暑假作业11 基本立体图形、直观图及几何体的表面积与体积（8大巩固提升练+4大能力培优练+2大创新提型练）-【暑假分层作业】2025年高一数学暑假培优练（人教A版2019)

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业11 基本立体图形、直观图及几何体的表面积与体积 【知识点1 几何体的结构特征】 1.多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 互相平行且相等 相交于一点， 但不一定相等 延长线交于 一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 2．正棱柱、正棱锥的结构特征 (1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形． (2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体． 3．旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且 相等，垂直 于底面 长度相等且 相交于一点 延长线交 于一点 轴截面 全等的矩形 全等的 等腰三角形 全等的 等腰梯形 圆 侧面 展开图 矩形 扇形 扇环 旋转 图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆 【知识点2 直观图】 斜二测画法规则： (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． (2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半． 【知识点3 几何体的表面积与体积】 1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开 图　 侧面 积公 式　 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 2．柱体、锥体、台体和球的表面积和体积 名称 几何体　　　 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 1．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系： 2．多面体的内切球与外接球常用的结论 (1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝，外接球半径R＝ (2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝ (3)设正四面体的棱长为a，则它的高为H＝，内切球半径，外接球半径 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：几何体的结构特征（易错）】 ⭐【知识讲解】 几何体结构特征问题的解题策略： (1)有关各种几何体结构特征的问题应紧扣各几何体的定义. (2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除． 1.下列说法正确的是（    ） A．四棱柱的所有面均为平行四边形 B．球面上四个不同的点一定不在同一平面内 C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D．在正方体的所有顶点中取4个点，则由这4个顶点可以构成三个面是直角三角形，一个面是等边三角形的四面体 2．下列说法正确的是________． ①一个棱锥至少有四个面； ②如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等； ③五棱锥只有五条棱； ④用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似． 【题型二：多面体的展开图（易错）】 ⭐【知识讲解】 多面体展开图问题的解题策略： (1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图． (2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推. 同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图． 3．某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)(　　) 4.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是(　　) A．2 B．6 C．快 D．乐 【题型三：多面体中的有关计算（高频）】 ⭐【知识讲解】 破解多面体计算问题的常见策略 (1)截面法:用平面去截多面体，截面为多边形.平行于底面的截面、纵截面等都可以很好地反映立体图形中的数量关系. (2)构造直角三角形法:在几何运算中，要解决边的问题，我们可以通过作垂线，来构造直角三角形，以达到利用已知求未知的目的. (3)构造梯形法：正棱台的计算问题，常常将高、斜高、侧棱置于一个三棱台中，再借助该三棱台中的多个梯形来求解. 5.一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为（ ） A.1 B.2 C. 2 D.3 6.一个正四棱锥的侧棱长为10，底面边长为，该四棱锥截去一个小四棱锥后得到一个正四棱台，正四棱台的侧棱长为5，则正四棱台的高为（       ） A．5 B．4 C．3 D．2 7.一个直平行六面体的侧棱长是9,底面相邻的两边的长都是6,底面四边形的一个内角是60°,则此直平行六面体的体对角线长是　　　　.  8.正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则该正三棱锥的高为 ，侧面上的斜高为 . 【题型四：旋转体中的有关计算（高频）】 ⭐【知识讲解】 对于圆柱、圆锥、圆台、球中的计算问题主要是研究它们的轴截面，通过寻找轴截面将空间问题转化为平面问题.对于球中的计算问题，则常利用其截面圆性质求解. 9.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是4，则此圆柱的下底面面积为____. 10.一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求： (1)圆台的高； (2)截得此圆台的圆锥的母线长． 【题型五：对斜二测画法的理解（易错）】 ⭐【知识讲解】 对斜二测画法中“斜”“二测”的解读 （1）“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°； （2）“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半． 11.（多选）关于斜二测画法，下列说法正确的是（    ） A．在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行 B．若一个多边形的直观图面积为，则原图的面积为 C．一个梯形的直观图仍然是梯形 D．在原图中互相垂直的两条直线，在对应的直观图中不再垂直 12.（多选）关于斜二测画法所得直观图的说法错误的是（    ） A．直角三角形的直观图仍是直角三角形 B．梯形的直观图是平行四边形 C．正方形的直观图是菱形 D．平行四边形的直观图仍是平行四边形 【题型六：直观图的计算问题（高频）】 ⭐【知识讲解】 （1）直观图中的计算问题主要为求平面图形的直观图中线段长或面积，或由平面图形的直观图求原图形的线段长或面积. （2）直观图的面积问题常常有两种解法：一是利用斜二测画法求解，注意 “斜”及“二测”的含义；二是直接套用等量关系：S直观图＝S原图形． 13．已知水平放置的等边的边长为4，则该三角形斜二测直观图的面积为（    ） A． B．3 C． D． 14. 已知斜二测画法下的直观图是面积为的正三角形（如图所示），则顶点对应的点到轴的距离是（    ） A． B． C． D． 15. 已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的面积为 【题型七：空间几何体的表（侧）面积（易错）】 ⭐【知识讲解】 .空间几何体表面积的求法 (1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用． (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理 16. 已知圆锥的底面半径为1，侧面积为，则此圆锥的侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 17.某厂生产一批圆台形灯罩，灯罩的上、下底面都是空的，上、下底面的半径之比为1:2，高为15cm，母线长为25cm．现要对100个这样的灯罩的内、外表面都涂上一层防潮涂料，若每平方米需要100克涂料，则共需涂料（    ） A．克 B．克 C．克 D．克 18.在正四棱台中，，则该棱台的侧面积为 ． 【题型八：空间几何体的体积（易错）】 ⭐【知识讲解】 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)直接利用公式进行求解． (2)用转换法、分割法、补形法等方法进行求解． 19. 已知在三棱锥中，，，则三棱锥的体积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 20.如图，正三棱台的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的体积为（   ） A． B．189 C． D．126 21．如图是一个直径为12cm的球形容器和一个底面直径为6cm、深8cm的圆柱形水杯（壁厚均不计），则球形容器装满时，约可以倒满水杯（    ） A．3杯 B．4杯 C．5杯 D．6杯 【答案】B 22．若圆锥的表面积为，且其母线长是底面半径的3倍，则圆锥的体积为 . 23．已知圆锥的底面圆半径为2，体积为，两条母线的夹角为 (1)求圆锥的侧面积； (2)求三棱锥的体积； (3)求三棱锥的高． 【题型一：几何体的截面（易错）】 ⭐【知识讲解】 截面问题解题策略 (1)对于多面体的截面问题，常考虑以下两种策略： ①依据定义和多面体的结构特征：根据截面的定义，结合多面体的形状、棱与面的关系等，分析截面可能的形状. ②考虑特殊位置：关注平面经过多面体的特殊点（如顶点、棱的中点等）或特殊线（如对称轴）时所形成的截面，这些特殊的截面往往具有特殊的性质和形状，有助于解题. (2)圆柱、圆锥、圆台、球的轴截面分别为矩形、等腰三角形、梯形、圆. (3)对于旋转体的其他截面问题，要利用好空间想象力，想象用一个平面截旋转体，平面与旋转体的交线情况u况，从而确定截面的形状. 1．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的（    ） A． B． C． D． 2．如图，有一正方体形状的木块，A为顶点，分别为棱的中点，则过点的平面截该木块所得截面的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．五边形 D．六边形 3.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是(　　) A．4 B．3 C．2 D．0.5 4.正四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于a,过不相邻的两条侧棱作截面,则截面的面积为　　　　.  【题型二：几何体表面上两点间距离的最值（难点）】 ⭐【知识讲解】 求几何体表面上两点间的最小距离的步骤 (1)将几何体沿着某棱(母线)剪开后展开，画出其侧面展开图； (2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题； (3)结合已知条件求得结果．　　 5．如图，四边形是圆柱的轴截面，，圆的周长为，是线段的中点，曲线在圆柱的侧面上，且曲线的长度等于在圆柱的侧面上从到的最短距离，若为曲线上的动点，则点到点的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．已知圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，是的中点，一只蚂蚁从点出发，沿着圆锥的表面爬到点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（    ） A． B．4 C． D．6 7．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到点所经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在正三棱锥中，，三条侧棱两两夹角均为，，分别是，上的动点，则三角形的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 9.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝2，BC＝，AC＝1，AA1＝3，F为棱AA1上的一动点，则当BF＋FC1最小时，△BFC1的面积为________． 【题型三：几何体的外接球（难点）】 ⭐【知识讲解】 球与几何体相接问题的解题思路： （1）球外接于几何体，则几何体的各顶点均在球面上.解题时要认真分析图形，一般需依据球和几何体的对称性，明确接点的位置，根据球心与几何体特殊点间的关系，确定相关的数量关系，并作出合适的截面进行求解. 　（2）长方体的对角线恰好是其外接球的一条直径，故对于一些可以补形成长方体的几何体的外接球问题，题，也可将其补形成长方体，再利用上述结论速解. 10.已知直三棱柱ABC­A1B1C1的各顶点都在以O为球心的球面上，且∠BAC＝，AA1＝BC＝2，则球O的体积为(　　) A．4π B．8π C．12π D．20π 11.在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且点为该圆台外接球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（） A． B． C． D． 12.已知正三棱台的上底面边长为，高为，体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 13．已知正四棱锥中，，若此正四棱锥的外接球为球，则侧面所在平面被球所截的面积为（   ） A． B． C． D． 14．三棱锥中，，面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是 . 15．已知圆锥的底面半径，高. (1)求此圆锥的表面积； (2)若圆锥在球内，求球的表面积的最小值； (3)若一个棱长为的正方体木块可以在这个圆锥内任意转动，求的最大值. 【题型四：几何体的内切球（难点）】 ⭐【知识讲解】 解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面（一般作出多面体的对角面所在的截面），这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映出几何体与球的位置关系和数量关系. 15．（多选）下列立体图形中，一定有内切球的是（    ） A．正四面体 B．直三棱柱 C．正三棱台 D．正四棱锥 16．已知高为 4的圆台存在内切球，其下底半径为上底半径的 4 倍，则该圆台的表面积为（     ） A． B． C． D． 17．如图，在棱长为的正方体内有两个球相外切，两球又分别与正方体内切，则两球体积之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 18．在三棱锥中，底面正三角形的边长为，侧棱长为，若球与三棱锥内切，则该三棱锥的内切球的表面积为 19．如图1，与三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆．设O是△ABC的内切圆圆心，r是△ABC的内切圆半径，设S是△ABC的面积，l是△ABC的周长，由等面积法，可以得到． (1)与三棱锥的四个面都相切的球叫做三棱锥的内切球．设三棱锥的体积是V，表面积是S，请用类比推理思想，写出三棱锥的内切球的半径公式R内（只写结论即可，不必写推理过程）； (2)若多面体的所有顶点都在同一球上，则该球为多面体的外接球，如图2，在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA = PB = PC = 1，求三棱锥P－ABC的内切球半径和外接球的半径． 【题型一：数学文化题（高频）】 1．《九章算术》是中国古代的一部重要数学著作，成书于公元一世纪左右，书中商功章记载有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高三丈，问积几何？”．大致意思是：现有一个圆台，下底面圆的周长为3丈，上底面圆的周长为2丈，高为3丈，则它的体积是（   ）立方丈． A． B． C． D． 2．亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀．重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥以及一个圆台（图2）的组合体．已知某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图3所示，则该圆台部分的侧面积为（   ） A． B． C． D． 3．清乾隆云龙纹双螭龙耳方形炉摆件，是乾隆时期玉雕工艺的杰出代表．它玉质细腻，古韵十足，线条流畅，造型规整，雕刻着精美的云龙纹与螭龙耳，底部落“乾隆年制”款，尽显皇家气派．这件方形炉摆件可近似看作台体，高约，上底面与下底面为相似长方形，上底面的长约，宽约，若下底面的长和宽均为上底面长和宽的0.8倍，则该方形炉摆件主体体积约为（   ） （参考数据：，结果保留一位小数） A． B． C． D． 4．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧.若在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则根据测得的球体高度可计算出球体建筑物的体积为 . 【题型二：新定义题（难点）】 5．从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断、不重复地画完所有棱的画法称为“一笔画”．下列几何体可以“一笔画”的是（   ） A． B． C． D． 6．等腰四面体是一种特殊的三棱锥，它的三组对棱分别相等.已知一个长方体的体积为12，则用长方体其中的四个顶点构成的等腰四面体的体积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 7．多面体的欧拉定理：简单多面体的顶点数、棱数与面数满足的数学关系.请运用欧拉定理解决以下问题： (1)碳的分子结构是一个由正五边形面和正六边形面共32个面构成的凸多面体，60个碳原子处于多面体的60个顶点位置，求32个面中正六边形面的个数； (2)规定：多面体在顶点处的曲率等于与多面体在该点的所有面角之和的差（多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小，用弧度制表示），多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正方体在每个顶点有个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为，故其总曲率为.证明：任何简单多面体的总曲率是常数； (3)如果一个正多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体叫做正多面体.设某个正多面体每个顶点聚集的棱的条数为，每个面的边数为，求满足的关系式；并据此说明正多面体仅有以下五种：正四面体、正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业11 基本立体图形、直观图及几何体的表面积与体积 【知识点1 几何体的结构特征】 1.多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 互相平行且相等 相交于一点， 但不一定相等 延长线交于 一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 2．正棱柱、正棱锥的结构特征 (1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形． (2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体． 3．旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且 相等，垂直 于底面 长度相等且 相交于一点 延长线交 于一点 轴截面 全等的矩形 全等的 等腰三角形 全等的 等腰梯形 圆 侧面 展开图 矩形 扇形 扇环 旋转 图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆 【知识点2 直观图】 斜二测画法规则： (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． (2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半． 【知识点3 几何体的表面积与体积】 1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开 图　 侧面 积公 式　 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 2．柱体、锥体、台体和球的表面积和体积 名称 几何体　　　 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 1．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系： 2．多面体的内切球与外接球常用的结论 (1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝，外接球半径R＝ (2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝ (3)设正四面体的棱长为a，则它的高为H＝，内切球半径，外接球半径 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：几何体的结构特征（易错）】 ⭐【知识讲解】 几何体结构特征问题的解题策略： (1)有关各种几何体结构特征的问题应紧扣各几何体的定义. (2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除． 1.下列说法正确的是（    ） A．四棱柱的所有面均为平行四边形 B．球面上四个不同的点一定不在同一平面内 C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D．在正方体的所有顶点中取4个点，则由这4个顶点可以构成三个面是直角三角形，一个面是等边三角形的四面体 【答案】D 【解析】对于A选项，四棱柱的底面不一定是平行四边形，A选项错误； 对于B选项，作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上，故B选项错误； 对于C选项，如图在圆台的上底面的圆周上取点，在下底面的圆周上取点，连接，则不是圆台的母线，    所以在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆台的母线，故C选项错误； 对于D选项，如图取正方体的顶点， 由这四个点构成四面体，设， 则，， 所以在四面体中， ，，均是直角三角形， 为等边三角形，故D选项正确．    故选：D 2．下列说法正确的是________． ①一个棱锥至少有四个面； ②如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等； ③五棱锥只有五条棱； ④用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似． 【答案】①④ 【解析】①正确．②不正确，四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等．也可以不等．③不正确，五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共10条棱．④正确． 【题型二：多面体的展开图（易错）】 ⭐【知识讲解】 多面体展开图问题的解题策略： (1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图． (2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推. 同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图． 3．某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)(　　) 【答案】A 【解析】由选项验证可知选A. 4.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是(　　) A．2 B．6 C．快 D．乐 【答案】B 【解析】将图形折成正方体知选B. 【题型三：多面体中的有关计算（高频）】 ⭐【知识讲解】 破解多面体计算问题的常见策略 (1)截面法:用平面去截多面体，截面为多边形.平行于底面的截面、纵截面等都可以很好地反映立体图形中的数量关系. (2)构造直角三角形法:在几何运算中，要解决边的问题，我们可以通过作垂线，来构造直角三角形，以达到利用已知求未知的目的. (3)构造梯形法：正棱台的计算问题，常常将高、斜高、侧棱置于一个三棱台中，再借助该三棱台中的多个梯形来求解. 5.一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为（ ） A.1 B.2 C. 2 D.3 【答案】B 【解析】如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为正三角形，边长为2，△DEF为等腰直角三角形，DF为斜边，设DF长为x，则DE＝EF＝x，作DG⊥BB1，HG⊥CC1，EI⊥CC1，则EG＝＝，FI＝＝，FH＝FI＋HI＝FI＋EG＝2，在Rt△DHF中，DF2＝DH2＋FH2，即x2＝4＋(2)2，解得x＝2.即该三角形的斜边长为2. 6.一个正四棱锥的侧棱长为10，底面边长为，该四棱锥截去一个小四棱锥后得到一个正四棱台，正四棱台的侧棱长为5，则正四棱台的高为（       ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】根据题意，正四棱台是由原正四棱锥过侧棱的中点且与底面平面的平面截得的， 如下所示： 对原正四棱锥，，故其高， 又△△，其相似比为，故正四棱台的高. 7.一个直平行六面体的侧棱长是9,底面相邻的两边的长都是6,底面四边形的一个内角是60°,则此直平行六面体的体对角线长是　　　　.  【答案】3和3 【解析】直平行六面体的体对角线有4条,共2对分别相等,底面菱形的对角线长分别是6和6,由勾股定理可得此直平行六面体的体对角线长是=3,=3. 8.正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则该正三棱锥的高为 ，侧面上的斜高为 . 【答案】3， 【解析】如图，正三棱锥，取的中心为O，连接PO， 由正三棱锥的定义得面ABC， 又为等边三角形，则， 所以正三棱锥的高， 作交AB于D，又，， 则正三棱锥的斜高， 所以该正三棱锥的高为3，侧面上的斜高为. 【题型四：旋转体中的有关计算（高频）】 ⭐【知识讲解】 对于圆柱、圆锥、圆台、球中的计算问题主要是研究它们的轴截面，通过寻找轴截面将空间问题转化为平面问题.对于球中的计算问题，则常利用其截面圆性质求解. 9.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是4，则此圆柱的下底面面积为____. 【答案】 【解析】设圆柱底面半径为，母线长为，则圆柱的轴截面是边长为和的矩形，由题设知，圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积为4，所以，解得，所以圆柱的下底面积为S=. 10.一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求： (1)圆台的高； (2)截得此圆台的圆锥的母线长． 【答案】（1）3 cm；（2）20 cm. 【解析】　(1)如图，过圆台的轴作截面为等腰梯形ABCD，由已知可得上底半径O1A＝2 cm，下底半径OB＝5 cm，且腰长AB＝12 cm， ∴AM＝＝3(cm)， 即圆台的高为3 cm. (2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l， 则由△SAO1∽△SBO，可得＝， ∴l＝20(cm)， 即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm. 【题型五：对斜二测画法的理解（易错）】 ⭐【知识讲解】 对斜二测画法中“斜”“二测”的解读 （1）“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°； （2）“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半． 11.（多选）关于斜二测画法，下列说法正确的是（    ） A．在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行 B．若一个多边形的直观图面积为，则原图的面积为 C．一个梯形的直观图仍然是梯形 D．在原图中互相垂直的两条直线，在对应的直观图中不再垂直 【答案】ABC 【解析】对于A，在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行，A正确； 对于B，若一个多边形的直观图面积为，则原图的面积为，B正确； 对于C，梯形平行的两边在直观图仍然平行，两腰不平行，在直观图仍然不平行， 因此一个梯形的直观图仍然是梯形，C正确； 对于D，在原图中互相垂直的两条直线，在对应的直观图中可以垂直， 如正方体的直观图中，竖边与横边垂直，D错误. 故选：ABC    12.（多选）关于斜二测画法所得直观图的说法错误的是（    ） A．直角三角形的直观图仍是直角三角形 B．梯形的直观图是平行四边形 C．正方形的直观图是菱形 D．平行四边形的直观图仍是平行四边形 【答案】ABC 【解析】由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐系，而平行性没有改变，A，B，C都不正确，D正确， 故选：ABC 【题型六：直观图的计算问题（高频）】 ⭐【知识讲解】 （1）直观图中的计算问题主要为求平面图形的直观图中线段长或面积，或由平面图形的直观图求原图形的线段长或面积. （2）直观图的面积问题常常有两种解法：一是利用斜二测画法求解，注意 “斜”及“二测”的含义；二是直接套用等量关系：S直观图＝S原图形． 13．已知水平放置的等边的边长为4，则该三角形斜二测直观图的面积为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：. 故选：C. 14. 已知斜二测画法下的直观图是面积为的正三角形（如图所示），则顶点对应的点到轴的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】过点作轴交轴于点，如下图所示： 设正三角形的边长为，则，解得， 在中，，， ， 由正弦定理，即， 可得， 因此，顶点对应的点到轴的距离是. 故选：D. 15. 已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的面积为 【答案】 【解析】由题意，， 原图形面积与斜二测直观图形面积之间的关系为， 可得． 【题型七：空间几何体的表（侧）面积（易错）】 ⭐【知识讲解】 .空间几何体表面积的求法 (1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用． (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理 16. 已知圆锥的底面半径为1，侧面积为，则此圆锥的侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆锥母线长为，可得底面圆的周长为， 由题意可得，解得， 所以圆锥的侧面展开图的圆心角为. 故选：D. 17.某厂生产一批圆台形灯罩，灯罩的上、下底面都是空的，上、下底面的半径之比为1:2，高为15cm，母线长为25cm．现要对100个这样的灯罩的内、外表面都涂上一层防潮涂料，若每平方米需要100克涂料，则共需涂料（    ） A．克 B．克 C．克 D．克 【答案】C 【解析】设圆台的上底面半径为cm，则下底面半径为cm， 因为高cm，母线cm，所以由， 得cm， 可得圆台的侧面积为， 所以100个灯罩内、外表面面积为， 则共需涂料克. 故选：C. 18.在正四棱台中，，则该棱台的侧面积为 ． 【答案】 【解析】 如图，过作，垂足为， 所以为正四棱台的侧面的高， 因为， 则，， ， 所以正四棱台的侧面积为. 【题型八：空间几何体的体积（易错）】 ⭐【知识讲解】 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)直接利用公式进行求解． (2)用转换法、分割法、补形法等方法进行求解． 19. 已知在三棱锥中，，，则三棱锥的体积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题意可得三棱锥可看作由长方体截取得到的，如图，设长方体的长宽高分别为， 则，解得. 长方体的体积为，切去的四个小棱锥体积相等，均为， 所以三棱锥的体积为2. 故选：B 20.如图，正三棱台的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的体积为（   ） A． B．189 C． D．126 【答案】C 【解析】如图，设上下底面的外接圆的圆心分别为，连接， 过作，垂足为D，则为三棱台的高. 由正弦定理得，解得， 所以，得， 又， 所以该三棱台的体积为. 故选：C 21．如图是一个直径为12cm的球形容器和一个底面直径为6cm、深8cm的圆柱形水杯（壁厚均不计），则球形容器装满时，约可以倒满水杯（    ） A．3杯 B．4杯 C．5杯 D．6杯 【答案】B 【解析】球的体积， 圆柱的体积， 所以，则球形容器装满时，约可以倒满水杯4杯. 故选：B 22．若圆锥的表面积为，且其母线长是底面半径的3倍，则圆锥的体积为 . 【答案】 【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为， 依题意得，解得. 设圆锥的高为，所以， . 23．已知圆锥的底面圆半径为2，体积为，两条母线的夹角为 (1)求圆锥的侧面积； (2)求三棱锥的体积； (3)求三棱锥的高． 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）利用圆锥的体积公式求出圆锥的高，进而求出母线长及圆锥的侧面积.（2）由（1）中信息求出三棱锥的体积.（3）由（2），结合等体积法求出高. 【解析】（1）由圆锥的底面圆半径为2，体积为，得， 解得，圆锥的母线， 所以圆锥的侧面积为. （2）由（1）知，由母线的夹角为，得为正三角形， 则，等腰底边上的高， 的面积， 所以三棱锥的体积. （3）设三棱锥的高为，由（2）知， 由，得，即，解得. 所以三棱锥的高为. 【题型一：几何体的截面（易错）】 ⭐【知识讲解】 截面问题解题策略 (1)对于多面体的截面问题，常考虑以下两种策略： ①依据定义和多面体的结构特征：根据截面的定义，结合多面体的形状、棱与面的关系等，分析截面可能的形状. ②考虑特殊位置：关注平面经过多面体的特殊点（如顶点、棱的中点等）或特殊线（如对称轴）时所形成的截面，这些特殊的截面往往具有特殊的性质和形状，有助于解题. (2)圆柱、圆锥、圆台、球的轴截面分别为矩形、等腰三角形、梯形、圆. (3)对于旋转体的其他截面问题，要利用好空间想象力，想象用一个平面截旋转体，平面与旋转体的交线情况u况，从而确定截面的形状. 1．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知截面是一个非等边的等腰三角形，排除A，D； 等腰三角形的底边是正三棱锥的一条棱，这条棱不可能与内切球有交点，所以排除B； 而等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥两个面的中线， 且经过内切球在两个面上的切点，所以正确答案是C． 故选：C. 2．如图，有一正方体形状的木块，A为顶点，分别为棱的中点，则过点的平面截该木块所得截面的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【解析】如图，延长BC，与两条棱的延长线分别交于两点，连接， 分别交棱于两点，连接，则五边形及内部，即过点的截面. 故选：C 3.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是(　　) A．4 B．3 C．2 D．0.5 【答案】B 【解析】如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π，8π，∴两个截面圆的半径分别为r1＝，r2＝2.∵球心到两个截面的距离d1＝ ，d2＝ ， ∴d1－d2＝ －＝1，∴R2＝9，∴R＝3.故选B. 4.正四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于a,过不相邻的两条侧棱作截面,则截面的面积为　　　　.  【答案】a2 【解析】不妨连接AC,则截面为△SAC.取AC的中点O,连接SO,则SO⊥AC,如图所示. ∵正四棱锥 S-ABCD的所有棱长都等于a, ∴AC=a,SO==a, 则△SAC的面积为×a×a=a2. 【题型二：几何体表面上两点间距离的最值（难点）】 ⭐【知识讲解】 求几何体表面上两点间的最小距离的步骤 (1)将几何体沿着某棱(母线)剪开后展开，画出其侧面展开图； (2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题； (3)结合已知条件求得结果．　　 5．如图，四边形是圆柱的轴截面，，圆的周长为，是线段的中点，曲线在圆柱的侧面上，且曲线的长度等于在圆柱的侧面上从到的最短距离，若为曲线上的动点，则点到点的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示，将圆柱的侧面展开，则，， 从而， 由余弦定理可得， 所以为钝角，故点到点的距离的最小值为. 故选：C. 6．已知圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，是的中点，一只蚂蚁从点出发，沿着圆锥的表面爬到点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】C 【解析】由题意可知圆锥的底面半径，母线， 侧面展开所得扇形的圆心角，则， 因为是的中点，所以， 则这只蚂蚁爬行的最短距离， 故选：C． 7．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到点所经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以圆的周长是圆周长的两倍，则弧的弧长. 将圆台一半侧面展开，如图1中扇环所示． 延长和交于点，连接，如图1所示， 由可得， 所以，则， 所以在中，， 即点到点所经过的最短路程为． 故选：C． 8．如图，在正三棱锥中，，三条侧棱两两夹角均为，，分别是，上的动点，则三角形的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】把正三棱锥沿剪开并展开，形成三个全等的等腰三角形：、、， 则，， 连接，交于，交于， 则线段就是的最小周长，又， 根据余弦定理，. 故选：A. 9.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝2，BC＝，AC＝1，AA1＝3，F为棱AA1上的一动点，则当BF＋FC1最小时，△BFC1的面积为________． 【答案】　 【解析】将直三棱柱ABC­A1B1C1沿棱AA1展开成平面，连接BC1(图略)，与AA1的交点即为满足BF＋FC1最小时的点F，∵直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝2，BC＝，AC＝1，AA1＝3，再结合棱柱的性质，可得A1F＝AA1＝1，故AF＝2. 由图形及棱柱的性质，可得BF＝＝2， FC1＝＝，BC1＝＝2， cos∠BFC1＝＝＝－. 故sin∠BFC1＝＝， ∴△BFC1的面积为S＝×BF×FC1×sin∠BFC1 ＝×2××＝.] 【技巧点拨】本题在探求BF＋FC1最小时，采用了化曲为直的策略，将空间问题平面化，在解决空间折线段最短问题时可适当考虑其展开图． 【题型三：几何体的外接球（难点）】 ⭐【知识讲解】 球与几何体相接问题的解题思路： （1）球外接于几何体，则几何体的各顶点均在球面上.解题时要认真分析图形，一般需依据球和几何体的对称性，明确接点的位置，根据球心与几何体特殊点间的关系，确定相关的数量关系，并作出合适的截面进行求解. 　（2）长方体的对角线恰好是其外接球的一条直径，故对于一些可以补形成长方体的几何体的外接球问题，题，也可将其补形成长方体，再利用上述结论速解. 10.已知直三棱柱ABC­A1B1C1的各顶点都在以O为球心的球面上，且∠BAC＝，AA1＝BC＝2，则球O的体积为(　　) A．4π B．8π C．12π D．20π 【答案】A 【解析】在底面△ABC中，由正弦定理得底面△ABC所在的截面圆的半径为r＝＝＝， 则直三棱柱ABC­A1B1C1的外接球的半径为R＝＝， 则直三棱柱ABC­A1B1C1的外接球的体积为πR3＝4π. 故选:A. 11.在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且点为该圆台外接球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】假设圆的半径，则圆的半径可知，进而通过勾股定理可求圆台的高，分别利用圆台和球的体积计算即可. 【解析】过作圆台的轴截面，如图所示 为该圆台外接球球心，且圆的半径是圆半径的2倍， 不妨设圆的半径，则圆的半径 依题意， ，， ， 故选：D. 12.已知正三棱台的上底面边长为，高为，体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设正三棱台的下底面边长为，则其下底面积为，上底面面积为， 所以，该三棱台的体积为， 整理可得，因为，解得， 如下图，设正三棱台的上、下底面的中心分别为、， 由正三棱台的几何性质可知，外接球球心在直线上， 正的外接圆半径为，正的外接圆半径为， 设，若球心在线段上，则， 设球的半径为，则， 即，解得，不合乎题意； 所以，球心在射线上，则， ，即，解得. 所以，，故该正三棱台的外接球表面积为. 故选：D. 13．已知正四棱锥中，，若此正四棱锥的外接球为球，则侧面所在平面被球所截的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定正四棱锥的结构特征，取底面中心，由平面及已知边长求出外接球半径.接着利用等体积法，通过算出到平面的距离.然后根据球的截面性质，即截面圆半径、球心到截面距离与球半径满足，求出截面圆半径.最后根据圆面积公式算出截面面积. 【解析】根据题意，取底面的中心为，可得平面， 又因为，可得，所以正四棱锥的外接球为以为球心， 以为半径的球，设到平面的距离为，由， 可得，解得， 设侧面所在平面被球所截的圆的半径为，则， 所以，所以该截面面积为， 故选：B. 14．三棱锥中，，面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是 . 【答案】 【分析】构造长方体，求出长方体的外接球半径，最后利用体积公式即可. 【解析】如图，由题意可知，可将三棱锥补形为长宽高分别为的长方体， 且三棱锥的外接球与长方体的外接球为同一个球， 又该长方体的外接球半径为， 则球的体积是. 15．已知圆锥的底面半径，高. (1)求此圆锥的表面积； (2)若圆锥在球内，求球的表面积的最小值； (3)若一个棱长为的正方体木块可以在这个圆锥内任意转动，求的最大值. 【答案】(1);(2);(3) 【分析】（1）先求出母线长，再根据圆锥的表面积公式求解即可； （2）当球的表面积最小时，作出其轴截面，利用勾股定理求出球的半径，再根据球的表面积公式即可得解； （3）正方体的外接球在圆锥内，且与圆锥相切时最大，利用相似三角形求出正方体外接球的半径，即可得解. 【解析】（1）因为，所以母线长， 圆锥的底面圆面积为， 圆锥的侧面面积为， 则圆锥的表面积为； （2）当球的表面积最小时，其轴截面如图：    设球的半径为，在中，由勾股定理得，解得， 所以球表面积的最小值为； （3）正方体的外接球在圆锥内，且与圆锥相切时最大，      设球心为，球心在上，作于， 设球半径为，， 由得，，解得， 又，解得，即的最大值为. 【题型四：几何体的内切球（难点）】 ⭐【知识讲解】 解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面（一般作出多面体的对角面所在的截面），这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映出几何体与球的位置关系和数量关系. 15．（多选）下列立体图形中，一定有内切球的是（    ） A．正四面体 B．直三棱柱 C．正三棱台 D．正四棱锥 【答案】AD 【解析】对于A、D：任意正棱锥均有内切球，正四面体也一定有内切球，故A、D正确； 对于B：若直三棱柱有内切球，则其高等于内切球的直径，底面内切圆的半径等于内切球的半径， 即底面内切圆的半径需为直三棱柱高的一半，所以不是所有直三棱柱都符合，故B错误； 对于C：正三棱锥有内切球，而正三棱台想要有内切球，则正三棱台的高应为相应的正三棱台的内切球的直径， 故正三棱台不一定有内切球，故C错误； 故选：AD 16．已知高为 4的圆台存在内切球，其下底半径为上底半径的 4 倍，则该圆台的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助圆台轴截面及内切圆的性质，求出圆台的两底半径及母线长，进而求得表面积. 【解析】依题意，圆台的轴截面截其内切球得球的大圆，且该大圆是圆台轴截面等腰梯形的内切圆， 等腰梯形为圆台轴截面，其内切圆与梯形切于点， 其中分别为上、下底面圆心，如图， 设圆台上底半径为，则下底半径为，， 而等腰梯形的高，因此，解得， 所以该圆台的表面积为. 故选：D 17．如图，在棱长为的正方体内有两个球相外切，两球又分别与正方体内切，则两球体积之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】做出对角面，设两球半径分别为，过分别作的垂线，垂足分别为，结合求得，再结合体积公式即可求解. 【解析】如图，设两球半径分别为，球心和在正方体体对角线上， 过分别作的垂线，垂足分别为， 由图可得 即 ，所以， 故两球体积之和为 由二次函数性质可知： 当且仅当时，有最小值． 故选：A 所以四棱锥外接球表面积为. 故选：D. 18．在三棱锥中，底面正三角形的边长为，侧棱长为，若球与三棱锥内切，则该三棱锥的内切球的表面积为 【答案】 【分析】设球的半径为，的外接圆的圆心为，的中点为，连接，由已知条件求出，然后根据可求出，从而可求出三棱锥的内切球的表面积. 【解析】由题意得， 设球的半径为，的外接圆的圆心为，的中点为， 连接，则点在上，且， ， 因为平面，平面，所以， 所以， ， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，解得， 所以三棱锥的内切球的表面积为 . 19．如图1，与三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆．设O是△ABC的内切圆圆心，r是△ABC的内切圆半径，设S是△ABC的面积，l是△ABC的周长，由等面积法，可以得到． (1)与三棱锥的四个面都相切的球叫做三棱锥的内切球．设三棱锥的体积是V，表面积是S，请用类比推理思想，写出三棱锥的内切球的半径公式R内（只写结论即可，不必写推理过程）； (2)若多面体的所有顶点都在同一球上，则该球为多面体的外接球，如图2，在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA = PB = PC = 1，求三棱锥P－ABC的内切球半径和外接球的半径． 【答案】(1)R内；(2)内切球的半径，外接球半径． 【解析】（1）解题方法类比：三角形内切圆半径的求法是利用等面积法，那么三棱锥内切球半径的求法是等体积法. 设三棱锥的内切球的球心为，半径为，三棱锥的体积为，表面积为， 则， ， 所以. 所以三棱锥的内切球的半径公式R内． （2）因为PA，PB，PC两两垂直，PA = PB = PC = 1，所以△PAB的面积为 ， 于是，三棱锥P－ABC的体积为， 三棱锥P－ABC的表面积为， 所以，由（1）中的公式可得三棱锥的内切球的半径， 将三棱锥补形成正方体，如图： 则三棱锥与正方体共外接球， 则球的直径是长方体的对角线，所以. 【题型一：数学文化题（高频）】 1．《九章算术》是中国古代的一部重要数学著作，成书于公元一世纪左右，书中商功章记载有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高三丈，问积几何？”．大致意思是：现有一个圆台，下底面圆的周长为3丈，上底面圆的周长为2丈，高为3丈，则它的体积是（   ）立方丈． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，下底半径丈，上底半径丈，高丈， 所以它的体积（立方丈）. 故选：D 2．亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀．重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥以及一个圆台（图2）的组合体．已知某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图3所示，则该圆台部分的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆台的上底圆直径为3，上底圆直径为4.6，高为0.6， 过点作，垂足分别为， 故，故， 故该圆台部分的侧面积为. 故选：B 3．清乾隆云龙纹双螭龙耳方形炉摆件，是乾隆时期玉雕工艺的杰出代表．它玉质细腻，古韵十足，线条流畅，造型规整，雕刻着精美的云龙纹与螭龙耳，底部落“乾隆年制”款，尽显皇家气派．这件方形炉摆件可近似看作台体，高约，上底面与下底面为相似长方形，上底面的长约，宽约，若下底面的长和宽均为上底面长和宽的0.8倍，则该方形炉摆件主体体积约为（   ） （参考数据：，结果保留一位小数） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，上底面面积， 下底面的长为，宽为， 下底面面积，高． 所以由台体的体积公式， 可得 ， 故选：A． 4．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧.若在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则根据测得的球体高度可计算出球体建筑物的体积为 . 【答案】 【分析】根据题意作出截面图，设球的半径为，根据直角三角形的性质得，，利用列式，化切为弦利用辅助角公式求得，代入球的体积公式即可求解. 【解析】如图， 设球的半径为，，， ，， ，即该球体建筑物的体积为. 【题型二：新定义题（难点）】 5．从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断、不重复地画完所有棱的画法称为“一笔画”．下列几何体可以“一笔画”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一笔画的要求，先找到都是偶点的图形，一定可以一笔画，再验证奇点的图形是否符合一笔画的条件. 【解析】从一顶点出发的边数为双数的顶点叫偶点，凡是偶点组成的图形一定可以一笔画，所以C 选项正确; 从一顶点出发的边数为单数的顶点叫奇点，凡是奇点组成的图形，必须满足只有两个奇点，其余点为偶点才可以一笔画， 而ABD选项图形中，每个点都是奇点，所以不能一笔画. 故选：C 6．等腰四面体是一种特殊的三棱锥，它的三组对棱分别相等.已知一个长方体的体积为12，则用长方体其中的四个顶点构成的等腰四面体的体积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】如图所示，等腰四面体的体积等于长方体体积减去四个三棱锥的体积. 设长方体长，宽，高分别为， 则等腰四面体的体积. 故选：B. 7．多面体的欧拉定理：简单多面体的顶点数、棱数与面数满足的数学关系.请运用欧拉定理解决以下问题： (1)碳的分子结构是一个由正五边形面和正六边形面共32个面构成的凸多面体，60个碳原子处于多面体的60个顶点位置，求32个面中正六边形面的个数； (2)规定：多面体在顶点处的曲率等于与多面体在该点的所有面角之和的差（多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小，用弧度制表示），多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正方体在每个顶点有个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为，故其总曲率为.证明：任何简单多面体的总曲率是常数； (3)如果一个正多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体叫做正多面体.设某个正多面体每个顶点聚集的棱的条数为，每个面的边数为，求满足的关系式；并据此说明正多面体仅有以下五种：正四面体、正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体. 【答案】(1)20；(2)证明见解析；(3)答案见解析 【分析】（1）由已知，正五边形的个数为，正六边形的个数为，则，解出即可； （2）设多面体有个面，给组成多面体的多边形编号，分别为号，得到多面体的顶点数，进而得所有多边形内角之和，算出总曲率为常数，即可证明； （3）由题意得，代入，可得，因此，又，列出分别说明，即得答案. 【解析】（1）由题意可知，，由可得， 设正五边形的个数为，正六边形的个数为，则， 因为一条棱连着两个面，所以足球烯表面的棱数， 联立，解得，即32个面中正六边形面的个数是20. （2）设多面体有个面，给组成多面体的多边形编号，分别为号， 设第号 多边形有 条边，多面体有条棱， 由题意，多面体共有个顶点， 号多边形内角之和，所有多边形内角之和， 故总曲率为. 则任何简单多面体的总曲率是常数； （3）由某个正多面体每个顶点聚集的棱的条数为，每个面的边数为，可知， 于是，将其代入， 所以，所以， 因此，又， 故所有五组正整数解为：， 当时，，则，此时正多面体为正四面体， 当时，，则，此时正多面体为正六面体， 当时，，则，此时正多面体为正十二面体， 当时，，则，此时正多面体为正八面体， 当时，，则，此时正多面体为正二十面体， 所以正多面体仅有正四面体、正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体共五种. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$