精品解析：2026年河北省邯郸市峰峰矿区中考前 模拟数学试题

2026年河北省初中学业水平模拟考试 数学试卷（三） 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时长120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将答题卡、试卷和草稿纸一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 6的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据绝对值的性质计算选项A，再根据相反数的定义即可直接得出结果． 【详解】解： ， 的相反数是． ∴C选项符合题意． 2. 从一定高度随意抛掷一枚质地均匀的硬币，当抛掷的次数足够多时，硬币落下后正面朝上的频率最有可能接近的数值是（ ） A. 0.05 B. 0.15 C. 0.51 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】质地均匀的硬币抛掷次数足够多时，正面朝上的频率接近概率，而硬币正面朝上概率为，据此分析选项即可． 【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率，当试验次数很大时，频率趋近于概率，各选项中只有0.51最接近0.5． 3. 在同一平面内，a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与b之间的距离为5，b与c之间的距离为1，则直线a上任意一点P到直线c的距离是（ ） A. 4 B. 6 C. 1或5 D. 4或6 【答案】D 【解析】 【分析】因为直线的位置不明确，所以分①直线在直线、外，②直线在直线、之间两种情况讨论．解题的关键是理解：从一条平行线上的任意一点向另外一条平行线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．平行线间的距离处处相等． 【详解】解：①当直线在直线、外时，如图， ∵与之间的距离为，与之间的距离为， ∴与之间的距离为：； ∴直线上任意一点到直线的距离是； ②当直线在直线、之间时，如图， ∵与之间的距离为，与之间的距离为， ∴与之间的距离为：； ∴直线上任意一点到直线的距离是； 综上，与之间的距离为或． 4. 已知方程组，下列消元过程不正确的是（ ） A. 代入法消去a，由②得代入① B. 代入法消去b，由①得代入② C. 加减法消去a， D. 加减法消去b， 【答案】C 【解析】 【分析】利用代入法和加减法步骤判断即可． 【详解】解：A、代入法消去a，由②得代入①，正确，不符合题意； B、代入法消去b，由①得代入②，正确，不符合题意； C、加减法消去a，，故不正确，符合题意； D、加证法消去b， ，正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了利用代入法和加减消元法解二元一次方程组的解法，正确掌握解法是解题的关键． 5. 在平面直角坐标系中，若点关于原点对称的点的坐标是，则坐标关于x轴对称的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据关于原点对称的点的坐标特征求出a和b的值，得到点A的坐标，再根据关于x轴对称的点的坐标特征求解． 【详解】解：∵点关于原点对称的点的坐标是， ∴， 解得， ∴点A的坐标为， 点A关于x轴对称的点的坐标：横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴对称点的坐标为． 故选：A． 6. 如图，在菱形中，E、F分别是 的中点，若，则菱形的周长是（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形的中位线定理以及菱形的性质进行计算即可． 【详解】解：∵E、F分别是 的中点 ∴是的中位线， ∴， ∴菱形的周长为：； 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的中位线和菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 7. 已知，，那么的值为（ ） A. 2 B. C. 7 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的加减法，乘法运算，平方差公式的应用．先计算出，将变形为，再整体代入计算即可． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 8. 如图：在 中， 是斜边 上的高，是斜边上的中线，那么下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握三角形外角的性质、等腰三角形的性质，特殊三角形中边和角之间的关系是解决本题的关键．根据特殊三角形中边和角之间的关系，判断三角形中角之间的关系． 【详解】解： ．因为，根据同角的余角相等，可得，所以该选项正确； B．因为，又由选项知，且是中线，， 所以， 同时，， 所以， 该选项正确； ．由选项知，因为 ， 所以 ， 所以 ， 该选项正确； D．在一般情况下，无法得出， 该选项错误． 故选：D． 9. 如图（1），点P是边上一动点，沿的路径移动，设点P经过的路径长为x，的面积是y，图（2）是点P运动时y随x变化的关系图象，则 与 间的距离是（ ） A. 5 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点P运动，可得，再根据三角形的面积公式可得出结论． 【详解】解：根据点P运动，可得， 设 与 间的距离是d， 当点P在 上时，， 解得， 故选：A． 【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，根据点P运动和三角形的面积变化得出线段长度是解题关键． 10. 一个三位数，将它各位上的数字倒序排列后得到一个新数，用新的三位数减去原来的三位数．甲、乙、丙、丁四位同学计算的结果分别是297，397，461，567，四个结果中有且只有一个正确，则四位同学中计算正确的是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，根据题意，用代数式表示出新三位数与原来三位数的差，发现规律即可解决问题，能通过计算发现新三位数与原来三位数的差为99的整数倍是解题的关键． 【详解】解：由题知， 令原来的三位数为 ， 则新数可表示为， 所以新三位数与原来三位数的差可表示为：， 则这个计算结果为99的整数倍， 显然所给四个计算结果中只有297是99的整数倍． 故选：A． 11. 2025年10月，诺贝尔物理学奖表彰了科学家在超导电路中发现了宏观量子现象，在超导电路中，量子比特的“共振频率”很关键．已知某种量子比特的两个共振频率和（单位：赫兹）满足以下条件①：；②一元二次方程（其中，是实数）的两个根为和，其一次项系数的2倍与常数项的和等于两根的差的平方，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次方程的根与系数的关系得到，，再由条件得到，即可求解． 【详解】解：方程的两根为和， ，， 由条件①得，则，即 ． 由条件②可得，代入 ， 得，整理得， 其中，， 代入上式得，解得． 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，点A在第二象限内，点B，C在第一象限内，已知，对角线交于点，将正方形向左平移，当点B移动到y轴上时，点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，坐标与图形．根据正方形的性质以及勾股定理可得，过点B作轴于点D，过点M作轴于点N，则，根据，可得，再由，可得，从而得到当点B移动到y轴上时，正方形向左平移了个单位长度，即点M向左平移了个单位长度，即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形，， ∴，． ∴． 如图，过点B作轴于点D，过点M作轴于点N，则， ∵， ∴，． 在中，由勾股定理得： ，解得（负值已舍去）． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∴当点B移动到y轴上时，正方形向左平移了个单位长度， 即点M向左平移了个单位长度． ∴平移后点M的坐标为，即， 故选D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，O均在格点上，那么 _________ （填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】取格点E，作射线，则．由图可得，，进而可得出． 【详解】解：如图所示，取格点E，作射线，则． 由图可得，， ． 14. 现定义一种新运算：对于任意正有理数，都有． 例如：，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的性质和加减运算法则是解题的关键．根据新运算规则列出算式计算即可求解， 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 15. 如图，点A，B分别在函数，的图象上，轴，点C在x轴上， ，则 ________． 【答案】8 【解析】 【分析】设点A，B的纵坐标为，则，，表示出，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：设点A，B的纵坐标为，则，， ∵， ， ． 16. 如图1的螺丝钉由头部（直六棱柱）和螺纹（圆柱）组合而成，其俯视图如图2所示．在“测量螺丝钉半径”的综合与实践活动中，小吴想出了一种测量方法：将刻度尺紧靠螺纹放置，经过点且交 于点，量得长为毫米，并测得正六边形的边长为毫米，则螺纹的直径为______毫米． 【答案】## 【解析】 【分析】连接 ，过点作于点，设正六边形的中心为 ，连接 ，由题意可知，、 、共线，过点 作于点，延长，作于点 ，根据正六边形的图形性质，可得 、，推得 ，利用特殊角的三角函数值求得、，利用勾股定理求得，证得，得，求得的值，通过证得，得，即可求解的值． 【详解】解：如图，连接 ，过点作于点，设正六边形的中心为 ，连接 ，由题意可知，、 、共线，过点 作于点，延长，作于点 ， 六边形是正六边形， ，， ， ，， ， 在中，， ，则， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ，解得：， ， ， ， ， ， 是 中点， ， ， 所以螺纹的直径为mm． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，等腰三角形的性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，理解题意、作出适合的辅助线是解题关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解决下列问题： （1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）求不等式组的所有整数解的和． 【答案】（1），见解析 （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得出结果； （2）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得出结果； （3）由（1）、（2）可知，不等式组的解集为，再写出整数解看，求和即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ． 在数轴上表示如图； 【小问2详解】 解：， ， ． 在数轴上表示如图： 【小问3详解】 解：由（1）、（2）可知，不等式组的解集为， 该不等式组的整数解为 ， ，0，1，2，3，4， 它们的和为． 18. 请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题． 利用运算律计算： 例1：； 例2：． （1）； （2）． 【答案】（1）11988 （2）99900 【解析】 【分析】（1）将所求式子变形为，再结合有理数的混合运算法则计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，再结合乘法运算律计算即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 如图，点 在线段上，， ， ， 是的中点． （1）求证： ； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用平行线性质得到相等角，通过 证明，得出 ，即为等腰三角形；再结合等腰三角形“三线合一”的性质，由 是中点，证明． （2）先结合全等三角形性质得，算出，再利用等腰三角形内角和求． 【小问1详解】 证明：， ， ，， ， ， 是的中点， ． 【小问2详解】 解：由（1），得 ， ， ， ， ， ， ， ． 20. 某校响应号召，开展了以“我爱阅读”为主题的读书活动，为了解学生的阅读情况，学校随机抽取了部分学生在某一周课外阅读文章的篇数进行统计，并制成了统计表和统计图． 学生阅读篇数统计表 学生阅读篇数扇形统计图 阅读文章篇数/篇 4 5 6 7 人数/人 8 m 20 4 请根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1） __________，本次抽查的学生阅读文章篇数的中位数是__________篇，众数是__________篇； （2）求本次抽查的学生这周平均每人阅读文章的篇数； （3）学校拟将每周阅读文章篇数超过6篇（不含6篇）的学生评为“阅读达人”予以表扬，若全校学生以1200人计算，请你估计受表扬的学生人数． 【答案】（1）18，5，6； （2）5.4篇； （3）96． 【解析】 【分析】（1）用阅读文章6篇的人数除以 可得样本容量，进而得出m的值；再根据中位数和众数的定义解答即可； （2）利用加权平均数的计算方法解答即可； （3）用1200乘样本中每周阅读文章篇数超过6篇(不含6篇)的学生人数所占比例即可解答． 【小问1详解】 解：总人数为 （人）， ∴ ； 由于总人数50人， ∴中位数是第25，26人阅读数的平均数，分析人数可知第25，26人阅读数均为5， ∴中位数为5； 有表格可知阅读人数最多的是阅读数为6，因此众数为6． 【小问2详解】 解： （篇）， 本次抽查的学生这周平均每人阅读文章的篇数是5.4篇； 【小问3详解】 解： （人）， 估计受表扬的学生人数大约是96人． 21. 如图1，海沧大桥是我国第一座系统地进行桥梁景观研究与设计的特大型桥梁．从总体线形、结构造型、景观色彩等多方面保证了大桥与自然环境的和谐．地平面（）是水平且笔直的，此时一个高 的人站在C点望该桥的主塔 与，测得在点D观察点F的仰角为 ，观察点E的仰角为 ，为该桥的主缆，线段交于的中点G．（参考数据：， ，） （1）尺规作图：请在图中作出所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法） （2）若所在圆的半径为R． ①求弦的长（用含有R的代数式表示） ②求的长（用含有R的代数式表示） （3）若主塔，求海沧大桥两座主塔之间的距离 （结果保留整数）． 【答案】（1）见解析 （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）分别作和的垂直平分线，相交于点O，则点O即为所对应圆心； （2）①由题意可得，在中，可得则可得； ②利用弧长公式即可求解； （3）延长 ，交于点P，可得，再分别计算，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，点O即为所求． 【小问2详解】 解：①由作图可知，，是的垂直平分线，垂足分别为Q、H， ∵点G是的中点， ∴， ∴， ∵在点D观察点F的仰角为 ，平行于水平面， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由垂径定理，得． ②由①可知，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：延长 ，交于点P， 由题意得， ， ，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵在点D观察点E的仰角为 ，平行于水平面， ∴， 由（2）可知，， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， 由题意可得，四边形 是矩形， ∴． 22. 请你帮小聪拟定游玩计划． 【信息1】：如图①所示为某风景区的游览地图． 【信息2】：景区内有一辆免费的电动观光车，匀速地在古刹和飞瀑之间不间断地来回载客（上下车时间忽略不计），首趟观光车于早上从古刹出发． 【信息3】：小聪在景点古刹游玩结束后，恰好坐上首趟观光车前往塔林．在塔林游玩若干小时后，再坐上第二趟观光车去草甸游玩，小聪和观光车离古刹的路程 （米）与时间（分）的函数关系如图②所示． 【信息4】：小聪在飞瀑游玩后，要在中午前赶回古刹吃中饭． （1）确定车速：根据游览地图和函数图象，计算出电动观光车的车速． （2）探究时间：求出小聪到达草甸的具体时刻． （3）拟定计划：请为小聪拟定在草甸、飞瀑这两个景点游玩的最长时间及搭乘的车次． 【答案】（1）米/分 （2）点 分 （3）小聪在草甸最多游玩分钟，坐第三趟车前往飞瀑，飞瀑最多游玩分钟，从第四趟车回古刹 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）结合图像，利用往返总路程除以时间即可得出答案； （2）确定第二趟前往飞瀑的观光车 与的函数关系式为，当时，求出对应的的值即可； （3）先确定：首趟观光车于早上从古刹出发到中午一共运行：（趟），推出第五趟车到达飞瀑已是点，得出小聪必须从第四趟车从飞瀑出发，才能在前赶回古刹吃中饭，进一步确定第四趟前往飞瀑的观光车 与的函数关系式为，当时，求出对应的的值，可得出答案． 【小问1详解】 解：∵小聪在景点古刹游玩结束后，恰好坐上首趟观光车前往塔林．在塔林游玩若干小时后，再坐上第二趟观光车去草甸游玩， ∴（米/分） 即电动观光车的车速为米/分； 【小问2详解】 解：根据题意：电动观光车匀速地在古刹和飞瀑之间不间断地来回载客（上下车时间忽略不计）， 由图知：电动观光车从古刹到飞瀑需分钟，返回也是分钟， 由（1）知：第一趟前往飞瀑的观光车 与的函数关系式为， 设第二趟前往飞瀑的观光车 与的函数关系式为，过点，， ∴， 解得：， ∴第二趟前往飞瀑的观光车 与的函数关系式为， 当时，， 解得：， ∴小聪到达草甸的具体时刻是点 分； 【小问3详解】 解：由图可得：观光车来回一趟所需时间为分钟， ∵首趟观光车于早上从古刹出发，小聪在飞瀑游玩后，要在中午前赶回古刹吃中饭， ∴（小时），（趟） ∴第五趟车到达飞瀑已是点， ∴小聪必须从第四趟车从飞瀑出发，才能在前赶回古刹吃中饭， 设第四趟前往飞瀑的观光车 与的函数关系式为，过点， ∴， 解得：， ∴第四趟前往飞瀑的观光车 与的函数关系式为， 当时，， 解得：， 即小聪离开飞瀑时间是第分钟， ∴小聪在草甸最多游玩分钟，坐第三趟车前往飞瀑，飞瀑最多游玩分钟，从第四趟车回古刹． 23. 已知二次函数． （1）该二次函数图象的对称轴是直线_________； （2）当且时，函数图象的最高点为 ，最低点为 ，点 的纵坐标为，求点 和点R的坐标； （3）已知线段的两个端点坐标分别为，，当此二次函数图象与线段只有一个交点时，求的取值范围； （4）如图，当时，二次函数的图象交轴负半轴于点，交轴于点，已知， 两点的纵坐标相等．直线交抛物线于，两点（点在点的左侧），过点作轴的平行线，与的延长线交于点，连接，交抛物线于另一点，请直接写出的最大值． 【答案】（1）； （2），； （3） 或； （4）． 【解析】 【分析】（1）利用对称轴公式求解即可； （2）根据二次函数开口向上，可知，取得最小值，取得最大值，分别代入解析式，可求得 、 的坐标； （3）通过代入坐标求函数值，从而判断抛物线上点的位置，采用分类讨论思想，当，开口方向讨论函数； （4）根据二次函数定点性质，以及联立一次函数与二次函数，用一元二次方程根与系数的关系求出、横坐标的关系，以及构造函数，利用顶点求最大值． 【小问1详解】 解：对于二次函数，对称轴公式为， 在中， ，代入得， 所以对称轴是直线； 【小问2详解】 解： ， 二次函数的图象开口向上． 对称轴是直线，当时，，，， 当时，取得最大值；当时，取得最小值． 函数图象的最高点为 ，最低点为 ，点 的纵坐标为， ， 将代入：，得， 解得， 二次函数的解析式为． 将代入，得， ， 综上，； 【小问3详解】 ， 当或时，， 抛物线经过定点，． ， 顶点坐标为． 当时，抛物线开口向上， 如图（1），当顶点落在上时，满足题意， 此时，解得 ． 当时，抛物线开口向下， 抛物线经过定点， 抛物线不经过点． 如图（2），当抛物线经过点时，将代入，得， 解得． 或； 【小问4详解】 当时，抛物线解析式为 ． 令，解得或， ， 令，得， 抛物线对称轴为，、 纵坐标相同，得， 设点，的横坐标分别为，， 联立， 整理，得， ，， ， 代入，得， 整理，得， ，， 直线的解析式为． 当时，，， 点在直线上． 设直线交轴于点 ， 当时，，解得， ， ． 如图（3），过点作交轴于点 ， ， 当 取得最大值时，有最大值， 当直线与抛物线有唯一公共点时， 最大，此时取得最大值，如图（4）， 设直线的解析式为， 联立上式和抛物线的解析式并整理，得， ，解得，此时， 的最大值为． 24. 【探索】点， 分别在正方形的边， 上，连接． （1）如图1，若点 在上，连接 ，，垂足为 ，则线段_________ （填“”“”或“”） （2）如图2，尺规作图：作出线段 ，使得，垂足为 ，点 在边上． 淇淇采用了以下作图方法： ①以点 为圆心，以为半径画弧，交于点 ； ②连接 ，交于点 ． 根据淇淇的作图过程，请说明图2中的线段 符合要求． 【拓展】 （3）如图3，平移图1中的线段 ，使点 与点重合，点 在的延长线上，连接 ，取 的中点，连接，点在上，连接 ，．求证：． 【应用】 （4）如图4，某市区有一块边长为的正方形广场，现计划对其进行改造，在广场内设计一条特色步道．规划详情如下：点， 分别在正方形的边 ， 上，．沿 ， 修建两条景观廊道，这两条廊道交汇于广场内的一个重要景观 处，为人行步道． ①直接写出的长； ②修建一条穿过点 的特色步道（点，分别在边 ，上），且，将点规划为一个入口，需要确定点到点的长度与整条步道长度的比例关系，即的值，以便合理布置服务设施和景观节点，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 （4）①；② 【解析】 【分析】（1）先过点 作交 于点 ，利用正方形对边平行的性质证得四边形是平行四边形，从而将 转化为，再根据推出⊥，利用同角的余角相等得到，结合正方形的边和角的条件，用 证明，得到 ，进而证得； （2）过点 作，分别与 ，相交于点 ，，利用正方形对边平行的性质证得四边形是平行四边形，得到，再根据作图条件推出 ，结合正方形的直角和边相等的条件，用证明，得到，进而推出，最后由平行线的性质得到，证明线段 符合要求； （3）先根据平移的性质得到 且，再利用角的和差关系推出，结合正方形的边和角的条件，用 证明，得到，接着由推出，得到 和，再结合正方形边长相等推出，即点 是 的中点，最后利用三角形中位线定理得到，代入 与的关系即可证得； （4）①先由正方形边长和求出 、的长度，再通过角的互余关系证明，设未知数利用勾股定理求出、的长度，然后过作交 延长线于点，用 证明，得到、，从而算出的长度，最后在中用勾股定理求出的长；②先作于点 、于点 ，由①中推出，结合得到是等腰直角三角形，即，再由得到平行线分线段成比例，结合求出 的长度，然后用证明，利用相似比求出的长度，最后计算 与的比值即可． 【小问1详解】 解：如图，过点 作，交 于点 ， ∵四边形是正方形， ∴ ，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 又， ∴ ， 在 和中， ，， ， ∴， ∴ ， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点 作，分别与 ，相交于点 ，， ∵四边形是正方形， ∴ ，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由作图可知， ∴ ， 在和中， ，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 证明：由平移的性质，得，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 中，， ∴， ∴ ，， ∵ ， ∴， ∵点为 的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：①∵正方形的边长为1，， ∴ ，， ∵ ， ∴， ∴ ， 在中，， 设，则，， 解得， ∴，， 如图，作交 的延长线于点，则， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 在 中，， ②如图，作于点 ，于点 ，则 ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由（4）①得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北省初中学业水平模拟考试 数学试卷（三） 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时长120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将答题卡、试卷和草稿纸一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 6的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 从一定高度随意抛掷一枚质地均匀的硬币，当抛掷的次数足够多时，硬币落下后正面朝上的频率最有可能接近的数值是（ ） A. 0.05 B. 0.15 C. 0.51 D. 1 3. 在同一平面内，a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与b之间的距离为5，b与c之间的距离为1，则直线a上任意一点P到直线c的距离是（ ） A. 4 B. 6 C. 1或5 D. 4或6 4. 已知方程组，下列消元过程不正确的是（ ） A. 代入法消去a，由②得代入① B. 代入法消去b，由①得代入② C. 加减法消去a， D. 加减法消去b， 5. 在平面直角坐标系中，若点关于原点对称的点的坐标是，则坐标关于x轴对称的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，E、F分别是 的中点，若，则菱形的周长是（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 7. 已知，，那么的值为（ ） A. 2 B. C. 7 D. 0 8. 如图：在 中，是斜边上的高，是斜边上的中线，那么下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图（1），点P是边上一动点，沿的路径移动，设点P经过的路径长为x，的面积是y，图（2）是点P运动时y随x变化的关系图象，则与间的距离是（ ） A. 5 B. 4 C. D. 10. 一个三位数，将它各位上的数字倒序排列后得到一个新数，用新的三位数减去原来的三位数．甲、乙、丙、丁四位同学计算的结果分别是297，397，461，567，四个结果中有且只有一个正确，则四位同学中计算正确的是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 11. 2025年10月，诺贝尔物理学奖表彰了科学家在超导电路中发现了宏观量子现象，在超导电路中，量子比特的“共振频率”很关键．已知某种量子比特的两个共振频率和（单位：赫兹）满足以下条件①：；②一元二次方程（其中 ，是实数）的两个根为和，其一次项系数的2倍与常数项的和等于两根的差的平方，则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，点A在第二象限内，点B，C在第一象限内，已知，对角线交于点，将正方形向左平移，当点B移动到y轴上时，点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，O均在格点上，那么 _________ （填“”“”或“ ”）． 14. 现定义一种新运算：对于任意正有理数，都有． 例如：，则_____． 15. 如图，点A，B分别在函数，的图象上，轴，点C在x轴上， ，则 ________． 16. 如图1的螺丝钉由头部（直六棱柱）和螺纹（圆柱）组合而成，其俯视图如图2所示．在“测量螺丝钉半径”的综合与实践活动中，小吴想出了一种测量方法：将刻度尺紧靠螺纹放置，经过点且交于点，量得长为毫米，并测得正六边形的边长为 毫米，则螺纹的直径为______毫米． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解决下列问题： （1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）求不等式组的所有整数解的和． 18. 请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题． 利用运算律计算： 例1：； 例2：． （1）； （2）． 19. 如图，点在线段 上，， ， ， 是 的中点． （1）求证： ； （2）若，，求的度数． 20. 某校响应号召，开展了以“我爱阅读”为主题的读书活动，为了解学生的阅读情况，学校随机抽取了部分学生在某一周课外阅读文章的篇数进行统计，并制成了统计表和统计图． 学生阅读篇数统计表 学生阅读篇数扇形统计图 阅读文章篇数/篇 4 5 6 7 人数/人 8 m 20 4 请根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1） __________，本次抽查的学生阅读文章篇数的中位数是__________篇，众数是__________篇； （2）求本次抽查的学生这周平均每人阅读文章的篇数； （3）学校拟将每周阅读文章篇数超过6篇（不含6篇）的学生评为“阅读达人”予以表扬，若全校学生以1200人计算，请你估计受表扬的学生人数． 21. 如图1，海沧大桥是我国第一座系统地进行桥梁景观研究与设计的特大型桥梁．从总体线形、结构造型、景观色彩等多方面保证了大桥与自然环境的和谐．地平面（ ）是水平且笔直的，此时一个高 的人站在C点望该桥的主塔 与 ，测得在点D观察点F的仰角为 ，观察点E的仰角为 ，为该桥的主缆，线段交于的中点G．（参考数据：， ，） （1）尺规作图：请在图中作出所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法） （2）若所在圆的半径为R． ①求弦 的长（用含有R的代数式表示） ②求的长（用含有R的代数式表示） （3）若主塔，求海沧大桥两座主塔之间的距离（结果保留整数）． 22. 请你帮小聪拟定游玩计划． 【信息1】：如图①所示为某风景区的游览地图． 【信息2】：景区内有一辆免费的电动观光车，匀速地在古刹和飞瀑之间不间断地来回载客（上下车时间忽略不计），首趟观光车于早上从古刹出发． 【信息3】：小聪在景点古刹游玩结束后，恰好坐上首趟观光车前往塔林．在塔林游玩若干小时后，再坐上第二趟观光车去草甸游玩，小聪和观光车离古刹的路程 （米）与时间（分）的函数关系如图②所示． 【信息4】：小聪在飞瀑游玩后，要在中午前赶回古刹吃中饭． （1）确定车速：根据游览地图和函数图象，计算出电动观光车的车速． （2）探究时间：求出小聪到达草甸的具体时刻． （3）拟定计划：请为小聪拟定在草甸、飞瀑这两个景点游玩的最长时间及搭乘的车次． 23. 已知二次函数． （1）该二次函数图象的对称轴是直线_________； （2）当且时，函数图象的最高点为，最低点为 ，点的纵坐标为，求点和点R的坐标； （3）已知线段的两个端点坐标分别为，，当此二次函数图象与线段只有一个交点时，求 的取值范围； （4）如图，当时，二次函数的图象交 轴负半轴于点，交 轴于点 ，已知 ，两点的纵坐标相等．直线交抛物线于 ，两点（点 在点的左侧），过点作 轴的平行线，与的延长线交于点，连接，交抛物线于另一点，请直接写出的最大值． 24. 【探索】点，分别在正方形的边 ，上，连接 ． （1）如图1，若点在 上，连接 ，，垂足为 ，则线段 _________ （填“”“”或“ ”） （2）如图2，尺规作图：作出线段 ，使得，垂足为 ，点在边 上． 淇淇采用了以下作图方法： ①以点为圆心，以 为半径画弧，交 于点； ②连接 ，交 于点 ． 根据淇淇的作图过程，请说明图2中的线段 符合要求． 【拓展】 （3）如图3，平移图1中的线段 ，使点与点重合，点在 的延长线上，连接 ，取 的中点，连接，点在 上，连接 ，．求证：． 【应用】 （4）如图4，某市区有一块边长为的正方形广场，现计划对其进行改造，在广场内设计一条特色步道．规划详情如下：点， 分别在正方形的边，上，．沿 ， 修建两条景观廊道，这两条廊道交汇于广场内的一个重要景观处，为人行步道． ①直接写出的长； ②修建一条穿过点的特色步道（点 ，分别在边， 上），且，将点规划为一个入口，需要确定点到点 的长度与整条步道长度的比例关系，即的值，以便合理布置服务设施和景观节点，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $