案为：假 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）实数，满足“”是“”的______条件． 【答案】充分不必要 【分析】根据两个方程的解集作判断即可. 【详解】由，得此时，充分性成立； 由，得或，此时不一定成立，必要性不成立. 故答案为：充分不必要. 3．（25-26高一上·上海·期中）设α：，β：，若α是β的充分条件，则实数a的取值范围是______． 【答案】. 【分析】利用充分性转化为子集关系来求解即可. 【详解】由α是β的充分条件，可得是的子集， 即， 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海普陀·期中）已知条件和条件，若是的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据充分不必要条件列不等式来求得的取值范围. 【详解】由于是的一个充分不必要条件， 所以， 所以. 故答案为： 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）用反证法证明命题：“已知，求证：”时，应假设________，得出的矛盾为________. 【答案】 （或） 【详解】由题意假设，则，，， 因为，所以， 即，所以， 因为不论q为何值，都大于等于0，即假设不成立，所以. 由以上分析过程可知：反设为，得出的矛盾为. 同理可得出矛盾. 综上：反设为， 得出的矛盾为或. 6．（24-25高一上·上海·单元测试）设集合，，则“”是“”的________条件． 【答案】必要非充分 【分析】解不等式，根据集合间的关系可判断充分必要性. 【详解】由已知， 所以， 即“”是“”的必要非充分条件， 故答案为：必要非充分. 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）在横线上填上一个结论，使命题“已知为实数，若，则________”是假命题． 【答案】且（答案不唯一） 【分析】根据条件得出同号，即可求出结果. 【详解】由，知同号，即且或且， 故答案为：且（答案不唯一） 8．（25-26高一上·上海松江·期中）若，，且是的充分条件，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据充分条件的定义进行求解即可. 【详解】因为是的充分条件， 所以对应的集合是对应的集合的子集， 所以. 故答案为：. 9．（25-26高一上·上海松江·期中）用反证法证明命题“若，则或”时，第一步应该假设的内容为__________. 【答案】且 【分析】直接利用反证法的步骤，即可得到答案. 【详解】由反证法解题思路，应假设且， 故答案为：且 10．（25-26高一上·上海·期中）下列命题：①合数一定是偶数，②若，则，③方程的解是，④“”是“”的必要非充分条件，其中真命题的是________.（填写序号） 【答案】②④ 【详解】对于①，9是合数，但9不是偶数，故①错误； 对于②，由，可得，故②正确； 对于③，当时，方程无解，故③错误； 对于④，当时满足，但， 当时，可得，则“”是“”的必要非充分条件，故④正确. 11．（24-25高一·上海·课堂例题）生活中，我们还常用“水滴石穿”“有志者，事竟成”“坚持就是胜利”等语句来勉励自己和他人保持信心、坚持不懈地努力.在这些语句里，“石穿”“事成”“胜利”分别是“水滴”“有志”“坚持”的______条件，这正是我们努力的信心之源，激励着我们直面一切困难与挑战，不断取得进步. 【答案】必要非充分 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】由“石穿”、“事成”、“胜利”不能推出“水滴”、“有志”、“坚持”, 如“石穿”可能推出“化学腐蚀”； 由“水滴”、“有志”、“坚持”能推出“石穿”、“事成”、“胜利” 如“水滴”可以推出“石穿”； 综上所述, “石穿”、“事成”、“胜利”是“水滴”、“有志”、“坚持”必要非充分条件. 故答案为:必要非充分. 12．（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）下列语句中是命题的有________． ①三边对应相等的两个三角形全等 ②如果，则 ③对于任意数，不能被3整除 ④八月的桂花真香啊 ⑤ 【答案】①②③ 【分析】根据命题的定义能判断真假的陈述句即是命题，逐项验证即可求解. 【详解】对于A，三边对应相等的两个三角形全等，是真命题； 对于B，如果，则，是假命题； 对于C，对于任意数，不能被3整除，能判断真假，是真命题； 对于D，八月的桂花真香啊，不能判断真假，所以不是命题； 对于E，，不能判断真假，所以不是命题. 故答案为：ABC. 二、单选题 13．（25-26高一上·上海·期中）若，则“”是“”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【答案】A 【分析】化简，根据取值得出充分非必要条件 【详解】因为，所以，所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 14．命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为（    ） A．若两个三角形全等，则它们的面积相等 B．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 C．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等 D．若两个三角形不全等，则它们的面积不相等 【答案】A 【分析】确定命题的条件和结论，然后改写成“若p，则q”的形式即可 【详解】因为命题“全等三角形的面积相等”的条件是两个三角形全等，结论为这两三角形的面积相等， 所以改写成“若p，则q”的形式为：若两个三角形全等，则它们的面积相等. 故选：A 15．（25-26高一上·上海·阶段检测）用反证法证明：“已知，，求证：”时，应假设（   ） A．已知，且 B．已知，或 C．且 D．且 【答案】B 【分析】用反证法知识进行解答即可. 【详解】反证法的步骤是先假设命题的结论不成立. 原结论是 “”，其否定是 “或”（因为 “且” 的否定是 “或”）. 所以在证明时应假设 “已知，或”， 故选： B. 16．（24-25高一上·上海嘉定·期末）命题：存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足；命题：存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足.关于这两个命题的真假判断，正确的是（   ）. A．、都是真命题 B．、都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【答案】C 【分析】对于命题，令，根据函数的性质判断其真假； 对于命题，当时，，通过分析函数关系判断其真假. 【详解】令，其定义域为R， 对任意的实数，满足， 则存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足， 即是真命题； 假设存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足， 当时，， 由，则，则，出现矛盾， 所以不存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足， 即是假命题. 故选：C. 三、解答题 17．（24-25高一上·上海杨浦·阶段检测）设，求证：若，则或. 【答案】证明见详解 【分析】原命题真假等同于逆否命题真假，转化判断其逆否命题真假即可. 【详解】当且时，则， 所以命题“若且，则”为真命题， 则其逆否命题“若，则或”为真命题，得证. 18．（24-25高一上·上海·课后作业）下列命题中，判断条件是条件的什么条件． (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； (4)或，； (5)，：方程有实数根． 【答案】(1)必要非充分条件 (2)既非充分又非必要条件 (3)必要非充分条件 (4)充要条件 (5)充分非必要条件 【分析】（1）利用绝对值的性质判断即可. （2）利用等腰三角形和直角三角形的定义判断即可. （3）利用矩形的性质判断即可. （4）解根式方程证明即可. （5）利用一元二次方程的判别式判断即可. 【详解】（1）∵，但，∴是的必要非充分条件． （2）∵是直角三角形是等腰三角形； 是等腰三角形是直角三角形， ∴是的既非充分又非必要条件． （3）∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形； 四边形是矩形四边形的对角线互相平分，∴是的必要非充分条件． （4）或； 或，所以是的充要条件． （5），即方程有实根； 而方程有实根，即， 所以是的充分非必要条件． 19．（1）已知，用反证法证明：若，则中至少有一个小于； （2）已知，判断 “”是“中至少有一个小于”的什么条件？并说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）充分非必要条件，理由见解析 【分析】（1）先假设结论不成立，推理得出矛盾，解决问题； （2）由（1）可知充分性成立，列举出反例推翻必要性的成立，从而得出本题结论. 【详解】（1）证明：假设则， 与已知条件矛盾， 所以中至少有一个小于； （2）由（1） 可得“”可以推出“中至少有一个小于”， 反之不一定成立， 例如：，，，则， 所以“”是“中至少有一个小于”的充分非必要条件. 20．已知集合，集合 ． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 【答案】(1)． (2)2 【分析】（1）由题意是B的真子集，构造不等式即可求解； （2）由题意得到，进而可求解. 【详解】（1）由题意 A 是B的真子集，所以，即， 所以实数的取值范围为. （2）因为是成立的充要条件，所以, 所以，即．即实数的值为2． 21．（24-25高一上·上海·阶段检测）（1）已知为实数且满足，，．求证：这四个数中至少有一个是负数．（用反证法证明） （2）已知集合，．若的充分非必要条件为，则的取值范围是？ 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）假设都是非负数，利用反证法推出可得答案； （2）根据题意可得是的真子集，分类讨论、两种情况即可得解. 【详解】（1）假设都是非负数， 因为，，所以， 又， 故，与题设矛盾，故假设不成立，原命题成立； （2）若的充分非必要条件为，则是的真子集， 若，则，解得； 若，则，解得， 综上所述，的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 常用逻辑用语（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：命题 知识点02：充分条件，必要条件、充要条件 知识点03：反证法 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：判断命题的真假 题型02：指出命题的条件和结论 题型03：判断命题的充分不必要条件 题型04：根据充分不必要条件求参数 题型05：判断命题的必要不充分条件 题型06：根据必要不充分条件求参数 题型07：充要条件的证明 题型08：反证法 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】命题 1.定义：能判断真假的、不带有变元的陈述句，叫做命题（proposition）. 判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题. 例如，“10是2的倍数”是真命题，“11是偶数”是假命题. 说明：①命题必定由条件与结论两部分组成； ②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可，一票否决）； 【注意】构造反例有时候不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段. ③真命题的确定：直接法和反证法. 说明：反证法既是一种重要的数学思想，也是命题证明的一种方法，后面会有赘述. 2. 推出关系： 如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则. 它是逻辑推理的基础. 【例1】判断下列语句是否为命题，若是命题，判断真假，将真命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题。 ①今天天气真好啊！ ②对顶角相等； ③x>2。 【知识点02】充分条件，必要条件、充要条件 1.充分条件、必要条件：对于两个陈述句与，如果，就称是的充分条件，亦称是的必要条件. 2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件． 【方法点拨】 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． 判断充要条件的方法是： ①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件； ④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件． ⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系． 【例2】已知p：，q：，判断p是q的什么条件，q是p的什么条件。 【知识点03】反证法 要判断一个命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行；但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足的对象都满足结论，但有时直接验证这一点并不是一件容易的事. 我们可以首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出的与已知条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的，这样的证明方法叫反证法. 【思路点拨】 用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的方法，其次注意反证法是在条件较少，不易入手时常用的方法，尤其有否定词或含“至多”“至少”等词的问题中常用．使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等． 1．证明思路：肯定条件，否定结论→推出矛盾→推翻假设，肯定结论 2．反证法的一般步骤： （1）分清命题的条件和结论； （2）作出与命题结论相矛盾的假设； （3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； （4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真． 【例3】用反证法证明：在同一平面内，两条直线相交，只有一个交点。 【题型01】判断命题的真假 【典例1-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中是真命题的是（    ） A．等边三角形都全等 B．若，则 C．对顶角相等 D．所有偶数都是合数 【变式1-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 【变式1-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）命题“若 ，则 ”为 ________命题．（填真、假） 【变式1-3】判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，，则； (2)若a、，则关于x的方程的解为． 【题型02】指出命题的条件和结论 【典例2-1】将“等腰三角形两底角必是锐角”改写为“若…则…”形式___________. 【变式2-1】把下列命题改写成“若，则”的形式： （1），函数的值随值的增加而增加； （2）当两圆相切时，连心线过两圆的切点． 【变式2-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)已知，为正整数，当时，且． 【变式2-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列各组中陈述句，的推出关系： (1)：是能被4整除的自然数，：是偶数； (2)：实数满足方程，：或； (3)：实数满足方程，：． 【题型03】判断命题的充分不必要条件 【典例3-1】（25-26高一上·上海·期末）“”是“”成立的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式3-1】（25-26高一上·上海浦东新·期末）命题“”是命题“”的（   ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【变式3-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）“a = 1，b = 2”是“a + b = 3”的______条件. 【变式3-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，证明：“”的充分非必要条件是“”. 【题型04】根据充分不必要条件求参数 【典例4-1】（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一上·上海·阶段检测）设，陈述句：，陈述句：.若使得是的充分条件，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·上海·期中）设命题，，如果是的充分非必要条件，则的取值范围 是______． 【变式4-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知全集，集合，． (1)求，求：的取值范围； (2)若是的充分非必要条件，求：的取值范围． 【题型05】判断命题的必要不充分条件 【典例5-1】（25-26高一上·上海闵行·期中）”匈奴未灭，何以家为”是西汉名将霍去病在抗击匈奴获胜后，拒绝汉武帝赏赐府第时所说的豪言壮语．体现出在千百年前中华儿女就明白一个道理，没有一个强大的国家，就没有百姓安定的生活．没有“大国崛起”，就没有“小民尊严”．请问“大国崛起”是“小民尊严”的（　　）条件． A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 【变式5-1】（25-26高一上·上海虹口·期末）“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式5-2】（25-26高一上·上海·期中）“”是“”的________ 条件（用“充分非必要”或“必要非充分”或“充要”或“既不充分也不必要”填空）． 【变式5-3】（24-25高一上·上海·课后作业）设是方程的两个实根，试分析，是两根均大于1的什么条件？ 【题型06】根据必要不充分条件求参数 【典例6-1】（24-25高一上·上海宝山·阶段检测）设：，：，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是________. 【变式6-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，非空集合，且是的必要非充分条件，则实数的取值范围是_____ 【变式6-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，设，且是的必要非充分条件，则的取值范围是________ 【变式6-3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围． 【题型07】充要条件的证明 【典例7-1】（2025高一·上海·专题练习）设为全集，、为非空集合，下面四个条件，（1）；（2）；（3）；（4）.其中是的充要条件个数有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）其身正， 不令而行； 其身不正， 虽令不从”出自《论语·子路》. 其数学含义可以理解为：“身正”是“令行”的_____条件. 【变式7-2】（2025高一上·上海·专题练习）已知，证明：“”是“”的充要条件. 【变式7-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知是实数，集合，．求证：“”是“”的充要条件． 【题型08】反证法 【典例8-1】（24-25高一上·上海·期中）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数都不是偶数”的正确假设应为（   ） A．自然数不都是偶数 B．自然数都不是奇数 C．自然数都是奇数 D．自然数至少有一个是偶数 【变式8-1】（25-26高一上·上海·期中）已知x，y是实数，要用反证法证明“若，则或”这个命题，首先要假设结论不成立，也就是假设____________________. 【变式8-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）用反证法证明：若、、，且，，，则中至少有一个不小于0． 【变式8-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）求证: (1)若整数满足能被3整除，则也能被3整除； (2)是无理数； (3)是无理数. 知识点01 命题 1. 命题核心定义 命题：可以判断真假的陈述句。 真命题：判断为正确的语句 假命题：判断为错误的语句 非命题：疑问句、祈使句、感叹句、含变量无法判定真假的语句 2. 命题标准形式 统一格式：若p，则q 其中：p为命题条件，q为命题结论 3. 四种命题转化关系（必背） 命题类型 表达式 改写规则 原命题 若p，则q 原式不变 逆命题 若q，则p 条件、结论互换 否命题 若非p，则非q 条件、结论同时否定 逆否命题 若非q，则非p 互换+同时否定 4. 真假性等价规律（秒杀结论） 原命题 ⇔ 逆否命题：同真同假 逆命题 ⇔ 否命题：同真同假 高频易错点：否命题是条件结论双否定；命题的否定只否定结论，二者切勿混淆 知识点02 充分条件、必要条件、充要条件 1. 核心推导关系（设两个命题p、q） ：p是q的充分不必要条件 ：p是q的必要不充分条件 ：p是q的充要条件（充分必要条件） 互相不可推出：既不充分也不必要条件 2. 集合秒杀口诀（区间/集合题型通用） 小范围 ⇒ 大范围，小充分，大必要 小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件。 3. 解题通用步骤 第一步：判断p能否推出q 第二步：判断q能否推出p 第三步：结合双向推出关系，判定条件类型 知识点03 反证法 1. 方法定义 间接证明方法：不直接证明原命题成立，而是否定原命题结论，经过严谨推理，推出矛盾，从而证明原命题正确。 2. 考试标准三步答题模板（必背） ①反设：假设原命题的结论不成立（写出结论的反面） ②归谬：依托已知条件和假设，正确推理，推出矛盾（与已知、公理、定理、定义矛盾均可） ③存真：否定假设，肯定原命题成立 3. 适用题型 正面证明难度大、思路复杂的题型 题干含关键词：至多、至少、唯一、不存在、至多一个 4. 核心易错：常见词语否定对照表 原词语 否定词（反设写法） 至多一个 至少两个 至少一个 一个都没有 都是 不都是 平行 相交 知识点04本节全局易错点汇总（预习避坑） 命题判断：切记疑问句、无法定真假的式子不是命题 四种命题：否命题必须同时否定条件和结论，缺一不可 条件判断：看清设问，分清是p是q的条件，还是q是p的条件 反证法：反设不能写错，推理过程必须严谨，不可凭空造矛盾 一、填空题 1．（24-25高一上·上海·期中）“若且，则且”是_____命题.（填“真”或“假”） 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）实数，满足“”是“”的______条件． 3．（25-26高一上·上海·期中）设α：，β：，若α是β的充分条件，则实数a的取值范围是______． 4．（24-25高一上·上海普陀·期中）已知条件和条件，若是的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是______． 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）用反证法证明命题：“已知，求证：”时，应假设________，得出的矛盾为________. 6．（24-25高一上·上海·单元测试）设集合，，则“”是“”的________条件． 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）在横线上填上一个结论，使命题“已知为实数，若，则________”是假命题． 8．（25-26高一上·上海松江·期中）若，，且是的充分条件，则实数的取值范围是__________. 9．（25-26高一上·上海松江·期中）用反证法证明命题“若，则或”时，第一步应该假设的内容为__________. 10．（25-26高一上·上海·期中）下列命题：①合数一定是偶数，②若，则，③方程的解是，④“”是“”的必要非充分条件，其中真命题的是________.（填写序号） 11．（24-25高一·上海·课堂例题）生活中，我们还常用“水滴石穿”“有志者，事竟成”“坚持就是胜利”等语句来勉励自己和他人保持信心、坚持不懈地努力.在这些语句里，“石穿”“事成”“胜利”分别是“水滴”“有志”“坚持”的______条件，这正是我们努力的信心之源，激励着我们直面一切困难与挑战，不断取得进步. 12．（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）下列语句中是命题的有________． ①三边对应相等的两个三角形全等 ②如果，则 ③对于任意数，不能被3整除 ④八月的桂花真香啊 ⑤ 二、单选题 13．（25-26高一上·上海·期中）若，则“”是“”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 14．命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为（    ） A．若两个三角形全等，则它们的面积相等 B．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 C．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等 D．若两个三角形不全等，则它们的面积不相等 15．（25-26高一上·上海·阶段检测）用反证法证明：“已知，，求证：”时，应假设（   ） A．已知，且 B．已知，或 C．且 D．且 16．（24-25高一上·上海嘉定·期末）命题：存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足；命题：存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足.关于这两个命题的真假判断，正确的是（   ）. A．、都是真命题 B．、都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 三、解答题 17．（24-25高一上·上海杨浦·阶段检测）设，求证：若，则或. 18．（24-25高一上·上海·课后作业）下列命题中，判断条件是条件的什么条件． (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； (4)或，； (5)，：方程有实数根． 19．（1）已知，用反证法证明：若，则中至少有一个小于； （2）已知，判断 “”是“中至少有一个小于”的什么条件？并说明理由. 20．已知集合，集合 ． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 21．（24-25高一上·上海·阶段检测）（1）已知为实数且满足，，．求证：这四个数中至少有一个是负数．（用反证法证明） （2）已知集合，．若的充分非必要条件为，则的取值范围是？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $