第05讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系（知识详解+8典例精讲+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（人教A版选修第一册）

第05讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系 （知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：空间中点的向量和直线的向量表示 知识点02：空间中平面的向量表示 知识点03：直线和直线平行 知识点04：直线和平面平行 知识点05：平面和平面平行 知识点06：直线与直线垂直 知识点07：直线与平面垂直 知识点08：平面与平面垂直 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：求平面的法向量 题型02：求直线的方向向量(空间中) 题型03：直线和直线平行 题型04：直线和平面平行 题型05：平面和平面平行 题型06：直线与直线垂直 题型07：直线与平面垂直 题型08：平面与平面垂直 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】空间中点的向量和直线的向量表示 1．设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t. (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，即＝＋t. 2．空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． 注意点： (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． (2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个． 【例1】已知空间定点，直线的方向向量，写出直线的向量参数方程，并求时直线上对应点的坐标。 解：先求定点位置向量： 代入直线向量参数方程： 当时： ∴直线参数方程为，对应点坐标为。 【知识点02】空间中平面的向量表示 1.如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb. 2.如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 3.空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}． 注意点： (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 【例2】已知平面过点，平面内两个不共线向量，求证点在平面内。 解：求向量 设，列方程组： 代入验证：时，，等式成立 ∴存在实数满足平面向量关系式，点P在平面内。 【知识点03】直线和直线平行 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 【例3】直线方向向量，直线方向向量，若，求实数的值。 解：∵，∴，满足 对应坐标成比例： 计算得：∴。 【知识点04】直线和平面平行 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 注意点： (1)证明线面平行的关键是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． (2)特别强调直线在平面外． 【例4】直线方向向量，平面法向量，判断直线与平面是否平行。 解：计算向量点积： ∴，又直线∴直线平面。 【知识点05】平面和平面平行 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2. 【例5】平面法向量，平面法向量，若，求的值。 解：∵，∴，坐标对应成比例 解得：∴。 【知识点06】直线与直线垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 注意点： (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量互相垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量互相垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 【例6】直线方向向量，直线方向向量，若两直线垂直，求的值。 解：∵，∴ 列式计算： 化简：∴。 【知识点07】直线与平面垂直 设直线 l 的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 【例7】直线方向向量，平面法向量，若，求的值。 解：∵，∴，坐标成比例 计算得：∴。 【知识点08】平面与平面垂直 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 【例8】平面法向量，平面法向量，若，求实数的值。 解：∵，∴两平面法向量垂直， 代入点积公式： 化简求解：∴。 【题型01】求平面的法向量 【典例1-1】（25-26高二上·广东·期末）点，平面的一个法向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面法向量的求解过程求解即可． 【详解】设平面的一个法向量， ， 则，不妨取，则， ，即平面的一个法向量为． 故选：B． 【变式1-1】（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平面ABC的法向量为，根据法向量的定义计算. 【详解】由题意得，，， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则， 则是平面ABC的一个法向量. 故选：D 【变式1-2】（多选）（25-26高二上·广西百色·阶段检测）如图，在直三棱柱中，．以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．以下向量可成为平面的法向量有（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据空间直角坐标系中法向量的求法，求出法向量，逐项判断即可. 【详解】因为； 所以， 设平面的法向量 则有，即 可得，即，故， 写出符合以上条件的向量即可，如：， 故选：CD 【变式1-3】（25-26高二上·四川成都·阶段检测）在长方体中，．以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量为_____（用向量的坐标表示）． 【答案】 【分析】求得点的坐标，进而根据设平面的法向量为，根据，可求法向量的一个坐标. 【详解】以为空间的一个单位正交基底，空间直角坐标系如图所示： 又因为， 则， 则， 设平面的法向量为， ， 令，则， 所以平面的一个法向量为. 故答案为：（不唯一）. 【题型02】求直线的方向向量(空间中) 【典例2-1】（24-25高二上·江西景德镇·期末）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用方向向量的定义判断得解. 【详解】由，得， 所以直线的一个方向向量的坐标为. 故选：A 【变式2-1】（多选）已知，，则直线的方向向量可以表示为(     ) A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】计算，，，AB满足，CD中向量与不共线，得到答案. 【详解】，，则， 对选项A：，满足； 对选项B：，满足； 对选项C：与不共线，不满足； 对选项D：与不共线，不满足； 故选：AB. 【变式2-2】（24-25高二上·四川成都·期中）经过点，点的直线的一个方向向量是______. 【答案】(时，均可) 【分析】求出向量符合题意，所有与共线的非零向量均可. 【详解】点，点在直线上， 则直线的一个方向向量为， 时，也都是直线的方向向量. 故答案为：（时，均可） 【变式2-3】已知，，． (1)写出直线BC的一个方向向量； (2)写出平面ABC的一个法向量． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）向量即是直线BC的一个方向向量； （2）设平面ABC的一个法向量为，根据即可求出平面的一个法向量. 【详解】（1）因为，，所以， 所以直线BC的一个方向向量为. （2）因为，，，所以，， 设平面ABC的一个法向量为，则， 即，令，则，， 所以， 所以平面ABC的一个法向量为. 【题型03】直线和直线平行 【典例3-1】（25-26高二下·河南平顶山·期中）已知，，若，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，，解得. 【变式3-1】（25-26高二下·河南·阶段检测）已知，若，则（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】先应用空间向量共线列式求参，再代入计算求解. 【详解】因为，所以，解得，故． 【变式3-2】（25-26高二下·甘肃白银·期中）已知向量，，若，则实数________. 【答案】1 【详解】因为向量，， 根据∥，所以，得. 【变式3-3】如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】证法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用空间向量共线的坐标表示可得答案； 证法二：由空间向量的线性表示可得答案. 【详解】证法一：由题意知，直线两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 所以，又，故． 证法二：由题意可得 ， 又，所以．    【题型04】直线和平面平行 【典例4-1】（25-26高二上·天津静海·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则实数的值为（  ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用空间向量几何意义列方程，解之即可求得的值. 【详解】由直线平面，可得，则 则，解得 故选：D. 【变式4-1】如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，. 问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE//平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】存在点E为PD中点时，CE//平面PAB. 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，根据直线与平面平行的条件：直线的方向向量与平面的法向量垂直，利用空间向量的坐标运算求解. 【详解】由已知得以AB，AD，AP两两垂直， 分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图． ∵，∴P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)， 设E(0，y，z)，则＝(0，y，z－1)，＝(0，2，－1)， ∵E是棱PD上的点，∴∥，∴，即① ∵＝(0，2，0)是平面PAB的法向量，＝(－1，y－1，z)， ∴由CE∥平面PAB，可得⊥， ∴(－1，y－1，z)·(0，2，0)＝2(y－1)＝0， ∴y＝1，代入①式得z＝. ∴E是PD的中点， 此时，由于平面, ∴CE∥平面PAB. 故存在满足题意的点E,使得CE∥平面PAB，且点E为棱PD的中点. 【变式4-2】（24-25高三·全国·一轮复习）如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，F为AB的中点．求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，向量法证明，由线面平行的判定定理可证得平面. 【详解】以为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 因为，由不在一条直线上， 所以， 又平面，平面， 所以平面． 【变式4-3】（2025高二·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，是的中点．    (1)用，，表示； (2)求证：平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】1）利用向量的线性表示与化简运算求解即可； （2）利用向量的线性运算可得，由线面平行判断定理即可证明. 【详解】（1） ． （2）因为，取中点，    则，所以，由于平面，平面，所以平面． 【题型05】平面和平面平行 【典例5-1】（25-26高二上·四川攀枝花·期末）已知平面的法向量分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量平行的坐标公式求解. 【详解】，平面的法向量分别为，， ，， ，， ，，，. 故选：B. 【变式5-1】（25-26高二上·广东清远·期中）已知平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据法向量定义，把转化为，可得的值. 【详解】设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 又因为，所以， 存在一个非零实数，使得， 即，有，解得. 故选：B 【变式5-2】（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则______ 【答案】 【详解】由题意，则，所以， 解得，所以. 【变式5-3】（2025高二·全国·专题练习）如图，在正方体中，分别为底面和侧面的中心．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证法1：建立空间直角坐标系，表示出各点坐标，可得，由线面平行的判定定理证明即可； 证法2：求出平面的法向量，判断即可证明 （2）求出平面的一个法向量，判断与关系即可证明； 【详解】（1）以为原点，，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 令正方体的棱长为2，则，，，，，． 证法1：，，因为，所以，又平面，平面，所以平面． 证法2：设平面的一个法向量，，，根据，可得，令，则，，即， 因为，平面，所以平面． （2）设平面的一个法向量，，，根据，可得，取，则，所以，则，所以平面平面． 【题型06】直线与直线垂直 【典例6-1】（25-26高二下·江苏扬州·期中）设，向量，且，则（    ） A．5 B．1 C．-1 D．-5 【答案】A 【详解】因为，所以，解得 【变式6-1】（24-25高二下·浙江·期中）已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据，由求解. 【详解】因为， 所以，解得. 【变式6-2】（25-26高二·全国·暑假作业）若，且两两垂直，则_____________， ___________，________． 【答案】 【详解】， ，即，解得. 【变式6-3】（25-26高二上·福建福州·阶段检测）已知，. (1)求； (2)当时，求实数的值. 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）由向量数量积的坐标表示即可求解； （2）由向量垂直的坐标表示，构造等式求解即可. 【详解】（1）， 所以 （2）， ， 因为， 所以， 解得： 所以实数k的值为. 【题型07】直线与平面垂直 【典例7-1】已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面垂直的性质可得，进而求得，即得. 【详解】因为，所以， 又， 即， 解得：， 所以， 故选：C. 【变式7-1】（25-26高二上·云南昭通·阶段检测）已知平面的一个法向量，点，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，从而得到，即可得到答案. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，所以， 所以，，． 故选： 【变式7-2】（2025高二·全国·专题练习）已知空间直线的方向向量是，平面的法向量．若，则______；若，则______． 【答案】 2 【分析】根据空间向量垂直和平行的坐标表示列方程求参数. 【详解】由是直线的方向向量，是平面的法向量， 若，则，即，解得，则， 若，则，即，解得. 故答案为：2， 【变式7-3】（2025高三下·全国·专题练习）如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法判断位置关系； （2）设，求出点的坐标，求出平面的一个法向量，利用向量法建立方程求解. 【详解】（1）设的中点为H，的中点为O，连接，， 由题意知． 因为平面平面，平面，，平面平面， 所以平面，所以平面，则，， 又为等边三角形，所以． 故以O为坐标原点，射线，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ，， ，， 所以.又因为平面， 所以平面． （2）设存在点N，使平面， 设，，则， ， 所以． 由（1）知，，， 设平面的法向量为， 由， 得，令，则， 由平面，得． 所以，解得． 所以当时，平面． 【题型08】平面与平面垂直 【典例8-1】（25-26高三·全国·一轮复习）设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则等于（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】， ，解得． 【变式8-1】（25-26高二下·海南儋州·开学考试）若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两平面垂直，则其法向量垂直，进而其数量积为0，逐一验证即可. 【详解】设平面的法向量为，因为平面平面，所以 ， 因为， ， ， . 所以平面的法向量的坐标可以是. 【变式8-2】（24-25高二上·海南·阶段检测）已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则__________. 【答案】 【分析】根据题设得到，再利用向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】因为平面的一个法向量，平面的一个法向量，且， 所以，即，所以，得到， 故答案为：. 【变式8-3】（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，四棱锥的底面是平行四边形，且底面，点是线段的中点，，，．求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】过点作直线，交直线于点，以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量关系证明平面平面. 【详解】过点作直线，交直线于点， 则，，所以． 以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，． ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，． 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 因为，所以平面平面． 知识点01 空间中点的向量和直线的向量表示 空间点的向量表示：以原点为基点，空间任意点的位置向量：，点和位置向量一一对应。 空间直线向量参数方程：设直线过定点，方向向量，为直线上任意一点，则： 核心说明：参数取全体实数，即可遍历直线上所有点。 知识点02 空间中平面的向量表示 平面向量参数式：平面内定点，平面内两个不共线向量，平面内任意点： 平面点法式方程（法向量版）：平面法向量，在平面内，为平面内动点： 知识点03 直线和直线平行 设两直线方向向量分别为： 文字总结：两直线平行等价于方向向量共线。 知识点04 直线和平面平行 直线方向向量，平面法向量，且： 易错提醒：必须注明直线不在平面内，否则直线在平面内也满足点积为0。 知识点05 平面和平面平行 平面法向量分别为： 文字总结：两平面平行等价于两个平面法向量共线。 知识点06 直线与直线垂直 设两直线方向向量分别为： 适用范围：异面直线垂直、相交直线垂直均适用。 知识点07 直线与平面垂直 直线方向向量，平面法向量： 核心逻辑：直线垂直平面，说明直线方向与平面法线方向一致。 知识点08 平面与平面垂直 平面法向量分别为： 文字总结：两平面垂直等价于两个平面法向量互相垂直。 知识点09高频易错点总结 易错1：忽略，直接由判定线面平行，导致失分。 易错2：混淆方向向量与法向量，线面平行和线面垂直向量关系记反。 易错3：向量共线判定时，忽略零向量，所有判定向量均要求为非零向量。 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据可得，再根据空间向量的平行公式求解即可. 【详解】由可得，故，故，，故. 故选：A 2．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）设是平面外的直线的方向向量，是平面的法向量，则（   ） A． B．或在平面内 C． D．或 【答案】C 【分析】计算出，即可判断得解. 【详解】∵，∴. 又因直线在平面外，∴. 3．（25-26高二上·山西·阶段检测）若平面的法向量分别为，且平面，则实数的值为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据，得，利用数量积坐标运算列式计算求解. 【详解】因为平面，所以，则，解得. 故选：B. 4．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知直线所在方向向量为，平面的一个法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．在面内或平行 【答案】D 【详解】设直线所在方向向量，平面的一个法向量为， ，所以 ，由此可得直线在平面内或与平面平行. 5．（25-26高二上·广东广州·期末）已知正方体的棱长为1，以A为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求出点坐标，然后方程组求出平面的一个法向量. 【详解】建立坐标系并确定点坐标，如图 以为原点，为单位正交基底，正方体棱长为1，则各点坐标为：，，， ， 设平面的法向量为，则 且， 即 化简得，， 令，则，，即法向量为. 故选：A. 6．（24-25高二上·广东潮州·期末）是直线的方向向量，是平面的法向量，若 ，则（    ） A． B． C． D．15 【答案】A 【分析】由 ，得到，求解即可； 【详解】由，得，即，解得. 故选：A 7．（25-26高二上·广东广州·期中）设，，，，且，，则（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标公式即可得到方程，最后利用向量模的坐标公式即可得到答案. 【详解】因为，则，解得，则 因为，则，解得， 则，则，则. 故选：C. 8．（25-26高二上·山东济宁·期中）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线的方向向量． 【详解】由题意有：平面的法向量为， 平面的法向量为， 设直线的方向向量为， 所以，令，得， 而ACD中的向量与该向量均不共线， 故选：B 二、多选题 9．（25-26高二上·广东东莞·期末）直的一个方向向量为，若，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】计算各选项中的向量是否与共线后可得正确的选项. 【详解】对于A，，故可为平面的法向量； 对于B，若，则，无解，故不为平面的法向量； 对于C，，故可为平面的法向量； 对于D，若，则，无解，故不为平面的法向量； 故选：AC. 10．（24-25高二上·湖北十堰·阶段检测）给出下列命题，其中是真命题的是（    ） A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直 B．若直线的方向向量，平面的法向量，则或 C．若平面，的法向量分别为，，则 D．若向量，，则向量在上的投影向量 【答案】ABD 【分析】根据空间向量数量积的值即可判断A；根据空间向量数量积的值即可判断B；根据两平面法向量之间的关系可判断C；利用投影向量计算方法可判断D. 【详解】对于A，， 则，所以直线与垂直，故A是真命题； 对于B，，则， 所以或，故B是真命题； 对于C，，所以不成立，故C是假命题； 对于D，在上的投影为, 则向量在上的投影向量, 故D是真命题. 故选：ABD. 11. （25-26高二上·湖北孝感·期末）在正方体中，为底面的中心，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】ABC 【分析】建立空间直角坐标系，写出所需的点坐标，选项A，利用平行即可得出；选项B，求出平面的法向量，利用法向量与向量数量积为0即可判断；选项C，利用即可验证；选项D，利用即可说明. 【详解】设正方体的棱长为1，以为坐标原点，分别以所在直线 为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，， 选项A，因为， 所以，所以， 由平面，平面， 所以平面，故A正确； 选项B，， 设平面的一个法向量为， 由 由，令，则， 所以平面的一个法向量为， 由， 所以，直线不在平面内， 故平面，故B正确； 选项C，由， 因为， 所以， 又因为，所以平面，故C正确； 选项D：由， 则，所以与不垂直， 所以与平面不垂直，故D错误， 故选：ABC. 三、填空题 12．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知向量，，若，则__________________ 【答案】 【分析】根据空间向量垂直的充要条件计算即可. 【详解】因为，所以，即，即，解得. 故答案为：. 13．（23-24高二上·辽宁抚顺·期中）在中，．向量为平面的一个法向量，则的坐标为__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据向量垂直求平面的法向量即可. 【详解】根据题意可得：，设， 与平面垂直，则，可得， 当时，则，的坐标为． 故答案为：（答案不唯一） 14．（24-25高二上·陕西西安·阶段检测）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则___ 【答案】 【分析】根据两个平面平行，则其法向量也平行，由共线向量定理，列方程组，可求得，即可得到答案. 【详解】因为平面的一个法向量为，平面β的一个法向量为，， 所以，则，所以，解得， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15．如图，在三棱锥中，，的中点分别为，点在上，．求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】利用向量的线性运算表示，根据垂直，利用数量积求得为的中点，再由中位线定理和平行传递性结合线面平行的判定求证. 【详解】连接，设， 则 ，，由可知，，又因为，， 则 ，解得，则为的中点， 因为分别为的中点， 所以且，所以， 又平面平面， 所以平面. 16．若，. (1)若，求实数k的值. (2)若，求实数k的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用向量的坐标运算和向量共线的充要条件求出k的值； （2）直接利用向量的坐标运算和向量垂直的充要条件求出k的值． 【详解】（1）∵，， ∴ ， ∵， ∴，解得. （2）∵， ∴， 即， 解得. 17.（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 【答案】(1) (2)方向向量，法向量为 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为底面为矩形，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为； （2）直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为， 由，得，令，则. 所以平面的一个法向量为. 18．（25-26高二上·河北·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明线面垂直； （2）利用空间向量法证明线面平行； 【详解】（1）证明：因为底面，平面，所以， 因为，所以两两垂直， 所以如图，以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以，，即，， 又因为，平面， 所以平面； （2）证明：由可得， 则， ，， 设平面的法向量为， 则，即 令，得，， 则是平面的一个法向量， 因为，所以， 因为平面，所以平面． 19．（25-26高二下·全国·课堂例题）在正方体中，，，M分别是，，的中点，求证： (1)． (2)平面. (3)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理作答. （2）设，，，作为一组基底，分别表示向量，证明，即可. （3）建立坐标系，结合空间向量分别求出法向量，再根据面面垂直空间向量证法可证结论； 【详解】（1）在正方体中，以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 令正方体棱长为1，则， 于是， 有， 因此，所以. （2）设，，，则.则 . ∴. ∴，即. 同理.∵，平面， ∴平面. （3）在正方体中，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为1， 则，，，，， 设平面的一个法向量为， 由令，则，，即. ，，设平面的一个法向量为， 由令，则，，即. ，即， 所以平面平面． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系 （知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：空间中点的向量和直线的向量表示 知识点02：空间中平面的向量表示 知识点03：直线和直线平行 知识点04：直线和平面平行 知识点05：平面和平面平行 知识点06：直线与直线垂直 知识点07：直线与平面垂直 知识点08：平面与平面垂直 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：求平面的法向量 题型02：求直线的方向向量(空间中) 题型03：直线和直线平行 题型04：直线和平面平行 题型05：平面和平面平行 题型06：直线与直线垂直 题型07：直线与平面垂直 题型08：平面与平面垂直 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】空间中点的向量和直线的向量表示 1．设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t. (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，即＝＋t. 2．空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． 注意点： (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． (2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个． 【例1】已知空间定点，直线的方向向量，写出直线的向量参数方程，并求时直线上对应点的坐标。 【知识点02】空间中平面的向量表示 1.如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb. 2.如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 3.空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}． 注意点： (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 【例2】已知平面过点，平面内两个不共线向量，求证点在平面内。 【知识点03】直线和直线平行 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 【例3】直线方向向量，直线方向向量，若，求实数的值。 【知识点04】直线和平面平行 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 注意点： (1)证明线面平行的关键是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． (2)特别强调直线在平面外． 【例4】直线方向向量，平面法向量，判断直线与平面是否平行。 【知识点05】平面和平面平行 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2. 【例5】平面法向量，平面法向量，若，求的值。 【知识点06】直线与直线垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 注意点： (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量互相垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量互相垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 【例6】直线方向向量，直线方向向量，若两直线垂直，求的值。 【知识点07】直线与平面垂直 设直线 l 的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 【例7】直线方向向量，平面法向量，若，求的值。 【知识点08】平面与平面垂直 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 【例8】平面法向量，平面法向量，若，求实数的值。 【题型01】求平面的法向量 【典例1-1】（25-26高二上·广东·期末）点，平面的一个法向量为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选）（25-26高二上·广西百色·阶段检测）如图，在直三棱柱中，．以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．以下向量可成为平面的法向量有（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·四川成都·阶段检测）在长方体中，．以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量为_____（用向量的坐标表示）． 【题型02】求直线的方向向量(空间中) 【典例2-1】（24-25高二上·江西景德镇·期末）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（多选）已知，，则直线的方向向量可以表示为(     ) A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·四川成都·期中）经过点，点的直线的一个方向向量是______. 【变式2-3】已知，，． (1)写出直线BC的一个方向向量； (2)写出平面ABC的一个法向量． 【题型03】直线和直线平行 【典例3-1】（25-26高二下·河南平顶山·期中）已知，，若，则（   ） A．2 B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二下·河南·阶段检测）已知，若，则（   ） A． B．4 C． D．6 【变式3-2】（25-26高二下·甘肃白银·期中）已知向量，，若，则实数________. 【变式3-3】如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：．    【题型04】直线和平面平行 【典例4-1】（25-26高二上·天津静海·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则实数的值为（  ） A． B． C．2 D． 【变式4-1】如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，. 问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE//平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由． 【变式4-2】（24-25高三·全国·一轮复习）如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，F为AB的中点．求证：平面； 【变式4-3】（2025高二·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，是的中点．    (1)用，，表示； (2)求证：平面． 【题型05】平面和平面平行 【典例5-1】（25-26高二上·四川攀枝花·期末）已知平面的法向量分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·广东清远·期中）已知平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则______ 【变式5-3】（2025高二·全国·专题练习）如图，在正方体中，分别为底面和侧面的中心．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【题型06】直线与直线垂直 【典例6-1】（25-26高二下·江苏扬州·期中）设，向量，且，则（    ） A．5 B．1 C．-1 D．-5 【变式6-1】（24-25高二下·浙江·期中）已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【变式6-2】（25-26高二·全国·暑假作业）若，且两两垂直，则_____________， ___________，________． 【变式6-3】（25-26高二上·福建福州·阶段检测）已知，. (1)求； (2)当时，求实数的值. 【题型07】直线与平面垂直 【典例7-1】已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·云南昭通·阶段检测）已知平面的一个法向量，点，，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025高二·全国·专题练习）已知空间直线的方向向量是，平面的法向量．若，则______；若，则______． 【变式7-3】（2025高三下·全国·专题练习）如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【题型08】平面与平面垂直 【典例8-1】（25-26高三·全国·一轮复习）设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则等于（   ） A．2 B． C． D． 【变式8-1】（25-26高二下·海南儋州·开学考试）若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高二上·海南·阶段检测）已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则__________. 【变式8-3】（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，四棱锥的底面是平行四边形，且底面，点是线段的中点，，，．求证：平面平面. 知识点01 空间中点的向量和直线的向量表示 空间点的向量表示：以原点为基点，空间任意点的位置向量：，点和位置向量一一对应。 空间直线向量参数方程：设直线过定点，方向向量，为直线上任意一点，则： 核心说明：参数取全体实数，即可遍历直线上所有点。 知识点02 空间中平面的向量表示 平面向量参数式：平面内定点，平面内两个不共线向量，平面内任意点： 平面点法式方程（法向量版）：平面法向量，在平面内，为平面内动点： 知识点03 直线和直线平行 设两直线方向向量分别为： 文字总结：两直线平行等价于方向向量共线。 知识点04 直线和平面平行 直线方向向量，平面法向量，且： 易错提醒：必须注明直线不在平面内，否则直线在平面内也满足点积为0。 知识点05 平面和平面平行 平面法向量分别为： 文字总结：两平面平行等价于两个平面法向量共线。 知识点06 直线与直线垂直 设两直线方向向量分别为： 适用范围：异面直线垂直、相交直线垂直均适用。 知识点07 直线与平面垂直 直线方向向量，平面法向量： 核心逻辑：直线垂直平面，说明直线方向与平面法线方向一致。 知识点08 平面与平面垂直 平面法向量分别为： 文字总结：两平面垂直等价于两个平面法向量互相垂直。 知识点09高频易错点总结 易错1：忽略，直接由判定线面平行，导致失分。 易错2：混淆方向向量与法向量，线面平行和线面垂直向量关系记反。 易错3：向量共线判定时，忽略零向量，所有判定向量均要求为非零向量。 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（   ） A． B．1 C． D． 2．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）设是平面外的直线的方向向量，是平面的法向量，则（   ） A． B．或在平面内 C． D．或 3．（25-26高二上·山西·阶段检测）若平面的法向量分别为，且平面，则实数的值为（   ） A． B． C．4 D．5 4．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知直线所在方向向量为，平面的一个法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．在面内或平行 5．（25-26高二上·广东广州·期末）已知正方体的棱长为1，以A为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·广东潮州·期末）是直线的方向向量，是平面的法向量，若 ，则（    ） A． B． C． D．15 7．（25-26高二上·广东广州·期中）设，，，，且，，则（   ） A． B． C．3 D．4 8．（25-26高二上·山东济宁·期中）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·广东东莞·期末）直的一个方向向量为，若，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·湖北十堰·阶段检测）给出下列命题，其中是真命题的是（    ） A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直 B．若直线的方向向量，平面的法向量，则或 C．若平面，的法向量分别为，，则 D．若向量，，则向量在上的投影向量 11. （25-26高二上·湖北孝感·期末）在正方体中，为底面的中心，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 三、填空题 12．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知向量，，若，则__________________ 13．（23-24高二上·辽宁抚顺·期中）在中，．向量为平面的一个法向量，则的坐标为__________． 14．（24-25高二上·陕西西安·阶段检测）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则___ 四、解答题 15．如图，在三棱锥中，，的中点分别为，点在上，．求证：平面. 16．若，. (1)若，求实数k的值. (2)若，求实数k的值. 17.（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 18．（25-26高二上·河北·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 19．（25-26高二下·全国·课堂例题）在正方体中，，，M分别是，，的中点，求证： (1)． (2)平面. (3)平面平面． 1 学科网（北京）股份有限公司 $