暑假作业10 基本图形、直观图及几何体的表面积、体积（巩固培优,6知识6题型巩固提升+能力培优+创新拓展）高一数学人教A版

**基本信息** 以空间几何体结构特征为基础，通过直观图转化、表面积体积计算方法体系（公式法、割补法等）构建“概念-表示-计算-应用”逻辑链，精选各地期中模拟题实现专项突破，培养空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点1-5|5个核心知识点（含多面体、旋转体结构等）|直观图斜二测画法步骤、体积计算三法（公式法/割补法/等体积法）|从几何体结构特征（概念生成）到直观图表示（空间转化），再到表面积体积公式推导（原理应用），形成递进逻辑| |题型1-6|6类题型（含结构特征判断、最短路径等）|展开图化曲为直、体积等价转化、表面积分步计算|每种题型对应特定方法，如结构特征题聚焦定义辨析，最短路径题运用侧面展开，实现以题载法、以题明理|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业10 基本立体图形、直观图及几何体的表面积、体积 【知识点1 多面体的结构特征】 1.简单多面体分类 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点，但不一定相等 侧面形状 2．特殊的棱柱和棱锥 (1) 的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形， ，侧面是矩形． (2)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱长均相等的正三棱锥叫做正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心． 3．几点注意 (1)棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱． (2)棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台． (3)注意棱台的所有侧棱相交于一点． 【知识点2 旋转体的结构特征】 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 旋转 图形 矩形 直角梯形 半圆形 旋转轴 任一边所在的直线 任一直角边所在的直线 垂直于底边的腰所在的直线 直径所在的直线 母线 ，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 【知识点3 直观图】 (1)画法：常用 . (2)具体步骤： ①在已知的空间图形中取水平平面和互相垂直的轴Ox，Oy；再取Oz轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°. ②画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的O'x'，O'y'，O'z'，使∠x'O'y'＝ (或135°)，∠x'O'z'＝ .x'O'y'所确定的平面表示水平平面. ③已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成 于x'轴、y'轴或z'轴的线段. ④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度 ；平行于y轴的线段长度为原来的 . ⑤擦去辅助线，并将被遮线画成虚线. （3）水平放置平面多边形直观图与原平面图形面积间的关系： S直观图＝S原图形，S原图形＝2S 【知识点4 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式】 名称 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝ S圆锥侧＝ S圆台侧＝ 【知识点5 柱、锥、台、球的表面积和体积】 1.柱、锥、台、球的表面积和体积 　　 名称 几何体　　 表面积 体积 柱体 S表＝S侧＋2S底 V＝ 锥体 S表＝S侧＋S底 V＝Sh 台体 S表＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S表＝ V＝ 2.求空间几何体的体积的常用方法 公式法 规则几何体的体积，直接利用公式 割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体 等体积法 通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积 【题型1 空间几何体的结构特征】 1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法中，正确的为（   ） A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体是棱锥 C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥 2．（25-26高一下·广东肇庆·期中）下列说法中，正确的是（ ） A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 B．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 D．有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 3．（25-26高一下·宁夏·期中）下列说法正确的是（    ） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．用任意一个平面去截球，得到的截面一定是一个圆面 C．有两个平面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 4．（25-26高一下·江苏盐城·期中）下列关于空间几何体的论述，正确的是（   ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D．圆台的轴截面不可能为直角梯形 【题型2 直观图】 1．（25-26高一下·贵州贵阳·期中）如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·山东临沂·期中）如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为矩形，已知，是的中点，则四边形的周长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．18 3．（25-26高一下·吉林·期末）如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（ ） A．1 B． C． D．3 4．（25-26高一下·河北石家庄·期中）如图，已知用斜二测画法画出的的直观图是边长为2的正三角形，则原图中边在轴上的射影长度为（   ） A． B． C． D．3 【题型3 圆锥与圆台的相关计算】 1．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥轴截面的面积（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·浙江·期中）已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（   ） A．48 B．50 C．96 D．100 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆台的高为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，体积为，则该圆台的母线长为（    ） A． B．2 C． D． 4．（25-26高三·北京·二轮复习）已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且母线与下底面所成的角的正切值为2，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【题型4 展开图中的最短路径问题】 1．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）现有一民宿为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋．现测量其中一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为．若是母线的一个三等分点（靠近点），从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（     ） A． B． C． D． 2．（2025高三上·广东深圳·专题练习）圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，母线长为16．已知为该圆台某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为（    ）    A．16 B． C． D．   3．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图，正三棱锥的底边长为2，. 一只小虫从点出发，沿三个侧面爬行一周，回到点. 则爬行的路径最短为________. 4．（2026·云南·三模）正四棱柱中，.一只蚂蚁从底面顶点出发，沿正四棱柱表面爬到顶点，则蚂蚁爬行的最短路程为_________. 【题型5 空间几何体的表面积计算】 1．（2026·山东菏泽·二模）如图，在直角梯形中，，，，，以直线为轴，其余各边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知正三棱台的高为，，则该棱台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）设圆锥的表面积为，体积为，球的表面积为，体积为.已知圆锥的轴截面是等边三角形，且其体积之比，则圆锥与球的表面积之比（     ） A． B． C． D． ． 4．（25-26高一下·广东惠州·阶段检测）（多选题）已知圆台的上底面半径，下底面半径，圆台有内切球，则（    ） A．圆台的母线长为 B．圆台的高为 C．圆台内切球的半径为 D．圆台的侧面积为 【题型6 空间几何体的体积计算】 方法一：直接法求几何体的体积 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知棱台的上下底面均为有一个角为的菱形，且上下底面的边长分别为2和3，若该棱台的高为，则该棱台的体积为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河北邯郸·三模）已知正三棱台，，侧棱，则正三棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·广西河池·模拟预测）如图，已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，且，则该棱台的体积为__________． 方法二：等价转化法求几何体的体积 1．（2020·海南·高考真题）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A-NMD1的体积为____________ 2．（25-26高一下·天津武清·期中）如图，在三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则______． 3．（25-26高一下·湖南长沙·期中）如图，已知三棱台的体积为，上、下底面边长之比为，若截去三棱锥，则剩余部分的体积为__________．（用表示） 方法三：割补法求几何体的体积 1．（25-26高一下·贵州安顺·阶段检测）如图，在正方体的八个顶点中，，，，四个顶点恰好是正三棱锥的顶点，则正三棱锥的体积与正方体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，圆柱的表面积为，AB，CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且四面体ABCD为正四面体，则该正四面体的体积为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·福建·三模）在正三棱柱中，D，E分别满足，，点F在棱上，若平面将该三棱柱分割成体积相等的两部分，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026·陕西西安·三模）在四面体ABCD中，，且，则四面体ABCD的体积为（    ） A． B． C． D．3 1．（2026·四川自贡·模拟预测）已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·山东临沂·期中）圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的体积为(　　) A． B． C． D． 3．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知圆柱的高为6，底面直径为8，若圆柱的底面圆周恰好在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·天津滨海新区·三模）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6，则球的体积为（   ）    A． B． C． D． 5．（23-24高三上·湖南长沙·阶段检测）已知圆锥的高为3，若该圆锥的内切球的半径为1，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二上·浙江·期中）已知圆锥底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知某圆台的轴截面为等腰梯形，其中，，．则沿该圆台表面从点到达点，最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面的面积分别为和， 侧棱与底面所成角的余弦值为， 则该正三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）（多选题）在长方体中，，，，E为棱上一点，则（   ） A．该长方体是一个正四棱柱 B．长方体的外接球的表面积为 C．四棱锥的体积为24 D．的最小值为 10．（25-26高一下·福建南平·期中）（多选题）已知正四棱台中，，则下述正确的是（    ） A．该四棱台的高为 B．该四棱台的体积为 C．该四棱台的表面积为 D．该四棱台外接球的表面积为 11．圆锥的底面直径是4，其侧面展开图是一个顶角为的扇形，如图，过的中点作平行于底面的截面，在圆锥中挖去一个以该截面为底面的圆柱，则剩下几何体的体积为______________． 12．（25-26高一下·广东·期中）在正方体中，M是棱上的点，且，平面将此正方体分为两部分，设两部分体积分别为和，则______. 13．（25-26高一下·福建宁德·期中）如图是一个正四棱台的铁料，上､下底面的边长分别为和，高. (1)求四棱台的表面积； (2)若要将这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比. 14．（25-26高一下·福建三明·期中）现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥．下部是正四棱柱(如图所示)，且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍．    (1)若求该几何体的体积． (2)若正四棱锥的侧棱长为6， ①求正四棱锥的侧面积．②若是线段上的动点，求的最小值． 1．（25-26高一下·海南·阶段检测）（多选题）如图，正方体棱长为2，、、分别为棱，，的中点，是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是（     ）    A．平面 B．若为线段上一点，则三棱锥的体积为定值 C．若，则点的轨迹长度为 D．过、、三点的平面截正方体所得截面的面积为 2．（25-26高一下·广西柳州·阶段检测）（多选题）如图，将棱长为4的正方体六个面的中心连线，可得到八面体，P为棱上一点，则下列四个结论中正确的是（    ） A．平面 B．八面体的体积为 C．的最小值为 D．点A到平面的距离为 3．（2026·宁夏银川·三模）正四棱锥的底面边长为，，则平面截正四棱锥外接球所得截面的面积为__________. 4．（2026·福建宁德·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同.据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线.如图2，在底面半径为1，高为的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为______ 5．（25-26高一下·四川成都·期中）如图，在直三棱柱中，，． (1)设，求该三棱柱体积的最大值； (2)设，且三棱柱的所有顶点都在同一个球面上，求该球的体积； (3)设，点P在上运动，求的最小值． 6．（25-26高一下·青海西宁·期中）如图，在圆锥中，过高上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，圆柱的另一个底面的圆心与重合，称该圆柱为圆锥的内接圆柱．    (1)若底面直径和高均为的圆锥有一个底面半径为，高为的内接圆柱． ①求与的关系式； ②求内接圆柱侧面积的最大值． (2)若圆锥的高为，底面直径为，一只蚂蚁从底面圆周上的点出发绕着圆锥侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业10 基本立体图形、直观图及几何体的表面积、体积 【知识点1 多面体的结构特征】 1.简单多面体分类 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点，但不一定相等 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 2．特殊的棱柱和棱锥 (1)侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形． (2)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱长均相等的正三棱锥叫做正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心． 3．几点注意 (1)棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱． (2)棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台． (3)注意棱台的所有侧棱相交于一点． 【知识点2 旋转体的结构特征】 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 旋转 图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆形 旋转轴 任一边所在的直线 任一直角边所在的直线 垂直于底边的腰所在的直线 直径所在的直线 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 【知识点3 直观图】 (1)画法：常用斜二测画法. (2)具体步骤： ①在已知的空间图形中取水平平面和互相垂直的轴Ox，Oy；再取Oz轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°. ②画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的O'x'，O'y'，O'z'，使∠x'O'y'＝45°(或135°)，∠x'O'z'＝90°.x'O'y'所确定的平面表示水平平面. ③已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段. ④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度为原来的一半. ⑤擦去辅助线，并将被遮线画成虚线. （3）水平放置平面多边形直观图与原平面图形面积间的关系： S直观图＝S原图形，S原图形＝2S 【知识点4 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式】 名称 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 【知识点5 柱、锥、台、球的表面积和体积】 1.柱、锥、台、球的表面积和体积 　　 名称 几何体　　 表面积 体积 柱体 S表＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体 S表＝S侧＋S底 V＝Sh 台体 S表＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S表＝4πR2 V＝πR3 2.求空间几何体的体积的常用方法 公式法 规则几何体的体积，直接利用公式 割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体 等体积法 通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积 【题型1 空间几何体的结构特征】 1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法中，正确的为（   ） A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体是棱锥 C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥 【答案】D 【分析】对于ABC：举反例说明即可；对于D：假设成立，结合正六棱锥结构特征分析判断. 【详解】对于选项A：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形不一定是棱柱， 可能是两个棱柱拼接而成，故A错误； 对于选项B：由棱锥的定义知，其余各面的三角形必须有一个公共的顶点，故B错误； 对于选项C：若各侧棱延长线不交于一点，则不符合棱台的定义，如图所示，正方体中取AD、BC、、的三等分点， 依次连线得多面体,显然不是棱台，故C错误； 对于选项D：如图所示的正六棱锥，满足， O为底面正六边形中心，平面， 但注意到，，则有， 这与所设满足的条件矛盾，故不存在满足条件的正六棱锥，故D正确. 2．（25-26高一下·广东肇庆·期中）下列说法中，正确的是（ ） A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 B．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 D．有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 【答案】D 【详解】对于A，用一个平面去截棱锥，当平面与底面平行时，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，故A错误； 对于B，棱柱的侧面都是平行四边形，棱柱的底面可为任意平面多边形，故B错误； 对于C，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形但不一定全等，如斜棱柱的侧面不是全等的平行四边形，故C错误. 对于D，由棱锥的定义可判断D正确. 3．（25-26高一下·宁夏·期中）下列说法正确的是（    ） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．用任意一个平面去截球，得到的截面一定是一个圆面 C．有两个平面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 【答案】B 【详解】对于A项，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，故A错误； 对于B项，用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面，故B正确； 对于C项，例如将两个棱柱底面错开拼接，满足有两个平面平行，其他各个面都是平行四边形， 但是形成的多面体不是棱柱，如图， 故C错误； 对于D项，直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体，故D错误； 4．（25-26高一下·江苏盐城·期中）下列关于空间几何体的论述，正确的是（   ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D．圆台的轴截面不可能为直角梯形 【答案】D 【分析】作出满足选项条件的几何体即可判断A和B考虑连线是否平行于旋转轴可判断C；根据圆台的定义，即可判断D． 【详解】         图1               图2 对于A，如图1，利用两个底面全等的斜棱柱拼接而成的几何体满足A中条件，但该几何体不是棱柱，故A错误； 对于B，如图2，该多面体有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形，但该几何体不是棱台，故B错误； 对于C，连接圆柱上下底面圆周上任意两点，只有连线平行于旋转轴时才是母线，故C错误； 对于D，圆台的轴截面是指过圆台轴的平面截取几何体得到的截面，其形状为等腰梯形， 这是因为圆台是由圆锥被平行于底面的平面截得，轴截面包含上下底面的直径和母线，形成对称的等腰梯形， 故圆台的轴截面始终是等腰梯形，不可能为直角梯形，故D正确． 故选：D． 【题型2 直观图】 1．（25-26高一下·贵州贵阳·期中）如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】过作，垂足为，如下图： 由题意可得，，由斜二测画法，还原可得下图： 易知，，， 所以原梯形面积为. 2．（25-26高一下·山东临沂·期中）如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为矩形，已知，是的中点，则四边形的周长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．18 【答案】A 【详解】由题意知，， 如图，将直观图复原为四边形，则四边形为平行四边形， 因为，是的中点，所以，且，故，故， 所以四边形的周长为. 3．（25-26高一下·吉林·期末）如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（ ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【详解】由题意可得还原后如下： 中，， 所以，所以， ，，，则. 4．（25-26高一下·河北石家庄·期中）如图，已知用斜二测画法画出的的直观图是边长为2的正三角形，则原图中边在轴上的射影长度为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】由题意，过点作轴，交轴于点，还原后的图形如图． 在中，，又因为== 所以，故，故C正确． 【题型3 圆锥与圆台的相关计算】 1．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥轴截面的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则，解得，又，解得，所以圆锥的高为，所以圆锥的轴截面的面积是. 2．（25-26高一下·浙江·期中）已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（   ） A．48 B．50 C．96 D．100 【答案】B 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为， 则，解得.当截面过中心轴时，则，， 所以， 由三角形面积公式可得，当时，截面面积最大，最大为. 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆台的高为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，体积为，则该圆台的母线长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】如图，作出圆台的轴截面，设上底面圆的半径为，则下底面圆的半径是， 所以圆台的体积为，解得，所以母线长是. 4．（25-26高三·北京·二轮复习）已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且母线与下底面所成的角的正切值为2，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，圆台的上、下底面半径分别为2和4，则， 因为底角的正切值为2，设圆台的高为，即该等腰梯形的高， 则母线，所以圆台的表面积. 故选：D. 【题型4 展开图中的最短路径问题】 1．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）现有一民宿为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋．现测量其中一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为．若是母线的一个三等分点（靠近点），从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，侧面展开图扇形的圆心角为. 由题意可知，，即，. 根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长，可得， 即，解得. 将圆锥侧面沿母线展开，得到如图所示的扇形， 其中与重合于圆锥的母线，点与点在圆锥上重合. 因为是母线的一个三等分点（靠近点）， 所以. 从点到点绕屋顶侧面一周的最短路径，即为展开图中线段的长度. 在中，，，， 由勾股定理得. 故灯光带的最小长度为. 2．（2025高三上·广东深圳·专题练习）圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，母线长为16．已知为该圆台某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为（    ）    A．16 B． C． D． 【答案】B 【详解】将圆台沿着母线剪开后展开得到平面图形如图，分别设小扇形和大扇形的半径为，圆心角为， 则由题意可知，弧长为，弧长为，，则，得，则，因为该圆台某条母线的中点，则，因为等腰直角三角形，且腰长为，则，故该质点运动的最短路径长为.故选：B    3．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图，正三棱锥的底边长为2，. 一只小虫从点出发，沿三个侧面爬行一周，回到点. 则爬行的路径最短为________. 【答案】 【详解】正三棱锥的侧面展开图如下图所示，因为为正三棱锥，所以， 依题意可知，所以三角形是等腰直角三角形，在中，由余弦定理可得：，所以，解得：， 所以.所以最短路程为. 4．（2026·云南·三模）正四棱柱中，.一只蚂蚁从底面顶点出发，沿正四棱柱表面爬到顶点，则蚂蚁爬行的最短路程为_________. 【答案】 【详解】 将正四棱柱从到的表面路径展开到平面内，表面上的最短路径就转化为展开图中两点间的线段．所有本质不同的展开方式可归为以下两类． 情况1：经过相邻两个侧面． 将侧面与（或侧面与）沿公共棱展开到同一平面内，得到一个长方形． 该长方形的长为，宽为．所以，此时的最短路程为． 情况2：经过一个侧面与一个底面．将侧面与上底面（或侧面与上底面）沿公共棱展开到同一平面内，得到一个长方形．该长方形的一边为，另一边为．所以，此时的最短路程为．比较两种长度的平方，前者的平方为40，后者的平方为34，因此．所以，蚂蚁爬行的最短路程为． 【题型5 空间几何体的表面积计算】 1．（2026·山东菏泽·二模）如图，在直角梯形中，，，，，以直线为轴，其余各边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】过点作于点， 由，，，. 得，， 故. 以直线为轴旋转一周，形成的几何体为一个圆柱挖去一个圆锥， 圆柱底面半径，高，圆锥底面半径，高. 该几何体的表面积由圆柱的侧面积、圆柱的下底面积和圆锥的侧面积组成. 圆柱侧面积. 圆柱下底面积， 圆锥侧面积. 故表面积. 2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知正三棱台的高为，，则该棱台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不妨设上、下底面中心为，，，的中点分别为，，易知为斜高， 由，得，，作于，所以，，，故所求棱台的侧面积为． 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）设圆锥的表面积为，体积为，球的表面积为，体积为.已知圆锥的轴截面是等边三角形，且其体积之比，则圆锥与球的表面积之比（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆锥底面半径为，球的半径为， 由圆锥的轴截面是等边三角形可得圆锥的高为， 则 ， 所以圆锥与球的表面积之比 ． 4．（25-26高一下·广东惠州·阶段检测）（多选题）已知圆台的上底面半径，下底面半径，圆台有内切球，则（    ） A．圆台的母线长为 B．圆台的高为 C．圆台内切球的半径为 D．圆台的侧面积为 【答案】AB 【详解】有内切球的圆台满足性质：母线长，圆台高，内切球直径等于圆台的高，故半径为； 圆台侧面积. 【题型6 空间几何体的体积计算】 方法一：直接法求几何体的体积 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知棱台的上下底面均为有一个角为的菱形，且上下底面的边长分别为2和3，若该棱台的高为，则该棱台的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，得棱台的上底面面积为，下底面面积为， 所以该棱台的体积为. 2．（2026·河北邯郸·三模）已知正三棱台，，侧棱，则正三棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，将正三棱台补成正三棱锥，作平面分别交平面、平面于、，作平面交于，则、分别为、的中心.因为，所以，，所以，设该正三棱台的高为， 因为，所以， 故，故选C. 3．（2026·广西河池·模拟预测）如图，已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，且，则该棱台的体积为__________． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，结合正四棱台的结构特征求出该正四棱台的高，再求出其体积. 【详解】在正四棱台中，连接，取中点，连接， 由，得四边形为平行四边形， 则，而，于是， 则，由正四棱台的结构特征知平面平面， 平面，平面平面，得平面， 所以该棱台的体积. 方法二：等价转化法求几何体的体积 1．（2020·海南·高考真题）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A-NMD1的体积为____________ 【答案】 【详解】 因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点 所以 故答案为： 2．（25-26高一下·天津武清·期中）如图，在三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则______． 【答案】# 【详解】因为分别为的中点，则 所以，则. 3．（25-26高一下·湖南长沙·期中）如图，已知三棱台的体积为，上、下底面边长之比为，若截去三棱锥，则剩余部分的体积为__________．（用表示） 【答案】 【详解】由相似可知，三棱台上、下底面的面积之比为，设棱台的高为，上底面的面积为，则点到平面的距离也是，从而有， 则剩余部分的体积为． 方法三：割补法求几何体的体积 1．（25-26高一下·贵州安顺·阶段检测）如图，在正方体的八个顶点中，，，，四个顶点恰好是正三棱锥的顶点，则正三棱锥的体积与正方体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设正方体的棱长为，可得该正方体的体积是， 由三棱锥的体积为 正三棱锥的体积为， 所以正三棱锥的体积与正方体的体积之比为. 2．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，圆柱的表面积为，AB，CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且四面体ABCD为正四面体，则该正四面体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 连接，，，因为四面体ABCD为正四面体，所以，设，在中，，，，在，，，故圆柱的表面积为，解得.故． 3．（2026·福建·三模）在正三棱柱中，D，E分别满足，，点F在棱上，若平面将该三棱柱分割成体积相等的两部分，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将平面下方的几何体拆分成棱锥或棱柱，列体积方程求解即可 【详解】设三棱柱高为，底面积为，则体积为， 平面将三棱柱体积平分后每部分体积为，设，由已知， 因为D，E分别满足，，有， 过点，垂足为，过点作，垂足为，连接， 将平面下方的几何体体积拆分为三棱柱和四棱锥， 由题意，设为四棱锥高， 可得， 因为，所以代入解得，因此    4．（2026·陕西西安·三模）在四面体ABCD中，，且，则四面体ABCD的体积为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】如图，四面体可内接于长方体，设长方体的长、宽、高分别为，，， 则有，，，解得，，所以． 1．（2026·四川自贡·模拟预测）已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得：正三角形内切圆半径，就是圆锥内切球的半径，且边长为4的正三角形内切圆半径为：，所以圆锥内切球的表面积为：. 2．（25-26高一下·山东临沂·期中）圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的体积为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，设圆台的上底面周长为，下底面周长为， 因为扇环所对的圆心角为180°，所以，解得，，解得，故圆台的母线，高，故圆台的体积， 3．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知圆柱的高为6，底面直径为8，若圆柱的底面圆周恰好在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，球O和圆柱的空间位置关系如图所示， 设球的半径为，由题意可知，，则在直角中，， 所以球的表面积． 4．（2026·天津滨海新区·三模）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6，则球的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】    设正方体上底面所在平面截球得小圆，则圆心为正方体上底面的中心， 如图，设球的半径为，根据题意得球心到上底面的距离等于，而圆的半径为4， 由球的截面圆性质，得，解出，该球的体积为. 5．（23-24高三上·湖南长沙·阶段检测）已知圆锥的高为3，若该圆锥的内切球的半径为1，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆锥与其内切球的轴截面如下图所示， 由已知，可知，所以圆锥的轴截面为正三角形， 因为，所以圆锥底面圆半径，母线， 则圆锥的表面积为． 故选：C． 6．（22-23高二上·浙江·期中）已知圆锥底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，根据题意可知底面半径，母线，所以圆锥的高；    易知圆锥的外接球球心在旋转轴上，不妨设外接球半径为，则，解得；所以外接球表面积为.故选：B 7．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知某圆台的轴截面为等腰梯形，其中，，．则沿该圆台表面从点到达点，最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，圆台上底面圆的直径为，因此上底面圆的半径为，下底面圆的直径为，因此下底面圆的半径为，圆台的母线长为，则圆台的侧面展开图如图所示，从点到达点的最短路径即为， 假设将圆台补全为一个圆锥，设小圆锥的母线长为，则有，代入数据，解得， 所以小圆锥的母线长为，即，大圆锥的母线长为，即， 展开图的圆心角由下底面圆的周长决定，即，解得， 由于位于内侧弧长的中点，因此， 在中，，，由余弦定理得，代入数据，解得即从点到达点的最短路径的长度为. 8．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面的面积分别为和， 侧棱与底面所成角的余弦值为， 则该正三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设正三棱台的上下底面等边三角形的中心分别为,分别连接，过作的垂线，垂足为，则，因为平面，所以平面，所以为直线与底面所成的角，所以，因为正三棱台的上下底面的面积分别为和，即等边的边长为，等边的边长为，可得，所以，因为，可得，所以，即正三棱台的高， 所以正三棱台的体积为. 9．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）（多选题）在长方体中，，，，E为棱上一点，则（   ） A．该长方体是一个正四棱柱 B．长方体的外接球的表面积为 C．四棱锥的体积为24 D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A，由题意得面和面都是正方形，所以该长方体是一个正四棱柱，故A正确； 对于B，长方体的外接球的直径，所以外接球的表面积为，故B正确；对于C，过作于， 由等面积法得，因为平面平面，平面平面，平面,所以平面，所以为四棱锥的高，又，所以，故C错误；对于D，将平面展开至与平面共面，得到如图的矩形， 所以，所以的最小值为，故D正确． 10．（25-26高一下·福建南平·期中）（多选题）已知正四棱台中，，则下述正确的是（    ） A．该四棱台的高为 B．该四棱台的体积为 C．该四棱台的表面积为 D．该四棱台外接球的表面积为 【答案】ACD 【详解】对于选项A：如图，连接交于点，连接交于点，连接， 则在正四棱台中有，可得平面，故为四棱台的高，由平面，所以，过点作交于，所以，又，所以，所以四边形为平行四边形，所以，在正四棱台中，由，所以，则， 则，在直角三角形中，，得到四棱台的高为，故A正确； 对于B，该四棱台的体积为，故B错误； 对于C，由题意得该四棱台的表面积拆分如下，①正四棱台的上下两个正方形的面积： 设上下两个面的面积分别为，则，②正四棱台的侧面积，在等腰梯形中，如图所示： 过分别作垂直于交于点，所以，又， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 则，所以等腰梯形的面积如下， 为，所以正四棱台的侧面积为， 得到四棱台的表面积为，故C正确， 对于D，由题意可知该四棱台外接球的球心在直线上，设球的半径为， 则，即，解得， 所以外接球的表面积为，故D正确. 11．圆锥的底面直径是4，其侧面展开图是一个顶角为的扇形，如图，过的中点作平行于底面的截面，在圆锥中挖去一个以该截面为底面的圆柱，则剩下几何体的体积为______________． 【答案】 【详解】设圆锥的母线长为l，由题意得底面圆的半径， 则，可得，即母线，所以圆锥的高， 因为是的中点，由三角形相似易得挖去圆柱的底面半径为1，且圆柱的高，则该圆柱的体积为，圆锥的体积为，则剩下几何体的体积． 12．（25-26高一下·广东·期中）在正方体中，M是棱上的点，且，平面将此正方体分为两部分，设两部分体积分别为和，则______. 【答案】 【详解】 如图所示，不妨设正方体棱长为，则，，在上取点，使， 则易知：，所以即为平面在正方体内部的切面，则由图易知：多面体是三棱台，所以，其中，，，代入得：，所以，， 所以. 13．（25-26高一下·福建宁德·期中）如图是一个正四棱台的铁料，上､下底面的边长分别为和，高. (1)求四棱台的表面积； (2)若要将这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如下图，正四棱台侧面是全等的等腰梯形，分别取中点，连接， 过点作，交于点.则， 所以，所以四棱台的表面积. （2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台， 则圆台的上、下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高. 则圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为， 高，则圆台的体积为． 又正四棱台的体积， 所以削去部分的体积， 所以削去部分与圆台的体积之比为； 14．（25-26高一下·福建三明·期中）现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥．下部是正四棱柱(如图所示)，且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍．    (1)若求该几何体的体积． (2)若正四棱锥的侧棱长为6， ①求正四棱锥的侧面积． ②若是线段上的动点，求的最小值． 【答案】(1)312 (2)①；② 【详解】（1）由条件可知，正四棱柱的高所以正四棱柱的体积为， 正四棱锥的体积为所以该几何体的体积为. （2）①，所以，    正四棱锥侧面的高为所以正四棱锥的侧面积为 ②将正方形展开在一个平面，，当三点共线时，最短， 所以.所以的最小值为. 1．（25-26高一下·海南·阶段检测）（多选题）如图，正方体棱长为2，、、分别为棱，，的中点，是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是（     ）    A．平面 B．若为线段上一点，则三棱锥的体积为定值 C．若，则点的轨迹长度为 D．过、、三点的平面截正方体所得截面的面积为 【答案】ABD 【详解】如图，设点是棱中点，连接并延长，分别交的延长线于， 连接交于，结合正方体的结构特征及平面的性质有均为中点， D，根据平面的基本性质知，过三点的平面截正方体所得截面为正六边形，边长，所以面积为，正确； A，根据中位线易得，平面，平面，则平面，正确；    B，由，又为线段上一点，平面， 所以到平面的距离为定值，且为定值，则为定值，正确； C，由知点轨迹为为球心，为半径的球与正方体表面的交线，如图， 由正方体棱长得，交线为三段半径为的四分之一圆，长度为，错误.    2．（25-26高一下·广西柳州·阶段检测）（多选题）如图，将棱长为4的正方体六个面的中心连线，可得到八面体，P为棱上一点，则下列四个结论中正确的是（    ） A．平面 B．八面体的体积为 C．的最小值为 D．点A到平面的距离为 【答案】ABC 【详解】 在正方体中，连接，可知相交于点，且被互相平分，故四边形是平行四边形， 所以，而平面，平面，所以平面，故A正确； 因为正方体棱长为4，所以四边形是正方形且，面，， 所以八面体的体积等于棱锥体积的2倍，而棱锥体积等于，故八面体的体积为，B正确；因为为棱上一点，将和展开成一个平面，由题和均为正三角形，且边长为，由三角形两边之和大于第三边知最小值为，在中由余弦定理可知 ，故C正确； 对于D选项：设点到平面的距离为，由等体积法知即，，故D错误. 3．（2026·宁夏银川·三模）正四棱锥的底面边长为，，则平面截正四棱锥外接球所得截面的面积为__________. 【答案】 【详解】设正方形边长为，底面中心为中点为，连接，如图所示， 由题意得，且正四棱锥的外接球球心，设外接球半径为，则， 在中，，且，所以，解得，即， 在中，，过作，则即为点到平面的距离，且为平面截其外接球所得截面圆的圆心，所以，则， 所以，即平面截其外接球所得截面圆的半径为， 所以截面的面积. 4．（2026·福建宁德·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同.据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线.如图2，在底面半径为1，高为的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为______ 【答案】 【详解】由题意得，，，因此，， 所以，而在中，，，，且， 则，，而，则，由正弦定理得，，则. 5．（25-26高一下·四川成都·期中）如图，在直三棱柱中，，． (1)设，求该三棱柱体积的最大值； (2)设，且三棱柱的所有顶点都在同一个球面上，求该球的体积； (3)设，点P在上运动，求的最小值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）直三棱柱中，侧棱底面，高，. 三棱柱体积. 在中，由余弦定理， 即. 由基本不等式，得，当且仅当时取等号. 因此，所以，即三棱柱体积的最大值是. （2）直三棱柱外接球直径满足，其中是底面的外接圆半径， 由正弦定理，代入，，得，即， 因此，得， 球体积. （3）将平面沿展开，与平面共面，的最小值为展开后线段的长度： 由，得，中； 由，得，又，故是等边三角形，； 展开后，故， 即的最小值是. 6．（25-26高一下·青海西宁·期中）如图，在圆锥中，过高上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，圆柱的另一个底面的圆心与重合，称该圆柱为圆锥的内接圆柱．    (1)若底面直径和高均为的圆锥有一个底面半径为，高为的内接圆柱． ①求与的关系式； ②求内接圆柱侧面积的最大值． (2)若圆锥的高为，底面直径为，一只蚂蚁从底面圆周上的点出发绕着圆锥侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】(1)① ② (2) 【详解】（1）   ①记与圆柱的上底面交于点，连接、，则，则， 即，整理可得，所以与的关系式为. ②已知，当且仅当， 即时取等号，则， 因此圆柱的侧面积， 即时，圆柱的侧面积取最大值. （2）由高的长为，底面直径为， 得圆锥母线， 把圆锥的侧面沿母线剪开展开在平面内，得如图所示的扇形，    显然圆弧的长为，因此， 在中，，所以，因此， 所以蚂蚁爬行的最短距离是. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $