精品解析：2025年河北省邯郸市峰峰矿区中考押题预测（三模）数学试卷

2025年河北省初中学业水平考试临考预测卷 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如果向南走记为“”，那么“”表示（ ） A. 向东走 B. 向南走 C. 向西走 D. 向北走 2. 图中，互为对顶角的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 3. 2024年，我国全社会研究与试验发展经费投入为36130亿元，投入总量稳居世界第二位，展现了我国对科技创新的重视程度．数据36130亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 图-1所示的几何体由若干个相同的小正方体搭成，拿走若干个小正方体后，该几何体的主视图如图-2所示，则拿走的小正方体的个数至少是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的值在数轴上对应的点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 7. 如图，沿虚线把两张形状、大小相同的风景图片（背面完全相同）均剪成形状、大小相同的两部分，将得到的四张图片背面朝上洗匀后，从中随机抽出两张，这两张图片恰好能组成一张完整的风景图片的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学著作《九章算术》中有一道“以绳测井”的题，《孙子算经》中有一道“绳索测木”的题，受这类题的启发，嘉嘉找来一根绳子测量书桌的长度，方法及测量数据如下：先直接用绳子去量，则绳子比书桌长50cm；再将绳子对折后去量，则绳子比书桌短．下列说法正确的是（ ） A. 设书桌的长为，可列方程为 B. 设绳子的长为，可列方程为 C. 绳子的长为 D. 书桌的长为 9. 如图，公园里，，，四个亭子（看作点）在上，且点在点的南偏西方向上，点在点的正南方，点在点的南偏东方向上．计划在的延长线上再修建一个亭子，使．下列说法正确的是（ ） A. B. 点在点的南偏东方向上 C. 点在点的南偏东方向上 D. 设与交于点，连接，则 10. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均为格点（网格线的交点），将绕某点顺时针旋转，每次旋转．已知第1次旋转结束时，得到（点，，均为格点），则第82次旋转结束时，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．已知双曲线与两坐标轴正半轴之间区域内（不含边界）有个整点，直线与两坐标轴围成的封闭图形内（不含边界）有个整点．若，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在菱形中，，，点在对角线上，且．作关于直线对称的，延长交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：________． 14. 若，是方程的两个实数根，则的值为________． 15. 如图，在正六边形中，点，，分别在边，，上，且是的中点，．若，，则的长为________． 16. 已知抛物线经过点，且．有下列四个结论：①；②；③若方程有两个不相等的实数根，且其中一个根小于，则；④若，且抛物线过点，则．其中正确的结论是________(填序号)． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，有两张边长分别为，的正方形纸片，其面积分别为，． （1）求的值（用含的式子表示）． （2）若，求的值． 18. 射击队要从甲、乙两名运动员中挑选一人参加射击比赛，在选拔赛中，每人射击5次，根据两人的成绩（单位：环）绘制的折线统计图如图所示（甲第二次射击的成绩缺失）． 请根据以上信息，回答下列问题： （1）若甲第二次射击的成绩为9环． ①甲、乙两人成绩的方差分别为，，则________（填“”“”或“”）；请补全下表． 统计量 平均数 中位数 众数 甲 乙 9.2 9.3 9.3 ②综合以上统计量，你认为应选哪名运动员参赛？并说明理由； （2）若甲成绩的中位数、众数相同，求甲第二次射击的成绩． 19. 我们将任意三位数记为（其中，，分别表示该数的百位、十位、个位上的数字）．若三位数能被整除，且，，均不为0，则称这个三位数是“和倍数”，又称这个三位数是的“和倍数”．例如：，不是“和倍数”；，是15的“和倍数”． （1）请通过计算说明：414，269是否为“和倍数”？ （2）若三位数是12的“和倍数”，且，求这个三位数． 20. 太阳能光伏发电具有清洁、安全、高效的特点．嘉嘉为了解某太阳能板的相关数据，展开了测量活动．如图，为太阳能板，为支撑架，已知是的中点，垂直于水平地面．当太阳光线（视为平行光线）与水平地面的夹角为时，测得太阳能板在地面上的影长．在点处用高度为的测角仪测得点处的仰角为． （1）求太阳能板的顶端距离地面的高度； （2）测得，求太阳能板的宽度（的长）．（参考数据：，，） 21. 甲从地出发匀速赶往地，到达地休息后又匀速返回地；乙从地出发匀速赶往地．两人在途中相遇了两次，第二次相遇后两人均改变速度，以相同速度一起到达地，结果乙比按原速提前到达地．甲、乙两人距地的距离和甲从地出发后经过的时间之间的函数关系如图所示． （1）甲从地出发赶往地时的速度为________，甲从地出发到与乙第二次相遇前的速度为________m/min． （2）当时，求乙距地的距离与甲从地出发后经过的时间之间的函数关系式． （3）求甲从地出发到返回地所用的时间，并直接写出乙从地到地所用的时间． 22. 如图，在中，，，过，两点的交于点，过点作的切线交于点．连接． （1）求证：． （2）若，． ①求的长； ②直接写出的长． 23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知直线的解析式为． （1）求，的值，并直接写出抛物线的顶点坐标． （2）若点是第二象限内抛物线上一动点，则当点到直线的距离最大时，求点的坐标． （3）是直线上一动点，过点作线段，且，点在直线下方．当线段与抛物线有公共点时，求点的横坐标的取值范围． （4）若点，，在该抛物线上，且，请直接写出的取值范围． 24. 已知是等边三角形，点在内，且，以为边在右侧作等边三角形． （1）如图1，若点在射线上， ①请利用无刻度的直尺和圆规作出，连接． ②求的度数． （2）如图2，延长交于点． ①求证：是的中点． ②设，交于点，若，求的值． （3）连接，若的边长是12，点是的中点，请直接写出点，之间距离的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河北省初中学业水平考试临考预测卷 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如果向南走记为“”，那么“”表示（ ） A. 向东走 B. 向南走 C. 向西走 D. 向北走 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正负数表示相反意义的量．题目中规定向南走记为“”，则相反方向向北走应记为“”． 【详解】根据题意，向南走记为， “”表示向南，“”表示其相反方向，即向北， “”表示向北走， 故选：D． 2. 图中，互为对顶角的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同位角、同旁内角、邻补角、对顶角，邻补角和对顶角是两直线相交形成的，同位角和同旁内角是两直线被第三条直线所截形成的，解决本题的关键是根据定义判断两个角的关系． 【详解】解：A选项：和是两条直线相交形成的，有一条公共边、另一边互为反相延长线，和是一对邻补角，故A选项不符合题意； B选项：和是两条直线相交形成的，两条边分别互为反相延长线，和是一对对顶角，故B选项符合题意； C选项：和是两条直线被第三条直线所截形成的一对同位角，故C选项不符合题意； D选项：和是两条直线被第三条直线所截形成的一对同旁内角，故D选项不符合题意． 故选：Ｂ． 3. 2024年，我国全社会研究与试验发展经费投入为36130亿元，投入总量稳居世界第二位，展现了我国对科技创新的重视程度．数据36130亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．先将36130亿转换为科学记数法，需先明确“亿”代表，再结合科学记数法的规则（）进行计算． 【详解】解：∵36130亿，又， ∴， ∴36130亿， 故选：C． 4. 图-1所示的几何体由若干个相同的小正方体搭成，拿走若干个小正方体后，该几何体的主视图如图-2所示，则拿走的小正方体的个数至少是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是理解主视图的定义并能据此分析几何体的构成． 通过分析原几何体和主视图的特征，确定需要拿走小正方体的位置和数量，从而得出至少拿走的个数． 【详解】如图所示， 拿走若干个小正方体取后，该几何体的主枧圈如图2所示，则至少拿走标有、、、的小正方体， 所以拿走的小正方体的个数至少是4个． 故选：C． 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．括号内先通分，再利用同分母分式的减法法则计算，再将分式除法运算转化为乘法，通过约分和因式分解化简表达式． 【详解】解； ． 故选：A． 6. 如图，的值在数轴上对应的点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的乘法，无理数的估算，利用二次根式的乘法法则计算可得，估算出得到，结合数轴即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴的值在数轴上对应的点可能是点， 故选：B． 7. 如图，沿虚线把两张形状、大小相同的风景图片（背面完全相同）均剪成形状、大小相同的两部分，将得到的四张图片背面朝上洗匀后，从中随机抽出两张，这两张图片恰好能组成一张完整的风景图片的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到抽出的两张图片恰好能组成一张完整的风景图片的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设左边那幅的上下两部分，分别用A、B表示，右边那副图的上下两部分，分别用C、D表示， 列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中抽出的两张图片恰好能组成一张完整的风景图片的结果数有4种， ∴抽出的两张图片恰好能组成一张完整的风景图片的概率为， 故选；B． 8. 我国古代数学著作《九章算术》中有一道“以绳测井”的题，《孙子算经》中有一道“绳索测木”的题，受这类题的启发，嘉嘉找来一根绳子测量书桌的长度，方法及测量数据如下：先直接用绳子去量，则绳子比书桌长50cm；再将绳子对折后去量，则绳子比书桌短．下列说法正确的是（ ） A. 设书桌的长为，可列方程为 B. 设绳子的长为，可列方程为 C. 绳子的长为 D. 书桌的长为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程，然后求出绳子的长和书桌的长，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：设书桌的长为，可列方程为，故选项A错误，不符合题意； 设绳子的长为，可列方程为，故选项B错误，不符合题意； 设书桌的长为，可列方程为， 解得， ， 即书桌的长为，绳子的长为，故选项C正确，符合题意；选项D错误，不符合题意； 故选：C． 9. 如图，公园里，，，四个亭子（看作点）在上，且点在点的南偏西方向上，点在点的正南方，点在点的南偏东方向上．计划在的延长线上再修建一个亭子，使．下列说法正确的是（ ） A. B. 点在点的南偏东方向上 C. 点在点的南偏东方向上 D. 设与交于点，连接，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆的内接四边形的性质，方向角，关键是由圆的内接四边形的性质求出和的度数． 由平行线的性质推出，求出，故可判断A选项；连接，由圆的内接四边形的性质推出，求出，得到点D在点A的南偏东的方向上，故可判断B选项；求出，得到，因此点E在点A的南偏东方向上，故可判断C选项；由圆的内接四边形的性质求出，得到，故可判断D选项． 【详解】解：如图， 由题意可得， ∴， ∴， ∴，故A选项错误； 连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D在点A的南偏东的方向上，故B选项错误； ∵， ∴ ∴在四边形中，， ∴， ∴点E在点A的南偏东方向上，故C选项错误； ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∴， ∴，故D选项正确． 故选：D 10. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均为格点（网格线的交点），将绕某点顺时针旋转，每次旋转．已知第1次旋转结束时，得到（点，，均为格点），则第82次旋转结束时，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转，由旋转的性质可得的对应点为，的对应点为，的对应点为，同时旋转中心在和的垂直平分线上，进而求出旋转中心坐标，然后得到每旋转4次一个周期，由得到第82次旋转结束时，点的对应点的坐标和点H的坐标相等，进而求解即可．掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 由旋转的性质可得的对应点为，的对应点为，的对应点为， ∴交点在和的垂直平分线上，如图， ∴旋转中心的坐标为， 如图所示，设旋转中心为M，将绕点M顺时针旋转得到，将绕点M顺时针旋转得到，将绕点M顺时针旋转得到， ∴每旋转4次一个周期 ∵ ∴第82次旋转结束时，点的对应点的坐标和点H的坐标相等 ∴点的对应点的坐标为． 故选：A． 11. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．已知双曲线与两坐标轴正半轴之间区域内（不含边界）有个整点，直线与两坐标轴围成的封闭图形内（不含边界）有个整点．若，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，先求出直线与两坐标轴围成的封闭图形内（不含边界）的整点个数，即的值，再根据每个选项确定的值，判断即可． 【详解】解：令，则，令，则， 则直线与x轴交于，与y轴交于， 围成三角形区域，内部整点需满足：取（整数），满足（正整数）， 逐一代入计算：时，无解； 时，（1个）； 时，（2个）； 时，（3个）； 时，（4个）． 总计． 计算双曲线区域整点数m， A、当时，满足的正整数对有： 时，（3个）； 时，（1个）； 时，（1个）； 总计，与不相等．不符合题意． B、当时，满足的正整数对有： 时，（4个）； 时，（2个）； 时，（1个）； 时，（1个）； 总计，与不相等．不符合题意． C、当时，满足的正整数对有： 时，（5个）； 时，（2个）； 时，（1个）； 时，（1个）； 时，（1个）． 总计，与相等．符合题意． D、当时，满足的正整数对有： 时，（6个）； 时，（3个）； 时，（2个）； 时，（1个）； 时，（1个）； 时，（1个）． 总计，与不相等．不符合题意． 综上，当时，， 故选：C． 12. 如图，在菱形中，，，点在对角线上，且．作关于直线对称的，延长交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，勾股定理，根据题意找出相似三角形是解题关键．连接交于点，与交于点，根据菱形和轴对称的性质，先证明，从而设，则，利用勾股定理列方程，求出，再证明，利用相似三角形对应边成比例求的长即可． 【详解】解：如图，连接交于点，与交于点， 在菱形中，，，， ，，，， ，，， 由轴对称的性质可知，，， 又， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：，（舍）， ， ，， ， ， ， 故选：C 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂和有理数的乘方．先计算负整数指数幂和有理数的乘方，再计算加法即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 若，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根和一元二次方程根与系数的关系，根据，是方程的两个实数根，可得，即，根据一元二次方程根与系数的关系可知，将变形为，即可求出的值． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，即，， ， 故答案为：． 15. 如图，在正六边形中，点，，分别在边，，上，且是的中点，．若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质．根据正六边形的性质，矩形的判定和性质求出，，再根据相似三角形的判定和性质求出，由直角三角形的边角关系即可求出． 【详解】解：如图，连接，过点P、N分别作直线的垂线，垂足分别为G、H，过点N作于点K， ∵六边形是正六边形， ∴，， 在 中，，， ∴， ∵，即， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，， 设，则，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 16. 已知抛物线经过点，且．有下列四个结论：①；②；③若方程有两个不相等的实数根，且其中一个根小于，则；④若，且抛物线过点，则．其中正确的结论是________(填序号)． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数符号判断，根据得到抛物线过，再结合已知条件画出大致的函数图象，然后根据函数图象分析计算即可． 【详解】解：∵， ∴过， ∵抛物线经过点 ∴抛物线开口向上，与轴有两个交点，且位于轴的两侧， ∴，故①正确； 由题意可知时，， ， ， ， ， 即， 故②正确； 如图，方程有两个不相等的实数根，且其中一个根小于， ∴ ∴的对称轴直线， ∴，故③不正确； ∵抛物线过点，则 ∵抛物线经过点 ∴ 又∵， ∴， ∵，则 ∴ ∴ ∴ 将代入得 ∴ 又∵ ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴，故④正确 结论①、②、④正确，③错误．正确结论的序号为①、②、④． 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，有两张边长分别为，的正方形纸片，其面积分别为，． （1）求的值（用含的式子表示）． （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，完全平方公式，解一元二次方程等知识，解题的关键是： （1）根据正方形的面积列式求解即可； （2）根据列出关于a的方程，然后解方程即可． 【小问1详解】 解∶ ； 【小问2详解】 解∶ ， ， ， 或2， 又， ． 18. 射击队要从甲、乙两名运动员中挑选一人参加射击比赛，在选拔赛中，每人射击5次，根据两人的成绩（单位：环）绘制的折线统计图如图所示（甲第二次射击的成绩缺失）． 请根据以上信息，回答下列问题： （1）若甲第二次射击的成绩为9环． ①甲、乙两人成绩的方差分别为，，则________（填“”“”或“”）；请补全下表． 统计量 平均数 中位数 众数 甲 乙 9.2 9.3 9.3 ②综合以上统计量，你认为应选哪名运动员参赛？并说明理由； （2）若甲成绩的中位数、众数相同，求甲第二次射击的成绩． 【答案】（1）①，9.2，9，9； ②应选乙运动员参加比赛， 因为甲、乙成绩的平均数相等，而乙成绩的中位数、众数均大于甲，方差小于甲， 所以乙射击成绩的高分次数比甲多，且成绩稳定； （2）9或9.7 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图、众数、平均数和方差，关键是掌握相关统计量的定义与计算定义． （1）①根据方差的意义、平均数、中位数、众数的定义求解即可； ②根据中位数、众数及方差的意义求解即可； （2）根据中位数和众数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：①由题意知，甲5次射击成绩分别为8.5、9、9、9.7、9.8， 所以其平均数为，中位数为9，众数为9， 由折线统计图知，甲射击成绩的波动幅度比乙射击成绩的波动幅度大， 所以， 故答案为：，9.2，9，9； ②略 【小问2详解】 解：将甲4次的成绩按从小到大的顺序排列为8.5，9，9.7，9.8， 因为甲成绩的中位数、众数相同， 所以甲第二次射击的成绩为9环或9.7环． 19. 我们将任意三位数记为（其中，，分别表示该数的百位、十位、个位上的数字）．若三位数能被整除，且，，均不为0，则称这个三位数是“和倍数”，又称这个三位数是的“和倍数”．例如：，不是“和倍数”；，是15的“和倍数”． （1）请通过计算说明：414，269是否为“和倍数”？ （2）若三位数是12的“和倍数”，且，求这个三位数． 【答案】（1）是“和倍数”，269不是“和倍数” （2）732 【解析】 【分析】此题考查了新定义的数字类问题，熟练掌握新定义是关键． （1）根据“和倍数”进行验证即可； （2）是12的“和倍数”，则，是偶数．根据进行分析解答即可． 【小问1详解】 解：，． 是“和倍数”，269不是“和倍数”． 【小问2详解】 ∵是12的“和倍数”， ，是偶数． 又， ， ． ． 又，故分两种情况讨论． ①当，时，． 是12的“和倍数”． ②当，时，． 不是12的“和倍数”． 故这个三位数是． 20. 太阳能光伏发电具有清洁、安全、高效的特点．嘉嘉为了解某太阳能板的相关数据，展开了测量活动．如图，为太阳能板，为支撑架，已知是的中点，垂直于水平地面．当太阳光线（视为平行光线）与水平地面的夹角为时，测得太阳能板在地面上的影长．在点处用高度为的测角仪测得点处的仰角为． （1）求太阳能板的顶端距离地面的高度； （2）测得，求太阳能板的宽度（的长）．（参考数据：，，） 【答案】（1）太阳能板的顶端距离地面的高度约为． （2）m 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．构造直角三角形解决相关问题是解决本题的关键；难点是构造直角三角形判断出CD的长度． （1）过点作，于点，过点作于点．则四边形是矩形，由题意知，设，则，得出，即，求解即可得出答案； （2）过点作于点，过点作，交于点，则四边形是矩形．得出，，再根据勾股定理得出，进而求出答案． 【小问1详解】 如图，过点作，于点，过点作于点．则四边形是矩形， ，． 由题意知， ． 设，则， 在中，． ，即． 解得 ． 答：太阳能板的顶端距离地面的高度约为． 【小问2详解】 如图，过点作于点，过点作，交于点，则四边形是矩形． ，． ，是的中点， 是的中点，， ， ， ， ． 答：太阳能板的宽度约为m． 21. 甲从地出发匀速赶往地，到达地休息后又匀速返回地；乙从地出发匀速赶往地．两人在途中相遇了两次，第二次相遇后两人均改变速度，以相同速度一起到达地，结果乙比按原速提前到达地．甲、乙两人距地的距离和甲从地出发后经过的时间之间的函数关系如图所示． （1）甲从地出发赶往地时的速度为________，甲从地出发到与乙第二次相遇前的速度为________m/min． （2）当时，求乙距地的距离与甲从地出发后经过的时间之间的函数关系式． （3）求甲从地出发到返回地所用的时间，并直接写出乙从地到地所用的时间． 【答案】（1）， （2） （3）甲从地出发到返回地所用的时间为．乙从地到地所用的时间为 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象获取信息，求自变量的值，从函数图象获取信息是解题的关键； （1）根据速度等于路程除以时间，即可求解； （2）设直线的解析式为，将，分别代入，待定系数法求解析式，即可求解． （3）当时，．根据题意得出当时，甲、乙一起到达地，即可得出甲从地出发到返回地所用的时间，根据（2）中解析式可得乙的速度为，当时，，进而求得甲出发之前乙，走了分钟，进而求得乙从地到地所用的时间． 【小问1详解】 结合函数图象可得：甲从地出发赶往地时的速度为， 甲从地出发到与乙第二次相遇前的速度为． 故答案为：，． 【小问2详解】 由题意知，点的纵坐标为． ． 设直线的解析式为． 将，分别代入， 得，解得， 当时，乙距地的距离与甲从地出发后经过的时间之间的函数关系式为． 【小问3详解】 对于． 当时，． 若乙不改变速度，则当时，乙到达地． 由题意知，当时，甲、乙一起到达地． 甲从地出发到返回地所用的时间为， 对于，乙的速度为， 当时，， 在甲出发之前，乙走了分钟， ∴乙从地到地所用的时间为． 22. 如图，在中，，，过，两点的交于点，过点作的切线交于点．连接． （1）求证：． （2）若，． ①求的长； ②直接写出的长． 【答案】（1） 证明：连接， ，， ， , , ， 是的切线， ， ； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）连接，由圆周角定理得，由切线的性质得，即可得证； （2）①过作交于，过作交于，延长交于，由勾股定理得，由正切的定义得，由勾股定理得，同理可得，结合弧长公式，即可求解； ②连接，在，中，根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过作交于，过作交于，延长交于， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ． ②连接， 在中，， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，勾股定理，解直角三角形，弧长公式等；理解圆的定义，掌握等腰三角形的性质，切线的性质，能熟练利用勾股定理，解直角三角形，弧长公式进行求解是解题的关键． 23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知直线的解析式为． （1）求，的值，并直接写出抛物线的顶点坐标． （2）若点是第二象限内抛物线上一动点，则当点到直线的距离最大时，求点的坐标． （3）是直线上一动点，过点作线段，且，点在直线下方．当线段与抛物线有公共点时，求点的横坐标的取值范围． （4）若点，，在该抛物线上，且，请直接写出的取值范围． 【答案】（1），， （2） （3）或 （4）或． 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数的综合问题，包括交点问题，动点距离问题等，理解题意，结合二次函数的性质和图象求解是解题关键． （1）根据一次函数确定，然后利用待定系数法确定二次函数解析式，再化为顶点式即可； （2）过点P作的平行线，记为直线l，当l与抛物线只有一个交点时，P到直线的距离最大，设直线l的表达式为，结合一元二次方程的根的特点求解即可； （3）过点E作轴交AC于点F，过点D作于点H，根据题意得：，确定，再代入函数解析式求解，然后结合函数图象即可得出结果； （4）根据题意得出，然后分两种情况分析：当点M、N在点G的左侧，当点M、N在对称轴的两侧时，利用二次函数的性质求解即可 【小问1详解】 解：， 当时，，当时，， ∴， 将代入得， 解得：， ∴， ∴顶点坐标为：； 【小问2详解】 由（1）得， 过点P作的平行线，记为直线l，当l与抛物线只有一个交点时，P到直线的距离最大， 设直线l的表达式为， 令， 整理得：， ， 解得：， ∴解得：， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴， ∴， 过点E作轴交于点F，过点D作于点H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， 根据题意得：， ∴， 当点E落在抛物线上时， 整理得：， 解得：，， ∴由图象得，线段与抛物线有公共点时，或； 【小问4详解】 当时，， 解得：或， ∴， ∵，，在该抛物线上，且， 又，， 当点M、N在点G的左侧， 当且时， 解得：且， ∴； 当点M、N在对称轴的两侧时， ，且 ∴且， ∴， 综上可得：或． 24. 已知是等边三角形，点在内，且，以为边在右侧作等边三角形． （1）如图1，若点在射线上， ①请利用无刻度的直尺和圆规作出，连接． ②求的度数． （2）如图2，延长交于点． ①求证：是的中点． ②设，交于点，若，求的值． （3）连接，若的边长是12，点是的中点，请直接写出点，之间距离的最大值． 【答案】（1）①如图所示，即为所求； ② （2）①证明：如图2，连接，过点作交的延长线于点． 同上可知，， ． ，， ． 又， ， ， ． 又， ， ， 即是的中点； ② （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形和旋转的结合，等边三角形的性质，旋转的性质，基本的尺规作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数解直角三角形，动点的最值问题等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）①首先过点作的垂线，交于点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于一点，即为所求； ②根据等边三角形的性质和旋转的性质，证明即可； （2）①连接，过点作交的延长线于点，几何已经得到的条件，证明即可得出结论； ②连接，根据条件证明，利用锐角三角函数比和相似三角形的性质，设，表示出相关线段的长度即可得出结果； （3）根据题目要求，分析各个动点的运动轨迹，确定最长时点的位置，然后利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：①略 ②和均为等边三角形， ，，． ， ， ． 又， ； 【小问2详解】 ①略 ②解：如图2，连接． 是等边三角形，是的中点， ． 又， ， ． ， 设，则，， ； 【小问3详解】 解：如图所示， 以为直径作圆，因为，所以点的运动轨迹在此圆上， 以为直径作圆，点为中点，因为，所以点的运动轨迹在此上，此时，， ∵点为中点，点为中点， ∴点的运动轨迹在以为直径的上，此时，， 当点在同一条直线上时，且点在点右侧时，取得最大值， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ， 所以，点，之间距离的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $