暑假作业14 重难专题04：几何体的外接球、内切球、棱切球的十四大热点题型（巩固培优,5知识14题型巩固提升+能力培优+创新拓展）高一数学人教A版

**基本信息** 以“概念-公式-模型”为逻辑链，系统构建外接球（10模型）、内切球（等体积法）、棱切球（对称性质）的十四大题型方法体系，通过补形、构造直角三角形等技巧实现解题迁移，培养空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |外接球|10题型（含正方体、墙角等模型）|补形法、勾股定理、正弦定理|从定义到6类速算公式，通过10模型实现几何体与球的位置关系转化| |内切球|1题型|等体积法、截面构造|由定义推导半径公式，聚焦棱锥、圆台等几何体的体积与表面积关系| |棱切球|1题型|坐标法、对称分析|结合正方体、正四面体的对称性，推导球心到棱距离公式| |综合|2题型（最值、多球相切）|函数法、几何转化|整合外接/内切球性质，解决动态与多球组合问题|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业14 重难专题04:几何体的外接球、内切球、棱切球的十四大热点题型 【知识点1 几何体的外接球】 1.几何体外接球的概念 （1）若多面体的所有顶点都在一个球面上，则该球叫作该几何体的外接球； （2）若旋转体的顶点在球面上，底面圆恰好为球的截面圆，则该球叫作该旋转体的外接球. 2．常见几何体外接球半径R的速算公式 模型 速算公式 关键数据 长方体模型 R= 长方体的长宽高、、. 直棱柱模型 棱柱的高，底面外接圆半径. 正棱锥模型 棱柱的高，底面外接圆半径. 正棱台模型 棱柱的高，上底面外接圆半径， 下底面外接圆半径，外接圆圆心到上底面的距离. 面面垂直模型 两个面所在图形的外接圆半径、，两个图形的交线长度. 二面角模型 为两个图形的交线长度，、为两个图形的外接圆圆心到交线的距离，为两个平面的夹角. 【知识点2 几何体的内切球】 1.几何体内切球的概念 内切球是指与几何体的所有面（或侧面及底面）都相切的球，其球心到每个面的距离等于球的半径. 2.内切球半径的求解 作出截面的平面示意图之后，利用等面积法或三角函数的定义构造方程进行求解. 3.常见几何体的内切球半径r的速算公式： (1)棱长为的正方体： (2)棱长为的正四面体：; (3)体积为，表面积为的棱锥：; (4)底面半径为，高为，母线长为（）的圆锥：r=. 【知识点3 多面体的棱切球】 1.多面体的棱切球的概念 若一个多面体的各条棱都与一个球相切，则称该球为该多面体棱切球 【注意】旋转体没有棱切球. 2.正方体的棱切球 设正方体的棱长为a,则正方体的棱切球的直径2r=，此时正方体各面的对角线长恰好与其棱切球的直径相等. 【知识点5 与球有关的一些拓展性结论（拓展）】 1.外接球的有关知识与方法 (1)外接球的性质： 性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等； 性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆； 性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）； 性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心； 性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）. (2)有关结论： 结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心； 结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同； 结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆； 结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处； 结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径； 结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球； 结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上； 结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径； 结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球. (3)终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）； 2.内切球的有关知识与方法 （1）有关结论 结论1：若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）. 结论2：内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）. 结论3：正多面体的内切球和外接球的球心重合. 结论4：正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合. （2）基本方法： （i）构造三角形利用相似比和勾股定理； （ii）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）. 【题型1 外接球之正方体、长方体模型】 正方体、长方体的外接球模型： 1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半. 1．（25-26高一下·黑龙江鸡西·期中）棱长为1的正方体的外接球半径为（     ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】正方体外接球的球心为正方体的中心，外接球的直径与正方体的体对角线长度相等， 设正方体棱长为，正方体的体对角线长度为： 设外接球半径为，则，解得，即棱长为1的正方体的外接球半径为. 2．正方体的表面积为96，则正方体外接球的表面积为 【答案】 【解析】设正方体的棱长为，因为正方体的表面积为，可得，解得， 则正方体的对角线长为， 设正方体的外接球的半径为，可得，解得， 所以外接球的表面积为. 故答案为：. 3．长方体的外接球的表面积为，，，则长方体的体积为 . 【答案】 【解析】因为长方体的外接球的表面积为， 设球的半径为，由题意，，， 长方体的外接球的一条直径为. 因为，，所以，， 则长方体的体积为. 故答案为： 【题型2 外接球之正四面体模型】 正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如下图所示． 1．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，将正四面体补成一个正方体，则正四面体的外接球与正方体的外接球相同， 设正四面体的棱长为，则正方体的棱长为，外接球的半径为， 由，解得， 所以正四面体的棱长为. 2．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）已知棱长为1的正四面体的中心为，若球的球面与正四面体的棱有公共点，则球的半径的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由棱长为1的正四面体可以构造出棱长为的正方体，如图所示， 可知棱长为1的正四面体的外接球和棱长为的正方体的外接球相同， 设正四面体的外接球半径为， 则，所以． 由图可知与正四面体的各棱相切的球即为正方体的内切球， 设与正四面体的各棱相切的球半径为， 则． 因为球的球面与正四面体的棱有公共点， 所以球的半径满足， 即球的半径的取值范围是． 【题型3 外接球之墙角模型】 对于墙角模型，其三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出. 1．（24-25高二下·四川德阳·期末）已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，，，则三棱锥外接球的体积为（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可以将其补成一个长方体，该三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球，外接球的直径等于长方体的体对角线长度. 已知，，则长方体的体对角线 ， 因此，外接球半径. 球的体积 2．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知四面体的4个顶点都在球的表面上，若平面，，，，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知平面，平面， 因此, 又因为，可得两两互相垂直， 将四面体补成一个三条棱长度分别为、、的长方体， 四面体的外接球与长方体的外接球完全重合，外接球的直径等于长方体的体对角线长度， 设外接球的半径为，所以， 进而求得球的表面积. 3.（2026高三·全国·专题练习）已知三棱锥的三条棱，，两两垂直，且，则该三棱锥的外接球体积为 ． 【答案】 【解析】将三棱锥补形为棱长为的正方体如图所示，可知三棱锥与正方体的外接球相同， 其半径是正方体的体对角线长的一半，为，所以球的体积为. 【题型4 外接球之对棱相等模型】 若三棱锥的对棱两两相等，则每条对棱为长方体的面对角线，如图，则外接球直径公式为（其中为三组对棱的长度） 1．（25-26高一下·河北衡水·阶段检测）在三棱锥中，，其余棱长均为3，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将三棱锥补形成长方体，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，    则，可得， 则球的半径为，所以球的表面积为. 2.（2026高三·全国·专题练习）在四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，该四面体的各顶点恰好是一个长方体的四个顶点，每条棱为长方体各面的对角线， 设这个长方体各棱长分别为，则有， 各式相加得， 设外接球半径为，则有， 外接球表面积. 故选：C． 3.（2026·河南许昌·开学检测）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设四面体的外接球的半径为, 则四面体在一个长宽高为的长方体中，如图， 则 故， 故四面体ABCD外接球的体积为， 故选：C 【题型5 外接球之汉堡模型(直棱柱、圆柱的外接球）】 汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球） 题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出. 1.已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，则该三棱柱的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设的外心为，的外心为，连接，如图所示， 由题意可得该三棱柱的外接球的球心为的中点． 在中，由余弦定理可得 ，则， 由正弦定理可得外接圆的直径，则， 而球心O到截面ABC的距离， 设直三棱柱的外接球半径为， 由球的截面性质可得，故， 所以该三棱柱的外接球的体积为， 故选：B． 2．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）一个正六棱柱的底面边长为，侧棱长为，其所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作出六棱柱的最大对角面与外接球的截面，如下图， 则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边， 设球心为，正六棱柱的上下底面中心分别为， 则球心是的中点， 由正六棱柱底面边长为，侧棱长为， 所以中，， 可得， 因此，该球的体积为. 3．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知在直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的体积为______. 【答案】 【解析】设底面三角形外接圆圆心，则，即， 设该三棱柱外接球球心为，则且， 由底面，且底面，故， 即， 则该三棱柱外接球的体积为. 4．（25-26高一下·广西百色·期中）已知一个圆柱的底面半径为3，高为8，则该圆柱的外接球的表面积等于________. 【答案】 【解析】圆柱的外接球的球心为圆柱上下底面圆心连线的中点，设外接球的半径为，已知圆柱底面半径，高， 球心到下底面圆周上任意一点的距离即为外接球半径，由勾股定理可得： ， 根据球的表面积公式，代入得： ，即该圆柱的外接球的表面积为 【题型6 外接球之切瓜模型(垂面模型）】 切瓜模型也称垂面模型，其特点是三棱锥的某个面和底面垂直，如下图所示： 方法一：垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝， ． 　　　　　 方法二：1.题设：如图5，平面，求外接球半径. 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②. 1．已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，将三棱锥补成三棱柱，点与重合， 正三棱柱外接球也为三棱锥的外接球，令球心为，半径为， 记和外接圆的圆心分别为和，其半径为， 由正弦定理得：，而为的中点，则， 所以该三棱锥的外接球的体积为. 故选：A 2.（25-26高二上·贵州遵义·期中）四面体中，平面，，，，则该四面体的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，圆为的外接圆，过作直线平面， 又平面，则，连接，与球交于点，连接，与直线的交点为球心，则，则， 在中，由正弦定理得，即， 所以该四面体的外接球的半径, 所以外接球的表面积. 故选：C. 3.（25-26高二上·贵州遵义·月考）在三棱锥中，平面ABC，，，，则三棱锥的外接球的体积为______. 【答案】 【解析】， . 由正弦定理可知，的外接圆的直径，因此半径. 平面， 该三棱锥的外接球的半径， 则三棱锥的外接球的体积. 【题型7 外接球之斗笠模型（锥体模型）】 圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥．秒杀公式：R＝(其中h为几何体的高，r为几何体的底面半径或底面外接圆的圆心) 1．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）已知圆锥的轴截面是面积为的正三角形，则该圆锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为圆锥的轴截面是面积为的正三角形，所以圆锥底面圆的半径，圆锥的高， 因为，所以圆锥外接球的球心在线段上，如图， 设圆锥外接球的半径为，在中，， 所以，解得， 所以该圆锥的外接球的体积为. 2．（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知圆锥的体积为，侧面展开图扇形的圆心角为，则该圆锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆锥底面半径为，母线长为，高为，侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长， 故，则，解得， 圆锥的高， 则，解得，故，， 圆锥外接球的球心在圆锥的高线上，设外接球半径为， 则，展开整理得， 外接球的表面积为：． 3．（25-26高三下·四川泸州·开学考试）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆锥的底面圆半径为，母线长为，高为，则， 由题意得，，即，解得， ∴， 设该圆锥的外接球的半径为，显然球心位于圆锥高所在直线上， 由球的性质可知，， 解得，所以该圆锥的外接球的表面积为. 4．（2026·全国二卷·高考真题）已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 【答案】 【解析】由球的体积公式，，解得， 设的外心为，连接， 由题意知为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心在上， 不妨设在线段上，连接， 设的边长为，由正弦定理可得，， 再设，由题知，， 解得（负值表示球心在线段的延长线上，实际情况如右图）， 所以， 由三角形面积公式，. 【题型8 外接球之折叠模型（鳄鱼模型）】 题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6) 第一步：先画出如图6所示的图形，将画在小圆上，找出和的外心和； 第二步：过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接； 第三步：解，算出，在中，勾股定理： 注：易知四点共面且四点共圆，证略. 附：秒杀公式：鳄鱼模型可用找球心法可以解决．如果已知其中两个面的二面角，则可用秒杀公式：R2＝＋(其中l＝|AB|)解决． 1．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）在平行四边形ABCD中，，现将沿折起，使二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以和均是腰长为的等腰直角三角形， 将其补充为如图1所示的长方形，将沿折起，则是二面角的平面角， 折起后得到如图2所示的上下底面是边长为的等边三角形的直三棱柱， 且该三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球， 设外接圆的半径为，则，所以， 又三棱柱的高为，所以三棱柱外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积为. 2．（25-26高一下·辽宁大连·阶段检测）已知菱形的边长为，．将沿对角折起，折起后，两点的距离为，则折起后所得三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知菱形边长为，， 可得，折叠后， 因此三棱锥的所有棱长均为，即该三棱锥是正四面体. 设的外接圆圆心为，连接,则平面,三棱锥的外接球球心必在上， 连接并延长交于，则为中点，则， 则, 设三棱锥的外接球半径为，由，得， 解得，所以外接球的表面积. 3.（2026高三·全国·专题练习）在边长为4的等边三角形中，是的中点，将沿中线折起，得到三棱锥，若二面角的大小为120°，则三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，设的中点分别为，连接， 则，，因为等边三角形中，是的中点，将沿中线折起， 所以，进而，所以为二面角的平面角，故． 因为，都是直角三角形，记三棱锥外接球的球心为，连接， 因为为的中点，则， 又，，所以平面，所以， 又，，所以平面，所以， 同理得， 由，可知，且，所以平分， 因为，，所以，在中，，， 所以，即三棱锥外接球半径为． 所以所求体积为． 故选：C. 【题型9 外接球之共斜边拼接模型】 两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型 题设：如图7，，求三棱锥外接球半径（分析：取公共的斜边的中点，连接，则，为三棱锥外接球球心，然后在中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值. 1．已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，，则，所以， 又因为，，，则，所以， 由，，，则,所以， 又由，，，则，所以， 可得为三棱锥的外接球的直径， 又由， 所以此三棱锥的外接球半径为， 所以球的表面积为. 故选：C.    2．将一边长为2的正方形沿对角线折起，若顶点落在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令正方形对角线与的交点为，如图所示： 由正方形中，, 则，那么, 将正方形沿对角线折起，如图所示：    则点为三棱锥的外接球的球心，且半径为， 故外接球的表面积为. 故选：D 3.（25-26高三上·贵州铜仁·期末）已知矩形中，，将沿折起至，使二面角是直二面角，则三棱锥的外接球的表面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由题意得，. 记矩形的对角线与交于点，则翻折过程中点到四点的距离不变， 即点是三棱锥外接球的球心，所以三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥的外接球的表面积. 故选：A. 【题型10 外接球之台体模型】 求解策略如下： 1. 1.找上下底面外圆圆心，连线为台体中轴线，外接球球心在该线上. 2. 2.设球心距下底面高为h，球半径R，上下底外接圆半径分别为r1，r2，台高H. 3. 3.由球心到两底面顶点距离均为R列方程：R2=+h2=​+(H−h)2，解h再求R. 4. 4.特殊台体可补形为棱锥、圆锥，利用原锥体外接球简化计算. 1．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意可知，圆台上底面面积为，下底面面积为， 设圆台的高为，由体积可得， 解得， 圆台的轴截面如下：上底面圆心为，下底面圆心为，设球心在直线上，连接， 设，则， 则该圆台的外接球半径为， 由勾股定理可得：，解得，所以， 则该圆台的外接球表面积为. 故选：C. 2．（25-26高二下·贵州·阶段检测）在正三棱台中，，，则该正三棱台外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设正的中心为，正的中心为，外接球的球心为，半径为， 球心到底面的距离为，过作，垂足为，如图所示； 棱台为正三棱台，，， ，； ，. ，在中，. 在和中， ，解得. ； . 3．（25-26高一下·全国·期末）在高为的正四棱台中，，，则此四棱台的外接球的表面积为______. 【答案】 【解析】如图，正四棱台中，、分别是上、下底面对角线交点， 即上、下底面中心，是正四棱台的高，． ，， 由对称性外接球球心在直线上，设球半径为，连接， 则，， 若在线段上（如图），由得， 因为，，所以方程无实数解； 因此在的延长线上（如图），即在平面下方， 因此有，解得， 所以球表面积为． 4．（23-24高三上·广东佛山·阶段检测）如图，圆台的上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，若圆台的外接球（上下底面圆在同一球面上）的表面积为且其球心在线段上．则圆台的体积为______．    【答案】 【解析】设圆台的高为，球心到圆台上底面的距离为，球的半径为， 因为球的表面积为，所以，解得， 又因为球的球心在圆台的轴上，可得，解得， 所以圆台的体积为.    【题型11 多面体的内切球】 1.解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面（一般作出多面体的对角面所在的截面），这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映出几何体与球的位置关系和数量关系 2.内切球球心到多面体各面的距离均相等，故可用等体积法，如锥体内切球半径. 1．（24-25高一下·福建龙岩·期末）已知球O内切于圆台EF，其轴截面如图所示，四边形ABCD为等腰梯形，，且，则圆台EF的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据圆和等腰梯形的对称性知道，分别为上下底的中点. 连接，则，过于.四边形为矩形． 由于,则，则. 由切线的性质知道. 则. ，． 代入计算可得，. 故选：D.    2．（2024·江苏宿迁·三模）若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设球的体积为，该四棱锥的体积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，取中点，中点，连接，，， 因是正三角形，则，又是矩形，有， 而平面平面，平面平面，平面，平面， 因此平面，平面， 又，则平面，平面，则，， ，平面，则平面，又平面， 所以，而，则，显然， 由球的对称性和正四棱锥的特征知，平面截四棱锥的内切球得截面大圆， 此圆是的内切圆，切，分别于，，有四边形为正方形， 设，又，，则球的半径， 又四棱锥的表面积为， 由得： ， 即， 故即，解得， 故， ，， 所以. 故选：C. 3．（25-26高二上·浙江杭州·期中）四面体ABCD中，，则该四面体的内切球（与四个面相切）与外接球半径长度的比值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由题意可知，底面为等边三角形，设点在底面的投影为， 则, 设外接球的球心为，则在上，设外接球的半径为， 在中，， 设，则，解得， 所以，所以， 又，则， 设内切球的半径为，四面体的表面积为， 且是全等的等腰三角形， 腰长为，底边长为，则高为， 所以， 则，即，解得， 则. 故选：B 4．（24-25高一下·江苏连云港·阶段检测）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的表面积为______，三棱锥的内切球的体积为______． 【答案】 27 【解析】因为，，，在中，， 所以，又平面，所以， 因为平面，，，平面，所以，，， 故，又，，所以平面， 又平面，所以，所以，，，均为直角三角形， 设三棱锥的内切球的球心为，半径为，则， 即， 解得，故三棱锥的内切球的体积为． 5．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）如图，已知三棱锥和三棱锥均为正三棱锥，其中，，则其内部能放入的最大的球的半径________．    【答案】 【解析】取的中心O，连接DO，EO，则DO，EO即分别为两个正三棱锥的高，易知D，O，E三点共线，连接AO，延长后与BC相交于点M，则为中点，   ，，， ，，， 该几何体内部能放入的最大的球为该几何体的内切球，其半径为， 由题意可得：， 又， 则， 由等体积法可知：，所以可得． 【题型12 多面体的棱切球】 棱切球是指球面与几何体的每一条棱都相切（恰好接触于一点），球心到所有棱的距离相等，该距离即为半径. 常见的棱切球存在于高度对称的几何体中，如正方体和正四面体. (1)对于正方体（棱长），棱切球球心仍为体心，半径为球心到棱中点的距离，即面对角线的一半：. (2)对于正四面体（棱长），棱切球球心与外接球、内切球球心重合（均为正四面体的中心），半径为球心到棱中点的距离，可推导得. (3)一般多面体的棱切球问题，常用坐标法：建立空间直角坐标系，设球心，半径，利用球心到每条棱所在直线的距离等于R列方程.点到直线的距离公式（向量法）可避免求垂足.若几何体对称性高，也可通过几何分析：棱切球球心必在对称中心，计算球心到任一棱中点的距离即可.注意：棱切球不一定存在，只有各棱到某定点等距时才存在. 1．（25-26高一下·河南·期末）已知球与正四棱锥的四条侧棱和底面均相切，若，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】   如图所示，为底面的中心，由图形的对称性可知球的球心在线段上， 因，则，， 在中，如图作于点，      设球的半径为，则，， 易得与相似，则，即，解得， 因此，球的表面积为. 2.（2026·浙江杭州·一模）已知球与棱长均为3的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为 . 【答案】 【解析】可采用补体的方法，先画一个正方体， 正方体的棱长为322，那么正方体的面对角线为3， 取四点构成棱长为3的三棱锥，若与三棱锥的各棱均相切，即与正方体的各面相切， 所以正方体的内切球就是所求的球，球的半径为棱长的一半，即342， 这样球的表面积为S=4πR2=4π×(342)2=92π. 故答案为：92π 3.（2026·抚州·一模）已知三棱锥的棱长均为，则与其各条棱都相切的球的体积为 . 【答案】 【解析】将三棱锥补全为正方体，如下图所示： 则正方体的内切球即为与三棱锥各条棱均相切的球， 设正方体棱长为，则，解得：， 所求的球的半径，球的体积. 故答案为：. 4．（25-26高一下·吉林四平·期中）一气球（近似看成球体）在不变形的前提下放在由长为a的12根木条搭成的正方体中，该气球表面积的最大值是______． 【答案】 【解析】气球充气且尽可能地膨胀（仍保持为球的形状）， 由题意与棱长为a的正方体相切于棱中点时，球的半径最大，即表面积最大， 此时球的半径就是正方体底面对角线长的一半， 因为正方体的棱长为a，所以正方体底面对角线的长为， 设球的半径为，即，则，所以球的表面积为. 【题型13 与球有关的最值问题】 这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：函数法，基本不等式法，观察法等. 1．（25-26高二上·云南文山·期末）已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，由长方体的体积为16可得： ，即， 长方体外接球的半径为， 所以， 当且仅当“”时取等，所以， 当，长方体外接球表面积的最小值为. 故选：C. 2．（2026·山东聊城·模拟预测）已知三棱锥的顶点均在球的球面上，且球心在棱上，若球的表面积为，则三棱锥的体积最大值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】设球的半径为， 则有，解得， 又因为球心在棱上， 所以为直径且， 所以为直角三角形，且, 要使棱锥的体积最大， 则的面积最大，且点到平面的距离也要最大， 当平面时，最大，此时, 又, 当且仅当时，等号成立； 设三棱锥的体积为， 所以， 所以. 3．（多选）（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）在长方体中，，，，E为棱上一点，则（   ） A．该长方体是一个正四棱柱 B．长方体的外接球的表面积为 C．四棱锥的体积为24 D．的最小值为 【答案】ABD 【解析】对于A，由题意得面和面都是正方形，所以该长方体是一个正四棱柱，故A正确； 对于B，长方体的外接球的直径，所以外接球的表面积为，故B正确； 对于C，过作于， 由等面积法得， 因为平面平面，平面平面，平面, 所以平面，所以为四棱锥的高， 又，所以，故C错误； 对于D，将平面展开至与平面共面，得到如图的矩形， 所以， 所以的最小值为，故D正确． 4．（25-26高一下·河北唐山·期中）已知三棱锥中三组相对的棱长分别相等，长度分别为，，，其中，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为________. 【答案】 【解析】由题设知，三棱锥的四个顶点是一个长方体的四个顶点，如图． 因三棱锥中三组相对应的棱长分别相等， 长度分别为，，， 故该长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为， 且三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 故外接球的直径长为长方体的体对角线长，设外接球半径为， 则三棱锥的外接球表面积为， 因，则，当且仅当时等号成立． 此时，，即时，. 【题型14 多球相切问题】 核心思路：将球心连线转化为几何体的顶点利用几何体的边长与角度关系求解 常见模型： (1)两球相切：球心距等于半径之和（外切）或半径之差（内切）. (2)三球两两相切：球心构成三角形边长为半径之和利用余弦定理求角度. (3)四球外切：球心构成正四面体利用正四面体的外接球模型求大球半径. 关键步骤：先确定各球心的位置关系再将三维问题转化为平面或立体几何问题. 1．（25-26高一下·山东济南·期中）如图，在正四面体中，放置1大、4小共个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则个球的体积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在正四面体中，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，延长线交于，连接， 则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，， 由正四面体的体积为，得，解得， 由，解得， 则，最大球半径， 因此最大球的体积为； 小球也可看作一个小的正四面体的内切球，则小正四面体的高， 因此最小球半径， 因此最小球的体积为，所以5个球的体积之和为. 2.（25-26高三下·湖北孝感·阶段检测）如图是某零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体的棱长为，则模型中九个球的表面积的和为（    ） A．6π B．9π C． D．21π 【答案】B 【解析】如图所示正四面体，设棱长为，高为， 为正四面体内切球的球心，延长AO交底面BCD于， 是等边三角形BCD的中心，过作交CD于，连接BF， 根据对称性，BF过点E， 则OE为正四面体内切球的半径， 正中，高，而，， 同理，所以， 所以， 解得，所以正四面体ABCD内切球的表面积为， 由图可知最大球内切于高的正四面体中， 最大球半径，故最大球表面积为， 进一步，可知中等球内切于高的正四面体中， 中等球半径，故中等球的表面积为， 最小球内切于高的正四面体中， 最小球半径，故最小球的表面积为， 所以九个球的表面积之和为． 3．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）水平桌面上放置三个半径均为的小球，它们两两相切且都与桌面相切，在这三个小球的上方放置一个半径为的小球，使得这四个小球两两相切，则上面的小球的最高点到桌面的距离为______． 【答案】/ 【解析】因为三个小球的半径均为，它们两两相切且都与桌面相切， 所以任意两个球心的距离为，则三个球心构成边长为的正三角形. 设正三角形的外接圆半径为，则. 设上方小球的半径为，即，它与下方任意一个小球的球心距为， 设上方小球的球心到下方三个球心所在平面的距离为h， 则， 又因为下方小球的球心到桌面的距离为， 所以上方小球的球心到桌面的距离为， 则上面的小球的最高点到桌面的距离为. 1．（2026·山东聊城·三模）上海某会议中心是一个外形为圆锥体的建筑，其造型被赋予了“精益求精、追求卓越”的象征意义．已知一个该建筑物模型的底面半径为，侧面积为，则该圆锥形模型的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆锥的母线长为，则，则, 所以圆锥的高, 由于圆锥的轴截面为等腰三角形，其面积，周长, 所以轴截面等腰三角形内切圆的半径, 故该圆锥形模型的内切球的半径为 2．（25-26高一下·河北石家庄·阶段检测）正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，该三棱锥内切球表面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】正三棱锥的顶点 在底面的投影为底面中心 ，侧棱长 ， , 则， 侧面为全等的等腰三角形，斜高， 正三棱锥的表面积 ， 正三棱锥的体积， 设正三棱锥的内切球半径为， 由三棱锥体积公式，得 ，解得， 所以.    3.（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆台的上、下底面半径分别为，半径为3的球与圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【解析】如图，设内切球的半径为，圆台上、下底面的圆心分别为，，则圆台内切球的球心一定在的中点处. 设球与母线切于点，则，所以，，同理，圆台的母线长为. 又，所以，解得. 由，得，所以，，.    4（2026·云南·三模）将边长为2的正方形沿对角线翻折，得到三棱锥，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知，将沿直线翻折到平面平面时， 三棱锥的体积最大，取的中点，连接,则， 且平面，， 所以三棱锥的体积为：. 由和均为直角三角形，和均为正三角形， ，， 所以三棱锥的表面积. 设三棱锥内切球半径为. 由，得，解得. 5．（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知一个半径为的球内含于一个封闭的圆锥，该圆锥的侧面展开图是一个面积为的扇形，则的所有可能取值中最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆锥母线长为，底面半径为，高为， 因为圆锥的侧面展开图是一个面积为的扇形， 所以，得，，， 最大时，球为圆锥的内切球，此时圆锥的轴截面如图： ，即， 将代入化简得：， 因为，所以，，令，， 则，设，则， ， 因为，当且仅当时等号成立， 所以， 6．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）在正三棱柱中，，以为球心，为半径的球与侧面相交于曲线，则曲线的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为正三棱柱的底面是边长为2的正三角形，取的中点， 连接，则；又侧棱底面，所以，， 所以平面，所以为截面圆的圆心，且. 设侧面截球所得的小圆半径为，由球的截面性质， 得. 设球与三棱柱的棱的交点分别为，因为为截面圆的圆心， 根据对称性，则， 所以， 所以曲线为以点为圆心，圆心角为，半径的圆弧， 则弧长为，所以曲线的长度为. 7．（25-26高一下·吉林长春·期中）如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积为，则5个球的表面积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，在正四面体中，设棱长为，高为， 为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形 的中心，延长线交于， 连接，则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，，，， 由正四面体的体积为，得 ，解得 ， 正四面体的高，内切球半径满足，代入： ，则. 正四面体顶点到大球球心的距离为， 顶点到小球球心（小球和三个面切，满足顶点到小球球心距离为），两球外切，球心距为， 因此：，整理得，得. 由总表面积为大球表面积加4个小球表面积可得： . 8．(多选）（2026·湖北十堰·模拟预测）将一个棱长为2的正方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，得到一个几何体．则（   ） A．该几何体的体积为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的外接球半径为 D．该几何体有7个面 【答案】ACD 【解析】正方体的体积，截去三棱锥体积， 几何体，故A正确； 正方体的表面积， 截去3个直角三角形面积， 新增1个边长为的正三角形面积为， 该几何体的表面积为，故B错误； 该几何体与原正方体外接球相同，正方体外接球直径为， 解得，故C正确； 正方体有6个面，截去一个角后，每个截面多出一条边，整体新增1个面，共7个面， 故D正确． 9．(多选）（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）如图1，在边长为2的正方形中，E、F分别为、中点，若沿、及把这个正方形折成一个四面体，使得B、C、D三点重合于S，得到四面体（图2），H为的中点，G为中点．下列结论错误的是（） A． B．直线与平面所成角的正切值为 C．四面体的内切球表面积为 D．过点G的平面截四面体的外接球所得截面圆面积取值范围是 【答案】C 【解析】选项A，由题意得 又，面，面，所以面， 又面，A正确. 选项B，是中点，连接， 面，就是线面角； ，， ，B正确. 选项C，四面体体积： 表面积，， ， 内切球半径： 内切球表面积，C错误. 选项D，该四面体外接球等价于以为长宽高的长方体外接球， ； 是中点，，球心到距离 截面最小圆：截面，， 截面最大圆：过球心，， 截面面积，D正确. 10.（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知球O是棱长为1的正方体的外接球,则平面截球O的截面面积是________. 【答案】 【解析】 如图，由正方体与球的性质可知， 正方体的对角线即为球的直径，且平面， 正方体的边长为，则, 即截面的半径为，所以截面圆的面积为：， 11．（25-26高三下·山东日照·阶段检测）已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则其内切球的表面积为________． 【答案】 【解析】正六棱锥底面是正六边形，底面外接圆半径等于底面边长，即底面中心到底面顶点距离为2， 设顶点为，为棱锥的高，由侧棱长， 由勾股定理得， 底面正六边形的边心距（中心到边的距离）， 斜高（侧面等腰三角形的高） . 底面积：，侧面积：. 总表面积， 棱锥体积， 由棱锥内切球性质得 . 内切球表面积. 12．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）有一个正四棱台形状的封闭储物盒，其上、下底面面积分别为4和64，侧面梯形的高为6，若一个正方体可以在盒内任意旋转，则该正方体的棱长的最大值为_________． 【答案】 【解析】 将正四棱台的四条侧棱延长交于一点，形成一个正四棱锥，作出截面（如图） 正四棱台的上、下底面为正方形，且上、下底面面积分别为4和64， 则上底边长为2，下底边长为8.即. 侧面梯形的高为6,则，所以棱台的高. 若一个正方体可以在盒内任意旋转,则正方体的外接球直径不超过正四棱台内切球的直径. 当内切球与棱台的上、下底面相切时，内切球半径； 当内切球与棱台的侧面相切时（如图），假设 由，则， 即，得,则，. 又，，即，解得 ，正四棱台内切球的半径,即正方体外接球半径. 此时正方体的边长为，则正方体棱长的最大值为. 13．（2026·宁夏银川·三模）正四棱锥的底面边长为，，则平面截正四棱锥外接球所得截面的面积为__________. 【答案】 【解析】设正方形边长为，底面中心为中点为， 连接，如图所示， 由题意得，且正四棱锥的外接球球心， 设外接球半径为，则， 在中，，且， 所以，解得，即， 在中，， 过作，则即为点到平面的距离，且为平面截其外接球所得截面圆的圆心， 所以，则， 所以，即平面截其外接球所得截面圆的半径为， 所以截面的面积. 14．（25-26高二下·广东广州·期中）在棱长为2的正方体内放入9个半径相等的小球，8个角各放1个，中间放1个，则小球半径最大为__________． 【答案】 【解析】当小球半径最大（设为）时：8 个角上的小球均与正方体的 3 个相邻面相切； 8 个角上的小球都与中间的 1 个小球相切； 由正方体和球的对称性，所有球心都在正方体的体对角线上； 取对角面 进行分析，该截面上包含 5 个球的球心，记为 ，其中 为中间小球的球心， 以角上的球 为例： 球 与底面 相切，切点为 ，因此 底面 ，即 ； 由 底面 ，可得 ， 由 ，可得 ，因此：， 因为正方体棱长为2，故 ，体对角线 ； 为小球半径，即 . 代入比例式，  解得， 同理，顶点 到角球心 的距离 ， 体对角线 由以下四段组成：， 其中：（顶点到角球心的距离）； （两球相切，球心距为半径和 ）. 代入 ，得方程： 整理：， 解得. 1.（25-26高二上·内蒙古赤峰·期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在封闭的鳖臑内有一个体积为V的球，若平面，，，则V的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】球与三棱锥的四个面均相切时球的体积最大，由平面，平面， 可得， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以，所以， 设此时球的半径为R，则， 即，解得， 所以球的体积V的最大值为. 故选：C 2.（25-26高三上·湖北武汉·期末）中国冶炼铸铁的技术比欧洲早2000年左右，冶炼铸铁技术的诞生标志着真正的铁器时代的开始．现将一个表面积为 cm2的实心铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的实心铁锭浇铸过程体积无变化，该铁锭的上、下底面的边长分别为 cm和 cm，则该铁锭的高为（   ） A．30 cm B． C．36 cm D． 【答案】B 【解析】设实心铁球的半径为R，则 ，解得， 则实心铁球的体积为 ， 设正四棱台的实心铁锭的高为h， 因为实心铁球的体积和正四棱台的实心铁锭体积相等， 则 ，解得 故选： 3.（25-26高三上·湖北·期中）中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，，，与都是边长为1的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，连接AC，BD，设， 因为四边形ABCD为矩形，所以为矩形ABCD外接圆的圆心．连接， 则平面ABCD，分别取EF，AD，BC的中点M，P，Q， 根据几何体ABCDEF的对称性可知，直线交EF于点M． 连接PQ，则，且为PQ的中点，因为，所以， 连接EP，FQ，在与中，易知， 所以梯形EFQP为等腰梯形，所以，且． 设，球O的半径为R，连接OE，OA， 当O在线段上时，由球的性质可知， 易得，则，此时无解． 当O在线段的延长线上时，由球的性质可知， ，解得，所以， 所以球O的表面积， 故选：D． 4．（多选）在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为一种时尚旅游产品．有一种圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆的直径长）两个指标进行衡量．现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20cm，帽底宽，关于此斗笠，下面说法正确的是（   ） A．斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为 B．过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两条母线的截面三角形的最大面积为 C．若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为 D．此斗笠放在平面上，可以盖住的球（保持斗笠不变形）的最大半径为 【答案】ACD 【解析】对于A： 设圆锥顶点为P，O为底面圆心，底面圆的半径为，轴截面为， 则，，． ，，，A正确； 对于B:设截面三角形中两母线所成角为，， 则截面三角形为等腰三角形，截面三角形面积为：， 当且仅当时，等号成立，B错误； 对于C：设外接球球心为M，半径为，易得， 在中，，则， 解得，所以外接球表面积，C正确； 对于D：设内切球球心为,内切球半径为，， ，D正确． 故选：ACD． 5. 为迎接我校建校120周年校庆，数学学科在八角形校徽中生发灵感，设计了一枚“立体八角形”水晶雕塑，寓意南开在新时代中国“保持真纯初心，骏骏汲汲前行”，以下为该雕塑的设计图及俯视图，它由两个中心重合的正四棱柱组合而成，其中一个正四棱柱可看作由另一个正四棱柱旋转45°而成，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，设该雕塑的表面积为，该雕塑内可容纳最大球的表面积为，该雕塑外接球表面积为，则 ，    【答案】, 【解析】    如图，设两个正方形的中心为，连接，    因为旋转了45°，所以, 由对称性可设， ， 所以，则， 所以, 该雕塑底面可容纳的最大的圆的半径, 所以该雕塑可容纳的最大的球的半径也为， 外接球的半径为 , . 6．（2026·安徽芜湖·模拟预测）如图，是边长为的正三角形，，分别是，的中点，将沿翻折至，翻折过程中四棱锥外接球半径的最小值为______． 【答案】 【解析】由题意，正边长为，分别是的中点， 由三角形中位线性质得， 故四边形为等腰梯形，且 取中点，中点，连接， 则为等腰梯形的对称轴，梯形高， 易证： 因此点为底面等腰梯形的外接圆圆心，底面外接圆半径， 沿翻折为，翻折过程中边长与垂直关系不变： 即翻折时，动点在垂直于直线的平面内，以定点为圆心、为半径的圆上运动， 设四棱锥的外接球球心为，半径为， 由外接球性质：球心在过底面外接圆圆心且垂直于底面的垂线上， 设，由线面垂直得底面，故， 由勾股定理得外接球半径核心关系： ① 过点作平面，则 设翻折角 ，在中，， 则 由 ② 由①②得到 得到， 代入①得到， 令，则 当，即，此时. 7．《九章算术•商功》：“斜解立方，得两堑（qiàn）堵（dǔ）.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖（biē）臑（nào）.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云•中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得，”阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑. (1)在下右图（图一）画出阳马和鳖臑（不写过程，并用字母表示出来），求阳马和鳖臑的体积比； (2)若，： ①在右图（图二）中，求三棱锥的高. ②求三棱锥外接球的体积.    【答案】(1)作图见解析，2；(2)①；② 【解析】（1）如图所示：阳马为四棱锥，鳖臑为三棱锥， 设，，，则，， 于是，所以阳马和鳖臑的体积比为2. （2）①，， 等腰的面积， 设三棱锥的高为，由，得， 解得，所以三棱锥的高为. ②依题意，三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 设三棱锥外接球的半径为，则 所以三棱锥外接球的体积. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 r R A O P h O1 A O P h B C C O1 r R C P A B M O m O1 O2 n α $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业14 重难专题04:几何体的外接球、内切球、棱切球的十四大热点题型 【知识点1 几何体的外接球】 1.几何体外接球的概念 （1）若多面体的 都在一个球面上，则该球叫作该几何体的外接球； （2）若旋转体的顶点在球面上，底面圆恰好为球的 ，则该球叫作该旋转体的外接球. 2．常见几何体外接球半径R的速算公式 模型 速算公式 关键数据 长方体模型 R= 长方体的长宽高、、. 直棱柱模型 棱柱的高，底面外接圆半径. 正棱锥模型 棱柱的高，底面外接圆半径. 正棱台模型 棱柱的高，上底面外接圆半径， 下底面外接圆半径，外接圆圆心到上底面的距离. 面面垂直模型 两个面所在图形的外接圆半径、，两个图形的交线长度. 二面角模型 为两个图形的交线长度，、为两个图形的外接圆圆心到交线的距离，为两个平面的夹角. 【知识点2 几何体的内切球】 1.几何体内切球的概念 内切球是指与几何体的所有面（或侧面及底面）都 的球，其球心到每个面的距离等于球的半径. 2.内切球半径的求解 作出截面的平面示意图之后，利用等面积法或三角函数的定义构造方程进行求解. 3.常见几何体的内切球半径r的速算公式： (1)棱长为的正方体： (2)棱长为的正四面体： ; (3)体积为，表面积为的棱锥：; (4)底面半径为，高为，母线长为（）的圆锥：r= . 【知识点3 多面体的棱切球】 1.多面体的棱切球的概念 若一个多面体的 都与一个球相切，则称该球为该多面体棱切球 【注意】旋转体没有棱切球. 2.正方体的棱切球 设正方体的棱长为a,则正方体的棱切球的直径2r= ，此时正方体各面的对角线长恰好与其棱切球的直径相等. 【知识点5 与球有关的一些拓展性结论（拓展）】 1.外接球的有关知识与方法 (1)外接球的性质： 性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等； 性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆； 性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）； 性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心； 性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）. (2)有关结论： 结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心； 结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同； 结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆； 结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处； 结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径； 结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球； 结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上； 结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径； 结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球. (3)终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）； 2.内切球的有关知识与方法 （1）有关结论 结论1：若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）. 结论2：内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）. 结论3：正多面体的内切球和外接球的球心重合. 结论4：正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合. （2）基本方法： （i）构造三角形利用相似比和勾股定理； （ii）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）. 【题型1 外接球之正方体、长方体模型】 正方体、长方体的外接球模型： 1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半. 1．（25-26高一下·黑龙江鸡西·期中）棱长为1的正方体的外接球半径为（     ） A． B． C． D．1 2．正方体的表面积为96，则正方体外接球的表面积为 3．长方体的外接球的表面积为，，，则长方体的体积为 . 【题型2 外接球之正四面体模型】 正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如下图所示． 1．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的棱长为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）已知棱长为1的正四面体的中心为，若球的球面与正四面体的棱有公共点，则球的半径的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【题型3 外接球之墙角模型】 对于墙角模型，其三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出. 1．（24-25高二下·四川德阳·期末）已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，，，则三棱锥外接球的体积为（） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知四面体的4个顶点都在球的表面上，若平面，，，，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 3.（2026高三·全国·专题练习）已知三棱锥的三条棱，，两两垂直，且，则该三棱锥的外接球体积为 ． 【题型4 外接球之对棱相等模型】 若三棱锥的对棱两两相等，则每条对棱为长方体的面对角线，如图，则外接球直径公式为（其中为三组对棱的长度） 1．（25-26高一下·河北衡水·阶段检测）在三棱锥中，，其余棱长均为3，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 2.（2026高三·全国·专题练习）在四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3.（2026·河南许昌·开学检测）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【题型5 外接球之汉堡模型(直棱柱、圆柱的外接球）】 汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球） 题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出. 1.已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，则该三棱柱的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）一个正六棱柱的底面边长为，侧棱长为，其所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知在直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的体积为______. 4．（25-26高一下·广西百色·期中）已知一个圆柱的底面半径为3，高为8，则该圆柱的外接球的表面积等于________. 【题型6 外接球之切瓜模型(垂面模型）】 切瓜模型也称垂面模型，其特点是三棱锥的某个面和底面垂直，如下图所示： 方法一：垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝， ． 　　　　　 方法二：1.题设：如图5，平面，求外接球半径. 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②. 1．已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高二上·贵州遵义·期中）四面体中，平面，，，，则该四面体的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高二上·贵州遵义·月考）在三棱锥中，平面ABC，，，，则三棱锥的外接球的体积为______. 【题型7 外接球之斗笠模型（锥体模型）】 圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥．秒杀公式：R＝(其中h为几何体的高，r为几何体的底面半径或底面外接圆的圆心) 1．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）已知圆锥的轴截面是面积为的正三角形，则该圆锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知圆锥的体积为，侧面展开图扇形的圆心角为，则该圆锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·四川泸州·开学考试）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·全国二卷·高考真题）已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 【题型8 外接球之折叠模型（鳄鱼模型）】 题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6) 第一步：先画出如图6所示的图形，将画在小圆上，找出和的外心和； 第二步：过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接； 第三步：解，算出，在中，勾股定理： 注：易知四点共面且四点共圆，证略. 附：秒杀公式：鳄鱼模型可用找球心法可以解决．如果已知其中两个面的二面角，则可用秒杀公式：R2＝＋(其中l＝|AB|)解决． 1．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）在平行四边形ABCD中，，现将沿折起，使二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·辽宁大连·阶段检测）已知菱形的边长为，．将沿对角折起，折起后，两点的距离为，则折起后所得三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3.（2026高三·全国·专题练习）在边长为4的等边三角形中，是的中点，将沿中线折起，得到三棱锥，若二面角的大小为120°，则三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【题型9 外接球之共斜边拼接模型】 两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型 题设：如图7，，求三棱锥外接球半径（分析：取公共的斜边的中点，连接，则，为三棱锥外接球球心，然后在中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值. 1．已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．将一边长为2的正方形沿对角线折起，若顶点落在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高三上·贵州铜仁·期末）已知矩形中，，将沿折起至，使二面角是直二面角，则三棱锥的外接球的表面积等于（    ） A． B． C． D． 【题型10 外接球之台体模型】 求解策略如下： 1. 1.找上下底面外圆圆心，连线为台体中轴线，外接球球心在该线上. 2. 2.设球心距下底面高为h，球半径R，上下底外接圆半径分别为r1，r2，台高H. 3. 3.由球心到两底面顶点距离均为R列方程：R2=+h2=​+(H−h)2，解h再求R. 4. 4.特殊台体可补形为棱锥、圆锥，利用原锥体外接球简化计算. 1．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·贵州·阶段检测）在正三棱台中，，，则该正三棱台外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·期末）在高为的正四棱台中，，，则此四棱台的外接球的表面积为______. 4．（23-24高三上·广东佛山·阶段检测）如图，圆台的上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，若圆台的外接球（上下底面圆在同一球面上）的表面积为且其球心在线段上．则圆台的体积为______．    【题型11 多面体的内切球】 1.解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面（一般作出多面体的对角面所在的截面），这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映出几何体与球的位置关系和数量关系 2.内切球球心到多面体各面的距离均相等，故可用等体积法，如锥体内切球半径. 1．（24-25高一下·福建龙岩·期末）已知球O内切于圆台EF，其轴截面如图所示，四边形ABCD为等腰梯形，，且，则圆台EF的体积为（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·江苏宿迁·三模）若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设球的体积为，该四棱锥的体积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·浙江杭州·期中）四面体ABCD中，，则该四面体的内切球（与四个面相切）与外接球半径长度的比值是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏连云港·阶段检测）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的表面积为______，三棱锥的内切球的体积为______． 5．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）如图，已知三棱锥和三棱锥均为正三棱锥，其中，，则其内部能放入的最大的球的半径________．    【题型12 多面体的棱切球】 棱切球是指球面与几何体的每一条棱都相切（恰好接触于一点），球心到所有棱的距离相等，该距离即为半径. 常见的棱切球存在于高度对称的几何体中，如正方体和正四面体. (1)对于正方体（棱长），棱切球球心仍为体心，半径为球心到棱中点的距离，即面对角线的一半：. (2)对于正四面体（棱长），棱切球球心与外接球、内切球球心重合（均为正四面体的中心），半径为球心到棱中点的距离，可推导得. (3)一般多面体的棱切球问题，常用坐标法：建立空间直角坐标系，设球心，半径，利用球心到每条棱所在直线的距离等于R列方程.点到直线的距离公式（向量法）可避免求垂足.若几何体对称性高，也可通过几何分析：棱切球球心必在对称中心，计算球心到任一棱中点的距离即可.注意：棱切球不一定存在，只有各棱到某定点等距时才存在. 1．（25-26高一下·河南·期末）已知球与正四棱锥的四条侧棱和底面均相切，若，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 2.（2026·浙江杭州·一模）已知球与棱长均为3的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为 . 3.（2026·抚州·一模）已知三棱锥的棱长均为，则与其各条棱都相切的球的体积为 . 4．（25-26高一下·吉林四平·期中）一气球（近似看成球体）在不变形的前提下放在由长为a的12根木条搭成的正方体中，该气球表面积的最大值是______． 【题型13 与球有关的最值问题】 这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：函数法，基本不等式法，观察法等. 1．（25-26高二上·云南文山·期末）已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东聊城·模拟预测）已知三棱锥的顶点均在球的球面上，且球心在棱上，若球的表面积为，则三棱锥的体积最大值为（   ） A． B．2 C． D． 3．（多选）（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）在长方体中，，，，E为棱上一点，则（   ） A．该长方体是一个正四棱柱 B．长方体的外接球的表面积为 C．四棱锥的体积为24 D．的最小值为 4．（25-26高一下·河北唐山·期中）已知三棱锥中三组相对的棱长分别相等，长度分别为，，，其中，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为________. 【题型14 多球相切问题】 核心思路：将球心连线转化为几何体的顶点利用几何体的边长与角度关系求解 常见模型： (1)两球相切：球心距等于半径之和（外切）或半径之差（内切）. (2)三球两两相切：球心构成三角形边长为半径之和利用余弦定理求角度. (3)四球外切：球心构成正四面体利用正四面体的外接球模型求大球半径. 关键步骤：先确定各球心的位置关系再将三维问题转化为平面或立体几何问题. 1．（25-26高一下·山东济南·期中）如图，在正四面体中，放置1大、4小共个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则个球的体积之和为（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高三下·湖北孝感·阶段检测）如图是某零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体的棱长为，则模型中九个球的表面积的和为（    ） A．6π B．9π C． D．21π 3．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）水平桌面上放置三个半径均为的小球，它们两两相切且都与桌面相切，在这三个小球的上方放置一个半径为的小球，使得这四个小球两两相切，则上面的小球的最高点到桌面的距离为______． 1．（2026·山东聊城·三模）上海某会议中心是一个外形为圆锥体的建筑，其造型被赋予了“精益求精、追求卓越”的象征意义．已知一个该建筑物模型的底面半径为，侧面积为，则该圆锥形模型的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·河北石家庄·阶段检测）正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，该三棱锥内切球表面积是（     ） A． B． C． D． 3.（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆台的上、下底面半径分别为，半径为3的球与圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 4（2026·云南·三模）将边长为2的正方形沿对角线翻折，得到三棱锥，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 5．（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知一个半径为的球内含于一个封闭的圆锥，该圆锥的侧面展开图是一个面积为的扇形，则的所有可能取值中最大的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）在正三棱柱中，，以为球心，为半径的球与侧面相交于曲线，则曲线的长度为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·吉林长春·期中）如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积为，则5个球的表面积之和为（   ） A． B． C． D． 8．(多选）（2026·湖北十堰·模拟预测）将一个棱长为2的正方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，得到一个几何体．则（   ） A．该几何体的体积为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的外接球半径为 D．该几何体有7个面 9．(多选）（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）如图1，在边长为2的正方形中，E、F分别为、中点，若沿、及把这个正方形折成一个四面体，使得B、C、D三点重合于S，得到四面体（图2），H为的中点，G为中点．下列结论正确的是（） A． B．直线与平面所成角的正切值为 C．四面体的内切球表面积为 D．过点G的平面截四面体的外接球所得截面圆面积取值范围是 10.（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知球O是棱长为1的正方体的外接球,则平面截球O的截面面积是________. 11．（25-26高三下·山东日照·阶段检测）已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则其内切球的表面积为________． 12．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）有一个正四棱台形状的封闭储物盒，其上、下底面面积分别为4和64，侧面梯形的高为6，若一个正方体可以在盒内任意旋转，则该正方体的棱长的最大值为_________． 13．（2026·宁夏银川·三模）正四棱锥的底面边长为，，则平面截正四棱锥外接球所得截面的面积为__________. 14．（25-26高二下·广东广州·期中）在棱长为2的正方体内放入9个半径相等的小球，8个角各放1个，中间放1个，则小球半径最大为__________． 1.（25-26高二上·内蒙古赤峰·期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在封闭的鳖臑内有一个体积为V的球，若平面，，，则V的最大值是（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高三上·湖北武汉·期末）中国冶炼铸铁的技术比欧洲早2000年左右，冶炼铸铁技术的诞生标志着真正的铁器时代的开始．现将一个表面积为 cm2的实心铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的实心铁锭浇铸过程体积无变化，该铁锭的上、下底面的边长分别为 cm和 cm，则该铁锭的高为（   ） A．30 cm B． C．36 cm D． 3.（25-26高三上·湖北·期中）中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，，，与都是边长为1的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为一种时尚旅游产品．有一种圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆的直径长）两个指标进行衡量．现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20cm，帽底宽，关于此斗笠，下面说法正确的是（   ） A．斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为 B．过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两条母线的截面三角形的最大面积为 C．若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为 D．此斗笠放在平面上，可以盖住的球（保持斗笠不变形）的最大半径为 5.为迎接我校建校120周年校庆，数学学科在八角形校徽中生发灵感，设计了一枚“立体八角形”水晶雕塑，寓意南开在新时代中国“保持真纯初心，骏骏汲汲前行”，以下为该雕塑的设计图及俯视图，它由两个中心重合的正四棱柱组合而成，其中一个正四棱柱可看作由另一个正四棱柱旋转45°而成，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，设该雕塑的表面积为，该雕塑内可容纳最大球的表面积为，该雕塑外接球表面积为，则 ，    6．（2026·安徽芜湖·模拟预测）如图，是边长为的正三角形，，分别是，的中点，将沿翻折至，翻折过程中四棱锥外接球半径的最小值为______． 7．《九章算术•商功》：“斜解立方，得两堑（qiàn）堵（dǔ）.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖（biē）臑（nào）.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云•中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得，”阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑. (1)在下右图（图一）画出阳马和鳖臑（不写过程，并用字母表示出来），求阳马和鳖臑的体积比； (2)若，： ①在右图（图二）中，求三棱锥的高. ②求三棱锥外接球的体积.    1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 r R A O P h O1 A O P h B C C O1 r R C P A B M O m O1 O2 n α $