专题09 不等式的求解（知识梳理+7对点集训+基础过关+拓展提优）-2025年初升高数学无忧衔接（上海专用）

专题09 不等式的求解 （知识梳理+7对点集训+基础过关+拓展提优） 1.掌握一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式的解法(重点). 2.会解一元二次不等式中的恒成立问题(难点). 知识点01：不等式的解集与不等式组的解集 1、在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的未知数的值称为该不等式的解. 2、一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集； 3、一个不等式的解的全体所组成的集合称为此不等式的解集； 4、求不等式解集的过程称为不等式的求解，或解不等式； 5、将多个含有同样的未知数的不等式联立起来，即得到不等式组. 6、对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集； 【注意】若不等式中所含不等式解集的交集为时，则不等式组的解集为； 知识点02：一元二次不等式 1、一元二次不等式的概念 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式； 【注意】一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等，即：一元二次不等式的一般形式 （1）ax2＋bx＋c＞0(a≠0)；（2）ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；（3）ax2＋bx＋c＜0(a≠0)；（4）ax2＋bx＋c≤0(a≠0)； 都是一元二次不等式； 2、用因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果x1<x2， 则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)； 3、用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集。 4.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系。 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根 x1，x2(不妨设x1<x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像 5.一元二次不等式在求解时应当注意事项 （1）化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正； （2）①因式分解；②判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式； （3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根； （4）画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图； （5）写解集：根据图象写出不等式的解集。 知识点03：分式不等式的解法 1、分式不等式的定义： 分母中含有未知数字母的有理不等式叫做分式不等式。 只含有一个未知数的分式不等式叫做一元分式不等式。 即：型如或（其中、为整式且）的不等式称为分式不等式。 分式方程：将所求分式方程转化为整式方程，利用整式方程的解法或是一元二次方程的根的求解来解决即可，注意求解后根的检验，要使得方程是有意义的。 2、分式不等式的解法： 基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式。在此过程中，变形的等价性尤为重要。 基本方法：①通过移项，将分式不等式右边化为零；②左边进行通分，化为形如的形式； ③同解变形：；； ；； 知识点04：简单绝对值不等式的解法 1、绝对值不等式 （1）绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式； （2）数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式：一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为|AB|＝|a－b|，线段AB的中点M对应的数x＝． 【注意】（1）求线段AB的长|AB|时，不要忽视绝对值；（2）线段AB的中点坐标与A、B两点的顺序无关。 2、含绝对值不等式的解法 （1）通法：根据绝对值的代数意义，对绝对值内的数（式）的符号分类讨论去绝对值； 关键在于去掉绝对值符号，一般有三种方法：①几何含义；②两边平方；③分段讨论。 （2）根据绝对值的几何意义，将绝对值转化为数轴上的距离，进而去绝对值或求最值； （3）不等式两边均恒为非负数时，可以通过平方法去绝对值. 【注意】去绝对值符号，化绝对值不等式为整式不等式时要保持同解性。 3、常见绝对值不等式的解法与结论： ①几个基本不等式的解集 （1）|x|<a(a>0)⇔x2<a2⇔-a<x<a；（2）|x|>a(a>0)⇔x2>a2⇔x>a,或x<-a; （3）|x-m|<a(a>0)⇔-a<x-m<a⇔m-a<x<a+m；（4）|x-m|>a(a>0)⇔x-m>a,或x-m<-a⇔x>m+a,或x<m-a. ②几种主要的基本类型 （1）|f(x)|>|g(x)|⇔f2(x)>g2(x)(平方法)；（2）|f(x)|>g(x)(g(x)>0)⇔f(x)>g(x),或f(x)<-g(x); （3）|f(x)|<g(x)(g(x)>0)⇔-g(x)<f(x)<g(x);　 （4）含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法脱去绝对值符号求解. 对点集训一：一元一次不等式及一元一次不等式组的求解 典型例题 例1．（22-23高一上·上海奉贤·阶段练习）设，解关于的不等式，下列说法正确的是（      ） A．该不等式的解集为； B．该不等式的解集为； C．该不等式的解集可能为； D．该不等式的解集不可能为. 【答案】C 【知识点】解含参数的一元一次不等式 【分析】对分四种情况讨论得解. 【详解】解：当时，，该不等式的解集为； 当时，，该不等式的解集为； 当，时，该不等式的解集为； 当，时，该不等式的解集为. 故选：C 例2．（24-25高一上·上海·期中）已知，若关于的不等式的解集为，则 . 【答案】1 【知识点】解不含参数的一元一次不等式 【分析】由题意知不等式的解集为，则，解之即可求解. 【详解】原不等式可化为， 又不等式的解集为， 所以一次函数的图象都在轴的下方， 则，解得， 故答案为： 例3．（23-24高一上·上海·期中）若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数 . 【答案】0 【知识点】利用不等式求值或取值范围、解含参数的一元一次不等式 【分析】先化简不等式组，依题意表示得出的范围，再取最大整数值即可. 【详解】由可得：要使不等式组的解集非空， 须使即：故满足条件的最大整数0. 故答案为：0. 精练 1．（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解含参数的一元一次不等式 【分析】对参数与的关系以及与的关系进行分类讨论，从而求解不等式即可. 【详解】当时，，则，不等式解集为； 当时，若，则原不等式等价于，不等式解集为空集； 当时，若，则原不等式等价于，不等式解集为； 当时，，则，不等式解集为； 故不等式解集不可能为. 故选：C. 2．（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为，则实数a的值为 . 【答案】 【知识点】解含参数的一元一次不等式 【分析】由给定的解集确定关于的方程的根及一次项的系数正负，再代入解方程即得. 【详解】由关于x的不等式的解集为， 得1是关于的方程的根，且， 因此，即，而，解得， 所以实数a的值为. 故答案为： 3．（22-23高一上·上海宝山·期中）若关于的不等式解集为，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】解含参数的一元一次不等式 【分析】根据给定的解集，求出a，b的关系，再代入求解不等式作答. 【详解】因关于的不等式解集为，则1是方程的根，且， 因此，且，不等式化为：，而，解得， 所以关于的不等式的解集为. 故答案为： 对点集训二：解不含参数的一元二次不等式 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】利用一元二次不等式的解法来求解即可. 【详解】（1）不等式可化为，∴不等式的解集是． （2）不等式可化为，∴不等式的解集是． （3）不等式可化为，∴不等式的解集是． （4）不等式可化为，∴不等式的解集是或． 例2．（24-25高一上·上海·课堂例题）解关于的不等式组： 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】解两个一元二次不等式，再求交集即可. 【详解】原不等式组可化为，即， 所以原不等式组的解集为. 例3.（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，若，且时，求实数a的取值范围． 【答案】 【知识点】根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】首先解一元二次不等式得集合B，再由建立不等式组即可求得a的范围. 【详解】由题或， 因为，，所以得． 精练 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）解不等式：； 【答案】或 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】转化为不等式组，根据一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】原不等式可转化为不等式组即， ，得或 所以不等式的解集为或. 2.解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)或 (2) (3) 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）通过配方即可得解； （2）化为一元二次不等式的标准形式，根据判别式即可得解； （3）先判断判别式，然后即可得解. 【详解】（1）原不等式对应的一元二次方程为，可化为：， 方程的根为， 不等式的解集为（或写为）. （2）原不等式可化为， 此不等式对应的一元二次方程的根的判别式， 原不等式的解集为. （3）原不等式对应的一元二次方程的根的判别式， 原不等式的解集为. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）解关于的不等式组： 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】分别求解原不等式组中的两个一元二次不等式，然求两个解集的交集即可得解. 【详解】原不等式组可化为 即 所以，原不等式组的解集为． 对点集训三： 解含有参数的一元二次不等式 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·阶段练习）求关于的不等式的解集：. 【答案】答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】将不等式变形为，然后根据与1的关系进行分类讨论，求解即可． 【详解】不等式，即， 当时，不等式为，解得，则不等式的解集； 当时，不等式变形为， 由于，解得或， 故此时不等式的解集为； 当时，不等式变形为， 由于，解得， 故此时不等式的解集为． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 例2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知关于的不等式组仅有一个整数解，求实数的取值范围． 【答案】． 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式 【分析】先解不等式，然后求的两个根，然后根据两个根的大小进行分类讨论，得到的解集，再与不等式的解集求交集时，确保仅有一个整数解，即可得解. 【详解】由不等式，解得或， 解方程，解得或． ①若，即时，不等式的解集为，若不等式组只有1个整数解，则，解得； ②若，即时，不等式的解集为，若不等式组只有1个整数解，则，解得． 综上可得，实数的取值范围是． 精练 1．解关于的不等式: . 【答案】答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】分成，，，，几种情况分别讨论不等式的解集； 【详解】原不等式可化为.. （1）当时，有. （2）当时， 式，∵， ①当时，，∴. ②当时，，，此时解集为. ③ 当时，.∴. （3）当时，式，∵，∴.∴或. 综上所述，原不等式的解集为: 当时，为或； 当时，为； 当时，为； 当时，为； 当时，为. 2．已知，求解关于的不等式. 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】由于可化简为，二次项系数中含有参数且是否为零不确定，先按二次项系数的符号分类讨论，再讨论两根的大小即可求解 【详解】， （1）当时， 即 解得 （2）当时， 解得 （3）当时 ①当时，即 解得 ②当时， 或 ③当时， 或 综上所述： 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 3．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）解关于的不等式. 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】变形后得到一个含参的二次不等式，对参数进行分类讨论. 【详解】由，所以，则对应方程的根为： ①当时，即，此时不等式为，此时不等式的解集为， ②当时，即，此时不等式的解集为， ③当时，即，此时不等式的解集为， 综上所述：当时，解集为， 当，此时不等式的解集为， 当，此时不等式的解集为. 对点集训四：由一元二次不等式的解确定参数 典型例题 例1.已知不等式的解集为.求 a､b的值 【答案】的值分别为 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】不等式的解集为，故，是方程的两个根，由根与系数的关系求出，，即得． 【详解】解：由题意不等式的解集为，故，是方程的两个根 ， ， 故答案为：；． 【点睛】本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，解答本题的关键是根据不等式的解集得出不等式相应方程的根，再由根与系数的关系求参数的值．注意总结方程，函数，不等式三者之间的联系． 例2．（24-25高一上·上海·随堂练习）当为何值时，关于x的一元二次不等式的解集为空集． 【答案】 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】将不等式整理后，由题意可得，从而可求出的范围. 【详解】由题意，得的解集为空集， 所以，即． 例3．（24-25高一上·上海·课堂例题）若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围． 【答案】 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】就参数分类考虑，利用二次函数的图象数形结合即可求得参数范围. 【详解】因关于的不等式的解集为空集， 即的解集为． 当时，原不等式为，即，不符合题意，舍去． 当时，原不等式为一元二次不等式，只需且， 即解得． 综上，的取值范围为． 精练 1.已知集合若求实数的值. 【答案】； 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】先将A化简，再由已知，求出B，利用韦达定理求出实数的值. 【详解】由得， ， 又由 得， 即的两根为，， 由韦达定理得，解得； 即； 【点睛】本题考查集合的基本运算，一元二次不等式的解法，属于基础题. 2．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）若关于的不等式的解集为，求的取值范围. 【答案】 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】分和两种情况讨论，当时，即可求出的取值范围. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 当时，原不等式即，解得，不符合题意； 当时，则，解得， 综上可得的取值范围为. 3．（22-23高一上·上海浦东新·期中）已知关于x的不等式. (1)若该不等式的解集为或，求实数k的值； (2)若该不等式的解集为空集，求实数k的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）根据一元二次不等式解集，结合根与系数关系求k的值； （2）由题设及对应二次函数的性质有，即可求解集. 【详解】（1）由题设，且是方程的两个根， 所以，故，即实数k的值为. （2）由不等式解集为空，则，解得. 对点集训五：一元二次方程根的分布问题 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知实数系数方程有两个不相等的实数根，，有5个条件： ①；②；③；④；⑤ ． 问题： (1)试从以上条件中找出合适的条件使得，，并说明理由． (2)试从以上条件中找出合适的条件使得，，并说明理由． 【答案】(1)条件②③④；理由见解析 (2)条件⑤，理由见解析 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】（1）根据判别式和韦达定理，结合所给条件分析一元二次方程有两正根的条件可得； （2）根据一元二次方程两根异号，结合韦达定理分析即可. 【详解】（1）选择②③④： 因为方程有两个不相等的实数根，所以，且， 又，，所以， 即， 又因为③或④成立时必有， 所以，当选择②③④时，满足，. （2）选择⑤：当时，必有且， 所以方程有两个不相等的实数根， 又，所以，， 所以，当选择⑤时，方程有一正根一负根，即，. 例2．（24-25高一上·上海·假期作业）已知关于的方程有两个相异实根，求实数的取值范围. 【答案】 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】首先保证二次项系数不为，其次保证即可算出的取值范围. 【详解】方程有两个相异实根，首先，即， ，解得， 所以的取值范围为. 例3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知方程． (1)若关于的方程总有实数解，求的取值范围； (2)求证：无论取何实数，关于的方程必有互异实数根． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】（1）根据一元二次方程有实数根，判别式即可求解； （2）根据一元二次方程有互异实数根,根据韦达定理即可求解. 【详解】（1）已知关于的方程有实根， ∴， 整理得，∴或． 所以的取值范围为． （2）∵， ∴无论为何值，关于的方程有两个不相等的实数根． 又根据韦达定理两根之积为， 故无论为何值，关于的方程有两个异号实数根． 精练 1．（24-25高一上·上海·期中）已知，关于的方程； (1)若方程有两个正实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个整数根，且为整数，求的值； 【答案】(1)或 (2)1或3 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次方程根的分布问题 【分析】（1）根据方程有两个正根列出不等式组求解； （2）根据根与系数的关系，结合根及为整数，求出根即可得解. 【详解】（1）因为关于的方程有两个正实数根， 所以，即， 解得或. （2）由方程有两个整数根， 所以且，， 由，所以或， 当时，，， 所以或，所以， 当时，，， 所以或，所以， 综上，的值为1或3 2．（22-23高一上·上海长宁·阶段练习）已知､是关于的一元二次方程的两个实数根； (1)若､为两个不相等的正实数根，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【知识点】一元二次方程根的分布问题、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】（1）依题意且，即可求出参数的取值范围； （2）由（1）可得，利用韦达定理得到方程求出的值，即可判断. 【详解】（1）解：由题意，一元二次方程有两个不相等的正实数根､， 故，即，且，解得． （2）解：由题意，当，即时，有，， 所以 ， 解得，与矛盾. 故不存在实数，使得成立； 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）根据要求完成下列问题： (1)已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)已知命题：关于的方程有两个不等的负根；命题：关于的不等式的解集为．若一真一假，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据必要不充分条件求参数、已知命题的真假求参数、解不含参数的一元二次不等式、一元二次方程根的分布问题 【分析】（1）解一元二次不等式先计算两个命题对应变量的范围，再结合必要不充分条件的定义计算即可； （2）分类讨论两个命题的真假结合一元二次方程根的情况计算即可； 【详解】（1）由，记； 由，记． 因为是的必要不充分条件，所以，则 且等号不同时成立，解得， 综上，的取值范围为； （2）若命题为真，设为的两个不等的负根，则 ，解得； 若命题为真，则当时，不等式化为，恒成立； 当时，，解得，于是的范围是． 若真假，则， 若假真，则， 综上，若一真一假，则． 对点集训六：分式不等式 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式不等式 【分析】先把分式不等式转化为一元二次不等式或一元二次不等式组，再解出不等式解集即可； 【详解】（1）原不等式可化为，所以原不等式的解集为． （2）∵，∴，解得， 所以原不等式的解集为． 例2．（24-25高一上·上海·课堂例题）解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式不等式 【分析】（1）先把分式不等式转化为不等式组，求出两个不等式的解集，最后得出分式不等式解集； （2）根据一元二次函数判断分式不等式中分母大于0，得原不等式可化为，解出结果即可． 【详解】（1）（方法一）化为两个不等式组来解或 解得或，所以． ∴原不等式的解集是． （方法二）将分式不等式直接转化为整式不等式求解， ∵，解得， ∴原不等式的解集是． （2）因为，所以原不等式可化为， 即，所以原不等式的解集为． 例3．（24-25高一上·上海·期中）已知不等式的解集为或或． (1)求实数a，b的值； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、分式不等式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）得到为方程的两根，由韦达定理得到方程，求出； （2）分式不等式转化为，求出不等式解集. 【详解】（1）由题意得为方程的两根，且， 故，解得； （2）由（1）得， ， 等价于，解得， 不等式解集为 精练 1．（24-25高一上·上海·假期作业）解不等式：. 【答案】 【知识点】分式不等式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】移项通分转化为解一元二次不等式可得答案. 【详解】由得， 即，可得， 令解得或， 所以原不等式的解集为. 2．（24-25高一上·上海青浦·阶段练习）解关于的不等式组 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】分别解出各不等式，即可求出不等式组的解集. 【详解】由，即，即，解得； 由，等价于，解得或， 所以不等式组的解集为. 3．（24-25高一·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或； (2)； (3)或. 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】（1）（2）把分式不等式转化成一元二次不等式求解即得. （3）变形给定的不等式，再转化成一元二次不等式组求解. 【详解】（1）不等式，解得或， 所以原不等式的解集为或. （2）不等式，解得， 所以原不等式的解集为. （3）不等式化为：，即， 则或，解得或， 所以原不等式的解集为或. 对点集训七：绝对值不等式 典型例题 例1．（22-23高一上·上海浦东新·期中）解不等式 【答案】 【知识点】分类讨论解绝对值不等式 【分析】通过分类讨论去掉绝对值解不等式即可. 【详解】当时，不等式为； 当时，不等式为； 当时，不等式为. 所以不等式的解集为. 例2．（24-25高一上·上海浦东新·期中）解不等式组： 【答案】 【知识点】分式不等式、公式法解绝对值不等式 【分析】将不等式化为，进而求解集即可. 【详解】由题设，可得， 所以不等式组的解集为. 精练 1．（24-25高一上·上海·期中）解关于的不等式. 【答案】 【知识点】分类讨论解绝对值不等式 【分析】分类讨论开绝对值即可求解. 【详解】当时，， 此时不等式无解； 当时，， 此时； 当时，， 此时. 综上：原不等式的解集为. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）解不等式：． 【答案】或 【知识点】分类讨论解绝对值不等式 【分析】分段去绝对值符号，转化为一元一次不等式组求解即得. 【详解】不等式等价于或或，解得或， 所以原不等式的解集为或. 3．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知集合，若，求实数t的取值范围； （2）已知集合{对任意恒成立}，，求. 【答案】（1）；（2） 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、绝对值三角不等式、根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算 【分析】（1）根据题意，是的子集，列出不等式组可得实数t的取值范围； （2）分别利用绝对值不等式和分式不等式的性质求两个集合，再求交集即可. 【详解】（1）根据题意，，， 又，所以是的子集， 则，得， 所以实数t的取值范围为. （2）因为,当且仅当取等号， 所以的最小值为7,所以,即 因为 所以即,,即,即， 所以或,即， 所以. 一、单选题 1．（24-25高一上·上海徐汇·期末）“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、分式不等式 【分析】根据分式不等式的解法结合充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】由，得，则，解得或， 所以由“”不能得到“”，由“”能得到“”， 所以“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 2．（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】将原不等式转换为，在的前提下，比较的大小即可得解. 【详解】时，，不等式可化为， 因为，且， 所以，， 解原不等式，得， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 3．（24-25高一上·上海虹口·期末）定义运算：.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据题意可得，原不等式等价于恒成立，结合二次不等式恒成立问题运算求解即可. 【详解】因为，即， 整理可得， 原题意等价于恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 二、填空题 4．（24-25高一上·上海嘉定·期末）不等式的解集是 . 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】将原不等式转化为整式型不等式，即一元二次不等式求解. 【详解】不等式等价于，即， 解得，即原不等式的解集为. 故答案为：. 5．（24-25高一上·上海·期末）不等式组无实数解，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】解不含参数的一元一次不等式 【分析】分类讨论的取值范围，利用不等式组无实数解即可得解. 【详解】对于， 当时，解得，不满足题意； 当时，与矛盾，即不等式组无实数解， 综上，. 故答案为： 6．（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据题意对a进行分类讨论，结合的开口与判别式即可. 【详解】当时，,满足题意； 当时，易得且，即，解得. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 7．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知关于的方程至少有一个实根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】分与时讨论，当时，令判别式大于等于零即可； 【详解】当时，方程为，解得； 当时，方程至少有一个实根，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 8．（24-25高一上·上海奉贤·期末）不等式的解集为 ． 【答案】R 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据根的判别式，数形结合得到不等式解集. 【详解】开口向上，， 二次函数图象在轴上方，故不等式解集为R. 故答案为：R 9．（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集为，求不等式的解集 ． 【答案】 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由题意可知：的根为，且，利用韦达定理可得之间的关系，代入运算即可. 【详解】由题意可知：的根为，且， 则，可得， 不等式即为， 且，可得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 三、解答题 10．（24-25高一上·上海奉贤·期中）求下列关于x的不等式的解集： (1) (2)． 【答案】(1) (2)答案见详解 【知识点】分式不等式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）分析可得，解分式不等式即可得解； （2）分类讨论两根大小解一元二次不等式即可. 【详解】（1）因为，则， 由可得，等价于，解得或； 由可得，等价于，解得或； 综上所述：的解集为. （2）因为， 令，解得或， 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为. 11．（24-25高一上·上海青浦·期中）已知集合，，全集为. (1)求集合和； (2)求阴影部分表示的集合. 【答案】(1),; (2) 【知识点】分式不等式、交并补混合运算 【分析】（1）解分式不等式和绝对值不等式即可求出解集； （2）利用补集和交集思想即可求解阴影部分集合. 【详解】（1）由或，解得 所以集合， 由， 所以集合， （2） 由图中阴影部分可知所求集合为， 因为，所以， 则==， 故阴影部分表示的集合是. 12．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知一元二次不等式 (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)当时，求不等式的解集； 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）依据题意可知是方程的根可得，然后代入利用一元二次不等式解法计算即可. （2）将代入不等式，然后对的范围进行讨论计算即可. 【详解】（1），所以， 所以不等式为，所以解集为. （2）当时，不等式，即 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 【点睛】方法点睛： 利用根的性质建立方程：通过已知不等式的解集，推断出方程的根，从而得到系数关系. 不等式的因式分解法：通过将不等式分解为两个因式形式并讨论符号，能够清晰地得出解集. 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·期中）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、几何意义解绝对值不等式 【分析】解出绝对值不等式，根据充分条件、必要条件概念判断即可. 【详解】由可得或， 所以由绝对值的几何意义可知或， 所以不能推出，能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 2．（24-25高一上·上海闵行·阶段练习）已知关于x的不等式，下列结论正确的是（    ） A．不等式的解集不可以是； B．不等式的解集可以是； C．不等式的解集可以是； D．不等式的解集可以是． 【答案】C 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】利用特殊值判断AB；利用假设成立法判断CD. 【详解】对于A，当时，不等式为恒成立， 则解集是，故A错误； 对于B，当时，不等式， 所以解集不可能为，故B错误； 对于C，假设不等式的解集可以是， 则，即，， 所以不等式的解集可以是，故C正确； 对于D，假设不等式的解集可以是， 则，无解，故D错误. 故选：C. 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】解不等式组，分、、讨论，根据原不等式组仅有一个整数解可得答案. 【详解】由，得或， 由，得， 令，解得或， 当时，得原不等式组无解，不符合题意； 当时，由得， 若原不等式组仅有一个整数解，则， 解得，又，所以； 当时，由得， 若原不等式组仅有一个整数解，则， 解得，又，所以； 综上所述，实数的取值范围是，或. 故选：C. 4．（24-25高一上·上海青浦·阶段练习）已知集合，集合，其中．若集合表示的区间为一个闭区间，则的取值范围为（    ） A．取遍任意大于的实数 B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据集合的包含关系求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由集合的表示可知，计算和的区间长度差得到区间长度较长，最后由解得最终结果. 【详解】由题意知，，则的最小值为，最大值为， 所以，又因为， 所以，又集合表示的区间为一个闭区间， 则，化简可得，又， 解得. 故选：C. 二、填空题 5．（24-25高一上·上海宝山·期中）已知关于的不等式解集为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、解不含参数的一元二次不等式 【分析】依题意可得关于的不等式等价于，分和两种情况讨论，当时，解得即可. 【详解】因为， 所以关于的不等式等价于， 依题意关于的不等式解集为， 当时，解集为，符合题意； 当时，则，解得， 综上可得实数的取值范围是. 故答案为： 6．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围为 ． 【答案】． 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由已知结合二次不等式及一次不等式的求法即可求解． 【详解】由可得， 由可得， 若不等式组没有实数解， 则． 故答案为：． 7．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知命题：关于的方程在上有解；命题：只有一个实数满足不等式．若命题和中有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】． 【知识点】根据或且非的真假求参数、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据题意，分别求出、为真命题时的取值范围，再分“真假”和“假真”两种情况讨论，求出的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，对于方程，变形可得，解可得或， 若为真命题，则或，则有， 对于，只有一个实数满足不等式，则有，解可得或， 若命题和中有且仅有一个是真命题，有2种情况， ①假真，为假时，或；为真时，或， 假真不能同时成立，此时无解； ②真假，为真时，；为假时，且， 此时或； 综合可得：或，即的取值范围为． 故答案为：． 8．（24-25高一上·上海·阶段练习）关于x的不等式组的整数解只有，求的取值范围 . 【答案】 【知识点】根据交集结果求集合或参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】由已知，先求解不等式的解集，然后再对不等式进行转化，通过讨论，和三种情况，分别列式作答即可. 【详解】由已知，不等式的解集为或， 不等式可转化为， 当时，不等式的解集为， 由解集中整数为，不合题意； 当时，不等式的解集为， 由解集中整数为，得，解得， 当时，不等式的解集为，不满足题意， 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 9．（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由不等式的解集求出的关系，再把不等式化为可以解答的一元二次不等式，求出解集即可． 【详解】因为不等式的解集为， 所以 和是的两根，且， 所以即， 所以可化为， 所以， 解得. 故答案为： 10．（24-25高一上·上海静安·阶段练习）若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据不等式的解集得出a与b、c的关系，再代入不等式中化简求解集即可． 【详解】不等式的解集为， 所以和1是的实数根，且， 所以，可得， 所以不等式可化为，即， 整理可得，解得或， 所以不等式的解集为． 故答案为：． 11．（24-25高一上·上海静安·阶段练习）若不等式的解集为，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】对不等式的类型分类讨论，根据判别式及二次项系数的符号列式可求出结果. 【详解】①当，即时， ，解得. ②当，即时， 若，则原不等式为，恒成立． 若，则原不等式为，即，不符合题目要求，舍去． 综上所述，当时，原不等式的解集为R. 故答案为：. 12．（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】或 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】分类讨论，根据不等式恒成立建立不等式得解. 【详解】当时，或， 时不等式为，不满足题意；时不等式为，符合题意； 当时，即时，不等式恒成立需满足， 解得或； 综上，实数的取值范围为或. 故答案为：或 13．（24-25高一上·上海·期中）已知表示不大于的最大整数，如，则不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】由一元二次不等式的解法求出的取值范围，再根据定义求出取值范围即可. 【详解】由解得， 所以， 故不等式的解集为, 故答案为： 三、解答题 14．（24-25高一上·上海·期中）（1）解关于的不等式组 （2）设，证明：若是奇数，则是奇数. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【知识点】分式不等式、反证法证明、分类讨论解绝对值不等式 【分析】（1）解分式不等式和解绝对值不等式进行求解即可； （2）用反证法进行证明即可. 【详解】（1）由，解得， 当，即时，，解得， 当，即时，，解得， 则的解集为. （2）假设不是奇数，则是偶数， 设，则， 因为，则，所以是偶数，即是偶数， 这与已知是奇数矛盾， 故假设不成立， 因此证得若是奇数，则是奇数. 15．（24-25高一上·上海普陀·期中）已知，关于的不等式． (1)若不等式解集为，求实数的取值范围； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）分析可知，，可得出，即可解得实数的取值范围； （2）由（1）可知，可得出，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为不等式的解集为， 则不等式对任意的实数恒成立， 当时，即当时，原不等式即为，解得，不合乎题意； 所以，，由题意可得，解得， 因此，实数的取值范围是. （2）解：因为不等式对一切实数恒成立， 由（1）可知，，则，解得， 所以，实数的取值范围是. 16．（24-25高一上·上海·期中）已知全集为，集合, (1)求集合； (2)求集合的补集. 【答案】(1) (2) 【知识点】补集的概念及运算、分式不等式 【分析】（1）根据绝对值分类讨论求解； （2）分类讨论求解集合； 【详解】（1） 当时，恒成立，所以 ； 当时，所以， 当时，，无解； 综上解集为 . （2）当时，解得： 当时，解得： ，. 17．（24-25高一上·上海·期中）已知，集合； (1)当时，集合且，求集合； (2)已知，求实数的取值范围； 【答案】(1)或或. (2) 【知识点】根据并集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】（1）解不等式分别求得集合，再由集合中的元素特征可得结果； （2）由可得，分类讨论集合是否为空集再由包含关系解得实数的取值范围. 【详解】（1）解不等式可得或； 易知； 当时，可得； 由集合且可得或或. （2）由可得， 当时，可得； 当时，若，可得， 由可得，即； 若，可得，此时恒成立，即即可； 综上可得，实数的取值范围为. 18．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知集合为不等式的解集． (1)求集合； (2)若，且，求实数的范围． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】根据集合的包含关系求参数、分式不等式 【分析】（1）把分式不等式转化为整式不等式求解即可； （2）先求出，结合，列出不等式，求解即可． 【详解】（1）由不等式可得，， 即， 解得， 所以集合； （2）， 因为， 所以，无解， 即实数的范围为． 19．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知，，关于的不等式． (1)若，且不等式对一切恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，解关于的不等式（解集用表示）． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）由恒成立，转化为恒成立，结合二次函数的性质对的范围进行分类讨论即可求解； （2）由恒成立，不等式可化为，然后结合二次不等式的求法对的范围进行分类讨论即可求． 【详解】（1）若，且不等式对一切恒成立， 又恒成立， 所以恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为； （2）当时，又恒成立， 不等式可化为， 即， 当时，， 当时，不等式可化为， 解得， 当时，不等式可化为， 当时，解得或； 当时，； 当时，解得或， 故当时，解集为； 当时，解集为， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 不等式的求解 （知识梳理+7对点集训+基础过关+拓展提优） 1.掌握一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式的解法(重点). 2.会解一元二次不等式中的恒成立问题(难点). 知识点01：不等式的解集与不等式组的解集 1、在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的未知数的值称为该不等式的解. 2、一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集； 3、一个不等式的解的全体所组成的集合称为此不等式的解集； 4、求不等式解集的过程称为不等式的求解，或解不等式； 5、将多个含有同样的未知数的不等式联立起来，即得到不等式组. 6、对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集； 【注意】若不等式中所含不等式解集的交集为时，则不等式组的解集为； 知识点02：一元二次不等式 1、一元二次不等式的概念 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式； 【注意】一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等，即：一元二次不等式的一般形式 （1）ax2＋bx＋c＞0(a≠0)；（2）ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；（3）ax2＋bx＋c＜0(a≠0)；（4）ax2＋bx＋c≤0(a≠0)； 都是一元二次不等式； 2、用因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果x1<x2， 则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)； 3、用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集。 4.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系。 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根 x1，x2(不妨设x1<x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像 5.一元二次不等式在求解时应当注意事项 （1）化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正； （2）①因式分解；②判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式； （3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根； （4）画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图； （5）写解集：根据图象写出不等式的解集。 知识点03：分式不等式的解法 1、分式不等式的定义： 分母中含有未知数字母的有理不等式叫做分式不等式。 只含有一个未知数的分式不等式叫做一元分式不等式。 即：型如或（其中、为整式且）的不等式称为分式不等式。 分式方程：将所求分式方程转化为整式方程，利用整式方程的解法或是一元二次方程的根的求解来解决即可，注意求解后根的检验，要使得方程是有意义的。 2、分式不等式的解法： 基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式。在此过程中，变形的等价性尤为重要。 基本方法：①通过移项，将分式不等式右边化为零；②左边进行通分，化为形如的形式； ③同解变形：；； ；； 知识点04：简单绝对值不等式的解法 1、绝对值不等式 （1）绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式； （2）数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式：一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为|AB|＝|a－b|，线段AB的中点M对应的数x＝． 【注意】（1）求线段AB的长|AB|时，不要忽视绝对值；（2）线段AB的中点坐标与A、B两点的顺序无关。 2、含绝对值不等式的解法 （1）通法：根据绝对值的代数意义，对绝对值内的数（式）的符号分类讨论去绝对值； 关键在于去掉绝对值符号，一般有三种方法：①几何含义；②两边平方；③分段讨论。 （2）根据绝对值的几何意义，将绝对值转化为数轴上的距离，进而去绝对值或求最值； （3）不等式两边均恒为非负数时，可以通过平方法去绝对值. 【注意】去绝对值符号，化绝对值不等式为整式不等式时要保持同解性。 3、常见绝对值不等式的解法与结论： ①几个基本不等式的解集 （1）|x|<a(a>0)⇔x2<a2⇔-a<x<a；（2）|x|>a(a>0)⇔x2>a2⇔x>a,或x<-a; （3）|x-m|<a(a>0)⇔-a<x-m<a⇔m-a<x<a+m；（4）|x-m|>a(a>0)⇔x-m>a,或x-m<-a⇔x>m+a,或x<m-a. ②几种主要的基本类型 （1）|f(x)|>|g(x)|⇔f2(x)>g2(x)(平方法)；（2）|f(x)|>g(x)(g(x)>0)⇔f(x)>g(x),或f(x)<-g(x); （3）|f(x)|<g(x)(g(x)>0)⇔-g(x)<f(x)<g(x);　 （4）含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法脱去绝对值符号求解. 对点集训一：一元一次不等式及一元一次不等式组的求解 典型例题 例1．（22-23高一上·上海奉贤·阶段练习）设，解关于的不等式，下列说法正确的是（      ） A．该不等式的解集为； B．该不等式的解集为； C．该不等式的解集可能为； D．该不等式的解集不可能为. 例2．（24-25高一上·上海·期中）已知，若关于的不等式的解集为，则 . 例3．（23-24高一上·上海·期中）若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数 . 精练 1．（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为，则实数a的值为 . 3．（22-23高一上·上海宝山·期中）若关于的不等式解集为，则关于的不等式的解集为 . 对点集训二：解不含参数的一元二次不等式 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 例2．（24-25高一上·上海·课堂例题）解关于的不等式组： 例3.（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，若，且时，求实数a的取值范围． 精练 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）解不等式：； 2.解下列不等式： (1)； (2)； (3). 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）解关于的不等式组： 对点集训三： 解含有参数的一元二次不等式 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·阶段练习）求关于的不等式的解集：. 例2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知关于的不等式组仅有一个整数解，求实数的取值范围． 精练 1．解关于的不等式: . 2．已知，求解关于的不等式. 3．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）解关于的不等式. 对点集训四：由一元二次不等式的解确定参数 典型例题 例1.已知不等式的解集为.求 a､b的值 例2．（24-25高一上·上海·随堂练习）当为何值时，关于x的一元二次不等式的解集为空集． 例3．（24-25高一上·上海·课堂例题）若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围． 精练 1.已知集合若求实数的值. 2．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）若关于的不等式的解集为，求的取值范围. 3．（22-23高一上·上海浦东新·期中）已知关于x的不等式. (1)若该不等式的解集为或，求实数k的值； (2)若该不等式的解集为空集，求实数k的取值范围. 对点集训五：一元二次方程根的分布问题 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知实数系数方程有两个不相等的实数根，，有5个条件： ①；②；③；④；⑤ ． 问题： (1)试从以上条件中找出合适的条件使得，，并说明理由． (2)试从以上条件中找出合适的条件使得，，并说明理由． 例2．（24-25高一上·上海·假期作业）已知关于的方程有两个相异实根，求实数的取值范围. 例3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知方程． (1)若关于的方程总有实数解，求的取值范围； (2)求证：无论取何实数，关于的方程必有互异实数根． 精练 1．（24-25高一上·上海·期中）已知，关于的方程； (1)若方程有两个正实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个整数根，且为整数，求的值； 2．（22-23高一上·上海长宁·阶段练习）已知､是关于的一元二次方程的两个实数根； (1)若､为两个不相等的正实数根，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）根据要求完成下列问题： (1)已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)已知命题：关于的方程有两个不等的负根；命题：关于的不等式的解集为．若一真一假，求实数的取值范围． 对点集训六：分式不等式 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)． 例2．（24-25高一上·上海·课堂例题）解不等式： (1)； (2)． 例3．（24-25高一上·上海·期中）已知不等式的解集为或或． (1)求实数a，b的值； (2)解不等式． 精练 1．（24-25高一上·上海·假期作业）解不等式：. 2．（24-25高一上·上海青浦·阶段练习）解关于的不等式组 3．（24-25高一·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 对点集训七：绝对值不等式 典型例题 例1．（22-23高一上·上海浦东新·期中）解不等式 例2．（24-25高一上·上海浦东新·期中）解不等式组： 精练 1．（24-25高一上·上海·期中）解关于的不等式. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）解不等式：． 3．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知集合，若，求实数t的取值范围； （2）已知集合{对任意恒成立}，，求. 一、单选题 1．（24-25高一上·上海徐汇·期末）“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 2．（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海虹口·期末）定义运算：.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25高一上·上海嘉定·期末）不等式的解集是 . 5．（24-25高一上·上海·期末）不等式组无实数解，则的取值范围是 . 6．（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围 ． 7．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知关于的方程至少有一个实根，则实数的取值范围是 . 8．（24-25高一上·上海奉贤·期末）不等式的解集为 ． 9．（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集为，求不等式的解集 ． 三、解答题 10．（24-25高一上·上海奉贤·期中）求下列关于x的不等式的解集： (1) (2)． 11．（24-25高一上·上海青浦·期中）已知集合，，全集为. (1)求集合和； (2)求阴影部分表示的集合. 12．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知一元二次不等式 (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)当时，求不等式的解集； 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·期中）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·上海闵行·阶段练习）已知关于x的不等式，下列结论正确的是（    ） A．不等式的解集不可以是； B．不等式的解集可以是； C．不等式的解集可以是； D．不等式的解集可以是． 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海青浦·阶段练习）已知集合，集合，其中．若集合表示的区间为一个闭区间，则的取值范围为（    ） A．取遍任意大于的实数 B． C． D． 二、填空题 5．（24-25高一上·上海宝山·期中）已知关于的不等式解集为，则实数的取值范围是 . 6．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围为 ． 7．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知命题：关于的方程在上有解；命题：只有一个实数满足不等式．若命题和中有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围是 ． 8．（24-25高一上·上海·阶段练习）关于x的不等式组的整数解只有，求的取值范围 . 9．（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 10．（24-25高一上·上海静安·阶段练习）若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 . 11．（24-25高一上·上海静安·阶段练习）若不等式的解集为，则实数a的取值范围是 . 12．（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为 . 13．（24-25高一上·上海·期中）已知表示不大于的最大整数，如，则不等式的解集为 . 三、解答题 14．（24-25高一上·上海·期中）（1）解关于的不等式组 （2）设，证明：若是奇数，则是奇数. 15．（24-25高一上·上海普陀·期中）已知，关于的不等式． (1)若不等式解集为，求实数的取值范围； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 16．（24-25高一上·上海·期中）已知全集为，集合, (1)求集合； (2)求集合的补集. 17．（24-25高一上·上海·期中）已知，集合； (1)当时，集合且，求集合； (2)已知，求实数的取值范围； 18．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知集合为不等式的解集． (1)求集合； (2)若，且，求实数的范围． 19．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知，，关于的不等式． (1)若，且不等式对一切恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，解关于的不等式（解集用表示）． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$