第4讲 集合与逻辑单元复习（讲义）-【教育机构专用】2021年暑期新高一数学辅导讲义（沪教版2020）

第4讲 集合与逻辑单元复习 【知识梳理】 一、集合之间的关系和运算 理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三要素；会用来求解子集的相关问题；注意空集的特殊性；理解并能熟练求解集合的交、并、补运算. 二、命题和充要条件 理解原命题的逆命题、否命题、逆否命题的意义；注意互为逆否命题的两个命题的等价性；注意全称代词、特称代词、存在代词的否定的转化；掌握子集具有充分性、全集具有必要性的意义. 三、反证法的定义： 反证法是间接论证的方法之一。亦称“逆证”。是通过断定与论题相矛盾的判断（即反论题）的虚假来确立论题的真实性的论证方法。反证法的论证过程如下：首先提出论题：然后设定反论题，并依据推理规则进行推演，证明反论题的虚假；最后根据排中律，既然反论题为假，原论题便是真的。在进行反证中，只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题，论题的反对判断是不能作为反论题的，因为具有反对关系的两个判断可以同时为假。反证法中的重要环节是确定反论题的虚假，常常要使用归谬法。反证法是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证或反驳比较困难时，用反证法会收到更好的效果。 反证法的步骤是： （1）假设结论不成立； （2）从假设出发推出矛盾； （3）假设不成立，则结论成立． 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 【例题解析】 知识点一：集合之间的关系和运算 例1． （2020·上海）已知命题“若，则”是真命题，集合满足，集合满足.下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得出是成立的充分条件，再根据充分条件与集合的包含关系可得出合适的选项. 【详解】由于命题“若，则”是真命题，则是成立的充分条件， 因为集合满足，集合满足，. 故选：B. 例2． （2020·上海高一单元测试）设集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由并集的定义运算即可得解. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：B. 例3． （2019·上海市建平中学高一月考）若为全集，为非空集合，下面四个命题： （1）；（2）；（3）；（4）. 其中与命题等价的命题个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据集合与集合的关系及运算,可判断四个选项是否正确. 【详解】对于（1）,若则A为B的子集,即,所以（1）与命题等价; 对于（2）,若,则A为B的子集,即,所以（2）与命题等价; 对于（3）,若,由韦恩图可知,则A为B的子集,即,所以（3）与命题等价; 对于（4）若,由韦恩图可知,则A为B的子集,即,所以（4）与命题等价; 综上可知,与命题等价的命题为（1）（2）（3）（4） 故选:D 【点睛】本题考查了集合与集合的关系,集合的交集与并集和补集运算,韦恩图在研究集合关系时是常用方法,属于基础题. 例4． （2020·上海市嘉定区第二中学高一月考）若集合，，且，则的值为（ ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】C 【分析】利用，讨论三种情况，分别求得的值即可． 【详解】 ； ； 当时， 当时， 当时， 故的值是0；1； 故选：C． 【点睛】本题主要考查集合的运算以及集合的子集，考查了分类讨论的数学思想方法，属于基础题． 例5． （2020·上海高一专题练习）已知集合，集合，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，由求解. 【详解】因为集合，集合，且， 所以， 解得， 所以的取值范围是 故选：A 例6． （2020·上海市徐汇中学高一期中）用描述法表示所有偶数组成的集合__________． 【答案】 【分析】利用描述法的定义求解即可 【详解】解：所有偶数组成的集合为， 故答案为： 例7． （2020·上海市控江中学高一期中）设，若集合，，且，则_________. 【答案】 【分析】本题可根据集合相等的相关性质得出结果. 【详解】因为，， 所以，，满足题意， 故答案为：. 例8． （2020·上海市控江中学高一期中）设全集，已知集合，则_________. 【答案】 【分析】求出集合A，利用补集的定义可求得集合. 【详解】已知全集，集合，因此，. 故答案为：. 例9．（2020·上海高一专题练习） _________． 【答案】 【分析】由集合描述对应函数的值域可求集合、，应用集合的交运算求即可. 【详解】由题意知：，， ∴. 故答案为：. 例10． （2020·上海高一专题练习）已知全集，，，则=_______ 【答案】. 【分析】利用集合的补集和交集运算求解. 【详解】因为全集， ， 所以， 又因为， 所以， 故答案为：. 例11． （2020·上海高