作业(九)空间直线、平面的平行-2024年高一数学暑假作业(人教A版)

空间直线、平面的平行 1.直线与平面平行的判定定理和性质定理 类别 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线 平行,那么该直线与此平面平行 a⊄α b⊂α a∥b 􀮦 􀮨 􀮧 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ⇒a∥α 性质 定理 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平 面与此平面相交,那么该直线与交线平行 a∥α a⊂β α∩β=b 􀮦 􀮨 􀮧 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ⇒a∥b 2.平面与平面平行的判定定理和性质定理 类别 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平 面平行,那么这两个平面平行 a⊂β b⊂β a∩b=P a∥α b∥α 􀮦 􀮨 􀮧 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ⇒β∥α 性质 定理 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面 相交,那么两条交线平行 α∥β α∩γ=a β∩γ=b 􀮦 􀮨 􀮧 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ⇒a∥b 1.如果两直线a∥b,且a∥α,则b与α 的位 置关系是 ( ) A.相交 B.b∥α C.b⊂α D.b∥α或b⊂α 2.平面α∥平面β,直线l∥α,则 ( ) A.l∥β B.l⊂β C.l∥β或l⊂β D.l,β相交 3.若α为平面,则下列命题是真命题的是 ( ) A.若直线l平行于平面α 内的无数条直 线,则l∥α B.若直线a在平面α外,则a∥α C.若直线a∥b,直线b⊂平面α,则a∥α D.若直线a∥b,b∥α,则a平行于平面α 内的无数条直线 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —81— 高一数学(配RJA版) 4.已知直线l⊂平面α,直线m⊂平面β,则下 面命题正确的是 ( ) A.l∥m⇒α∥β B.l∥m⇒α与β相交 C.l∩m=P⇒α∥β D.l∩m=P⇒α与β相交 1.若m,n是空间两条不同的直线,α,β是空 间两个不同的平面,那么下列命题成立 的是 ( ) A.若α∥m,β∥m,那么α∥β B.若m∥α,n⊂α,那么m∥n C.若m∥n,n∥α,那么m∥α D.若α∥β,m⊂α,那么m∥β 2.(2023·西安高一期中)如图,已知平面α∩ 平面β=a,平面β∩平面γ=b,平面γ∩平 面α=c,若a∥b,则c与a,b的位置关系是 ( ) A.c与a,b都异面 B.c与a,b都相交 C.c至少与a,b中的一条相交 D.c与a,b都平行 3.已知点E,F分别是正方体ABCD A1B1C1D1 的棱AB,AA1 的中点,点 M,N 分别是线段 D1E与C1F上的点,则满足与平面ABCD 平 行的直线MN有 ( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 4.如图,四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是 平行四边形,M,N 分别为线段PC,PB上一 点,若 PM ∶MC=4∶1,且 AN ∥ 平 面 BDM,则PN∶NB= . 5.如图,在三 棱 柱 ABC A1B1C1 中,AA1⊥平 面 ABC,4AA1 = 3AB, △ABC 是等边三角形, D,E,F 分别是棱B1C1, AC,BC 的 中 点,证 明: AD∥平面C1EF. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —91— (2022·全国甲卷)小明同学参加综合实践 活动,设计了一个封闭的包装盒,包装盒如 图所示,底面 ABCD 是边长为8(单位: cm)的正 方 形,△EAB,△FBC,△GCD, △HDA 均为正三角形,且它们所在的平 面都与平面ABCD 垂直. (1)证明:EF∥平面ABCD. (2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的 厚度). 易错一 线面平行的性质定理应用不当 致错 [示例1] 如图,在三棱柱 ABC A1B1C1 中,D 是 BC 的中点,E 是A1C1 上 一 点,且 A1B ∥ 平 面 B1DE,则 A1E EC1 的值为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用线面平行的性质定理解决相关的计算问题, 一般要做辅助线或辅助面,此时要注意根据线面 平行的性质做辅助线或辅助面,不可盲目的做,进 而得到直线与直线的平行,再利用比例关系计算. 易错二 对面面平行的性质理解不透彻 致错 [示例2] 四棱柱ABCD A1B1C1D1 的底 面是平行四边形,过此四棱柱任意两条棱 的中点作直线,其中与平面DBB1D1 平行 的直线共有 ( ) A.4条 B.6条 C.8条 D.12条 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 解答本题易忽视两个平面平行,其中一个平面内 的所有直线与另一个平面平行. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —02— 空间中有三个角为直角的四边形可能是空间图形,所以 选项C错误;选项D正确,如图,因为a∥b,所以直线a, b确定一个平面α.因为b∥c,所以直线b,c确定一个平 面β.因为l⊂α,l⊂β,由“经过两条相交直线,有且只有 一个平面”可知α与β重合,所以a,b,c,l共面. [示例2] D 分两类进行讨论.(1)若B,C,D 三点不共 线,则它们确定一个平面α.因为A,B,C,D 共面,所以 点A 在平面α 内.因为B,C,D,E 共面,所以点E 在平 面α内. 所以点A,E 都在平面α 内,即A,B,C,D,E 五点一定 共面. (2)若B,C,D 三点共线于l,若A∈l,E∈l,则A,B,C, D,E 五点一定共面,但平面不唯一; 若A,E 中有且只有一个在l上,则A,B,C,D,E 五点一 定共面. 若A,E 都不在l上,则A,B,C,D,E 五点,可能共面,也 可能不共面. 综上,A,B,C,D,E 五点的位置关系无法确定. 作业(九) 空间直线、平面的平行 【基础演练】 1.D 由a∥b,且a∥α,知b∥α或b⊂α. 2.C 因为平面α∥平面β,直线l∥α,所以直线l可能和 平面β平行,也可能在平面β内.故选C. 3.D A项还可能l⊂α,故A错误;B项还可能a与平面α 相交,故B错误;C项还可能a⊂α,故C错误;由直线与 平面平行的性质以及平行的传递性可知D正确. 4.D 对于A、B,直线l⊂平面α,直线m⊂平面β,若l∥ m,则α与β相交或α∥β,故A、B错误; 对于C、D,若l∩m=P,则P∈l且P∈m,又直线l⊂平 面α,直线m⊂平面β, 所以P∈α且P∈β,则α与β相交,故C错误,D正确. 【综合演练】 1.D 当α∥m,β∥m 时,α,β可以相交,故选项A不正确; 当m∥α,n⊂α时,m,n可以是异面直线,因此选项B不 正确; 当m∥n,n∥α时,存在m⊂α这一情况,所以选项C不 正确; 根据面面平行的性质可知选项D正确,故选D. 2.D ∵a∥b,a⊄γ,b⊂γ,∴a∥γ, ∵a⊂α,γ∩α=c,∴a∥c, ∴b∥c,∴a∥b∥c,故选D. 3.D 如图所示, 作平面KSHG∥平面ABCD,C1F,D1E 交平面KSHG 于点N,M,连接 MN, 由面面 平 行 的 性 质 得 MN∥平 面 ABCD,由 于 平 面 KSHG 有无数多个, 所以平行于平面ABCD 的MN 有无数多条,故选D. 4.解析 如图,连接AC交BD 于点O,连接CN 交BM 于 点G, 由AN∥平面BDM,可得AN∥OG, ∵OA=OC,∴CG=NG,∴G 为CN 的中点, 作 HN∥BM,∴CM=HM, ∵PM∶MC=4∶1,则PH∶HM=3∶1, ∴PN∶NB=PH∶HM=3∶1. 答案 3∶1 5.证明 连接BD. 因为E,F 分别是棱AC,BC 的中 点,所以EF∥AB. 因为EF⊂平面C1EF,AB⊄平面 C1EF,所以AB∥平面C1EF. 因为D,F 分别是棱B1C1,BC 的 中点,所以BF∥C1D,BF=C1D, 所以 四 边 形 BDC1F 是 平 行 四 边形, 则BD∥C1F. 因为C1F⊂平面C1EF,BD⊄平面C1EF, 所以BD∥平面C1EF. 因为BD⊂平面ABD,AB⊂平面ABD,且AB∩BD=B, 所以平面ABD∥平面C1EF, 因为AD⊂平面ABD,所以AD∥平面C1EF. 【真题体验】 (1)证明 过 点 E 作EE'⊥AB 于 点E',过 点 F 作 FF'⊥BC于点F',连接E'F'(图略). ∵底面ABCD 是边长为8的正方形,△EAB,△FBC均 为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD 垂直, ∴EE'⊥AB,FF'⊥BC, ∴EE'⊥平面ABCD,FF'⊥平面ABCD, ∴EE'∥FF' 又EE'=FF'=8× 32=4 3 , ∴四边形EE'F'F 为平行四边形. ∴EF∥E'F', ∴E'F'⊂平面ABCD, ∴EF∥平面ABCD. (2)解析 同理,过点G,H 分别作GG'⊥CD,HH'⊥ DA,交CD,DA 于点G',H',连接F'G',G'H',H'E', AC(图略),由(1)及题意可知,G',H'分别为CD,DA 的 中点,EFGH E'F'G'H'为长方体,故该包装盒可分成 一个长方体和四个相等的四棱锥组合而成. 由底面ABCD 是边长为8的正方形可得E'F'=H'E'= 1 2AC=4 2 , ∴所求该包装盒的容积为 V=VEFGH E'F'G'H'+4VAEE'H'H =E'F'×E'H'×EE'+4×13×SEE'H'H × 1 4AC =4 2×4 2×4 3+13×4 3×4 2×8 2= 640 3 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —25— 高一数学(配RJA版) 【易误警示】 [示例1] 解析 如图,连接BC1, 交B1D 于点F,连接EF.因为平 面 A1BC1∩平 面 B1DE=EF, A1B∥平面 B1DE,所以 A1B∥ EF,所以 A1E EC1 =BFFC1 . 因为BC∥B1C1,易得△BDF∽△C1B1F, 所以BF C1F = BDC1B1 . 因为D 是BC 的中点,所以 BDC1B1 =12 , 所以 A1E EC1 =12. 答案 12 [示例2] D 根据题意作出图形,如图,其中,E,F,G, H,P,Q,M,N 分别为所在棱的中点,所以PN∥B1D1. 因为PN⊄平面DBB1D1,B1D1⊂平面DBB1D1,所以 PN∥平面DBB1D1.同理可证GF∥平面DBB1D1.因 为四边形BCC1B1 是平行四边形,N,F 分别是B1C1, BC 的 中 点,所 以 NF∥BB1.又 因 为 NF⊄ 平 面 DBB1D1,BB1 ⊂ 平 面 DBB1D1,所 以 NF ∥ 平 面 DBB1D1.同理可证PG∥平面DBB1D1.又因为PN∩ NF=N,PN,NF⊂平面PNFG,所以平面PNFG∥平 面DBB1D1.因为PF⊂平面PNFG,NG⊂平面PNFG, 所以PF∥平面DBB1D1,NG∥平面DBB1D1.同理可 证QM,ME,EH,HQ,QE,MH 也与平面DBB1D1 平 行,所以与平面DBB1D1平行的直线共有12条. 作业(十) 空间直线、平面的垂直 【基础演练】 1.AC 由线面垂直的定义知,A正确;当l⊥α时,l与α 内的 直线相交或异面,但不会平行,故B错误;C显然是正确的; 而D中,a可能在α内,所以D错误. 2.D 由直线与平面垂直的判定定理的推论知,选项 D 正确. 3.D 若a⊂β,b⊥β,可证得a⊥b; 若a∥β,过a作平面α,α∩β=c,b⊥β,c⊂β, 则b⊥c,a∥c,于是b⊥a.故答案为D. 4.B 因为DA⊥AB,DA⊥PA,AB∩PA=A,AB,PA⊂ 平面PAB,所以DA⊥平面PAB, 同 理 BC⊥ 平 面 PAB,AB⊥ 平 面 PAD,CD⊥ 平 面PAD; 所以 平 面 ABCD⊥ 平 面 PAD,平 面 ABCD⊥ 平 面 PAB,平面PBC⊥平面PAB, 平面 PDC⊥平 面 PAD,平 面 PAD⊥平 面 PAB,共 5对. 5.D 依题意α∩β=l,直线a⊂α,直线b⊂β,且直线a,b,l 不重合, 对于A选项,α⊥β,a⊥b,且b与l不垂直, 设c⊂β,c⊥l,则b,c相交,根据面面垂直的性质定理可 知c⊥α,所以c⊥a, 由于a⊥b,b,c相交,所以a⊥β,所以a⊥l.所以A选项 正确. 对于B选项,α⊥β,b⊥l,根据面面垂直的性质定理可知 b⊥α,所以b⊥a,所以B选项正确. 对于C选项,a⊥b,b⊥l,且a与l不平行,则a,l相交, 所以b⊥α,由于b⊂β,所以α⊥β,所以C选项正确. 对于D选项,a⊥l,b⊥l,α与β不一定垂直,所以D选项 错误. 【综合演练】 1.C 如果一条直线与一个平面内的无数条平行线垂直, 这条直线可能在平面内,可能与平面平行,也可能与平 面斜交,故①错误; 由线面垂直的性质可知,过空间一定点有且只有一条直 线和已知平面垂直,故②正确; 由线面垂直的性质可知,垂直同一平面的两条直线互相 平行,故③正确; 由面面垂直的判定定理可知,经过一个平面的垂线的平 面与这个平面垂直,故④正确. 2.A 在三棱柱ABC A1B1C1 中,CE∥B1C1,且CE= 1 2B1C1 ,所以四边形CEB1C1为梯形,直线CC1 与直线 B1E 相交,故A正确; 由几何图形易知CC1与AE 为异面直线,故B错误; AE 与B1C1是异面直线,且三角形ABC 是正三角形, AE⊥BC, 又BC∥B1C1,则AE⊥B1C1,故C错误; 在三棱柱中未给出侧面CBB1C1与上下底面的关系,不 能判断AE 是否与平面CBB1C1垂直,故无法判断平面 AB1E 与平面CBB1C1是否垂直,故D错误;故选A. 3.A 因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,AD⊂平 面ABCD,CD⊂平面ABCD, 所以PA⊥AB,PA⊥AD,PA⊥CD,又底面ABCD 是边 长为a的正方形, 所以 CD⊥AD,又 PA∩AD=A,PA⊂平 面 PAD, AD⊂平面PAD, 所以CD⊥平面PAD,PD⊂平面PAD, 所以CD⊥PD, 设B 到平面PCD 的距离为h,直线PB 与平面PCD 所 成的角为θ, 则PB= 2a,PD= 2a, 所以VBPCD=VPBCD, 即1 3× 1 2× 2a×a×h= 1 3× 1 2×a×a×a , 所以h= 2a2 ,所以sinθ= hPB= 2a 2 2a =12 , 又θ∈ 0,π2 ,所以θ=π6. 4.BCD 因为B1C1与A1C1不一定垂直,所以B1C1与平 面AA1C1C不一定垂直,故A错误. 由侧棱AA1⊥平面A1B1C1,可得AA1⊥C1M.由B1C1= A1C1及 M 为A1B1的中点,可得C1M⊥A1B1. 又因为AA1∩A1B1=A1,AA1,A1B1⊂平面A1ABB1, 所以C1M⊥平面A1ABB1,A1B⊂平面A1ABB1,从而 C1M⊥A1B. 已知 AC1⊥A1B,C1M∩AC1=C1,C1M,AC1⊂平 面 AMC1,所以A1B⊥平面AMC1,从而平面A1BC⊥平面 AMC1,A1B⊥AM. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —35—