山东烟台市莱州市第一中学2025-2026学年高一下学期实验班（火箭班）期中模拟数学试卷

**基本信息** 高中数学期中试卷以真实情境为载体，通过分层设问考查数学抽象、逻辑推理与模型构建能力，适配阶段性知识巩固与素养发展需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/60|函数单调性、立体几何表面积|结合航天材料密度问题，考查量感与几何直观| |填空题|4/20|数列求和、概率分布|设置社区人口统计情境，体现数据意识与应用意识| |解答题|6/70|导数应用、圆锥曲线综合|以新能源汽车续航优化为背景，通过多问梯度考查推理能力与模型意识|

答案和解析 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】A 9．【答案】AC 10．【答案】ABD 11．【答案】BD 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】； 15．【答案】解：（1）， ； （2）， ； （3）， ． 【解析】本题主要考查了导数的运算，属于基础题． （1）利用商的导数运算公式求解即可． （2）利用和与积的导数运算公式和复合函数的运算公式求解即可． （3）利用和的导数运算公式求解即可． 16．【答案】解：（1）， 因为是函数的一个极值点． 所以，即，解得， 所以，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 可得是函数的一个极值点，满足题意， 所以的单调递增区间为，． （2）结合（1）可得，当变化时，，的变化情况如下表： 0 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以当时，函数的最小值为-1． 【解析】本题考查利用导数根据极值点求参，利用导数求函数的单调区间、最值，属于中档题． （1）根据极值点求出的值，求导，利用导数大于0，可得函数的单调递增区间； （2）确定函数的极值点，再考虑端点的函数值，从而确定函数的最值． 17．【答案】解：（Ⅰ）函数，， 则， 设，则 由可知，在上单调递增，且， 故当时，， 当时，， 故函数有极小值，无极大值； （Ⅱ）证明：依题意对，， 即， 设，则， 设， 因为，所以在上单调递增， 又因为，， 所以在内有唯一零点，记为， 即， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，． 设，， 则，所以， 所以，即，． 【解析】本题考查了利用导数求已知函数的极值和利用导数证明不等式，属于中档题． （Ⅰ）直接求导，利用导数研究单调性可得极值； （Ⅱ）依题意对，，即，设，利用导数研究其单调性和最值，即可得证． 18．【答案】解：（1）因为， 所以， 因此， 则，，， 可得在两边异号，即是函数的一个极值点， 故． （2）由（1）知，，， 当时，， 当时，， 所以的单调增区间是，，的单调减区间是； （3）由（2）知，在内单调递增，在内单调递减，在上单调递增，且当或时，， 所以的极大值为，极小值为． 因为，， 所以要使直线与函数的图象有3个交点， 则在的三个单调区间，，内，直线与的图象各有一个交点， 当且仅当， 因此，的取值范围为． 【解析】本题考查利用求导研究函数的单调性，最值问题，函数图象交点个数问题，理解求导在函数最值中的研究方法是解题的关键，数形结合理解函数的取值范围． （1）先求导，再由求解； （2）由（1）确定，，再由和求得单调区间； （3）由（2）可得的极大值为，极小值为，再由直线与函数的图象有3个交点则须有，即可得结果． 19．【答案】解：（1）， 当时，，在递增， 当时，令，解得：， 令，解得：， 故在单调递增，在单调递减； （2）在恒成立， 在恒成立， 设， 则， 设，则， 故在上单调递增， 又，， 故存在唯一，使得， 故当时，，当时，， 故当时，，当时，， 故函数在递增，在递减，在递增， 故， 由得，且， 故， ，，， ， 当时，， 故，解得：， 故的取值范围是． 【解析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于较难题． （1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可； （2）问题转化为在恒成立，设，求出函数的导数，根据函数的单调性求出的最大值，得到关于的不等式，求出的取值范围即可． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一期中模拟数学试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分． 1．设是可导函数，且，则（ ） A．2 B． C． D． 2．已知函数，导函数为，那么等于（ ） A． B． C． D． 3．直线是曲线的一条切线，则实数（ ） A．-1或1 B．-1或3 C．-1 D．3 4．已知函数在处取得极大值，则的值为（ ） A．1 B．3 C．1或3 D．2或-2 5．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A．有极大值 B．有极小值 C．有极大值 D．有极小值 6．若函数有最大值-4，则实数的值是（ ） A．1 B．-1 C．4 D．-4 7．已知函数在上单调递增，则的最大值是（ ） A．1 B．2 C． D．3 8．已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分． 9．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 10．已知函数，下列判断正确的是（ ） A．的单调减区间是， B．的定义域是 C．的值域是 D．与有一个公共点，则或 11．已知函数，若实数，满足不等式，则（ ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的导函数__________． 13．函数在上的最小值为__________． 14．设函数，，则函数的最大值为__________；若对任意，，不等式恒成立，则正数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题12分） 求下列函数的导数： （1） （2）； （3） 16．（本小题12分） 已知函数，是函数的一个极值点． （1）求函数的增区间； （2）当时，求函数的最小值． 17．（本小题12分） 已知函数． （Ⅰ）求函数的极值； （Ⅱ）证明：，． 18．（本小题12分） 已知是函数的一个极值点． （1）求实数的值； （2）求函数的单调区间； （3）若直线与函数的图象有3个交点，求实数的取值范围． 19．（本小题12分） 函数． （1）求函数的单调区间； （2）若在恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $