第05讲 平面上的距离（知识详解+7典例精讲+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（苏教版选修第一册）

第05讲 平面上的距离（知识详解+7典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：两点之间的距离公式 知识点02：中点坐标公式 知识点03：坐标法的应用 知识点04：点到直线的距离公式 知识点05：两条平行直线间的距离 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：求平面两点间的距离 题型02：中点坐标公式 题型03：求点到直线的距离 题型04：已知点到直线距离求参数 题型05：求点关于直线的对称点 题型06：坐标法的应用 题型07：求平行线间的距离 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】两点之间的距离公式 1.平面上P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间的距离公式P1P2=. 2.原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离OP=. 温馨提示　(1)此公式与两点的先后顺序无关. (2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),由两点间的距离公式可得 P1P2==|x2-x1|,或P1P2=|y2-y1|. 【例1】已知点，点，求线段的长度。 【知识点02】中点坐标公式 对于平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),线段P1P2的中点是M(x0,y0),则 温馨提示　1.线段P1P2的中点坐标公式,也可以过P1,M,P2分别向x轴、y轴作投影进行推导. 2.若M是线段P1P2的中点,则P1,P2关于点M对称. 【例2】已知线段端点坐标，，求线段中点坐标。 【知识点03】坐标法的应用 坐标法又称解析法,它是把几何问题转化为代数问题,通过建立适当的平面直角坐标系,加以分析研究解决问题的方法. 温馨提示　1.坐标法的实质是把几何问题代数化,即通过点的坐标、直线的方程,经过代数运算来解决几何问题. 2.坐标法的关键是建立适当平面直角坐标系,从而使代数运算简单. 【例3】用坐标法证明：直角三角形斜边中线等于斜边的一半。 【知识点04】点到直线的距离公式 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为d=. 温馨提示　(1)利用公式时直线的方程必须是一般式; (2)分子含有绝对值号; (3)若直线方程为Ax+By+C=0,则当A=0或B=0时公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解. 【例4】求点到直线的距离。 【知识点05】两条平行直线间的距离 两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(A,B不同时为0,C1≠C2)之间的距离d=. 温馨提示　(1)两条平行直线间的距离即为夹在这两条平行直线间的公垂线段的长. (2)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离. (3)运用两平行直线间的距离公式时,两直线的方程必须是一般式,且必须保证两直线方程中x,y的系数分别对应相同. 【例5】求两条平行直线与之间的距离。 【题型01】求平面两点间的距离 【典例1-1】已知，则A，B两点间的距离为（    ） A．5 B． C．3 D． 【变式1-1】（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知两点都在直线上，且两点横坐标之差为，则两点之间的距离为__________. 【变式1-3】（2025高二上·全国·专题练习）已知点，试判断此三角形的形状，并求其面积． 【题型02】中点坐标公式 【典例2-1】（25-26高二上·浙江·阶段检测）在平面直角坐标系中，设点，，则线段的中点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（    ） A．10 B．5 C．8 D．6 【变式2-2】（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知，则线段的中点坐标为__________. 【变式2-3】（24-25高二上·江苏南通·阶段检测）在中，已知点，，边的中点在轴上，边上的高所在直线方程为. (1)求线段的中点坐标； (2)求的面积. 【题型03】求点到直线的距离 【典例3-1】（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知点在直线上，点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【变式3-1】（多选）（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知点，点，点，则下列正确的有（    ） A． B．直线的倾斜角为 C． D．点到直线的距离为 【变式3-2】（25-26高二上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，已知点在直线上，，则的最小值为__________． 【变式3-3】（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知的顶点，直线的方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求顶点，的坐标； (2)求的面积． 【题型04】已知点到直线距离求参数 【典例4-1】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C．或 D． 【变式4-1】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知两点到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A．0 B． C．0或 D．或 【变式4-2】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知点到直线的距离为2，则m的值为________． 【变式4-3】已知点到直线的距离等于4，求实数的值． 【题型05】求点关于直线的对称点 【典例5-1】（25-26高二上·江苏南通·期中）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（多选）已知点与点关于直线上的某点对称，则的取值可以是（    ） A．2 B．－2 C．－3 D．3 【变式5-2】（24-25高二上·江苏连云港·期中）点关于直线的对称点坐标为__． 【变式5-3】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知点，直线. (1)求点到直线的距离； (2)求点关于直线l的对称点的坐标. 【题型06】坐标法的应用 【典例6-1】（25-26高二上·全国·课后作业）利用坐标法证明：等腰梯形的对角线相等． 【变式6-1】如图，点P为正方形内一点，且满足，用坐标法证明为等边三角形． 【变式6-2】建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． 【变式6-3】用坐标法证明：(1)在直角三角形中，斜边中点到三个顶点的距离相等； (2)若三角形一边上的中点到三个顶点的距离相等，则该边所对的角是直角． 【题型07】求平行线间的距离 【典例7-1】（25-26高二上·江苏镇江·期末）两条平行直线 与 之间的距离（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）直线与直线之间的距离为_______. 【变式7-2】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知直线，. (1)若在轴上的截距与在轴上的截距相等，求的值； (2)若，求与之间的距离. 【变式7-3】（25-26高二上·河北·阶段检测）已知直线． (1)若，求与交点的坐标； (2)若，求与之间的距离． 知识点01 两点之间的距离公式 1. 核心公式 设平面内两点，，则两点间距离： 2. 特殊形式 点到原点距离： 横坐标相同（竖直线段）： 纵坐标相同（水平线段）： 3. 解题关键 坐标作差后平方，顺序不影响计算结果，距离恒为非负数。 知识点02 中点坐标公式 1. 核心公式 若为线段中点，，则： 中点合写公式： 2. 逆向应用 已知中点和一个端点坐标，可反求另一个端点坐标，常用于解析几何中点对称问题。 知识点03 坐标法的应用 1. 坐标法核心思想 以数解形：建立平面直角坐标系，将几何图形问题转化为坐标代数运算，避开复杂几何逻辑推理。 2. 标准解题三步流程 建系：结合图形对称性，选择合适原点与坐标轴，简化坐标 设点：标注图形所有关键点坐标，可设参数简化计算 运算：利用距离、中点公式计算，根据代数结果还原几何结论 3. 适用题型 证明线段相等、线段倍数关系、垂直关系、平行关系等平面几何证明题。 知识点04 点到直线的距离公式 1. 核心公式 直线一般式：，定点，点到直线距离： 2. 必记使用前提 直线方程必须先化为一般式，斜截式、点斜式不可直接代入公式 分子必须加绝对值，保证距离结果为正数 3. 特殊情况 点在直线上：距离 直线水平：，距离 直线竖直：，距离 知识点05 两条平行直线间的距离 1. 核心公式 平行直线统一形式：， 平行线间距离： 2. 核心易错点（高频失分点） 两条直线x、y的系数必须完全相同，若系数不一致，需要利用等式性质同乘系数，统一x、y系数后，才可代入公式计算，不可直接套用。 3. 原理理解 两条平行线处处等距，可在其中一条直线上任取一点，转化为点到直线的距离求解。 知识点06本节高频易错汇总 易错1：代入距离公式忘记开根号，直接保留平方结果 易错2：求平行线距离，未统一x、y系数直接代值 易错3：点到直线距离，直线未化成一般式直接计算 易错4：忽略分子绝对值，算出距离为负数 一、单选题 1．已知，，则线段的中点坐标为（    ） A．（1，4） B．（2，1） C．（2，8） D．（4，2） 2．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）“”是“点到直线的距离相等”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也必要条件 3．（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏南通·期末）两条平行直线与之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．4 5．已知点在直线上，且点到直线的距离等于，则的坐标（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．（25-26高二上·广西桂林·期中）若直线关于直线对称的直线经过点，则（    ） A． B．1 C． D． 7．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）顺次连接，，，四点所得的四边形面积为（   ） A．18 B．26 C．35 D．27 8．（24-25高二上·四川宜宾·期中）已知直线经过定点且与直线平行，若点和到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 9．（25-26高二上·江苏连云港·期中）下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·江苏宿迁·阶段检测）下列说法正确的有（   ） A．若直线在两坐标轴上的截距相等，则 B．若过点的直线的斜率是2，则 C．两平行直线与之间的距离为，则或 D．直线关于直线对称的直线为 11．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）已知直线，下列说法正确的是（   ） A．直线过定点 B．直线在轴上的截距为2 C．原点到直线距离的最大值为 D．若直线与直线三条直线有且仅有两个不同的交点，则的值为 三、填空题 12．（25-26高二上·江苏连云港·期中）设为实数，若两条平行直线和之间的距离等于2，则__________. 13．（25-26高二上·山东聊城·期中）以和轴上一点为顶点的三角形的面积为5，则的纵坐标为__________. 14．（25-26高二上·江苏·阶段检测）若动点，分别在直线：与：上移动，则的中点到原点的距离的最小值为______. 四、解答题 15．用坐标法证明：在△ABC中，AO为边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2（AO2＋BO2)． 16．平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，. (1)求边所在的直线方程； (2)求的面积. 17．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知三个顶点的坐标分别为，，，求 (1)边上的中线所在直线的方程. (2)的面积S. 18．（25-26高二上·陕西商洛·期中）已知，，. (1)求过点且与直线垂直的直线的方程； (2)求过点且与直线平行的直线的方程，并求出与直线之间的距离. 19．（25-26高二上·江西·期中）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 平面上的距离（知识详解+7典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：两点之间的距离公式 知识点02：中点坐标公式 知识点03：坐标法的应用 知识点04：点到直线的距离公式 知识点05：两条平行直线间的距离 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：求平面两点间的距离 题型02：中点坐标公式 题型03：求点到直线的距离 题型04：已知点到直线距离求参数 题型05：求点关于直线的对称点 题型06：坐标法的应用 题型07：求平行线间的距离 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】两点之间的距离公式 1.平面上P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间的距离公式P1P2=. 2.原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离OP=. 温馨提示　(1)此公式与两点的先后顺序无关. (2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),由两点间的距离公式可得 P1P2==|x2-x1|,或P1P2=|y2-y1|. 【例1】已知点，点，求线段的长度。 解：明确坐标：代入两点间距离公式： 答案：线段的长度为。 【知识点02】中点坐标公式 对于平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),线段P1P2的中点是M(x0,y0),则 温馨提示　1.线段P1P2的中点坐标公式,也可以过P1,M,P2分别向x轴、y轴作投影进行推导. 2.若M是线段P1P2的中点,则P1,P2关于点M对称. 【例2】已知线段端点坐标，，求线段中点坐标。 解：确定端点坐标： 代入中点坐标公式计算： 答案：线段中点坐标为。 【知识点03】坐标法的应用 坐标法又称解析法,它是把几何问题转化为代数问题,通过建立适当的平面直角坐标系,加以分析研究解决问题的方法. 温馨提示　1.坐标法的实质是把几何问题代数化,即通过点的坐标、直线的方程,经过代数运算来解决几何问题. 2.坐标法的关键是建立适当平面直角坐标系,从而使代数运算简单. 【例3】用坐标法证明：直角三角形斜边中线等于斜边的一半。 解：步骤1：建立平面直角坐标系 设，，以点为原点，为轴，为轴建系。 步骤2：标注各点坐标 设，，，设斜边中点为。 步骤3：代数运算求解 由中点公式得 步骤4：得出结论 可得，故直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得证。 【知识点04】点到直线的距离公式 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为d=. 温馨提示　(1)利用公式时直线的方程必须是一般式; (2)分子含有绝对值号; (3)若直线方程为Ax+By+C=0,则当A=0或B=0时公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解. 【例4】求点到直线的距离。 解：提取参数： 代入点到直线距离公式： 答案：点到直线的距离为。 【知识点05】两条平行直线间的距离 两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(A,B不同时为0,C1≠C2)之间的距离d=. 温馨提示　(1)两条平行直线间的距离即为夹在这两条平行直线间的公垂线段的长. (2)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离. (3)运用两平行直线间的距离公式时,两直线的方程必须是一般式,且必须保证两直线方程中x,y的系数分别对应相同. 【例5】求两条平行直线与之间的距离。 解：核对系数：两直线系数完全相同，可直接代入公式 提取参数： 代入平行线距离公式： 答案：两条平行直线间距离为。 【题型01】求平面两点间的距离 【典例1-1】已知，则A，B两点间的距离为（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据两点间距离公式求出答案. 【详解】A，B两点间的距离为. 故选：B 【变式1-1】（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用倾斜角求出，然后利用两点间距离公式即可得出答案. 【详解】由题知，， 解得，故， 则两点间的距离为. 故选：C 【变式1-2】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知两点都在直线上，且两点横坐标之差为，则两点之间的距离为__________. 【答案】 【分析】由两点的距离公式，即可解出答案. 【详解】设，则， ， 故答案为：. 【变式1-3】（2025高二上·全国·专题练习）已知点，试判断此三角形的形状，并求其面积． 【答案】是等腰直角三角形，. 【分析】根据两点间的距离公式求出的三边的长，然后根据三边的关系判断出三角形的形状，再根据三角形的面积公式求三角形的面积． 【详解】解法一  因为， ， 又， 所以，且， 所以是等腰直角三角形， ． 解法二  因为，， 则， 所以． 又， ， 所以， 所以是等腰直角三角形， ． 【点睛】本题主要考查两点间的距离公式的应用，通过三角形的三边之长判断三角形的形状. 【题型02】中点坐标公式 【典例2-1】（25-26高二上·浙江·阶段检测）在平面直角坐标系中，设点，，则线段的中点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用中点坐标公式求中点坐标. 【详解】由题设，线段的中点坐标为，即为. 故选：C 【变式2-1】已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（    ） A．10 B．5 C．8 D．6 【答案】A 【分析】由中点坐标公式确定，坐标，再由两点间距离公式即可求解. 【详解】设，则， 即， 所以. 故选：A 【变式2-2】（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知，则线段的中点坐标为__________. 【答案】 【分析】利用中点坐标公式计算即可. 【详解】因为， 所以线段的中点坐标为， 故答案为： 【变式2-3】（24-25高二上·江苏南通·阶段检测）在中，已知点，，边的中点在轴上，边上的高所在直线方程为. (1)求线段的中点坐标； (2)求的面积. 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）由边上的高所在直线方程为，根据直线的斜率可推出直线的斜率，再结合斜率的坐标公式和中点坐标公式可得结果. （2）先利用点到直线的距离公式求出高，再利用三角形面积公式求解. 【详解】（1）设点，由点，得边的中点坐标为， 因为边的中点在轴上，所以，解得. 因为边上的高所在直线方程为，其斜率， 所以，即，解得，则. 所以的中点坐标为. （2）由（1）知点，所以， 直线的方程为，即， 点到直线的距离， 所以的面积. 【题型03】求点到直线的距离 【典例3-1】（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知点在直线上，点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离即可求解. 【详解】由于点不在直线上，所以当与直线垂直时，取最小值，， 故选：C 【变式3-1】（多选）（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知点，点，点，则下列正确的有（    ） A． B．直线的倾斜角为 C． D．点到直线的距离为 【答案】BCD 【分析】利用两点距离公式即可判断A；由两点之间的斜率公式即可判断B；由两直线垂直时的斜率关系即可判断C；由点到直线的距离公式即可判断D. 【详解】由题意得， ，故A错误； 因为，所以直线AB的倾斜角为，故B正确； 因为，，所以，故C正确； 直线AC的方程为：，即， 所以B点到直线AC的距离为：，故D正确； 故选：BCD. 【变式3-2】（25-26高二上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，已知点在直线上，，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】设点坐标，由向量求得点坐标，由点横纵坐标的关系得到其轨迹方程，由点到直线的距离求得的最小值. 【详解】设，∵，∴， ∵，即点在直线上， 当时，最小， . 故答案为： 【变式3-3】（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知的顶点，直线的方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求顶点，的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）联立直线与方程，可得点，设，表示中点，根据在直线上，在直线上，可列方程，解方程即可； （2）根据点与的坐标可得，再根据点到直线的距离可得面积. 【详解】（1）由已知，， 则，解得，即， 设，则中点， 又点在直线上，点在直线上， 即，解得，即； （2）由（1）得， 点到直线的距离， 则. 【题型04】已知点到直线距离求参数 【典例4-1】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由点到直线的距离公式，即得解 【详解】由点到直线的距离公式得，即， 又，所以． 故选：B. 【变式4-1】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知两点到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A．0 B． C．0或 D．或 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式列方程即可得出． 【详解】由题意可得，即， 解得或 故选：D. 【变式4-2】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知点到直线的距离为2，则m的值为________． 【答案】或 【分析】由点到直线的距离公式可得. 【详解】点到直线的距离为，所以. 解得，或. 故答案为:或. 【变式4-3】已知点到直线的距离等于4，求实数的值． 【答案】或 【分析】 利用点到直线的距离公式得到方程，解得即可. 【详解】因为点到直线的距离等于4， 所以，解得或. 【题型05】求点关于直线的对称点 【典例5-1】（25-26高二上·江苏南通·期中）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设对称点的坐标为，由题意可得，求解即可. 【详解】设对称点的坐标为， 由题意可得，解得， 所以点关于直线的对称点的坐标为. 故选：C 【变式5-1】（多选）已知点与点关于直线上的某点对称，则的取值可以是（    ） A．2 B．－2 C．－3 D．3 【答案】AC 【分析】由题可得线段的中点在直线上，建立关系即可求解. 【详解】易知线段的中点在直线上， 故，解得或. 故选：AC. 【变式5-2】（24-25高二上·江苏连云港·期中）点关于直线的对称点坐标为__． 【答案】 【分析】点关于直线对称，抓住“垂直”和“平分”，即可列出两个方程，求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点坐标为， 则， 解得a＝，b＝， ∴点关于直线的对称点坐标为． 故答案为：． 【变式5-3】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知点，直线. (1)求点到直线的距离； (2)求点关于直线l的对称点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用点到直线的距离公式，即可求解； （2）设对称点坐标为，利用两直线垂直的性质与中点坐标公式列方程组即可得解. 【详解】（1）因为点，直线， 所以点到直线的距离为. （2）设，则，即，解得， 所以点关于直线l的对称点的坐标为. 【题型06】坐标法的应用 【典例6-1】（25-26高二上·全国·课后作业）利用坐标法证明：等腰梯形的对角线相等． 【答案】证明见解析 【分析】记等腰梯形，解法一：以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用两点距离公式求得，即可证明；解法二：以为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，利用两点距离公式求得，即可证明． 【详解】解法一：记等腰梯形，建立如图1所示的平面直角坐标系， 设点，，，则点的坐标是， 所以，， 故，即等腰梯形的对角线相等． 解法二：记等腰梯形，利用图形的对称性，建立如图2所示的平面直角坐标系， 设点，，则点，点的坐标是， 所以，， 故，即等腰梯形的对角线相等． 【变式6-1】如图，点P为正方形内一点，且满足，用坐标法证明为等边三角形． 【答案】证明见解析. 【分析】以点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系，写出点、、的坐标，计算出的三边边长，即可得出结论. 【详解】以点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系， 设正方形的边长为，则，，， 因为，则、， 所以，，同理可得， 因此，为等边三角形. 【变式6-2】建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． 【答案】证明见解析 【分析】利用等腰三角形的对称性建立直角坐标系，设点写出直线方程，再利用点线距离公式即可证明. 【详解】设是等腰三角形，以底边CA所在直线为x轴， 过顶点B且垂直于CA的直线为y轴，建立直角坐标系．    设，，则． 直线AB的方程为，即． 直线BC的方程为，即． 设底边AC上任意一点为， 则点P到直线AB的距离为， 点P到直线BC的距离为， 点A到直线BC的距离为． 所以． 因此，等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． 【变式6-3】用坐标法证明：(1)在直角三角形中，斜边中点到三个顶点的距离相等； (2)若三角形一边上的中点到三个顶点的距离相等，则该边所对的角是直角． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）根据题意，以直角顶点为坐标原点，所在直线为轴， 所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，，进而根据距离公式求解即可； （2）根据题意，在中，设为边中点，进而以顶点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系并设，进而根据证明即可. 【详解】（1）解：如图，在中，，为斜边中点， 所以以为坐标原点，所在直线为轴， 所在直线为轴建立平面直角坐标系， 设，，则 所以， 所以，即在直角三角形中，斜边中点到三个顶点的距离相等，证毕. （2）证明：如图，在中，为边中点， 所以以顶点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设，则 因为 所以，即， 因为，所以， 所以，所以， 所以若三角形一边上的中点到三个顶点的距离相等，则该边所对的角是直角，证毕. 【题型07】求平行线间的距离 【典例7-1】（25-26高二上·江苏镇江·期末）两条平行直线 与 之间的距离（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两条平行直线间的距离求解. 【详解】 变形为， 与之间的距离. 故选：D. 【变式7-1】（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）直线与直线之间的距离为_______. 【答案】 【分析】根据平行线间的距离公式计算可得结果. 【详解】将直线转化为，可知， 由平行线间的距离公式，可得与之间的距离为. 故答案为：. 【变式7-2】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知直线，. (1)若在轴上的截距与在轴上的截距相等，求的值； (2)若，求与之间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别讨论与时在轴上的截距情况，根据已知截距的等量关系可构造方程求得结果； （2）利用两直线平行可构造方程求得的值，结合平行直线间距离公式可求得结果. 【详解】（1）由题意知在轴上的截距为； 当时，，其在轴上无截距，不合题意； 当时，，则在轴上的截距为， ，解得； 综上所述：. （2），，解得：， ，即， 与之间的距离. 【变式7-3】（25-26高二上·河北·阶段检测）已知直线． (1)若，求与交点的坐标； (2)若，求与之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入两条直线，再联立两条直线方程即可得解； （2）根据平行关系先求出的值，然后根据平行线间的距离公式求解出与间的距离. 【详解】（1）若，则，联立，， 解得，即与交点的坐标为. （2）若，则，整理得，解得或. 当时，（即），， 则与之间的距离； 当时，（即），（即），此时重合，不满足题意，故舍去. 综上所述，与之间的距离. 知识点01 两点之间的距离公式 1. 核心公式 设平面内两点，，则两点间距离： 2. 特殊形式 点到原点距离： 横坐标相同（竖直线段）： 纵坐标相同（水平线段）： 3. 解题关键 坐标作差后平方，顺序不影响计算结果，距离恒为非负数。 知识点02 中点坐标公式 1. 核心公式 若为线段中点，，则： 中点合写公式： 2. 逆向应用 已知中点和一个端点坐标，可反求另一个端点坐标，常用于解析几何中点对称问题。 知识点03 坐标法的应用 1. 坐标法核心思想 以数解形：建立平面直角坐标系，将几何图形问题转化为坐标代数运算，避开复杂几何逻辑推理。 2. 标准解题三步流程 建系：结合图形对称性，选择合适原点与坐标轴，简化坐标 设点：标注图形所有关键点坐标，可设参数简化计算 运算：利用距离、中点公式计算，根据代数结果还原几何结论 3. 适用题型 证明线段相等、线段倍数关系、垂直关系、平行关系等平面几何证明题。 知识点04 点到直线的距离公式 1. 核心公式 直线一般式：，定点，点到直线距离： 2. 必记使用前提 直线方程必须先化为一般式，斜截式、点斜式不可直接代入公式 分子必须加绝对值，保证距离结果为正数 3. 特殊情况 点在直线上：距离 直线水平：，距离 直线竖直：，距离 知识点05 两条平行直线间的距离 1. 核心公式 平行直线统一形式：， 平行线间距离： 2. 核心易错点（高频失分点） 两条直线x、y的系数必须完全相同，若系数不一致，需要利用等式性质同乘系数，统一x、y系数后，才可代入公式计算，不可直接套用。 3. 原理理解 两条平行线处处等距，可在其中一条直线上任取一点，转化为点到直线的距离求解。 知识点06本节高频易错汇总 易错1：代入距离公式忘记开根号，直接保留平方结果 易错2：求平行线距离，未统一x、y系数直接代值 易错3：点到直线距离，直线未化成一般式直接计算 易错4：忽略分子绝对值，算出距离为负数 一、单选题 1．已知，，则线段的中点坐标为（    ） A．（1，4） B．（2，1） C．（2，8） D．（4，2） 【答案】A 【分析】用中点坐标公式即可求解. 【详解】设线段的中点坐标为，则， 即，则线段的中点坐标为. 故选：A. 2．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）“”是“点到直线的距离相等”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也必要条件 【答案】A 【分析】由点到线的距离公式列出等式求得，即可判断. 【详解】解：点到直线的距离：； 点到直线的距离：， 由，得，即， 解得或，即或。 故“”是“点A、B到直线距离相等”的充分不必要条件. 故选：A 3．（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可得直线恒过定点，记点为点，当与直线垂直时距离有最大值，利用两点间距离公式，计算可得结果. 【详解】由得， 令，则，解得， 故直线恒过定点， 记点为点，当与直线垂直时， 点到直线的距离有最大值， 最大值为. 故选：D 4．（25-26高二上·江苏南通·期末）两条平行直线与之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】利用平行的性质求解出，再结合平行线间距离公式求解即可. 【详解】因为直线与， 所以，解得， 则方程为，即， 由平行线间距离公式得距离为，故A正确. 故选：A 5．已知点在直线上，且点到直线的距离等于，则的坐标（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据题意设点的坐标为，利用点到直线的距离公式可得出关于实数的等式，解出的值，即可得出点的坐标. 【详解】因为点在直线上，设点的坐标为， 则点到直线的距离等为，解得或， 当时，点的坐标为；当时，点的坐标为. 综上所述，点的坐标为或. 故选：B. 6．（25-26高二上·广西桂林·期中）若直线关于直线对称的直线经过点，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先求得关于直线的对称点，代入点的坐标于的方程，由此可求的值. 【详解】设关于直线的对称点为， 所以，解得，所以， 又因为在直线上，所以，解得， 故选：A. 7．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）顺次连接，，，四点所得的四边形面积为（   ） A．18 B．26 C．35 D．27 【答案】D 【分析】利用斜率与直线的位置，确定四边形形状，进而求解. 【详解】由题可得， 所以， 又因为 所以四边形有且仅有一组对边平行，即为梯形. 直线方程：，直线方程：， 两条平行直线之间距离为：， 又， 所以梯形面积为：. 故选：D 8．（24-25高二上·四川宜宾·期中）已知直线经过定点且与直线平行，若点和到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据直线过的点以及平行关系设出直线方程，再由点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】若直线经过定点且与直线平行可设直线的方程为； 点和到直线的距离相等可知， 解得或. 故选：C 二、多选题 9．（25-26高二上·江苏连云港·期中）下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设与直线平行的直线方程为，，然后由平行直线间的距离公式可得答案. 【详解】由题意，设与直线平行的直线方程为，， 由两平行直线间的距离公式可得 ，解得或， 故所求直线方程为或． 故选：AC 10．（25-26高二上·江苏宿迁·阶段检测）下列说法正确的有（   ） A．若直线在两坐标轴上的截距相等，则 B．若过点的直线的斜率是2，则 C．两平行直线与之间的距离为，则或 D．直线关于直线对称的直线为 【答案】CD 【分析】由直线方程求出截距，建立方程求得，判断A选项；由斜率公式建立方程求得，判断B选项；由平行线的性质得到，再由平行线间距离公式建立方程求得，判断C选项；先求得直线与对称轴的交点坐标，然后在直线上取一点，通过对称轴求得对称点坐标，由这两个点求得对称直线方程，判断D选项. 【详解】令，则，令，则，则，即，A选项错误； 由题意可知，直线斜率存在，，即，B选项错误； 因为两直线平行，所以，两直线的距离，所以或，C选项正确； 联立直线方程，解得，即直线与直线交于点，在直线上取点，则点关于对称的点坐标为， 设直线关于直线对称的直线为，则，∴， 即直线关于直线对称的直线为，D选项正确. 故选：CD. 11．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）已知直线，下列说法正确的是（   ） A．直线过定点 B．直线在轴上的截距为2 C．原点到直线距离的最大值为 D．若直线与直线三条直线有且仅有两个不同的交点，则的值为 【答案】ABD 【分析】把直线方程化为斜截式方程，结合点到直线距离公式、直线与直线位置关系逐一判断即可. 【详解】，所以直线过定点且在轴上的截距为2， 因此选项AB说法正确； 原点到直线距离为， 由， 所以原点到直线距离的最大值为，所以选项C说法不正确； 直线， 所以这两个直线的斜率分别为，显然两个斜率不相等也不互为负倒数，因此这两条直线相交，， 所以直线的交点为， 又因为直线和直线都过这一点， 所以要想直线与直线有且仅有两个不同的交点， 所以直线一定要和直线平行，且不与直线重合， 故，所以选项D说法正确. 故选：ABD 三、填空题 12．（25-26高二上·江苏连云港·期中）设为实数，若两条平行直线和之间的距离等于2，则__________. 【答案】 【分析】根据两条平行直线的距离公式计算. 【详解】由题意得，，得. 故答案为： 13．（25-26高二上·山东聊城·期中）以和轴上一点为顶点的三角形的面积为5，则的纵坐标为__________. 【答案】或 【分析】求出，根据的面积为5，算出点P到的距离d．求出的方程，设点，利用点到直线的距离公式解出m的值，即可得到答案． 【详解】∵点，∴， 设点P到的距离为d， ∵的面积为5，∴，得， ∵直线的方程为，即， 设P的坐标为， ∴，解得或， ∴的纵坐标为或． 故答案为：或． 14．（25-26高二上·江苏·阶段检测）若动点，分别在直线：与：上移动，则的中点到原点的距离的最小值为______. 【答案】 【分析】根据动点，满足的关系式，结合中点公式可得中点满足的方程，利用点到直线的距离求解. 【详解】设的中点的坐标为，则有， 又，分别在直线：与：上， ∴联立得，两式相加得， ∴，即， 即的中点在直线上移动， ∴到原点距离的最小值即原点到直线的距离. 故答案为： 四、解答题 15．用坐标法证明：在△ABC中，AO为边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2（AO2＋BO2)． 【答案】证明见解析 【分析】建立平面直角坐标系，结合两点间的距离公式证得结论成立. 【详解】如图，以O为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． 设B（－a，0)， C（a，0)， A（m，n)， 则AB2＝（m＋a)2＋n2 ，AC2＝（m－a)2＋n2， 故AB2＋AC2＝2（m2＋n2＋a2)． 又AO2＝m2＋n2，BO2＝a2， 所以AB2＋AC2＝2（AO2＋BO2)． 16．平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，. (1)求边所在的直线方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2)15 【分析】（1）由B，C两点的坐标，得直线的两点式方程，化简得一般式方程； （2）用两点间距离公式求B，C两点间的距离，计算点A到直线BC的距离可得三角形的高，得三角形的面积. 【详解】（1）因为，，所以BC所在的直线方程为， 即. （2）B，C两点间的距离为， 点A到直线BC的距离， 所以的面积为. 17．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知三个顶点的坐标分别为，，，求 (1)边上的中线所在直线的方程. (2)的面积S. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的中点，进而求出中线的斜率，再利用点斜式求解即可. （2）先求出直线的方程，进而求得到直线的距离，再求出，即可得到的面积. 【详解】（1）设的中点，则，即的中点， 又，所以边上的中线所在直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. （2）因为，所以直线的方程为，即， 所以到直线的距离为， 又， 所以的面积为. 18．（25-26高二上·陕西商洛·期中）已知，，. (1)求过点且与直线垂直的直线的方程； (2)求过点且与直线平行的直线的方程，并求出与直线之间的距离. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先求直线的斜率，由求出直线的斜率，利用点斜式即可求解； （2）由求出的斜率，利用点斜式即可求的方程，利用两平行直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）由题意有：，∵，∴， 所以直线的方程为，即， （2）由（1）知，，∴， 所以直线的方程为即， 的方程为，即， 所以与直线之间的距离. 19．（25-26高二上·江西·期中）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中点和斜率列方程组来求得对称点的坐标. （2）在直线上取一点，并求其关于直线的对称点，然后结合直线与直线的交点来求得对称直线的方程. 【详解】（1）直线的斜率为， 设，又，依题意可得， 解得，所以. （2）在直线上取一点，则关于直线的对称点必在直线上，设对称点， 则，解得，故. 设直线与直线的交点为，则由，解得，即. 所以直线经过点， 则，所以直线的方程为，即.    1 学科网（北京）股份有限公司 $