精品解析：山西省临汾市翼城县2023-2024学年七年级下学期期末考试数学试题

2023-2024学年末学业水平测试题 七年级数学 说明：1．全卷共6页，满分120分（含卷面分5分），考试时间为120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该选项涂黑．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元一次方程的是(　　) A. x+＝1 B. 0.2x﹣3＝5 C. x﹣2y＝3 D. 2x2﹣1＝1 2. 永州的文化底蕴深厚，永州人民的生活健康向上，如瑶族长鼓舞，东安武术，宁远举重等，下面的四幅简笔画是从永州的文化活动中抽象出来的，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 北盘江第一桥是世界上最高的桥梁，原名是尼珠河大桥，位于云贵两省交界处．这座宏伟的桥梁一共设计了112对224根斜拉索，设计斜拉索所运用的几何原理是（ ）． A. 垂线段最短 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形的稳定性 4. 如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是5克，则天平左盘中的每个小立方体的质量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 5. 如图为商场某品牌椅子的侧面图， ， 与地面平行，，则（ ） A. B. C. D. 6. 一个正多边形每个内角都等于 ，若用这种多边形拼接地板，需与下列选项中哪种正多边形组合（　　） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 7. 如图， ，若， ，则 的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 我们在解二元一次方程组时，可将第一个方程代入第二个方程消去 得 ，从而求解，这种解法体现的数学思想是（ ） A. 公理化思想 B. 分类讨论思想 C. 数形结合思想 D. 转化思想 9. 《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤，则正确的是（ ） A. 依题意 B. 依题意 C. 一只雀的重量为斤 D. 一只燕的重量为斤 10. 在直角三角形中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，过点作 ，过点作 交于点．下列结论① ；② ；③平分 ．其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知一个三角形的两边长分别为3和5，若第三边的长为偶数，则第三边的长可以为_____________（写出一个即可）． 12. 若六边形的内角中有一个内角为，则其余五个内角之和为___________． 13. 若与互为相反数，则的值为_____________． 14. 在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中， ，则阴影部分图形的总面积为_____________． 15. 如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若， ， ，则线段的长为____________． 三、解答题（共70分） 16. 解方程（组） （1） （2） 17. 以下是聪聪解不等式组的解答过程． 解：由①，得 ， ； 由②，得 ， ， ； 原不等式组的解集为． 聪聪的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程并把解集表示在如图所示的数轴上． 18. 在如图的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，△ABC与△A1B1C1构成的图形是中心对称图形. (1)画出此中心对称图形的对称中心O； (2)画出将△A1B1C1，沿直线DE方向向上平移5格得到的△A2B2C2； (3)要使△A2B2C2与△CC1C2重合，则△A2B2C2绕点C2顺时针方向旋转，至少要旋转多少度?(不要求证明) 19. 阅读与思考 定义：对于任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相等，且都不为零，那么称这个两位数为“互异数”．将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个两位数与原两位数的和与11的商记为．例如： ，对调个位数字与十位数字得到新的两位数41，新两位数与原两位数的和为41+14=55，和55与11的商为55÷11=5，所以 ．根据以上定义，完成相应的任务： 任务： （1）填空： ①下列两位数：30，58，88中，“互异数”为_____________； ②计算： _____________； （2）如果一个“互异数”满足 ，求满足条件的的值． 20. 如图，点分别在三角形的边上，点在线段上，且． （1）求证：； （2）若 平分，求的度数． 21. 对于方程组，不妨设 ， ，则原方程组就变成关于、的二元一次方程组，解得，把代入 ， ，从而求得原方程组的解是，这种解法称为换元法． （1）请将上述方程组的解填写在相应空白处； （2）用换元法解方程组． （3）拓展延伸：已知关于、 的二元一次方程组的解为，则关于、的方程组的解为____________． 22. 党的二十大以来，我国城市园林绿化工作不断深化创新，城市绿化高质量发展．某校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木3棵，B种树木5棵，共需700元；购买A种树木6棵，B种树木1棵，共需680元． （1）求A种，B种树木每棵各多少元？ （2）因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍，A种树木的数量不多于78棵．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款总金额按市场价八折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用． 23. 如图，将一副三角板按照如图所示的位置放置在直线上， ＝＝45°，＝＝90°，＝30°，＝60°.将含45°锐角的三角板固定不动，含30°锐角的三角板 绕点顺时针旋转1周，在此过程中: （1）如图，当点在 内部时，连接. ①若平分，试问是否也平分 ?请说明理由． ②若 ，，，试探究、、这三者之间有什么数量关系？请用一个含、、的等式来表达，并说明理由. （2）如图，是 的角平分线，当 所在直线与所在直线互相垂直时，请直接写出的度数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年末学业水平测试题 七年级数学 说明：1．全卷共6页，满分120分（含卷面分5分），考试时间为120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该选项涂黑．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元一次方程的是(　　) A. x+＝1 B. 0.2x﹣3＝5 C. x﹣2y＝3 D. 2x2﹣1＝1 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元一次方程的定义，依次分析各个选项，选出是一元一次方程的选项即可． 【详解】A．不是整式方程，不符合一元一次方程的定义，故A选项错误， B．符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，故B选项正确， C．含有两个未知数，不符合一元一次方程的定义，故C选项错误， D．最高为二次，不符合一元一次方程的定义，故D选项错误， 故选B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，正确掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 2. 永州的文化底蕴深厚，永州人民的生活健康向上，如瑶族长鼓舞，东安武术，宁远举重等，下面的四幅简笔画是从永州的文化活动中抽象出来的，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，即可作出判断． 【详解】轴对称图形的只有C． 故选C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，解答此题要明确：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，对称轴是折痕所在的这条直线叫做对称轴． 3. 北盘江第一桥是世界上最高的桥梁，原名是尼珠河大桥，位于云贵两省交界处．这座宏伟的桥梁一共设计了112对224根斜拉索，设计斜拉索所运用的几何原理是（ ）． A. 垂线段最短 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形的稳定性 【答案】D 【解析】 【详解】解： 斜拉桥的斜拉索、桥塔和桥面构成了三角形结构， 设计斜拉索所运用的几何原理是三角形的稳定性． 4. 如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是5克，则天平左盘中的每个小立方体的质量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形，列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：根据题意，得 解得： ． 5. 如图为商场某品牌椅子的侧面图， ，与地面平行，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质求出 ，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ，即 ． 6. 一个正多边形每个内角都等于 ，若用这种多边形拼接地板，需与下列选项中哪种正多边形组合（　　） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】A 【解析】 【分析】正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°，根据镶嵌的条件解答即可． 【详解】解： 一个正多边形每个内角都等于 ， ， 需要正三角形， 故选：． 【点睛】此题考查平面图形镶嵌，关键是根据在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°解答． 7. 如图， ，若， ，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质．由全等三角形的性质易得，进一步计算可求解． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∵ ， ∴， 故选：B． 8. 我们在解二元一次方程组时，可将第一个方程代入第二个方程消去 得 ，从而求解，这种解法体现的数学思想是（ ） A. 公理化思想 B. 分类讨论思想 C. 数形结合思想 D. 转化思想 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵题干中的解法是代入消元法，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，把未知问题转化为已知可解的问题， ∴这种解法体现的是转化思想． 9. 《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤，则正确的是（ ） A. 依题意 B. 依题意 C. 一只雀的重量为斤 D. 一只燕的重量为斤 【答案】A 【解析】 【分析】设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤，根据五只雀、六只燕共重一斤；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重列出方程组，解方程组，求出x、y的值，逐项判断即可． 【详解】解：设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤，根据题意得： ， 解得：， ∴一只雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，准确解方程组． 10. 在直角三角形中， ，平分交 于点， 平分交于点，、 相交于点，过点作 ，过点作 交于点．下列结论① ；② ；③ 平分 ．其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可判断①错误；由平行线的性质及角平分线的定义即可判断②正确；根据已知条件无法判断③，所以错误，综上所述即可得出答案． 【详解】解：在直角三角形中， ， ∴ ， ∵平分， 平分， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ，故①错误； ∵ ， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ ，故②正确； ∵的度数不确定， ∴根据已知条件无法证明 平分 ，故③不正确； 综上，正确的结论为②，共1个． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知一个三角形的两边长分别为3和5，若第三边的长为偶数，则第三边的长可以为_____________（写出一个即可）． 【答案】 （或，写出任意一个即可） 【解析】 【分析】根据三角形三边关系，确定第三边的取值范围，再结合第三边长为偶数的条件，即可得到符合要求的第三边长. 【详解】解：设三角形第三边长为， 根据三角形三边关系可得 ， 解得 ， 第三边的长为偶数， 或. 12. 若六边形的内角中有一个内角为，则其余五个内角之和为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题关键．根据多边形的内角和公式即可得． 【详解】解∶∵六边形的内角中有一个内角为， ∴其余五个内角之和为， 故答案为∶ ． 13. 若与互为相反数，则的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得关于a、b的二元一次方程组，解方程组得到a、b的值，然后可以得解． 【详解】解：由题意，得 ， ∴， 解得：，， ∴ ． 14. 在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中， ，则阴影部分图形的总面积为_____________． 【答案】55 【解析】 【分析】设小长方形的长为 ，宽为 ，根据题意可得方程组，解方程组求出x、y的值，再根据阴影部分的面积等于长方形的面积减去5个小长方形的面积列式求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为 ，宽为 ， 由题意得，， ∴， ∴阴影部分图形的总面积． 15. 如图，点是外的一点，点 ， 分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若， ， ，则线段的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据轴对称的性质可得 ， ，再根据 得出答案． 【详解】解：∵点P关于的对称点是Q， ∴ ， 同理 ． ∵ ， ∴ ． 三、解答题（共70分） 16. 解方程（组） （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ，得 解得 把代入①，得 解得 ∴方程组的解为 17. 以下是聪聪解不等式组的解答过程． 解：由①，得 ， ； 由②，得 ， ， ； 原不等式组的解集为． 聪聪的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程并把解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】解：聪聪的解答过程有错误，正确解答过程如下： 由①，得 ， ； 由②，得 ， ； 原不等式组的解集为 ； 数轴表示如图所示 【解析】 【分析】解不等式①中，去括号时，x的系数没有乘以3导致计算结果错误，分别计算出两个不等式的解集，进而得到不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】略 18. 在如图的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，△ABC与△A1B1C1构成的图形是中心对称图形. (1)画出此中心对称图形的对称中心O； (2)画出将△A1B1C1，沿直线DE方向向上平移5格得到的△A2B2C2； (3)要使△A2B2C2与△CC1C2重合，则△A2B2C2绕点C2顺时针方向旋转，至少要旋转多少度?(不要求证明) 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）90. 【解析】 【分析】（1）连接一对对应点，找出该线段的中点即可； （2）将△A1B1C1的各个顶点按平移条件找出它的对应点A2、B2、C2，顺次连接A2B2、B2C2、C2A2，即得到平移后的图形； （3）观察一对对应点的位置关系即可求出答案． 【详解】 (1) 对称中心O的位置如图所示； (2) 画出的△A2B2C2的位置如图所示； (3) △A2B2C2绕点C2顺时针方向至少旋转90°可与△CC1C2重合. 故答案为（1）见解析；（2）见解析；（3）90. 【点睛】本题考查作图-旋转变换，作图-平移变换，解题的关键是掌握中心对称图形和平移、旋转的性质. 19. 阅读与思考 定义：对于任意一个两位数 ，如果 满足个位数字与十位数字互不相等，且都不为零，那么称这个两位数为“互异数”．将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个两位数与原两位数的和与11的商记为．例如： ，对调个位数字与十位数字得到新的两位数41，新两位数与原两位数的和为41+14=55，和55与11的商为55÷11=5，所以 ．根据以上定义，完成相应的任务： 任务： （1）填空： ①下列两位数：30，58，88中，“互异数”为_____________； ②计算： _____________； （2）如果一个“互异数”满足 ，求满足条件的的值． 【答案】（1）①58；②9 （2）71和92 【解析】 【分析】（1）根据题目中“互异数”的定义进行判断；再根据的定义计算即可； （2）设“互异数”c的个位数字为x，十位数字为y，根据题目中“互异数”的定义并结合已知列式求出 ，即可得到所有“互异数”的值. 【小问1详解】 解：由“互异数”的定义得，两位数30，58，88中，“互异数”为58， ， 【小问2详解】 解：设“互异数”c的个位数字为x，十位数字为y， 则 ， 根据题意，得： ， 化简得 ， ∴ ， 又x，y是不超过9的正整数， ∴或， ∴所有“互异数”c的值为71和92． 20. 如图，点分别在三角形的边上，点在线段 上，且． （1）求证：； （2）若平分，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得出，等量代换得出，证明，进而根据平行线的性质，即可得出结论； （2）根据角平分线的定义，平行线的性质得出，结合已知条件得出，根据平行线的性质，即可得出结论． 【小问1详解】 解：证明： ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 平分， ． ， ． 又，即， ． 由（1）得． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 21. 对于方程组，不妨设 ， ，则原方程组就变成关于、的二元一次方程组，解得，把代入 ， ，从而求得原方程组的解是，这种解法称为换元法． （1）请将上述方程组的解填写在相应空白处； （2）用换元法解方程组． （3）拓展延伸：已知关于、的二元一次方程组的解为，则关于、的方程组的解为____________． 【答案】（1）7， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接求解即可； （2）设 ， ，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）把变形为，结合已知可得出，解方程组即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 解得； 【小问2详解】 解：设 ， ，则原方程组可化为， 解得， 把代入 ， ， 得， 解得； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵、的二元一次方程组的解为， ∴ 解得：， 故方程组的解为：． 22. 党的二十大以来，我国城市园林绿化工作不断深化创新，城市绿化高质量发展．某校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木3棵，B种树木5棵，共需700元；购买A种树木6棵，B种树木1棵，共需680元． （1）求A种，B种树木每棵各多少元？ （2）因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍，A种树木的数量不多于78棵．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款总金额按市场价八折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用． 【答案】（1） A种树木每棵100元，B种树木每棵80元 （2） 当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，实际所花费用最省，最省费用为7600元 【解析】 【分析】（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元，根据“购买A种树木3棵，B种树木5棵，共需700元；购买A种树木6棵，B种树木1棵，共需680元”列出方程组并解答； （2）设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为棵，根据“购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍，A种树木的数量不多于78棵”列出不等式并求得 的取值范围，然后求出整数 的值，再结合实际付款总金额 （A种树的金额+B种树的金额）进行解答． 【小问1详解】 解：设A种树每棵x元，B种树每棵y元， 依题意得：， 解得， 答：A种树每棵100元，B种树每棵80元； 【小问2详解】 解：设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为棵 根据题意，得 解得 ∴整数 的值为75，76，77，78， 当 时，总费用为 （元） 当 时，总费用为 （元） 当 时，总费用为 （元） 当 时，总费用为 （元） ∵ ∴当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少为7600元． 23. 如图，将一副三角板按照如图所示的位置放置在直线上， ＝＝45°，＝＝90°，＝30°，＝60°.将含45°锐角的三角板固定不动，含30°锐角的三角板 绕点顺时针旋转1周，在此过程中: （1）如图，当点在 内部时，连接. ①若 平分，试问是否也平分 ?请说明理由． ②若 ，，，试探究、、这三者之间有什么数量关系？请用一个含、、的等式来表达，并说明理由. （2）如图，是 的角平分线，当所在直线与所在直线互相垂直时，请直接写出的度数. 【答案】（1）①当CD平分∠ACB时，CE也平分∠ACN；②＝30°；（2）＝52.5°或127.5° 【解析】 【详解】试题分析：（1）①根据角平分线的定义，即可求解； ②根据角的和差关系即可求解； （2）利用四边形的内角和等于360°即可求解. 试题解析：（1）当CD平分∠ACB时，CE也平分∠ACN， 理由如下： ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠ACB， ∵∠ACD＋∠ACE＝90°， ∴∠ACE＝90°-∠ACD＝90°-∠ACB＝(180°-∠ACB)＝ ∠ACN， ∴CE平分∠ACN. （2） ＝30°， 理由：由题知，，，∴＋60°，，，∵∠ADC＋∠CAD＋∠ACD＝180°，∴＋60°＋＋＝180°，∴ ＝30° （3）＝52.5°或127.5° 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $